Laboratorium wirtualne 1/Moduł 4 - ćwiczenie 4

---

---

Analiza widmowa Fouriera sygnałów, jako superpozycja funkcji sinus i cosinus, jest obecnie niemal wszechobecna w dziedzinie rozpoznawania i analizy sygnałów pomiarowych. Mniej lub bardziej zaawansowane algorytmy cyfrowego przetwarzania i analizy sygnałów stanowią obecnie nieodłączną część modułów programowych każdego przyrządu pomiarowego. Algorytm dyskretnej transformaty Fouriera umożliwia, przy stosunkowo niewielkim nakładzie obliczeniowym, badanie w dziedzinie częstotliwości właściwości sygnałów określonych w funkcji czasu. Mówimy, że umożliwia on przeprowadzenie tzw. analizy częstotliwościowej lub inaczej analizy widmowej.

---

Użyteczność transformaty Fouriera zawiera się w jej zdolności do analizy przebiegu czasowego sygnału pod kątem jego „zawartości częstotliwościowej”. Zastosowana w tym celu transformacja sygnału polega na przetworzeniu funkcji opisanej w dziedzinie czasu na funkcję opisaną w dziedzinie częstotliwości. Dopiero wtedy, sygnał może być analizowany pod kątem jego właściwości częstotliwościowych. Na potrzeby analizy widmowej niezbędne jest wprowadzenie klasyfikacji sygnałów, $x(t)$ oznacza sygnał zmienny w czasie, na sygnały o ograniczonej energii, dla których jest spełniona zależność: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ oraz sygnały okresowe o ograniczonej mocy średniej, dla których: $\underset{t_0}{\overset{t_0+T}{\int }}{x_p}^2(t)dt<\mathrm{\infty }$ Dla ciągłego sygnału analogowego $x(t)$ o ograniczonej energii definiuje się pojęcie widma $X(\omega )$ za pomocą tzw. ciągłej transformaty Fouriera (1) określanej też mianem transformaty całkowej. Na odtworzenie sygnału z jego widma pozwala transformata odwrotna (2). W obydwu wzorach $\omega =2\pi f=2\pi /T$ oznacza pulsację.

---

W przypadku sygnału okresowego $x_p(t)$ wyznaczenie widma jest bardziej proste i polega na rozwinięciu jednego jego okresu w zespolony szereg Fouriera (3), gdzie współczynniki tego rozwinięcia $X_{pk}$ stanowią dyskretne widmo sygnału, i można je wyliczyć za pomocą całki Fouriera zastosowanej do pojedynczego okresu (4). W obydwu wzorach ${\omega }_0=2\pi f_0=2\pi /T$ stanowi pulsację sygnału okresowego.

---

W ogólności składowe widma są liczbami zespolonymi, a więc można im przyporządkować pewną amplitudę i fazę. Oczywiście można je również zapisać w postaci trygonometrycznej. Na rysunku 1 pokazano metodę syntezy pewnego wybranego przebiegu okresowego, fali prostokątnej, z przebiegów harmonicznych o zerowej fazie początkowej. Jest to proces odwrotny w stosunku do tego, co obserwujemy w trakcie analizy widmowej. Do syntezy wykorzystano, w sposób stopniowy sygnały tworzone według schematu: $x_1(t)=sin({\omega }_{0}t)$

---