CWGI Ćwiczenie 3: Różnice pomiędzy wersjami
Nie podano opisu zmian |
m Zastępowanie tekstu – „,</math>” na „</math>,” |
||
| Linia 8: | Linia 8: | ||
Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego | Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego | ||
Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami <math>ABCDW\ | Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami <math>ABCDW\</math>,. ''Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu'' <math>mkln\</math>,. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem. | ||
W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni <math>\pi_1\ | W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni <math>\pi_1\</math>, i <math>\pi_2\</math>, rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią <math>\pi_1\</math>, a rzutnią <math>\pi_3\</math>,. Po obrocie osi <math>y\</math>, do pokrycia się z osią <math>x\</math>, wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy <math>A''' ,B''' ,C''' , D'''</math>. Podobnie czynimy z wierzchołkiem <math>W\</math>,. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka <math>W'''</math>. | ||
Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup <math>mkln\ | Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup <math>mkln\</math>,, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi <math>y\</math>, po obrocie. | ||
Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio <math>x\ | Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio <math>x\</math>, i <math>y\</math>,. | ||
Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia <math>1' ,2' ,3' , 5'</math>. Rzut krawędzi graniastosłupa <math>k'</math>, będzie pokrywał się z rzutem punku <math>4'</math>, przebicia tej krawędzi ze ścianą <math>CDW\ | Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia <math>1' ,2' ,3' , 5'</math>. Rzut krawędzi graniastosłupa <math>k'</math>, będzie pokrywał się z rzutem punku <math>4'</math>, przebicia tej krawędzi ze ścianą <math>CDW\</math>,, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej <math>WV\</math>,, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek <math>W\</math>, ostrosłupa. Punkt <math>6'</math>, będący rzutem punktu przebicia boku <math>CB'</math> ostrosłupa ze ścianą <math>k'l'</math>, będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy <math>6''</math> będzie znajdował się na osi <math>x\</math>,. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie. | ||
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania <math>1', 2', 3', 4', 5', 6'</math> oraz <math>1''', 2''', 3''', 4''', 5''', 6'''</math>. Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji. | Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania <math>1', 2', 3', 4', 5', 6'</math> oraz <math>1''', 2''', 3''', 4''', 5''', 6'''</math>. Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji. | ||
| Linia 26: | Linia 26: | ||
{| border="0" cellpadding="4" width="100%" | {| border="0" cellpadding="4" width="100%" | ||
|valign="top" width="500px"|[[Grafika:CWGI_CW3_Slajd3.png]][[Grafika:CWGI_CW3_Slajd4.png]] | |valign="top" width="500px"|[[Grafika:CWGI_CW3_Slajd3.png]][[Grafika:CWGI_CW3_Slajd4.png]] | ||
|valign="top"|Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę <math>\alpha\ | |valign="top"|Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę <math>\alpha\</math>, tworzy również prosta pozioma <math>a\</math>, oś transformacji <math>x_{1/3}</math> obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej <math>a'</math>. | ||
Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej | Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej | ||
<math>\alpha'''(a x c)</math>. Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu <math>P'''Q'''</math> oraz <math>R'''T'''</math>, które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów <math>P'</math> i <math>Q'</math> wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli | <math>\alpha'''(a x c)</math>. Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu <math>P'''Q'''</math> oraz <math>R'''T'''</math>, które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów <math>P'</math> i <math>Q'</math> wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli | ||
i równoległym do osi transformacji <math>x_{1/3}\ | i równoległym do osi transformacji <math>x_{1/3}\</math>, w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów <math>T'\</math>, i <math>R'\</math>, wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów <math>R'''</math> i <math>T'''</math> płaszczyznę <math>\varepsilon'''</math> równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu <math>r\</math>, wyznaczonym z trzeciego rzutu. Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu <math>r\</math>, wyznaczymy <math>T'\</math>, i <math>R'\</math>,. Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna <math>\delta'''\</math>, dla rzutu poziomego i <math>\beta'\</math>, dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny <math>\alpha'''\</math>, przetnie nam płaszczyznę <math>\delta'''\</math>, otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając <math>C'\</math>, i <math>D'\</math>,. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna <math>\beta'\</math>, i należąca do płaszczyzny <math>\alpha\</math>, prosta <math>c\</math>,. Rzut pionowy prostej <math>c''\</math>, określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności <math>A''\</math>, i <math>B''\</math>, . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne. | ||
Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki. | Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki. | ||
Wersja z 09:29, 5 wrz 2023
 
|
Ćwiczenia 3. Przekroje i przenikanie wielościanów o brył obrotowych
Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle ABCDW\} ,. Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle mkln\} ,. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem.
Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle mkln\} ,, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} , po obrocie. Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle y\} ,. Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia . Rzut krawędzi graniastosłupa , będzie pokrywał się z rzutem punku , przebicia tej krawędzi ze ścianą Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle CDW\} ,, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle WV\} ,, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W\} , ostrosłupa. Punkt , będący rzutem punktu przebicia boku ostrosłupa ze ścianą , będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy będzie znajdował się na osi Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x\} ,. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania oraz . Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji. |
 
|
Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\}
, tworzy również prosta pozioma Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\}
, oś transformacji obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej .
Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej . Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu oraz , które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów i wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli i równoległym do osi transformacji Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle x_{1/3}\} , w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R'\} , wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów i płaszczyznę równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , wyznaczonym z trzeciego rzutu. Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle r\} , wyznaczymy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle T'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle R'\} ,. Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta'''\} , dla rzutu poziomego i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta'\} , dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha'''\} , przetnie nam płaszczyznę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \delta'''\} , otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle C'\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle D'\} ,. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta'\} , i należąca do płaszczyzny Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \alpha\} , prosta Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle c\} ,. Rzut pionowy prostej Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle c''\} , określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle A''\} , i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle B''\} , . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne. Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki.
|
