CWGI Ćwiczenie 3

Ćwiczenia 3. Przekroje i przenikanie wielościanów o brył obrotowych Zadanie 3.1. Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami $ABCDW$. Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu $mkln$. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem. W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni ${\pi }_1$ i ${\pi }_2$ rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią ${\pi }_1$ a rzutnią ${\pi }_3$. Po obrocie osi $y$ do pokrycia się z osią $x$ wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy $A^{‴},B^{‴},C^{‴},D^{‴}$. Podobnie czynimy z wierzchołkiem $W$. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka $W^{‴}$. Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup $mkln$, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi $y$ po obrocie. Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio $x$ i $y$. Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },5^{\prime }$. Rzut krawędzi graniastosłupa $k^{\prime }$, będzie pokrywał się z rzutem punku $4^{\prime }$, przebicia tej krawędzi ze ścianą $CDW$, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej $WV$, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek $W$ ostrosłupa. Punkt $6^{\prime }$, będący rzutem punktu przebicia boku $C{B}^{\prime }$ ostrosłupa ze ścianą $k^{\prime }{l}^{\prime }$, będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy $6^{″}$ będzie znajdował się na osi $x$. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania $1^{\prime },2^{\prime },3^{\prime },4^{\prime },5^{\prime },6^{\prime }$ oraz $1^{‴},2^{‴},3^{‴},4^{‴},5^{‴},6^{‴}$. Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji.

---

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę $\alpha$ tworzy również prosta pozioma Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle a\} , oś transformacji $x_{1/3}$ obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej $a^{\prime }$. Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej ${\alpha }^{‴}(axc)$. Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu $P^{‴}{Q}^{‴}$ oraz $R^{‴}{T}^{‴}$, które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów $P^{\prime }$ i $Q^{\prime }$ wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli i równoległym do osi transformacji $x_{1/3}$ w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów $T^{\prime }$ i $R^{\prime }$ wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów $R^{‴}$ i $T^{‴}$ płaszczyznę ${\epsilon }^{‴}$ równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu $r$ wyznaczonym z trzeciego rzutu. Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu $r$ wyznaczymy $T^{\prime }$ i $R^{\prime }$. Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna ${\delta }^{‴}$ dla rzutu poziomego i ${\beta }^{\prime }$ dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny ${\alpha }^{‴}$ przetnie nam płaszczyznę ${\delta }^{‴}$ otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając $C^{\prime }$ i $D^{\prime }$. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna ${\beta }^{\prime }$ i należąca do płaszczyzny $\alpha$ prosta c. Rzut pionowy prostej $c^{″}$ określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności $A^{″}$ i $B^{″}$ . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne. Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki.

---