Laboratorium wirtualne 1/Moduł 4 - ćwiczenie 4

---

---

Analiza widmowa Fouriera sygnałów, jako superpozycja funkcji sinus i cosinus, jest obecnie niemal wszechobecna w dziedzinie rozpoznawania i analizy sygnałów pomiarowych. Mniej lub bardziej zaawansowane algorytmy cyfrowego przetwarzania i analizy sygnałów stanowią obecnie nieodłączną część modułów programowych każdego przyrządu pomiarowego. Algorytm dyskretnej transformaty Fouriera umożliwia, przy stosunkowo niewielkim nakładzie obliczeniowym, badanie w dziedzinie częstotliwości właściwości sygnałów określonych w funkcji czasu. Mówimy, że umożliwia on przeprowadzenie tzw. analizy częstotliwościowej lub inaczej analizy widmowej.

---

Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Zastosowana w tym celu transformacja sygnału polega na przetworzeniu funkcji opisanej w dziedzinie czasu na funkcję opisaną w dziedzinie częstotliwości. Dopiero wtedy, sygnał może być analizowany pod kątem jego właściwości częstotliwościowych. Na potrzeby analizy widmowej niezbędne jest wprowadzenie klasyfikacji sygnałów, $x(t)$ oznacza sygnał zmienny w czasie, na sygnały o ograniczonej energii, dla których jest spełniona zależność: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ oraz sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej, dla których: $\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{x_p}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ Dla ciągłego sygnału analogowego $x(t)$ o ograniczonej energii definiuje się pojęcie widma $X(\omega )$ za pomocą tzw. ciągłej transformaty Fouriera (1) określanej też mianem transformaty całkowej. Na odtworzenie sygnału z jego widma pozwala transformata odwrotna (2). W obydwu wzorach $\omega =2\pi f=2\pi /T$ oznacza pulsację.

---

W przypadku sygnału okresowego $x_p(t)$ wyznaczenie widma jest bardziej proste i polega na rozwinięciu jednego jego okresu w zespolony szereg Fouriera (3), gdzie współczynniki tego rozwinięcia $X_{pk}$ stanowią dyskretne widmo sygnału, i można je wyliczyć za pomocą całki Fouriera zastosowanej do pojedynczego okresu (4). W obydwu wzorach ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi /T$ stanowi pulsację sygnału okresowego.

---

W ogólności składowe widma są liczbami zespolonymi, a więc można im przyporządkować pewną amplitudę i fazę. Oczywiście można je również zapisać w postaci trygonometrycznej. Na rysunku 1 pokazano metodę syntezy pewnego wybranego przebiegu okresowego, fali prostokątnej, z przebiegów harmonicznych o zerowej fazie początkowej. Jest to proces odwrotny w stosunku do tego, co obserwujemy w trakcie analizy widmowej. Do syntezy wykorzystano, w sposób stopniowy sygnały tworzone według schematu: $x_1(t)=sin({\omega }_{0}t)$ $x_3(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)$ $x_5(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)$ $x_7(t)=sin({\omega }_{0}t)+\frac{1}{3}sin(3{\omega }_{0}t)+\frac{1}{5}sin(5{\omega }_{0}t)+\frac{1}{7}sin(7{\omega }_{0}t)$ Jak widać sygnały te otrzymano drogą sumowania nieparzystych harmonicznych o amplitudach proporcjonalnych do 1/n, gdzie n oznacza numer harmonicznej. Na rysunku 1 widać wyraźnie jak liczba składowych (nieparzystych harmonicznych) wpływa na kształt przebiegu wynikowego.

---

Poszczególnym fragmentom widma sygnału, przypisuje się pewne szczególne nazwy i znaczenie zgodne z interpretacją zjawisk fizycznych. Prążek znajdujący się na pozycji zerowej, prążek zerowy, jest określany mianem składowej stałej przebiegu. Prążek z nim sąsiadujący nosi nazwę podstawowej harmonicznej, zaś wszystkie pozostałe określane są mianem wyższych harmonicznych. Należy zaznaczyć, że w ogólnym przypadku składowe widma nie muszą występować w związku harmonicznym między sobą.

---

Łatwo zauważyć, że wyznaczanie ciągłego widma sygnału (całkowa transformata Fouriera), wymaga stosunkowo skomplikowanych obliczeń matematycznych. Na szczęście, po przejściu do przypadku dyskretnego, obliczenia te mogą być wykonywane za pomocą komputera. Przedtem jednak należy wybrany fragment realizacji sygnału wczytać do pamięci komputera. Wymaga to uprzedniego przetworzenia tego sygnału do postaci cyfrowej, a więc próbkowania (dyskretyzacji w czasie) i kwantyzacji (dyskretyzacji w amplitudzie). W praktyce pomiarowej, gdy mamy do czynienia z sygnałami niezdeterminowanymi, napotykamy pewne trudności, których podstawową przyczyną jest właśnie tzw. skończony czas obserwacji sygnału. Do analizy widmowej, z konieczności, przeznaczony zostanie tylko pewien jego fragment - np. część zaznaczona linią przerywaną na rysunku 3, zawierająca L próbek. Mówimy w takim przypadku, że na sygnał nałożone zostało okno czasowe $w(n)$ o kształcie prostokątnym, zgodnie z zależnością: $x_w(n)=x(n)w(n)$ Wyznaczenie widma polega wtedy na zastosowaniu algorytmu transformaty Fouriera do przetworzenia sygnału dyskretnego.

---