PF Moduł 15

---

Wstęp Równania Maxwella w elegancki sposób opisują wszystkie zjawiska dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego. Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Ale równania Maxwella zawierają jeszcze więcej informacji. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni. Światło jest więc falą elektromagnetyczną. W tym wykładzie dowiemy się, jakie są jeszcze inne rodzaje fal elektromagnetycznych. Telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji - wszystko to opiera się na czterech równaniach Maxwella. O elektromagnetycznej naturze światła wiemy od czasów Maxwella, czyli końca XIX wieku. Ale już dwa wieki wcześniej opisywano światło jako falę. Sformułowane przez Pierre'a Fermata w 1650 roku i Christiana Huyghensa w 1678 roku zasady stanowią podstawę optyki geometrycznej. Pokażemy, jak podstawowe prawa optyki: prawo odbicia i załamania światła można uzyskać z tych zasad.

---

Propagacja fal elektromagnetycznych Przypomnijmy sobie podstawowe fakty o propagacji fal. Fala to rozchodzenie się w ośrodku drgań cząsteczek. Wychylenie $\xi$ z położenia równowagi cząstek biorących udział w ruchu falowym, opisuje wzór: $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$, gdzie $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ jest liczbą falową, $\omega =\frac{2\pi }{T}$ częstością, a $\phi$ - fazą początkową. Funkcja $\xi (x,t)=acos(\omega t-kx+\phi )$ jest rozwiązaniem równania falowego: $\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial t^2}$.

---

Nasze rozważania rozpoczniemy od przypomnienia równań Maxwella, które przedstawiają relacje pomiędzy zmianami pól: elektrycznego i magnetycznego w czasie i przestrzeni.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przypadku, kiedy w przestrzeni nie ma ładunków ani ośrodków materialnych, to jest dla próżni. Kiedy rozważamy rozchodzenie się zaburzeń pola elektrycznego w określonym kierunku, na przykład wzdłuż osi $X$, to z równań Maxwella wynika, że będzie mu towarzyszyło pole magnetyczne skierowane prostopadle do pola elektrycznego i kierunku propagacji. Przyjmijmy, że kierunek pola elektrycznego pokrywa się z osią $Y$ prostokątnego układu współrzędnych, a pola magnetycznego z osią $Z$. Zapiszemy to w postaci: $\overrightarrow{E}=(0,E,0),\overrightarrow{B}=(0,0,B)$. Będziemy rozważali propagację zaburzeń pól w jednym kierunku, wzdłuż osi $x$, z czego wynika, że pola te są jednorodne w kierunkach prostopadłych do kierunku propagacji. Oznacza to, że pochodne $\frac{\partial E}{\partial y},\frac{\partial E}{\partial z},\frac{\partial B}{\partial y},\frac{\partial B}{\partial z}$ równe są zeru, czyli że wartości $E$ i $B$ nie zależą od położenia punktu w kierunkach $Y$ i $Z$, to znaczy w każdym momencie mają te same wartości we wszystkich punktach leżących w płaszczyźnie $YZ$; zależą natomiast od $X$ oraz $t$.

---

Zapiszmy równania Maxwella dla przyjętych założeń. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych $\frac{\partial }{\partial x}$ z obu stron pierwszego równania i $\frac{\partial }{\partial t}$ z drugiego, widzimy, że każde z równań zawiera równe sobie wyrażenia: $-\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x\partial t}$ oraz $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t\partial x}$. Przyrównanie do siebie drugich stron równań daje bardzo ciekawy rezultat! Równanie $\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}$ ma postać podobną do postaci równania falowego. Wykonując różniczkowanie względem czasu dla pierwszego równania oraz względem $x$ dla równania drugiego otrzymujemy analogiczny związek dla pola magnetycznego: $\frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\frac{{\partial }^{2}B}{\partial x^2}$. Oznacza to, że zaburzenia pola elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w postaci fal elektromagnetycznych.

---