PF Moduł 15

---

Wstęp Równania Maxwella w elegancki sposób opisują wszystkie zjawiska dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego. Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Ale równania Maxwella zawierają jeszcze więcej informacji. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni. Światło jest więc falą elektromagnetyczną. W tym wykładzie dowiemy się, jakie są jeszcze inne rodzaje fal elektromagnetycznych. Telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji - wszystko to opiera się na czterech równaniach Maxwella. O elektromagnetycznej naturze światła wiemy od czasów Maxwella, czyli końca XIX wieku. Ale już dwa wieki wcześniej opisywano światło jako falę. Sformułowane przez Pierre'a Fermata w 1650 roku i Christiana Huyghensa w 1678 roku zasady stanowią podstawę optyki geometrycznej. Pokażemy, jak podstawowe prawa optyki: prawo odbicia i załamania światła można uzyskać z tych zasad.

---

Propagacja fal elektromagnetycznych Przypomnijmy sobie podstawowe fakty o propagacji fal. Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Wychylenie $\xi$ z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$, gdzie $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ jest liczbą falową, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ częstością, a $\phi$ - fazą początkową. Funkcja $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$ jest rozwiązaniem równania falowego: $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}$.

---

Nasze rozważania rozpoczniemy od przypomnienia równań Maxwella, które przedstawiają relacje pomiędzy zmianami pól: elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przypadku, kiedy w przestrzeni nie ma ładunków ani ośrodków materialnych, to jest dla próżni. Kiedy rozważamy rozchodzenie się zaburzeń pola elektrycznego w określonym kierunku, na przykład wzdłuż osi $X$, to z równań Maxwella wynika, że będzie mu towarzyszyło pole magnetyczne skierowane prostopadle do pola elektrycznego i kierunku propagacji. Przyjmijmy, że kierunek pola elektrycznego pokrywa się z osią $Y$ prostokątnego układu współrzędnych, a pola magnetycznego z osią $Z$. Zapiszemy to w postaci: $\overrightarrow{E}=(0,E,0),\overrightarrow{B}=(0,0,B)$. Będziemy rozważali propagację zaburzeń pól w jednym kierunku, wzdłuż osi $x$, z czego wynika, że pola te są jednorodne w kierunkach prostopadłych do kierunku propagacji. Oznacza to, że pochodne $\frac{\partial E}{\partial y},\frac{\partial E}{\partial z},\frac{\partial B}{\partial y},\frac{\partial B}{\partial z}$ równe są zeru, czyli że wartości $E$ i $B$ nie zależą od położenia punktu w kierunkach $Y$ i $Z$, to znaczy w każdym momencie mają te same wartości we wszystkich punktach leżących w płaszczyźnie $YZ$; zależą natomiast od $X$ oraz $t$.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przyjętych założeń. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych $\frac{\partial }{\partial x}$ z obu stron pierwszego równania i $\frac{\partial }{\partial t}$ z drugiego, widzimy, że każde z równań zawiera równe sobie wyrażenia: $-\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x\partial t}$ oraz $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t\partial x}$. Przyrównanie do siebie drugich stron równań daje bardzo ciekawy rezultat! Równanie $\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}$ ma postać podobną do postaci równania falowego. Wykonując różniczkowanie względem czasu dla pierwszego równania oraz względem $x$ dla równania drugiego otrzymujemy analogiczny związek dla pola magnetycznego: $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x^2}$. Oznacza to, że zaburzenia pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w postaci fal elektromagnetycznych.

---

Porównując otrzymane równanie z równaniem falowym, widzimy, że wielkość $\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ jest kwadratem prędkości fazowej $v$ fali elektromagnetycznej. Podstawiając wartości przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni $({\epsilon }_{0}i{\mu }_0)$ otrzymujemy wartość prędkości $v=3\cdot 10^{8}m/s$. Jest to wartość prędkości światła! W ten sposób Maxwell pierwszy odkrył naturę fizyczną światła, uświadamiając nam, że światło jest falą elektromagnetyczną. Wniosek ten uznawany jest za największe osiągniecie teorii Maxwella! Widzimy, że prędkość światła jest niezależna od częstości drgań czy długości fali. Jest to uniwersalna stała związana bezpośrednio z przenikalnością elektryczną i magnetyczną próżni - podstawowymi charakterystykami pól: elektrycznego i magnetycznego. Wiedząc, że prędkość światła w próżni: $c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$, rozumiemy, że nie może ona zależeć od układu odniesienia, w którym jest mierzona, bowiem ${\epsilon }_{0}i{\mu }_0$ są stałymi uniwersalnymi. Jest to zgodne z wynikami doświadczeń i stanowi podstawowe założenie szczególnej teorii względności. W ośrodku materialnym o względnej przenikalności elektrycznej $\epsilon$ i magnetycznej $\mu$ prędkość światła jest mniejsza od prędkości światła w próżni $\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$ razy.