Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 5: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:30, 11 wrz 2023

Zawartość

Kontynuujemy ćwiczenie semantyki naturalnej, dodając pewne konstrukcje do języka TINY. W szczególności rozszerzymy go o deklaracje zmiennych (bloki). Po raz pierwszy roszdzielimy informację przechowywaną w konfiguracji na środowisko określające wiązanie identyfikatorów i stan przechowujący wartości zmiennych. Będzie to przygotowanie do kolejnych zajęć.

Semantyka naturalna pewnej instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,

Ćwiczenie 1

Rozszerzamy język TINY następująco:

$I : : = \dots | 𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2} | 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$

Znaczenie instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}$ jest następujące. Obliczamy wartości wyrażeń $e_{1}$ i $e_{2}$ . Jeśli pierwsza z nich jest mniejsza od lub równa drugiej, podstawiamy pierwszą wartość (wartość wyrażenia $e_{1}$ ) na zmienną $x$ i uruchamiamy $I_{1}$ . Jeśli w $I_{1}$ nie zostanie napotkana instrukcja $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ , kończymy instrukcję $𝐟 𝐨 𝐫$ , i przyracamy wartość zmiennej $x$ sprzed tej instrukcji. Natomiast jeśli w $I_{1}$ zostanie napotkana instrukcja $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ , podstawiamy na $x$ kolejną, o jeden większą wartość, przywracamy wartości wszystkich pozostałych zmiennych sprzed instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ , i ponownie wykonujemy $I_{1}$ . Powtarzamy w ten sposób, aż $I_{1}$ zakończy się nie napotkawszy $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ , albo wartość zmiennej $x$ przekroczy wartość wyrażenia $e_{2}$ obliczoną na początku. W pierwszym przypadku kończymy instrukcję $𝐟 𝐨 𝐫$ , i przyracamy wartość zmiennej $x$ sprzed tej instrukcji. W drugim przywracamy wartości wszystkich zmiennych sprzed instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ , i uruchamiamy $I_{2}$ .

Przykład

Oto przykładowy program:

x := 0; y := 1;
 $𝐟 𝐨 𝐫$ , x := 1  $𝐭 𝐨$ , 5  $𝐭 𝐫 𝐲$ ,
  y := y+1;
   $𝐢 𝐟$ , x <= 4  $𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞$ , z:= x
 $𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 𝐬 𝐤 𝐢 𝐩$

Wartości zmiennych po zakończeniu programu to: $x = 0, y = 2, z = 5$ .

Rozwiązanie

Będziemy posługiwać się jak zwykle tranzycjami postaci:

$I, s ⟶ s^{'} e, s ⟶ n$

Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy nie ma wogóle potrzeby uruchamiania instrukcji wewnętrznej $I_{1}$ , ponieważ wartość wyrażenia $e_{1}$ jest większa od $e_{2}$ :

$\frac{e_{1}, s ⟶ n_{1} e_{2}, s ⟶ n_{2} I_{2}, s ⟶ s^{'}}{𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}} o ile n_{1} > n_{2}$

Po prostu uruchamiamy instrukcję $I_{2}$ w stanie $s$ , ignorując $I_{1}$ .

Kolejny nietrudny przypadek to sytuacja, w której $n_{1} \leq n_{2}$ , a wykonanie instrukcji wewnętrznej $I_{1}$ kończy się sukcesem, tzn. nie następuje wywołanie instrukcji $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ . Oto reguła dla tego przypadku:

$\frac{e_{1}, s ⟶ n_{1} e_{2}, s ⟶ n_{2} I_{1}, s [x \mapsto n_{1}] ⟶ s^{'}}{𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'} [x \mapsto s (x)]} o ile n_{1} \leq n_{2}$

Tym razem uruchamiamy instrukcję $I_{1}$ , podstawiając na zmienną $x$ wartość $n_{1}$ . Zwróćmy uwagę, że po zakończeniu $I_{1}$ przywracamy wartość zmiennej $x$ sprzed jej wykonania.

Pozostał nam trzeci przypadek, gdy $n_{1} \leq n_{2}$ , a wykonanie instrukcji $I_{1}$ zakończyło się wykonaniem instrukcji $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ gdzieś wewnątrz $I_{1}$ . Aby poprawnie opisać takie zdarzenie, potrzebujemy dodatkowych tranzycji postaci:

$I, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$

Mówiąc formalnie, poszerzamy zbiór konfiguracji o jeden element $było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ . Zauważmy, że po prawej stronie tranzycji nie ma wogóle stanu. Nie potrzebujemy go dla opisania semantyki instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,: jeśli wystąpi $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ , powtarzamy $I_{1}$ dla większej o $1$ wartości zmiennej $x$ , ale pozostałym zmiennym przywracamy wartość sprzed $I_{1}$ . A więc załóżmy, że

$I_{1}, s [x \mapsto n_{1}] ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ .

W takiej sytuacji powinniśmy przypisać $n_{1} + 1$ na zmienną $x$ i spróbować ponownie wykonać $I_{1}$ przy wartościach wszystkich pozostałych zmiennych, takich jak na początku instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,. Powtarzamy ten schemat aż do skutku, tzn. aż do mementu, gdy zaistnieje któraś z poprzednich dwóch (prostych) sytuacji. Oto odpowiednia reguła:

$\frac{e_{1}, s ⟶ n_{1} e_{2}, s ⟶ n_{2} I_{1}, s [x \mapsto n_{1}] ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥 𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} + 1 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}}{𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}} o ile n_{1} \leq n_{2}$

Zwróćmy uwagę na pewnien niezwykle istotny szczegół: po zakończeniu wykonania instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} + 1 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}$ otrzymujemy stan $s^{'}$ , w którym nie przywracamy wartości zmiennej $x$ . Gdybyśmy tak zrobili, tzn. gdybyśmy zastąpili $s^{'}$ przez $s^{'} [x \mapsto s (x)]$ , nasze semantyka byłaby niepoprawna. Dlaczego? Dlatego, że nie wiemy tak naprawdę, czy powinniśmy przywracać wartość zmiennej $x$ , czy nie. Jeśli ostatecznie nasza instrukcja $𝐟 𝐨 𝐫$ , zakończyła się przez bezbłędne zakończenie instrukcji $I_{1}$ (przypadek drugi), to powinniśmy to zrobić; ale jeśli zakończyła się wykonaniem instrukcji $I_{2}$ (przypadek pierwszy), powinniśmy pozostawić wartość zmiennej $x$ taką, jaka jest ona po zakończeniu $I_{2}$ . A zatem w powyższej regule dla przypadku trzeciego nie przywracamy wartości zmiennej $x$ ; jeśli było to konieczne, to zostało już wykonane "głębiej", dzięki regule dla przypadku drugiego oraz dzięki temu, że instrukcja $𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} + 1 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}$ wykonywana jest w orginalnym stanie $s$ , a nie w stanie, w którym kończy się $I_{1}$ (tego ostatniego stanu nawet nie znamy).

Jeszcze jeden drobiazg: zamiast $e_{1} + 1$ w $𝐟 𝐨 𝐫 x = e_{1} + 1 𝐭 𝐨 e_{2} 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}$ w regule powyżej, moglibyśmy podstawić policzoną już wartość, czyli $n_{1} + 1$ .

Na zakończenie prezentujemy reguły niebędne do tego, aby wygenerować $było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ :

$𝐟 𝐚 𝐢 𝐥, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$

oraz aby wystąpienie $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ umiejscowione gdzieś "głęboko" zostało rozpropagowane do najbliższej otaczającej instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,. Jeśli pojawił się $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ , powinniśmy zaniechać dalszego wykonania instrukcji, a w przypadku pętli, powinniśmy zaniechać dalszego iterowania tej pętli. Oto odpowiednie reguły:

$\frac{I_{1}, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}{I_{1}; I_{2}, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥} \frac{I_{1}, s ⟶ s^{'} I_{2}, s^{'} ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}{I_{1}; I_{2}, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}$

$\frac{b, s ⟶ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 I_{1}, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}{𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥} i analogicznie gdy b, s ⟶ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞$

$\frac{b, s ⟶ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 I, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}{𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥} \frac{b, s ⟶ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 I, s ⟶ s^{'} 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s^{'} ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}{𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟶ było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥}$

Widać podobieństwo do analogicznych reguł dla pętli $𝐥 𝐨 𝐨 𝐩 I$ , którą zajmowaliśmy się na wcześniejszych zajęciach.

Zauważmy, że jeśli $𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ zostało wykonane poza jakąkolwiek pętlą $𝐟 𝐨 𝐫$ ,, to program "zakończy się" w konfiguracji $było- 𝐟 𝐚 𝐢 𝐥$ . Możemy zatem tę właśnie konfigurację uznać za konfigurację końcową, informującą o porażce wykonania programu.

Semantyka naturalna bloków

Ćwiczenie 2 (bloki i deklaracje zmiennych)

Rozszerz semantykę języka TINY o deklarację zmiennej:

$I : : = \dots | 𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝$

Zasięgiem zmiennej $x$ jest instrukcja $I$ , czyli wnętrze bloku, w którym jest zadeklarowana. Zakładamy zwykłe (statyczne) reguły widoczności, przesłaniania, itp.

Rozwiązanie

Wariant 1 (tylko stan)

Oczywiście powinniśmy odróżniać zmienne zadeklarowane (i zarazem zainicjowane) od tych niezadeklarowanych. Zatem przyjmijmy, że

$𝐒 𝐭 𝐚 𝐭 𝐞 = 𝐕 𝐚 𝐫 \to_{f i n} 𝐍 𝐮 𝐦$ .

Zachowujemy wszystkie reguły semantyczne dla języka Tiny i dodajemy jedną nową:

$\frac{e, s ⟶ n I, s [x \mapsto n] ⟶ s^{'}}{𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ s^{'}}$

mówiącą, że instrukcja wewnętrzna $I$ ewaluowana jest w stanie, w którym dodatkowo zaznaczono wartość zmiennej $x$ równą wartości, do której oblicza się $e$ . Oczywiście takie rozwiązanie jest niepoprawne, gdyż wartość zmiennej $x$ pozostaje w stanie nawet po wyjściu z bloku ("wycieka" z bloku). Musimy dodać "dealokację" zmiennej $x$ :

$\frac{e, s ⟶ n I, s [x \mapsto n] ⟶ s^{'}}{𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ s^{″}} o ile s^{″} = s^{'} [x \mapsto s (x)]$

I znów napotykamy podobne trudności jak na wcześniejszych zajęciach: powyższa reguła nie obejmuje przypadku, gdy $s (x)$ jest nieokreślone. I choć moglibyśmy naprawić ten mankament podobnie jak kiedyś (co pozostawiamy Czytelnikowi), istnieje inne, bardzo eleganckie i elastyczne rozwiązanie tego problemu, które teraz omówimy.

Wariant 2 (stan i środowisko)

Podstawowy pomysł polega na rozdzieleniu informacji przechowywanej dotychczas w stanie, czyli odwzorowania nazw zmiennych w wartości, na dwa "etapy". Pierwszy z nich odwzorowuje identyfikatory zmiennych w lokacje, a drugi lokacje w wartości. Mamy więc środowiska $E \in 𝐄 𝐧 𝐯$ , będące funkcjami częściowymi z $𝐕 𝐚 𝐫$ do $𝐋 𝐨 𝐜$ , zbioru lokacji:

$𝐄 𝐧 𝐯 = 𝐕 𝐚 𝐫 \to_{f i n} 𝐋 𝐨 𝐜$

oraz stany, będące teraz funkcjami częściowymi z $𝐋 𝐨 𝐜$ do $𝐍 𝐮 𝐦$ :

$𝐒 𝐭 𝐨 𝐫 𝐞 = 𝐋 𝐨 𝐜 \to_{f i n} 𝐍 𝐮 𝐦$

Dla ścisłości używamy innej nazwy ( $𝐒 𝐭 𝐨 𝐫 𝐞$ ), ale będziemy zwykle używać podobnych symboli jak dotychczas $s, s^{'}, s_{1}, \dots \in 𝐒 𝐭 𝐨 𝐫 𝐞$ itp. do nazywania stanów. Intuicyjnie można myśleć o lokacjach w pamięci operacyjnej maszyny. Środowisko zawiera informację o lokacji, w której przechowywana jest wartość danej zmiennej a stan opisuje właśnie zawartość używanych lokacji.

Zakładamy przy tym, że mamy do dyspozycji nieskończony zbiór lokacji $𝐋 𝐨 𝐜 = {l_{0}, l_{1}, \dots}$ i że w każdym momencie tylko skończenie wiele spośród nich jest wykorzystywane. Formalnie mowiąc, dziedzina funkcji częściowej $s$ jest zawsze skończona. Daje nam to pewność, że zawsze jest jakaś nieużywana lokacja.

Środowisko początkowe, w którym uruchamiany będzie program, będzie z reguły puste. Ponadto obraz funkcji częściowej $E$ będzie zawsze zawarty w zbiorze aktualnie używanych lokacji, czyli zawarty w dziedzinie funkcji częściowej $s$ , oznaczanej $d o m (s)$ .

Pożytek z tego podziału na dwa etapy będzie taki, że będziemy umieli łatwo i elastycznie opisywać deklaracje zmiennych, przesłanianie identyfikatorów, itp. Tranzycje będą teraz postaci:

$I, s, E ⟶ s^{'}$

czyli instrukcja $I$ będzie modyfikować stan, ale nie będzie zmieniać środowiska $E$ . Dla czytelności będziemy zapisywać nasze reguły w następujący sposób:

$E ⊢ I, s ⟶ s^{'}$

podkreślając w ten sposób, że środowisko nie ulega zmianie. Ale należy pamiętać, że konfiguracja, w której "uruchamiamy" instrukcję $I$ składa się naprawdę z trójki $(I, s, E)$ .

Deklarując nową zmienną $x$ dodamy po prostu do $E$ parę $(x, l)$ , gdzie $l$ jest nową, nieużywaną dotychczas lokacją. Dla wygody zapisu załóżmy, że mamy do dyspozycji funkcję

$n e w l o c : 𝐒 𝐭 𝐨 𝐫 𝐞 \to 𝐋 𝐨 𝐜$

która zwraca jakąś nową, nieużywaną lokację. Formalnie wymagamy, by

$n e w l o c (s) \notin d o m (s)$

Dla ilustracji popatrzmy na przykładową regułę dla deklaracji.

$\frac{E ⊢ e, s ⟶ n E [x \mapsto l] ⊢ I, s [l \mapsto n] ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ s^{'}} gdzie l = n e w l o c (s)$

Zauważmy, że stan $s^{'}$ po zakończeniu instrukcji $𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝$ zawiera informację o zmiennej lokalnej $x$ , tzn. $s (l)$ jest określone. Ale lokacja $l$ jest "nieosiągalna" w środowisku $E$ , gdyż para $x \mapsto l$ została dodana tylko do środowiska, w którym ewaluuje się wnętrze bloku, a środowisko $E$ całego bloku nie jest modyfikowane.

Poniżej przedstawiamy reguły dla pozostałych instrukcji. Przede wszystkim złożenie sekwencyjne:

$\frac{E ⊢ I_{1}, s ⟶ s^{'} E, ⊢ I_{2}, s^{'} ⟶ s^{″}}{E ⊢ I_{1}; I_{2}, s ⟶ s^{″}}$

Reguła ta uzmysławia nam różnicę pomiędzy środowiskiem a stanem: środowisko pozostaje to samo, gdy przechodzimy od jednej instrukcji do następnej, a stan oczywiście ewoluuje wraz ze zmieniającymi się wartościami zmiennych.

Reguły dla przypisania, instrukcji warunkowej i pętli nie przedstawiają żadnych nowych trudności. Musimy tylko najpierw ustalić postać reguł dla wyrażeń:

$E ⊢ e, s ⟶ n$

która jest zupełnie naturalna w naszym podejściu opartym o środowiska i stany. Reguły mogą wyglądać np. tak:

$\frac{E ⊢ e, s ⟶ n}{E ⊢ x : = e, s ⟶ s [x \mapsto n]} E ⊢ 𝐬 𝐤 𝐢 𝐩, s ⟶ s$

$\frac{E ⊢ b, s ⟶ 𝐭 𝐫 𝐮 𝐞 E ⊢ I_{1}, s ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}} \frac{E ⊢ b, s ⟶ 𝐟 𝐚 𝐥 𝐬 𝐞 E ⊢ I_{2}, s ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 I_{1} 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 I_{2}, s ⟶ s^{'}}$

$\frac{E ⊢ 𝐢 𝐟 b 𝐭 𝐡 𝐞 𝐧 (𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I) 𝐞 𝐥 𝐬 𝐞 𝐬 𝐤 𝐢 𝐩, s ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐰 𝐡 𝐢 𝐥 𝐞 b 𝐝 𝐨 I, s ⟶ s^{'}}$

Reguły dla wyrażeń są oczywiste:

$E ⊢ n, s ⟶ n E ⊢ x, s ⟶ n o ile E (x) = l \in 𝐋 𝐨 𝐜 i s (l) = n$

i tak dalej -- pomijamy pozostałe reguły.

Wariant 3 (dealokacja)

Przypomnijmy sobie semantykę bloku

$\frac{E ⊢ e, s ⟶ n E [x \mapsto l] ⊢ I, s [l \mapsto n] ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ s^{'}} gdzie l = n e w l o c (s)$

i zastanówmy się, jak "posprzątać" po zakończeniu wykonania bloku, tzn. zwolnić lokację $l$ , która była używana tylko w tym bloku i w związku z tym nie będzie już potrzebna. Oznaczałoby to przywrócenie lokacji $l$ do puli wolnych (nieużywanych) lokacji.

Zmodyfikowana reguła dla instrukcji bloku powinna wyglądać mniej więcej tak:

$\frac{E ⊢ d, s ⟶ (E^{'}, s^{'}) E^{'} ⊢ I, s^{'} ⟶ s^{″}}{E ⊢ 𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 d; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ \bar{s}}$

gdzie $\bar{s}$ to stan $s^{″}$ "okrojony" do dziedziny stanu $s$ . Powinniśmy po prostu przywrócić nieokreśloność stanu dla lokacji $l$ . Natomiast oczywiście nie ma potrzeby dealokownia środowiska! Oto rozwiązanie:

$\frac{E ⊢ e, s ⟶ n E [x \mapsto l] ⊢ I, s [l \mapsto n] ⟶ s^{'}}{E ⊢ 𝐛 𝐞 𝐠 𝐢 𝐧 𝐯 𝐚 𝐫 x = e; I 𝐞 𝐧 𝐝, s ⟶ s^{'} ∖ {(l, s^{'} (l))}} gdzie l = n e w l o c (s)$

Zadania domowe

Ćwiczenie 1

Napisz semantykę naturalną dla następującego rozszerzenia języka TINY:

$I : : = \dots | 𝐭 𝐡 𝐫 𝐨 𝐰 x | 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐜 𝐚 𝐭 𝐜 𝐡 e x c I_{2}$

$e x c : : = x | 𝐚 𝐧 𝐲$

Instrukcja $𝐭 𝐡 𝐫 𝐨 𝐰 x$ oznacza podniesienie wyjątku o nazwie $x$ . Instrukcja $I = 𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐜 𝐚 𝐭 𝐜 𝐡 e x c I_{2}$ wykonuje $I_{1}$ . Jeśli podczas wykonania $I_{1}$ zostanie podniesiony wyjątek $x$ , i $e x c = x$ albo $e x c = 𝐚 𝐧 𝐲$ , to następuje przerwanie $I_{1}$ i sterowanie zostaje przeniesione do $I_{2}$ (następuje obsługa wyjątku). Jeśli zaś podczas wykonania $I_{1}$ zostanie podniesiony wyjątek $x$ oraz $e x c \neq x$ i $e x c \neq 𝐚 𝐧 𝐲$ , to obsługa wyjątku przekazana jest do najbliższej instrukcji $𝐭 𝐫 𝐲$ , otaczającej $I$ . Umawiamy się, że $𝐭 𝐫 𝐲 I_{1} 𝐜 𝐚 𝐭 𝐜 𝐡 e x c I_{2}$ otacza $I_{1}$ i wszystkie instrukcje wewnątrz $I_{1}$ , ale nie otacza $I_{2}$ .

Ćwiczenie 2

Zaproponuj modyfikację semantyki, w której deklaracja jest wykonywana "równolegle", analogicznie do przypisania równoległego. Przy takiej semantyce kolejność poszczególnych deklaracji powinna być nieistotna.

Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 5: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:30, 11 wrz 2023

Spis treści

Zawartość

Semantyka naturalna pewnej instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,

Semantyka naturalna bloków

Zadania domowe

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-== Semantyka bezpośrednia instrukcji. Konstrukcje interacyjne. ==
-=== Zadanie 1 ===
-Zdefiniuj semantykę denotacyjną następującego języka:
+== Zawartość ==
+Kontynuujemy ćwiczenie semantyki naturalnej, dodając pewne konstrukcje do języka TINY.
+W szczególności rozszerzymy go o deklaracje zmiennych (bloki).
+Po raz pierwszy roszdzielimy informację przechowywaną w konfiguracji na ''środowisko'' określające wiązanie identyfikatorów i ''stan'' przechowujący wartości zmiennych.
+Będzie to przygotowanie do kolejnych zajęć.
+== Semantyka naturalna pewnej instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>, ==
+{{cwiczenie|1|cw1|
+Rozszerzamy język TINY następująco:
 <math>
-n \, ::= \,\, 0 \,\,|\,\, 1 \,\,|\,\, \ldots
+I \, ::= \,\,
+          \ldots \,\,|\,\,
+          \mathbf{for}\, x = e_1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2 \,\,|\,\,
+          \mathbf{fail}
 </math>
+Znaczenie instrukcji <math>\mathbf{for}\, x = e_1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2</math> jest następujące.
+Obliczamy wartości wyrażeń <math>e_1</math> i <math>e_2</math>. Jeśli pierwsza z nich jest mniejsza od lub równa drugiej, podstawiamy pierwszą wartość (wartość wyrażenia <math>e_1</math>) na zmienną <math>x</math> i uruchamiamy <math>I_1</math>.
+Jeśli w <math>I_1</math> nie zostanie napotkana instrukcja <math>\mathbf{fail}</math>, kończymy instrukcję <math>\mathbf{for}\ </math>, i przyracamy wartość zmiennej <math>x</math>
+sprzed tej instrukcji.
+Natomiast jeśli w <math>I_1</math> zostanie napotkana instrukcja <math>\mathbf{fail}</math>, podstawiamy na <math>x</math> kolejną, o jeden większą wartość, przywracamy wartości wszystkich
+pozostałych zmiennych sprzed instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>, i ponownie wykonujemy <math>I_1</math>.
+Powtarzamy w ten sposób, aż <math>I_1</math> zakończy się nie napotkawszy <math>\mathbf{fail}</math>, albo wartość zmiennej <math>x</math> przekroczy wartość wyrażenia <math>e_2</math> obliczoną na początku.
+W pierwszym przypadku kończymy instrukcję <math>\mathbf{for}\ </math>, i przyracamy wartość zmiennej <math>x</math> sprzed tej instrukcji.
+W drugim przywracamy wartości wszystkich zmiennych sprzed instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>, i uruchamiamy <math>I_2</math>.
+}}
+{{przyklad|||
+Oto przykładowy program:
+}}
+ x := 0; y := 1;
+ <math>\mathbf{for}\ </math>, x := 1 <math>\,\mathbf{to}\ </math>, 5 <math>\,\mathbf{try}\ </math>,
+   y := y+1;
+   <math>\mathbf{if}\ </math>, x <= 4 <math>\,\mathbf{then}\, \mathbf{fail} \,\mathbf{else}\ </math>, z:= x
+ <math>\,\mathbf{else}\, \mathbf{skip}</math>
+Wartości zmiennych po zakończeniu programu to: <math>x = 0, y = 2, z = 5</math>.
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
+<span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span>
+<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
+Będziemy posługiwać się jak zwykle tranzycjami postaci:
 <math>
-x \, ::= \,\, \ldots \, (identyfikatory) \, \ldots
+I, s \,\longrightarrow\, s' \quad \quad \quad e, s \,\longrightarrow\, n</math>
+Zacznijmy od najprostszego przypadku, gdy nie ma wogóle potrzeby uruchamiania instrukcji wewnętrznej <math>I_1</math>, ponieważ wartość wyrażenia <math>e_1</math> jest większa od <math>e_2</math>:
+<math>
+\frac{e_1, s \,\longrightarrow\, n_1
+      \quad \quad
+      e_2, s \,\longrightarrow\, n_2
+      \quad \quad
+      I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+     {\mathbf{for}\, x = e_1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+\quad \mbox{ o ile } n_1 > n_2</math>
+Po prostu uruchamiamy instrukcję <math>I_2</math> w stanie <math>s</math>, ignorując <math>I_1</math>.
+Kolejny nietrudny przypadek to sytuacja, w której <math>n_1 \leq n_2</math>, a wykonanie instrukcji wewnętrznej <math>I_1</math> kończy się sukcesem, tzn. nie następuje wywołanie instrukcji <math>\mathbf{fail}</math>.
+Oto reguła dla tego przypadku:
+<math>
+\frac{e_1, s \,\longrightarrow\, n_1
+      \quad \quad
+      e_2, s \,\longrightarrow\, n_2
+      \quad \quad
+      I_1, s[x \mapsto n_1]  \,\longrightarrow\, s'}
+     {\mathbf{for}\, x = e_1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'[x \mapsto s(x)]}
+\quad \mbox{ o ile } n_1 \leq n_2</math>
+Tym razem uruchamiamy instrukcję <math>I_1</math>, podstawiając na zmienną <math>x</math> wartość <math>n_1</math>.
+Zwróćmy uwagę, że po zakończeniu <math>I_1</math> przywracamy wartość zmiennej <math>x</math> sprzed jej wykonania.
+Pozostał nam trzeci przypadek, gdy <math>n_1 \leq n_2</math>, a wykonanie instrukcji <math>I_1</math> zakończyło się wykonaniem instrukcji <math>\mathbf{fail}</math> gdzieś wewnątrz <math>I_1</math>.
+Aby poprawnie opisać takie zdarzenie, potrzebujemy dodatkowych tranzycji postaci:
+<math>
+I, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}</math>
+Mówiąc formalnie, poszerzamy zbiór konfiguracji o jeden element <math>\mbox{było-}\mathbf{fail}</math>.
+Zauważmy, że po prawej stronie tranzycji nie ma wogóle stanu.
+Nie potrzebujemy go dla opisania semantyki instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>,: jeśli wystąpi <math>\mathbf{fail}</math>, powtarzamy <math>I_1</math> dla większej o <math>1</math> wartości zmiennej <math>x</math>, ale pozostałym zmiennym przywracamy wartość ''sprzed'' <math>I_1</math>.
+A więc załóżmy, że
+<math>I_1, s[x \mapsto n_1] \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}</math>.
+W takiej sytuacji powinniśmy przypisać <math>n_1 + 1</math> na zmienną <math>x</math> i spróbować ponownie wykonać <math>I_1</math> przy wartościach wszystkich pozostałych zmiennych, takich jak na początku instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>,.
+Powtarzamy ten schemat aż do skutku, tzn. aż do mementu, gdy zaistnieje któraś z poprzednich dwóch (prostych) sytuacji.
+Oto odpowiednia reguła:
+<math>
+\frac{e_1, s \,\longrightarrow\, n_1
+      \quad
+      e_2, s \,\longrightarrow\, n_2
+      \quad
+      I_1, s[x \mapsto n_1]  \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}
+      \quad
+      \mathbf{for}\, x = e_1 + 1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+     {\mathbf{for}\, x = e_1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+\quad \mbox{ o ile } n_1 \leq n_2</math>
+Zwróćmy uwagę na pewnien niezwykle istotny szczegół: po zakończeniu wykonania instrukcji <math>\mathbf{for}\, x = e_1 + 1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2</math> otrzymujemy stan <math>s'</math>, w którym '''nie przywracamy''' wartości zmiennej <math>x</math>.
+Gdybyśmy tak zrobili, tzn. gdybyśmy zastąpili <math>s'</math> przez <math>s'[x \mapsto s(x)]</math>, nasze semantyka byłaby niepoprawna.
+Dlaczego? Dlatego, że nie wiemy tak naprawdę, czy powinniśmy przywracać wartość zmiennej <math>x</math>, czy nie.
+Jeśli ostatecznie nasza instrukcja <math>\mathbf{for}\ </math>, zakończyła się przez bezbłędne zakończenie instrukcji <math>I_1</math> (przypadek drugi), to powinniśmy to zrobić; ale jeśli zakończyła się wykonaniem instrukcji <math>I_2</math> (przypadek pierwszy), powinniśmy pozostawić wartość zmiennej <math>x</math> taką, jaka jest ona po zakończeniu <math>I_2</math>.
+A zatem w powyższej regule dla przypadku trzeciego nie przywracamy wartości zmiennej <math>x</math>; jeśli było to konieczne, to zostało już wykonane "głębiej", dzięki regule dla przypadku drugiego oraz dzięki temu, że instrukcja <math>\mathbf{for}\, x = e_1 + 1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2</math> wykonywana jest w orginalnym stanie <math>s</math>, a nie w stanie, w którym kończy się <math>I_1</math> (tego ostatniego stanu nawet nie znamy).
+Jeszcze jeden drobiazg: zamiast <math>e_1 {+} 1</math> w <math>\mathbf{for}\, x = e_1 + 1 \,\mathbf{to}\, e_2 \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'</math> w regule powyżej, moglibyśmy podstawić policzoną już wartość, czyli <math>n_1 {+} 1</math>.
+Na zakończenie prezentujemy reguły niebędne do tego, aby wygenerować <math>\mbox{było-}\mathbf{fail}</math>:
+<math>
+\mathbf{fail}, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}
 </math>
+oraz aby wystąpienie <math>\mathbf{fail}</math> umiejscowione gdzieś "głęboko" zostało rozpropagowane do najbliższej otaczającej instrukcji <math>\mathbf{for}\ </math>,.
+Jeśli pojawił się <math>\mathbf{fail}</math>, powinniśmy zaniechać dalszego wykonania instrukcji, a w przypadku pętli, powinniśmy zaniechać dalszego iterowania tej pętli.
+Oto odpowiednie reguły:
 <math>
-e \,  ::=  \,\,
+\frac{I_1, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-        n   \,\,|\,\,
+     {I_1;\, I_2, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-        x   \,\,|\,\,
+\quad \quad
-        e_1 + e_2   \,\,|\,\,
+\frac{I_1, s \,\longrightarrow\, s' \quad \quad I_2, s' \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
+     {I_1;\, I_2, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
 </math>
 <math>
-b \,  ::=  \,\,
+\frac{b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{true} \quad \quad I_1, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-        e_1 = e_2   \,\,|\,\,
+     {\mathbf{if}\, b \,\mathbf{then}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-        \mathbf{not}\, b    \,\,|\,\,
+\quad \quad
-        b_1\, \mathbf{or}\, b_2   \,\,|\,\,
+\mbox{ i analogicznie gdy } b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{false}
 </math>
 <math>
-i \, ::= \,\,
+\frac{b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{true} \quad \quad I, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-         x := e     \,\,|\,\,
+     {\mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, I, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-         i_1; i_2   \,\,|\,\,
+\quad \quad
-         \mathbf{if}\, b \,\mathbf{then}\, i_1 \,\mathbf{else}\, i_2 \,\,|\,\,
+\frac{b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{true} \quad \quad I, s \,\longrightarrow\, s' \quad \quad
-         \mathbf{skip} \,\,|\,\,
+      \mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, I, s' \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-         \mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, i \,\,|\,\,
+     {\mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, I, s \,\longrightarrow\, \mbox{było-}\mathbf{fail}}
-         \mathbf{repeat}\, i \,\mathbf{until}\, b \,\,|\,\,
 </math>
-Pętla <math> \mathbf{repeat}\, i \,\mathbf{until}\, b </math> polega na wykonaniu instrukcji ''i'', a następnie wyliczeniu warunku logicznego ''b''. Jeśli warunek jest prawdziwy wykonanie pętli kończy się, w przeciwnym razie powracamy do wykonania instrukcji ''i''.
+Widać podobieństwo do analogicznych reguł dla pętli <math>\mathbf{loop}\, I</math>, którą zajmowaliśmy się na wcześniejszych zajęciach.
-=== Zadanie 2 ===
+Zauważmy, że jeśli <math>\mathbf{fail}</math> zostało wykonane poza jakąkolwiek pętlą <math>\mathbf{for}\ </math>,, to program "zakończy się" w konfiguracji <math>\mbox{było-}\mathbf{fail}</math>.
-Rozszerzmy język z poprzedniego zadania o instrukcję:
+Możemy zatem tę właśnie konfigurację uznać za konfigurację końcową, informującą o porażce wykonania programu.
+</div></div>
+== Semantyka naturalna bloków ==
+{{cwiczenie|2 (bloki i deklaracje zmiennych)|cw2|
+Rozszerz semantykę języka TINY o deklarację zmiennej:
 <math>
-i \, ::= \mathbf{for}\, x\, :=\, e_1\, \mathbf{to}\, e_2\, \mathbf{do}\, i
+I \, ::= \,\,
+      \ldots  \,\,|\,\,
+     \mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x = e;\, I \,\mathbf{end}
 </math>
-Wykonanie takiej pętli polega na:
+Zasięgiem zmiennej <math>x</math> jest instrukcja <math>I</math>, czyli wnętrze bloku, w którym jest zadeklarowana.
-# Wyliczeniu wartości <math>n</math> wyrażenia <math>e_1</math>.
+Zakładamy zwykłe (statyczne) reguły widoczności, przesłaniania, itp.
-# Przypisaniu wartości <math>n</math> na zmienną <math>x</math>.
+}}
-# Wyliczeniu wartości <math>m</math> wyrażenia <math>e_2</math>.
-# Jeśli <math>x > m</math>, to pętla kończy się.
-# W przeciwnym razie:
+<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
-#* Wykonujemy instrukcję <math> i </math>.
+<span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span>
-#* Zwiększamy zmienną <math>x</math> o 1.
+<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-#* Powracamy do punktu 3.
-Zauważmy, że wyrażenie <math>e_1</math> jest tu wyliczane tylko raz, ale <math>e_2</math> oblicza się przy każdym obrocie pętli.
+'''Wariant 1 (tylko stan)'''
+<br>
+Oczywiście powinniśmy odróżniać zmienne zadeklarowane (i zarazem zainicjowane) od tych niezadeklarowanych.
+Zatem przyjmijmy, że
-=== Zadanie 3 ===
+<math>\mathbf{State} = \mathbf{Var} \to_{\mathrm{fin}} \mathbf{Num}</math>.
-Zmieńmy semantykę instrukcji for z poprzedniego zadania tak, aby
-oba wyrażenia obliczały się tylko raz. Tym razem wyliczenie pętli polega na:
-# Wyliczeniu wartości <math>n</math> wyrażenia <math>e_1</math>.
-# Przypisaniu wartości <math>n</math> na zmienną <math>x</math>.
-# Wyliczeniu wartości <math>m</math> wyrażenia <math>e_2</math>.
-# Jeśli <math>x > m</math>, to pętla kończy się.
-# W przeciwnym razie:
-#* Wykonujemy instrukcję <math>i</math>.
-#* Zwiększamy zmienną <math>x</math> o 1.
-#* Powracamy do punktu 4.
-=== Zadanie 4 ===
+Zachowujemy wszystkie reguły semantyczne dla języka Tiny i dodajemy jedną nową:
-O pętli for można jednak myśleć jeszcze inaczej. Można wymagać, aby wszelkie zmiany wartości zmiennej sterującej <math>x</math> wewnątrz wykonania pętli nie miały wpływu na liczbę iteracji tej pętli. Przykładowo przy semantyce z poprzedniego zadania pętla:
- '''for''' x := 1 '''to''' 10 '''do'''
-   x := x + 1;
-   y := y + x;
-wykonuje się pięć razy, a zmienna y jest zwiększana łącznie o 2+4+6+8+10. Jeśli uznamy, że zmiany zmiennej x wewnątrz pętli nie wpływają na liczbę iteracji, to pętla wykona się 10 razy, a zmienna y zostanie zwiększona o 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11. Zdefiniuj taką semantykę.
-=== Zadanie 5 ===
-W języku C pętla '''for''' ma następującą postać:
 <math>
-i \, ::= \mathbf{for}\, (i_1;\, b;\, i_2)\, i_3
+\frac{e, s \,\longrightarrow\, n \quad \quad I, s[x \mapsto n] \,\longrightarrow\, s'}
+     {\mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x = e;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, s'}
 </math>
-Jej wykonanie polega na:
+mówiącą, że instrukcja wewnętrzna <math>I</math> ewaluowana jest w stanie, w którym dodatkowo zaznaczono wartość zmiennej <math>x</math> równą wartości, do której oblicza się <math>e</math>.
-# Wykonaniu instrukcji <math>i_1</math>.
+Oczywiście takie rozwiązanie jest niepoprawne, gdyż wartość zmiennej <math>x</math> pozostaje w stanie nawet po wyjściu z bloku ("wycieka" z bloku).
-# Wyliczeniu wartości wyrażenia <math>b</math>.
+Musimy dodać "dealokację" zmiennej <math>x</math>:
-# Jeśli wyrażenie wylicza się do fałszu, to pętla kończy się.
-# W przeciwnym razie:
+<math>
-#* Wykonujemy instrukcję <math> i_3 </math>.
+\frac{e, s \,\longrightarrow\, n \quad \quad I, s[x \mapsto n] \,\longrightarrow\, s'}
-#* Wykonujemy instrukcję <math> i_2 </math>.
+     {\mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x = e;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, s''}
-#* Powracamy do punktu 2.
+\quad \mbox{ o ile } s'' = s'[x \mapsto s(x)]
+</math>
+I znów napotykamy podobne trudności jak na wcześniejszych zajęciach: powyższa reguła nie obejmuje przypadku, gdy <math>s(x)</math> jest nieokreślone.
+I choć moglibyśmy naprawić ten mankament podobnie jak kiedyś (co pozostawiamy Czytelnikowi), istnieje inne, bardzo eleganckie i elastyczne rozwiązanie tego problemu, które teraz omówimy.
+<br>
+'''Wariant 2 (stan i środowisko)'''
+<br>
+Podstawowy pomysł polega na rozdzieleniu informacji przechowywanej dotychczas w stanie, czyli odwzorowania nazw zmiennych w wartości, na dwa "etapy".
+Pierwszy z nich odwzorowuje identyfikatory zmiennych w ''lokacje'', a drugi lokacje w wartości.
+Mamy więc ''środowiska'' <math>E \in \mathbf{Env}</math>, będące funkcjami częściowymi z <math>\mathbf{Var}</math> do <math>\mathbf{Loc}</math>, zbioru lokacji:
+<math>
+\mathbf{Env} = \mathbf{Var} \to_{\mathrm{fin}} \mathbf{Loc}
+</math>
+oraz stany, będące teraz funkcjami częściowymi z <math>\mathbf{Loc}</math> do <math>\mathbf{Num}</math>:
+<math>
+\mathbf{Store} = \mathbf{Loc} \to_{\mathrm{fin}} \mathbf{Num}</math>
+Dla ścisłości używamy innej nazwy (<math>\mathbf{Store}</math>), ale będziemy zwykle używać podobnych symboli jak dotychczas <math>s, s', s_1, \ldots \in \mathbf{Store}</math> itp. do nazywania stanów.
+Intuicyjnie można myśleć o lokacjach w pamięci operacyjnej maszyny. Środowisko zawiera informację o lokacji, w której
+przechowywana jest wartość danej zmiennej a stan opisuje właśnie zawartość używanych lokacji.
+Zakładamy przy tym, że mamy do dyspozycji nieskończony zbiór lokacji <math>\mathbf{Loc} = \{ l_0, l_1, \ldots \}</math> i że w każdym momencie tylko skończenie wiele spośród nich jest wykorzystywane.
+Formalnie mowiąc, dziedzina funkcji częściowej <math>s</math> jest zawsze skończona.
+Daje nam to pewność, że zawsze jest jakaś nieużywana lokacja.
+Środowisko początkowe, w którym uruchamiany będzie program, będzie z reguły puste.
+Ponadto obraz funkcji częściowej <math>E</math> będzie zawsze zawarty w zbiorze aktualnie używanych lokacji, czyli zawarty w dziedzinie funkcji częściowej <math>s</math>, oznaczanej <math>\mathrm{dom}(s)</math>.
+Pożytek z tego podziału na dwa etapy będzie taki, że będziemy umieli łatwo i elastycznie opisywać deklaracje zmiennych, przesłanianie identyfikatorów, itp.
+Tranzycje będą teraz postaci:
+<math>
+I, s, E \,\longrightarrow\, s'
+</math>
+czyli instrukcja <math>I</math> będzie modyfikować stan, ale nie będzie zmieniać środowiska <math>E</math>. Dla czytelności będziemy zapisywać nasze reguły w następujący sposób:
+<math>
+E \,\vdash\, I, s \,\longrightarrow\, s'
+</math>
+podkreślając w ten sposób, że środowisko nie ulega zmianie.
+Ale należy pamiętać, że konfiguracja, w której "uruchamiamy" instrukcję <math>I</math> składa się naprawdę z trójki <math>(I, s, E)</math>.
+Deklarując nową zmienną <math>x</math> dodamy po prostu do <math>E</math> parę <math>(x, l)</math>, gdzie <math>l</math> jest nową, nieużywaną dotychczas lokacją.
+Dla wygody zapisu załóżmy, że mamy do dyspozycji funkcję
+<math>
+\mathtt{newloc} : \mathbf{Store} \to \mathbf{Loc}
+</math>
+która zwraca jakąś nową, nieużywaną lokację. Formalnie wymagamy, by
+<math>
+\mathtt{newloc}(s) \notin \mathrm{dom}(s)</math>
+Dla ilustracji popatrzmy na przykładową regułę dla deklaracji.
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, e, s \,\longrightarrow\, n \quad \quad
+      E[x \mapsto l] \,\vdash\, I, s[l \mapsto n] \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x=e;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, s'}
+\quad \mbox{ gdzie } l = \mathtt{newloc}(s)</math>
+Zauważmy, że stan <math>s'</math> po zakończeniu instrukcji <math>\mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x=e;\, I \,\mathbf{end}</math> zawiera informację o zmiennej lokalnej <math>x</math>, tzn. <math>s(l)</math> jest określone.
+Ale lokacja <math>l</math> jest "nieosiągalna" w środowisku <math>E</math>, gdyż para <math>x \mapsto l</math> została dodana tylko do środowiska, w którym ewaluuje się wnętrze bloku, a środowisko <math>E</math> całego bloku nie jest modyfikowane.
+Poniżej przedstawiamy reguły dla pozostałych instrukcji.
+Przede wszystkim złożenie sekwencyjne:
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, I_1, s \,\longrightarrow\, s'
+      \quad \quad
+      E, \,\vdash\, I_2, s' \,\longrightarrow\, s''}
+     {E \,\vdash\, I_1;\, I_2, s \,\longrightarrow\, s''}
+</math>
+Reguła ta  uzmysławia nam różnicę pomiędzy środowiskiem a stanem: środowisko pozostaje to samo, gdy przechodzimy od jednej instrukcji do następnej, a stan oczywiście ewoluuje wraz ze zmieniającymi się wartościami zmiennych.
+Reguły dla przypisania, instrukcji warunkowej i pętli nie przedstawiają żadnych nowych trudności.
+Musimy tylko najpierw ustalić postać reguł dla wyrażeń:
+<math>
+E \,\vdash\, e, s \,\longrightarrow\, n
+</math>
+która jest zupełnie naturalna w naszym podejściu opartym o środowiska i stany.
+Reguły mogą wyglądać np. tak:
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, e, s \,\longrightarrow\, n}
+     {E \,\vdash\, x := e, s \,\longrightarrow\, s[x \mapsto n]}
+\quad \quad
+E \,\vdash\, \mathbf{skip}, s \,\longrightarrow\, s
+</math>
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{true}
+      \quad \quad
+      E \,\vdash\, I_1, s \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{if}\, b \,\mathbf{then}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+\quad \quad
+\frac{E \,\vdash\, b, s \,\longrightarrow\, \mathbf{false}
+      \quad \quad
+      E \,\vdash\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{if}\, b \,\mathbf{then}\, I_1 \,\mathbf{else}\, I_2, s \,\longrightarrow\, s'}
+</math>
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, \mathbf{if}\, b \,\mathbf{then}\, (\mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, I) \,\mathbf{else}\, \mathbf{skip}, s \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{while}\, b \,\mathbf{do}\, I, s \,\longrightarrow\, s'}
+</math>
+Reguły dla wyrażeń są oczywiste:
+<math>
+E \,\vdash\, n, s \,\longrightarrow\, n
+\quad \quad
+E \,\vdash\, x, s \,\longrightarrow\, n
+\quad \mbox{ o ile } E(x)=l \in \mathbf{Loc} \mbox{ i } s(l) = n
+</math>
+i tak dalej -- pomijamy pozostałe reguły.
+<br>
+'''Wariant 3 (dealokacja)'''
+<br>
+Przypomnijmy sobie semantykę bloku
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, e, s \,\longrightarrow\, n \quad \quad
+      E[x \mapsto l] \,\vdash\, I, s[l \mapsto n] \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x=e;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, s'}
+\quad \mbox{ gdzie } l = \mathtt{newloc}(s)
+</math>
+i zastanówmy się, jak "posprzątać" po zakończeniu wykonania bloku, tzn. zwolnić lokację <math>l</math>, która była używana tylko w tym bloku i w związku z tym nie będzie już potrzebna.
+Oznaczałoby to przywrócenie lokacji <math>l</math> do puli wolnych (nieużywanych) lokacji.
+Zmodyfikowana reguła dla instrukcji bloku powinna wyglądać mniej więcej tak:
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, d, s \,\longrightarrow\, (E', s')
+      \quad \quad
+     E' \,\vdash\, I, s' \,\longrightarrow\, s''}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{begin}\, d;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, \bar{s}}
+</math>
+gdzie <math>\bar{s}</math> to stan <math>s''</math> "okrojony" do dziedziny stanu <math>s</math>.
+Powinniśmy po prostu przywrócić nieokreśloność stanu dla lokacji <math>l</math>.
+Natomiast oczywiście nie ma potrzeby dealokownia środowiska!
+Oto rozwiązanie:
+<math>
+\frac{E \,\vdash\, e, s \,\longrightarrow\, n \quad \quad
+      E[x \mapsto l] \,\vdash\, I, s[l \mapsto n] \,\longrightarrow\, s'}
+     {E \,\vdash\, \mathbf{begin}\, \mathbf{var}\, x=e;\, I \,\mathbf{end}, s \,\longrightarrow\, s' \setminus \{ (l, s'(l)) \}}
+\quad \mbox{ gdzie } l = \mathtt{newloc}(s)</math>
+</div></div>
+== Zadania domowe ==
+{{cwiczenie|1|cw1.dom|
+Napisz semantykę naturalną dla następującego rozszerzenia języka TINY:
+<math>
+I \, ::= \,\,
+      \ldots \,\,|\,\,
+       \mathbf{throw}\, x \,\,|\,\,
+       \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{catch}\, exc\, I_2
+</math>
+<math>
+exc \, ::= \,\,
+       x \,\,|\,\,
+       \mathbf{any}
+</math>
+Instrukcja <math>\mathbf{throw}\, x</math> oznacza podniesienie wyjątku o nazwie <math>x</math>.
+Instrukcja <math>I = \,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{catch}\, exc\, I_2</math> wykonuje <math>I_1</math>.
+Jeśli podczas wykonania <math>I_1</math> zostanie podniesiony wyjątek <math>x</math>, i <math>exc = x</math> albo <math>exc = \mathbf{any}</math>, to następuje przerwanie <math>I_1</math> i sterowanie zostaje przeniesione do <math>I_2</math> (następuje ''obsługa wyjątku'').
+Jeśli zaś podczas wykonania <math>I_1</math> zostanie podniesiony wyjątek <math>x</math> oraz <math>exc \neq x</math> i <math>exc \neq \mathbf{any}</math>, to obsługa wyjątku przekazana jest do najbliższej instrukcji <math>\,\mathbf{try}\ </math>, otaczającej <math>I</math>.
+Umawiamy się, że <math>\,\mathbf{try}\, I_1 \,\mathbf{catch}\, exc\, I_2</math> ''otacza'' <math>I_1</math> i wszystkie instrukcje wewnątrz <math>I_1</math>, ale ''nie'' otacza <math>I_2</math>.
+}}
+{{cwiczenie|2|cw2.dom|
+Zaproponuj modyfikację semantyki, w której deklaracja jest wykonywana "równolegle", analogicznie do przypisania równoległego.
+Przy takiej semantyce kolejność poszczególnych deklaracji powinna być nieistotna.
+}}

Semantyka i weryfikacja programów/Ćwiczenia 5: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:30, 11 wrz 2023

Zawartość

Semantyka naturalna pewnej instrukcji 𝐟𝐨𝐫 ,

Semantyka naturalna bloków

Zadania domowe

Menu nawigacyjne

Szukaj

Semantyka naturalna pewnej instrukcji $𝐟 𝐨 𝐫$ ,