Test Arka: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Arek (dyskusja | edycje)
687 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
 
(Nie pokazano 31 wersji utworzonych przez 3 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
==Problemy ze wzorami na osiłku==
<quiz type="exclusive">
<math>M</math> <math>M'</math> <math>M' </math>
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<math>{\large a^{\sum_{i=1}^{10}i}}</math>
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>
==Testy==


[[Konwersja Arka]]
<quiz type="exclusive">
[[Konwersja Arka 2]]
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
[[Konwersja Arka 3]]
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<hr>
<quiz type="exclusive">
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>
<quiz>
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>


{}
<quiz>
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


{}
<quiz type="exclusive">
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


==Ciągi liczbowe. Ćwiczenia==


{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
<div style="background-color: #bbbbbb; padding: 2em; border: 1px solid black">
Dlaczego suma <math>\sum_{i=1}^{10}i</math> jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?


Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
<math>z^{\sum_{i=1}^{10}i}</math>
'''(1)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}</math><br>
'''(2)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}</math><br>
'''(3)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{-n+1}{n^2+2}.</math>
}}


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)''' Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
'''(2)''' Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.<br>
'''(3)''' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
Sposób II.
Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
{}<math>\Box</math></div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
</div>
'''(1)'''
Dzielimy licznik i mianownik przez <math>n^2</math> i dostajemy:


<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2n^2+1}{3n^2-1}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}
\frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
\ =\
\frac{2}{3},
</math></center>


przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o
<div id="content">
arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]])
<div id="navcontainer">
oraz fakt, że
<ul id="navlist">
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{n^2}=0</math>
<div><a href="index.xml" class="withChild">Start</a></div>
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]] i Twierdzenie
[[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]]).<br>
<br>
'''(2)'''
Zauważmy, że


<center><math>
<div id="active" class="withoutChild">Zadanie 1.</div>
\begin{array} {ccccc}
<div><a href="zadanie_2.xml" class="withoutChild">Zadanie 2.</a></div>
\displaystyle\frac{2n^2}{n\sqrt{n}}    & \le & \displaystyle\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\
<div><a href="zadanie_3.xml" class="withoutChild">Zadanie 3.</a></div>
\shortparallel                          &    &                          \\
<div><a href="zadanie_4.xml" class="withoutChild">Zadanie 4.</a></div>
\displaystyle 2\sqrt{n}                &    &                          \\
<div><a href="zadanie_5.xml" class="withoutChild">Zadanie 5.</a></div>
\downarrow                              &    &                          \\
<div><a href="zadanie_6.xml" class="withoutChild">Zadanie 6.</a></div>
+\infty                                &    &
\end{array}
</math></center>


(przy czym ostatnią zbieżność <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty</math>
</ul>
łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej).
</div>
Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach
<div id="main">
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.120|Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|]](a))
<div id="nodeDecoration">
wnioskujemy, że
<p id="nodeTitle">Zadanie 1.</p>
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\infty</math><br>
</div>
'''(3)'''
<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script
'''Sposób I.'''
type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>
Zauważmy, że
<div class="iDevice emphasis1"><img alt="Ikona obiektu Pytanie"
class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> <span
class="iDeviceTitle">Zadanie 1,</span><br />
<div class="iDevice_inner">
Liczba <math><msqrt><mrow><mn>3</mn>


<center><math>
<mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
\begin{array} {ccccc}
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn>
\displaystyle -\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
<mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
\shortparallel              &    &                                &    & \downarrow\\
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt></math> &nbsp;&nbsp;
\displaystyle -\frac{1}{n}  &     &                                &    & 0\\
<table>
\downarrow                  &    &                                &     & \\
<tbody>
0                            &    &                                &    & \\
\end{array}
</math></center>


Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy,
<tr>
że
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math><br>
value="vTrue"
'''Sposób II.'''
onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
Dzieląc licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
<td>jest dodatnia</td>
oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
<td>
<div id="sa0b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
</td>
</tr>
<tr>


<center><math>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{-n+1}{n^2+2}
value="vTrue"
\ =\
onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\rightarrow 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\rightarrow 0}}
<td>jest wymierna</td>
\ =\
<td>
0.
<div id="sa1b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
</math></center>
</td>
</tr>
<tr>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"
value="vFalse"
onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>


{}<math>\Box</math></div></div>
<td>nale&raquo;y do tr&oacute;jkowego zbioru Cantora.</td>
<td>
<div id="sa2b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Źle</div>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>


{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
</div>
 
</div>
Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
<div class="noprt" align="right"><a href="index.xml">&laquo;
'''(1)'''
previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next &raquo;</a></div>
<math>\displaystyle
</div>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}</math><br>
</div>
'''(2)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.</math>
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)''' Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2.</math><br>
'''(2)''' Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
 
<center><math>
\binom{n+2}{n}
\ =\
\frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!}
\ =\
\frac{(n+1)(n+2)}{2}
</math></center>
 
Zatem liczymy:
 
<center><math>\aligned
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}
& = &
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\
& = &
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2}
+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0}
+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^2}}_{=0}
\ =\
\frac{1}{2}.
\endaligned</math></center>
 
'''(2)'''
Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
 
<center><math>
\binom{n+3}{n}
\ =\
\frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!}
\ =\
\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
</math></center>
 
Zatem liczymy:
 
<center><math>\aligned
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}
& = &
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\
& = &
\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{6}
+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n}}_{=0}
+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0}
+\underbrace{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n^3}}_{=0}
\ =\
\frac{1}{6}.
\endaligned</math></center>
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
'''(1)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}</math><br>
'''(2)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}</math><br>
'''(3)'''
<math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.</math>
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)''' Wykonać dzielenie <math>6^n.</math><br>
'''(2)''' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
Sposób II.
Podzielić licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
'''(3)''' Wykorzystać wzór na sumę skończonego
ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]).
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Wykonując dzielenie przez <math>6^n</math> dostajemy:
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n
+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 2
\ =\
2,
</math></center>
 
gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.220|Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|]]).<br>
<br>
'''(2)'''
'''Sposób I.'''
Zauważmy, że
 
<center><math>
\begin{array} {ccccc}
\displaystyle 0 & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
\downarrow      &    &                                          &    & \shortparallel\\
\displaystyle 0 &    &                                          &    & \displaystyle 2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\
&    &                                          &    & \downarrow\\
&    &                                          &    & 0\\
\end{array}
</math></center>
 
gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego.
Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy,
że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math><br>
<br>
'''Sposób II.'''
Dzieląc licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n}
\ =\
0.
</math></center>
 
'''(3)'''
Korzystając ze wzoru na sumę skończonego
ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]), mamy
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}}
\ =\
\frac{9}{8}\cdot
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\rightarrow 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\rightarrow 0}}
\ =\
\frac{9}{8}\cdot 1
\ =\
\frac{9}{8}.
</math></center>
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
Niech
<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>  będzie ciągiem liczbowym takim, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
Udowodnić, że
jeśli <math>g\ne 0</math> oraz
<math>x_n\ne 0</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N},</math> to ciąg
<math>\displaystyle\big\{\frac{1}{x_n}\big\}</math> jest ograniczony
oraz dodatkowo
 
<center><math>
\exists m>0:\ \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\ge m.
</math></center>
 
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Skorzystać z definicji granicy ciągu z
<math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}.</math>
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\ne 0.</math>
Niech <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{|g|}{2}>0.</math>
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>
\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
|x_n-g|<\frac{|g|}{2},
</math></center>
 
w szczególności dla tak dobranego <math>N\in\mathbb{N},</math> mamy
 
<center><math>
\forall n\ge N:\ g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},
</math></center>
 
zatem
 
<center><math>
\forall n\ge N:\ \frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},
</math></center>
 
czyli
 
<center><math>
\forall n\ge N:\
\frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}.
</math></center>
 
Zdefiniujmy teraz
 
<center><math>
m
\ =\
\min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad
M
\ =\
\max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}.
</math></center>
 
Oczywiście <math>0<m<M</math>
oraz
 
<center><math>
\forall n\in\mathbb{N}:\ m\le \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\le M,
</math></center>
 
co należało dowieść.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Niech
<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
będą ciągami liczbowymi zbieżnymi,
Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
'''(1)'''
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
=\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg)</math>;<br>
'''(2)'''
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}</math>
(o ile
<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\ne 0</math>).
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)''' Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
Przy liczeniu granicy ciągu <math>\displaystyle\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
 
<center><math>
\big|a_nb_n-ab\big|
\ \le\
\big|a_nb_n-a_nb\big|
+\big|a_nb-ab\big|.
</math></center>
 
'''(2)''' Najpierw udowodnić, że
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n}.</math>
W tym celu skorzystać z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]].
Następnie wykorzystać punkt (1).
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b.</math>
Należy pokazać, że
 
<center><math>
\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
\big|a_nb_n-ab\big|<\varepsilon.
</math></center>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
 
Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
 
<center><math>
\exists A>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\ |a_n|\le A.
</math></center>
 
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>\aligned
&& \exists N_1\in\mathbb{N}:\ |b_n-b|<\frac{\varepsilon}{2A},\\
&& \exists N_2\in\mathbb{N}:\ |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2|b|}
\endaligned</math></center>
 
(przy czym jeśli <math>b=0,</math> to ostatnie wyrażenie
<math>\displaystyle\frac{\varepsilon}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\displaystyle\varepsilon</math>).
 
Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>\aligned
\big|a_nb_n-ab\big|
& \le &
\big|a_nb_n-a_nb\big|
+\big|a_nb-ab\big|
\ =\
|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\
& < &
A\cdot\frac{\varepsilon}{2A}
+\frac{\varepsilon}{2|b|}\cdot |b|
\ =\
\varepsilon,
\endaligned</math></center>
 
zatem
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (a_nb_n)
\ =\
a\cdot b
\ =\
\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n\bigg)\cdot\bigg(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n\bigg).
</math></center>
 
'''(2)'''
Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math> i <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} b_n=b</math>
(gdzie <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\mathbb{N}</math> oraz <math>b\ne 0</math>).
Pokażemy najpierw, że
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}
=\frac{1}{b}.
</math></center>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
Z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]]  wynika, że
 
<center><math>
\exists M>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\
\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M.
</math></center>
 
Z definicji granicy,
zastosowanej do
<math>\displaystyle\widetilde{\varepsilon}=\frac{|b|\varepsilon}{M}</math>, mamy także
 
<center><math>
\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
|b_n-b|<\frac{|b|\varepsilon}{M}.
</math></center>
 
Wówczas dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
\bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg|
\ =\
\bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg|
\ =\
|b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|
\ \le\
\frac{|b|\varepsilon}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M
\ =\
\varepsilon,
</math></center>
 
pokazaliśmy więc, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
 
Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2),
a mianowicie
 
<center><math>
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \frac{a_n}{b_n}
\ =\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg)
\ =\
a\cdot\frac{1}{b}
\ =\
\frac{a}{b}.
</math></center>
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie|[Uzupelnij]||
 
Niech
<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\mathbb{R}</math>
będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
'''(1)'''
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =a\quad
\Longrightarrow\quad
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|</math>;<br>
'''(2)'''
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n =0\quad
\Longleftrightarrow\quad
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0</math>;
}}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Udowodnić najpierw prostą nierówność:
 
<center><math>
\forall x,y\in\mathbb{R}:\
\big| |x|-|y|\big|
\ \le\
|x-y|.
</math></center>
 
'''(2)''' Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Udowodnimy najpierw, że
 
<center><math>
\forall x,y\in\mathbb{R}:\
\big| |x|-|y|\big|
\ \le\
|x-y|.
</math></center>
 
Korzystając z nierówności trójkąta dla
wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>), mamy
 
<center><math>
|x|
\ =\
|x-y+y|
\ \le\
|x-y|+|y|,
</math></center>
 
stąd
 
<center><math>
|x|-|y|
\ \le\
|x-y|.
</math></center>
 
Analogicznie dostajemy
 
<center><math>
|y|-|x|
\ \le\
|y-x|
\ =\
|x-y|.
</math></center>
 
Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że
 
<center><math>
\big| |x|-|y|\big|
\ \le\
|x-y|,
</math></center>
 
co należało dowieść.
 
Załóżmy teraz, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a.</math>
Należy pokazać, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math>
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>
\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
|a_n-a|<\varepsilon.
</math></center>
 
Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności,
dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
\big||a_n|-|a|\big|
\ \le\
|a_n-a|
\ <\
\varepsilon.
</math></center>
 
Zatem pokazaliśmy, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=|a|.</math><br>
<br>
Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja
w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg <math>a_n=(-1)^n</math>.
Wówczas <math>\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} 1=1=|1|</math>, , ale ciąg <math>\{a_n\}</math> nie ma
granicy.<br>
<br>
'''(2)'''
"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
Wynika wprost z punktu (4).<br>
"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
Niech <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} |a_n|=0.</math>
Należy pokazać, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\varepsilon>0.</math>
Z definicji granicy ciągu mamy
 
<center><math>
\exists  N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
\big||a_n|-0\big|<\varepsilon.
</math></center>
 
Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
|a_n-0|
\ =\
|a_n|
\ =\
\big||a_n|\big|
\ =\
\big||a_n|-0\big|
\ <\
\varepsilon,
</math></center>
 
co oznacza, że <math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=0.</math>
{}<math>\Box</math></div></div>

Aktualna wersja na dzień 08:57, 28 sie 2023

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

Testy

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty


Dlaczego suma ∑i=110i jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?

z∑i=110i



Zadanie 1.

<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>

<img alt="Ikona obiektu Pytanie"

class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> Zadanie 1,

Liczba Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle <msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt>}   

<tbody> </tbody>
<input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest dodatnia
<input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest wymierna
<input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"

value="vFalse"

onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 nale»y do trójkowego zbioru Cantora.
<a href="index.xml">« previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next »</a>
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_Arka&oldid=79852”