CWGIĆwiczenie 2

Ćwiczenia 2. Elementy wspólne i przynależne w odwzorowaniach przestrzennych Zadanie2.1. Wyznaczyć krawędź przecięcia się dwu płaszczyzn określonych śladami a i b Krawędź przecięcia się płaszczyzn równoległych do osi x jest prostą również równoległą do osi x. W celu wyznaczenia rzutów krawędzi niezbędne jest przeprowadzenie operacji pozwalających określić usytuowanie tych rzutów względem osi x. W tym celu, oprócz rzutni pionowej i poziomej, wprowadzamy dodatkową rzutnię boczną, prostopadłą do tych dwóch. Wyznaczamy trzecie rzuty płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$. W tym rzucie płaszczyzny przyjmą postać rzutujących, a więc otrzymamy trzecie rzuty śladów płaszczyzn będących jednocześnie ich rzutami. Trzecie rzuty płaszczyzn (ślady płaszczyzn) przecinają się w punkcie $k^{‴}$, który będzie jednocześnie trzecim rzutem krawędzi. Powracając do układu dwóch rzutni, pionowej i poziomej otrzymamy poszukiwane rzuty krawędzi przecięcia się płaszczyzn $k^{\prime }$, $k^{″}$.

---

Zadanie 2.2. Wyznaczyć punkt przebicia prostej m z pasem płaszczyzny zawartym między prostymi $\alpha (a||b)$ Rozwiązując zadanie musimy się zastanowić nad trybem postępowania. W tym przypadku powinniśmy postąpić w sposób następujący: przez prostą m poprowadzić dowolną płaszczyznę $\beta$, najwygodniej rzutująca (pionowo-zutującą,) wyznaczyć krawędź k, przecięcia się płaszczyzny $\beta$ z płaszczyzna $\alpha (a||b)$, punkt, w którym krawędź k przetnie daną prostą m jest poszukiwanym punktem P, przebicia prostej m z płaszczyzną $\alpha$ Jak widać z przedstawionego schematu postępowania punkty należące do krawędzi k będą należały jednocześnie do płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$. Zatem punkt przecięcia się prostej m z krawędzią k będzie punktem wspólnym prostej m i płaszczyzny $\alpha$ (będzie punktem przebicia płaszczyzny $\alpha (a||b)$ przez prostą m - rys. C2.2b). Dla wygody dalszego postępowania poprowadźmy przez prostą m płaszczyznę pionowo-rzutujacą $\beta$. Ponieważ płaszczyzna $\beta$ jest rzutująca, to wszystkie elementy płaskie znajdujące się w tej płaszczyźnie w rzucie pionowym będą leżały na rzucie pionowym płaszczyzny $\beta$ (ślad pionowy płaszczyzny $v_{\beta }$ będzie pokrywał się z rzutem płaszczyzny $\beta$). Zatem rzut pionowy krawędzi $k^{″}$, przecięcia się płaszczyzn $\alpha$ i $\beta$ będzie również pokrywał się z rzutem pionowym płaszczyzny $\beta$. Krawędź k należy również do płaszczyzny $\alpha$, a więc rzut pionowy krawędzi $k^{″}$ przecina proste $a^{″}$ i $b^{″}$, tworzące tą płaszczyznę, odpowiednio w punktach $1^{″}$ i $2^{″}$. Rzuty poziome tych punktów wyznaczymy na rzutach poziomych prostych a i b. Następnie znajdujemy punkt przecięcia się wyznaczonej krawędzi z prostą m. W rzucie pionowym obie proste pokrywają się, więc wyznaczenie tego punktu jest niemożliwe, natomiast w rzucie poziomym bez trudu wyznaczymy rzut poziomy $P^{\prime }$ poszukiwanego punktu przebicia P. Na odnoszącej i rzutach pionowych prostych k i m będzie znajdował się rzut pionowy punktu przebicia $P^{″}$. Do pełnego rozwiązania zadania niezbędne jest ustalenie widoczności prostej m, przy założeniu, że pas między prostymi a i b jest nieprzezroczysty. W tym celu w miejscu przecięcia się rzutów prostej m z prostą należącą do płaszczyzny $\alpha$ ( np. a) obieramy punkty i analizujemy, które z nich mają większą głębokość (dla rzutów pionowych) względnie wysokość (dla rzutów poziomych). Np. analizując punkty: punkt Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle 2''math>, należący do prostej '''''m''''' oraz punkt <math>3''math> należący do prostej '''''b''''', widzimy w rzucie poziomym, że punkt '''''3''''' ma większą głębokość, a więc prosta '''''m''''' w tym punkcie, w rzucie pionowym jest widoczna, prosta '''''b''''' jest niewidoczna, co oznaczamy linią kreskową aż do punktu przebicia <math>P''math>. Analogiczne postępowanie przeprowadzamy dla punktów <math>4'math> i <math>5'math>, należących do prostych '''''a''''' i '''''m'''''. |} <hr width="100%">}