Teoria informacji/TI Ćwiczenia 8

Kod Hamminga (7,4)

Projektowaniem efektywnych kodów korygujących błędy zajmuje się dziedzina informatyki nazywana teorią kodów. Zwykle projektowanie kodu oznacza znalezienie kompromisu między efektywnością kodu i jego prostotą (mierzoną zarówno jako stopień złożoności samego algorytmu kodowania i dekodowania, jak i mocą obliczeniową potrzebną do tych operacji). Szczególnie użytecznymi kodami, ze względu na zwięzłość ich definicji, są kody liniowe.

Definicja [Kod liniowy]

Kod liniowy długości $n$ i rzędu $k$ to dowolna liniowa podprzestrzeń ${𝒞}$ wymiaru $k$ w przestrzeni wektorowej ${\mathbb{𝔽}}^n$ gdzie $\mathbb{𝔽}$ jest skończonym ciałem. Przestrzeń ${𝒞}$ definiuje zestaw poprawnych słów kodowych.

Bazę tej przestrzeni (w postaci $k$ wektorów długości $n$) zapisuje się często w postaci macierzy generującej kodu.

Na tych ćwiczeniach bedziemy się zajmować tylko ciałem $Z_2$, czyli operacjami modulo 2. Przykładem prostego kodu liniowego nad ciałem $Z_2$ jest Kod Hamminga (7,4). Koduje on czterobitowe wiadomości przy użyciu siedmiobitowych słów, w ten sposób że minimalna odległość Hamminga pomiędzy słowami kodowymi wynosi 3. Dzięki temu przekłamanie jednego bitu w każdym słowie może zostać zawsze wykryte i naprawione (czyli poprawny przekaz wiadomości jest możliwy gdy ilość błędów nie przekroczy 14%).

Macierz generująca tego kodu wygląda następująco: $G:=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Macierz wykrywania błędów dla tego kodu wygląda następująco:

$H_e:=\left(\begin{array}{ccccccc}0& 0& 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Aby zakodować czterobitową wiadomość $m$ mnoży się ją przez macierz $G$ (wyliczając każdy współczynnik modulo 2). Uzyskane siedmiobitowe słowo przesyła się następnie przez kanał. Odbiorca mnoży otrzymaną wiadomość przez macierz wykrywania błędów $H_e$, uzyskując wektor o długości trzech bitów. Jeśli ten wektor jest zerowy, oznacza to że nie nastąpiło żadne przekłamanie (bądź nastąpiło ich więcej niż 2, czego przy uzyciu tego kodu może nie dać się wykryć). Jeśli wektor jest różny od zerowego, wektor odczytany jako liczba binarna wskazuje na którym bicie nastąpiło przekłamanie - wystarczy zatem odwrócić wartość tego bitu aby uzyskać pierwotną wiadomość. W przypadku gdy w bloku nastąpiło więcej niż jedno przekłamanie, końcowy wynik może być oczywiście nieprawidłowy.

Ćwiczenie [Dekodowanie kodu (7,4)]

Udowodnij że jeśli nie nastąpiło przekłamanie, iloczyn macierzy wykrywania błędów i przesłanego wektora zawsze jest zerowy.

Ćwiczenie [Jakość przekazu]

Załóżmy że prawdopodobieństwo przekłamania każdego bitu wynosi 5%. Jaka byłaby szansa bezbłędnego przekazu czterobitowej wiadomości przy zwykłym przekazywnaiu jej bit po bicie? Jaka jest szansa bezbłędnego przekazania gdy jest zakodowana kodem Hamminga (7,4)?

Kody liniowe

Ćwiczenie [Optymalne kody Hamminga]

Kodem $(n,k,d)$ nazywamy kod liniowy w którym $k$-bitowe słowa są zapisywane na $n$ bitach, a minimalna odległość pomiędzy słowami kodowymi wynosi $d$.

• Ile błędów może maksymalnie wykrywać taki kod?
• Jaką nierówność muszą spełniać wartości $n$, $k$ i $d$ aby taki kod mógł istnieć?
• Kod nazwiemy r-optymalnym, gdy może poprawiać $r$ błędów i każde słowo jest w odległości co najwyżej $r$ od najbliższego słowa kodowego. Dla jakich wartości $n$ mogą istnieć kody 1-optymalne?

Ćwiczenie [Szacowanie efektywnosci]

W zapisie informacji na płytach CD używa się kodu który do każdych 224 bitów dodaje 32 bity korygujące błędy (zapisując całość w bloku 256 bitów). Oszacuj jaka maksymalna może być w tym kodzie odległość Hamminga pomiedzy słowami kodowymi, i określ przy jakiej ilości błędów odczytu dane będą jeszcze odzyskiwane poprawnie.

LDPC - macierze parzystości małej gęstości

Jedną z metod generowania efektywnych kodów blokowych jest metoda LDPC. W metodzie tej na n-bitowe słowo nakładanych jest k losowych restrykcji postaci $x_{i_1}\oplus \dots \oplus x_{i_p}=0$, gdzie $x_i$ oznacza i-ty bit słowa kodowego. Parametry k i p są dobrane tak aby każdego bitu dotyczyła co najmniej jedna restrykcja. Kod tworzony jest tylko przez słowa spełniające wszystkie restrykcje.

Ćwiczenie [Szybkość kodów LDPC]

Jaka jest oczekiwana liczba słów spełniających wszystkie $k$ restrykcji?

Ćwiczenie [Wydajność kodów LDPC]

Udowodnij że z dużym prawdopodobieństwem minimalna odległość między dowolną parą słów kodowych wynosi co najmniej $\frac{k}{\log n}$.