Test Arka: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Arek (dyskusja | edycje)
687 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
 
(Nie pokazano 34 wersji utworzonych przez 3 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
==Problemy ze wzorami na osiłku==
<quiz type="exclusive">
<math>M</math> <math>M'</math> <math>M' </math>
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<math>{\large a^{\sum_{i=1}^{10}i}}</math>
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>
==Testy==


[[Konwersja Arka]]
<quiz type="exclusive">
[[Konwersja Arka 2]]
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
[[Konwersja Arka 3]]
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<hr>
<quiz type="exclusive">
==Ciągi liczbowe. Ćwiczenia==
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>
<quiz>
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>


Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
<quiz>
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


'''(1)'''
<quiz type="exclusive">
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


<math>\displaystyle


\limn\frac{2n^2+1}{3n^2-1}</math><br>
<div style="background-color: #bbbbbb; padding: 2em; border: 1px solid black">
Dlaczego suma <math>\sum_{i=1}^{10}i</math> jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?


'''(2)'''
<math>z^{\sum_{i=1}^{10}i}</math>


<math>\displaystyle


\limn\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}</math><br>
</div>


'''(3)'''


<math>\displaystyle
<div id="content">
<div id="navcontainer">
<ul id="navlist">
<div><a href="index.xml" class="withChild">Start</a></div>


\limn\frac{-n+1}{n^2+2}.</math>
<div id="active" class="withoutChild">Zadanie 1.</div>
<div><a href="zadanie_2.xml" class="withoutChild">Zadanie 2.</a></div>
<div><a href="zadanie_3.xml" class="withoutChild">Zadanie 3.</a></div>
<div><a href="zadanie_4.xml" class="withoutChild">Zadanie 4.</a></div>
<div><a href="zadanie_5.xml" class="withoutChild">Zadanie 5.</a></div>
<div><a href="zadanie_6.xml" class="withoutChild">Zadanie 6.</a></div>


'''(1)''' Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration">
<p id="nodeTitle">Zadanie 1.</p>
</div>
<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script
type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>
<div class="iDevice emphasis1"><img alt="Ikona obiektu Pytanie"
class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> <span
class="iDeviceTitle">Zadanie 1,</span><br />
<div class="iDevice_inner">
Liczba <math><msqrt><mrow><mn>3</mn>


i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
<mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn>
<mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt></math> &nbsp;&nbsp;
<table>
<tbody>


'''(2)''' Wykorzystać twierdzenie o dwóch ciągach.<br>
<tr>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"
value="vTrue"
onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
<td>jest dodatnia</td>
<td>
<div id="sa0b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
</td>
</tr>
<tr>


'''(3)''' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"
value="vTrue"
onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
<td>jest wymierna</td>
<td>
<div id="sa1b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
</td>
</tr>
<tr>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"
value="vFalse"
onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>


Sposób II.
<td>nale&raquo;y do tr&oacute;jkowego zbioru Cantora.</td>
<td>
<div id="sa2b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Źle</div>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>


Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
</div>
 
</div>
oraz skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.
<div class="noprt" align="right"><a href="index.xml">&laquo;
 
previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next &raquo;</a></div>
'''(1)'''
</div>
 
</div>
Dzielimy licznik i mianownik przez <math>n^2</math> i dostajemy:
 
<center><math>
 
\limn\frac{2n^2+1}{3n^2-1}
 
\ =\
 
\limn
 
\frac{\displaystyle 2+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\ra 0}}{\displaystyle 3-\underbrace{\frac{1}{n^2}}_{\ra 0}}
 
\ =\
 
\frac{2}{3},
 
</math></center>
 
przy czym w ostatniej równości wykorzystujemy twierdzenia o
 
arytmetyce granic (dla sumy i iloczynu; patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]])
 
oraz fakt, że
 
<math>\displaystyle\limn \frac{1}{n^2}=0</math>
 
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.210|Uzupelnic p.new.am1.w.03.210|]] i Twierdzenie
 
[[##t.new.am1.w.04.080|Uzupelnic t.new.am1.w.04.080|]]).<br>
 
<br>
 
'''(2)'''
 
Zauważmy, że
 
<center><math>
 
\begin{array} {ccccc}
 
\displaystyle\frac{2n^2}{n\sqrt{n}}    & \le & \displaystyle\frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}\\
 
\shortparallel                          &    &                          \\
 
\displaystyle 2\sqrt{n}                &    &                          \\
 
\downarrow                              &    &                          \\
 
+\infty                                &    &
 
\end{array}
 
</math></center>
 
(przy czym ostatnią zbieżność <math>\displaystyle\limn \sqrt{n}=+\infty</math>
 
łatwo pokazać z definicji granicy niewłaściwej).
 
Zatem korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach
 
(patrz Twierdzenie [[##t.new.am1.w.04.120|Uzupelnic t.new.am1.w.04.120|]](a))
 
wnioskujemy, że
 
<math>\displaystyle\limn \frac{2n^2+n+2}{n\sqrt{n}}=+\infty</math><br>
 
'''(3)'''
 
'''Sposób I.'''
 
Zauważmy, że
 
<center><math>
 
\begin{array} {ccccc}
 
\displaystyle -\frac{n}{n^2} & \le & \displaystyle\frac{-n+1}{n^2+2} & \le & 0\\
 
\shortparallel              &    &                                &    & \downarrow\\
 
\displaystyle -\frac{1}{n}  &    &                                &    & 0\\
 
\downarrow                  &    &                                &    & \\
 
0                            &    &                                &    & \\
 
\end{array}
 
</math></center>
 
Zatem korzystając z twierdzenia a trzech ciągach wnioskujemy,
 
że
 
<math>\displaystyle\limn \frac{-n+1}{n^2+2}=0.</math><br>
 
'''Sposób II.'''
 
Dzieląc licznik i mianownik przez <math>n^2</math>
 
oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
 
<center><math>
 
\limn \frac{-n+1}{n^2+2}
 
\ =\
 
\limn\frac{\displaystyle \overbrace{-\frac{1}{n}}^{\ra 0}+\overbrace{\frac{1}{n^2}}^{\ra 0}}{\displaystyle 1+\underbrace{\frac{2}{n^2}}_{\ra 0}}
 
\ =\
 
0.
 
</math></center>
 
Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle
 
\limn \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}</math><br>
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle
 
\limn \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}.</math>
 
'''(1)''' Rozpisać symbol Newtona. Podzielić licznik i mianownik przez <math>n^2.</math><br>
 
'''(2)''' Rozwiązać analogicznie do przykładu (1).
 
'''(1)'''
 
Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
 
<center><math>
 
\binom{n+2}{n}
 
\ =\
 
\frac{(n+2)!}{n!\cdot 2!}
 
\ =\
 
\frac{(n+1)(n+2)}{2}
 
</math></center>
 
Zatem liczymy:
 
<center><math>\aligned \graph
 
\displaystyle
 
\limn \frac{\binom{n+2}{n}}{n^2}
 
& = &
 
\displaystyle
 
\limn \frac{(n+1)(n+2)}{2n^2}
 
\ =\
 
\limn\frac{n^2+3n+2}{2n^2}\\
 
& = &
 
\displaystyle
 
\limn\frac{1}{2}
 
+\underbrace{\limn\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}}_{=0}
 
+\underbrace{\limn\frac{1}{n^2}}_{=0}
 
\ =\
 
\frac{1}{2}.
 
\endaligned</math></center>
 
'''(2)'''
 
Rozpiszmy symbol Newtona występujący w wyrazach ciągu
 
<center><math>
 
\binom{n+3}{n}
 
\ =\
 
\frac{(n+3)!}{n!\cdot 3!}
 
\ =\
 
\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}
 
</math></center>
 
Zatem liczymy:
 
<center><math>\aligned \graph
 
\displaystyle
 
\limn \frac{\binom{n+3}{n}}{n^3}
 
& = &
 
\displaystyle
 
\limn \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6n^3}
 
\ =\
 
\limn\frac{n^3+6n^2+11n+6}{6n^3}\\
 
& = &
 
\displaystyle
 
\limn\frac{1}{6}
 
+\underbrace{\limn\frac{1}{n}}_{=0}
 
+\underbrace{\limn\frac{11}{6}\cdot\frac{1}{n^2}}_{=0}
 
+\underbrace{\limn\frac{1}{n^3}}_{=0}
 
\ =\
 
\frac{1}{6}.
 
\endaligned</math></center>
 
Obliczyć następujące granice ciągów:<br>
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle
 
\limn\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}</math><br>
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle
 
\limn\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}</math><br>
 
'''(3)'''
 
<math>\displaystyle
 
\limn\frac{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}.</math>
 
'''(1)''' Wykonać dzielenie <math>6^n.</math><br>
 
'''(2)''' Sposób I. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciągach.<br>
 
Sposób II.
 
Podzielić licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
 
i skorzystać z twierdzeń o arytmetyce granic.<br>
 
'''(3)''' Wykorzystać wzór na sumę skończonego
 
ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]).
 
'''(1)'''
 
Wykonując dzielenie przez <math>6^n</math> dostajemy:
 
<center><math>
 
\limn\frac{5^{n+1}+1+6^{n+1}}{3\cdot 6^n}
 
\ =\
 
\limn\frac{5}{3}\bigg(\frac{5}{6}\bigg)^n
 
+\limn \frac{1}{3}\bigg(\frac{1}{6}\bigg)^n
 
+\limn 2
 
\ =\
 
2,
 
</math></center>
 
gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego
 
(patrz Przykład [[##p.new.am1.w.03.220|Uzupelnic p.new.am1.w.03.220|]]).<br>
 
<br>
 
'''(2)'''
 
'''Sposób I.'''
 
Zauważmy, że
 
<center><math>
 
\begin{array} {ccccc}
 
\displaystyle 0 & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2} & \le & \displaystyle\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}}\\
 
\downarrow      &    &                                          &    & \shortparallel\\
 
\displaystyle 0 &    &                                          &    & \displaystyle 2\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n\\
 
&    &                                          &    & \downarrow\\
 
&    &                                          &    & 0\\
 
\end{array}
 
</math></center>
 
gdzie wykorzystaliśmy znajomość ciągu geometrycznego.
 
Zatem korzystając z twierdzenie a trzech ciągach wnioskujemy,
 
że
 
<math>\displaystyle\limn \frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}=0.</math><br>
 
<br>
 
'''Sposób II.'''
 
Dzieląc licznik i mianownik przez <math>3^{2n}</math>
 
oraz korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic, mamy
 
<center><math>
 
\limn\frac{2^{n+1}+3^n}{3^{2n}+2}
 
\ =\
 
\limn \frac{\displaystyle 2\cdot\bigg(\frac{2}{9}\bigg)^n+\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^n}{\displaystyle 1+2\cdot\bigg(\frac{1}{9}\bigg)^n}
 
\ =\
 
0.
 
</math></center>
 
'''(3)'''
 
Korzystając ze wzoru na sumę skończonego
 
ciągu geometrycznego (patrz Uwaga [[##u.1.0100|Uzupelnic u.1.0100|]]), mamy
 
<center><math>
 
\limn\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\ldots+\frac{1}{4^n}}{\displaystyle 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{3^n}}
 
\ =\
 
\limn\frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{4^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{4}}}{\displaystyle\frac{\displaystyle 1-\frac{1}{3^{n+1}}}{\displaystyle 1-\frac{1}{3}}}
 
\ =\
 
\frac{9}{8}\cdot
 
\limn\frac{\displaystyle 1-\overbrace{\bigg(\frac{1}{4}\bigg)^{n+1}}^{\ra 0}}{\displaystyle 1-\underbrace{\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n+1}}_{\ra 0}}
 
\ =\
 
\frac{9}{8}\cdot 1
 
\ =\
 
\frac{9}{8}.
 
</math></center>
 
Niech
 
<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\rr</math>  będzie ciągiem liczbowym takim, że
 
<math>\displaystyle\limn x_n=g.</math>
 
Udowodnić, że
 
jeśli <math>g\ne 0</math> oraz
 
<math>x_n\ne 0</math> dla dowolnego <math>n\in\nn,</math> to ciąg
 
<math>\displaystyle\big\{\frac{1}{x_n}\big\}</math> jest ograniczony
 
oraz dodatkowo
 
<center><math>
 
\exists m>0:\ \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\ge m.
 
</math></center>
 
Skorzystać z definicji granicy ciągu z
 
<math>\displaystyle\eps=\frac{|g|}{2}.</math>
 
Niech <math>\displaystyle\limn x_n=g\ne 0.</math>
 
Niech <math>\displaystyle\eps=\frac{|g|}{2}>0.</math>
 
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>
 
\exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
 
|x_n-g|<\frac{|g|}{2},
 
</math></center>
 
w szczególności dla tak dobranego <math>N\in\nn,</math> mamy
 
<center><math>
 
\forall n\ge N:\ g-\frac{|g|}{2}<x_n<g+\frac{|g|}{2},
 
</math></center>
 
zatem
 
<center><math>
 
\forall n\ge N:\ \frac{|g|}{2}<|x_n|<\frac{3|g|}{2},
 
</math></center>
 
czyli
 
<center><math>
 
\forall n\ge N:\
 
\frac{2}{3|g|}<\frac{1}{|x_n|}<\frac{2}{|g|}.
 
</math></center>
 
Zdefiniujmy teraz
 
<center><math>
 
m
 
\ =\
 
\min\bigg\{\frac{2}{3|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\},\qquad
 
M
 
\ =\
 
\max\bigg\{\frac{2}{|g|},\frac{1}{|x_1|},\ldots,\frac{1}{|x_n|}\bigg\}.
 
</math></center>
 
Oczywiście <math>0<m<M</math>
 
oraz
 
<center><math>
 
\forall n\in\nn:\ m\le \bigg|\frac{1}{x_n}\bigg|\le M,
 
</math></center>
 
co należało dowieść.
 
Niech
 
<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\rr</math>
 
będą ciągami liczbowymi zbieżnymi,
 
Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle \limn (a_nb_n)
 
=\bigg(\limn a_n\bigg)\bigg(\limn b_n\bigg)</math>;<br>
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle \limn \frac{a_n}{b_n}
 
=\frac{\limn a_n}{\limn b_n}</math>
 
(o ile
 
<math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\nn</math> oraz <math>\displaystyle\limn b_n\ne 0</math>).
 
'''(1)''' Skorzystać z faktu, że ciąg zbieżny jest ograniczony.
 
Przy liczeniu granicy ciągu <math>\displaystyle\{a_nb_n\}</math> wykorzystać oszacowanie
 
<center><math>
 
\big|a_nb_n-ab\big|
 
\ \le\
 
\big|a_nb_n-a_nb\big|
 
+\big|a_nb-ab\big|.
 
</math></center>
 
'''(2)''' Najpierw udowodnić, że
 
<math>\displaystyle \limn \frac{1}{b_n}
 
=\frac{1}{\limn b_n}.</math>
 
W tym celu skorzystać z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]].
 
Następnie wykorzystać punkt (1).
 
'''(1)'''
 
Niech <math>\displaystyle\limn a_n=a</math> i <math>\displaystyle\limn b_n=b.</math>
 
Należy pokazać, że
 
<center><math>
 
\forall \eps>0\ \exists N\in\nn\ \forall n\ge N:
 
\big|a_nb_n-ab\big|<\eps.
 
</math></center>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
 
Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}</math> jako zbieżny, jest ograniczony, to znaczy
 
<center><math>
 
\exists A>0\ \forall n\in\nn:\ |a_n|\le A.
 
</math></center>
 
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>\aligned \graph
 
&& \exists N_1\in\nn:\ |b_n-b|<\frac{\eps}{2A},\\
 
&& \exists N_2\in\nn:\ |a_n-a|<\frac{\eps}{2|b|}
 
\endaligned</math></center>
 
(przy czym jeśli <math>b=0,</math> to ostatnie wyrażenie
 
<math>\displaystyle\frac{\eps}{2|b|}</math> zastąpmy przez <math>\displaystyle\eps</math>).
 
Niech <math>N=\max\{N_1,N_2\}.</math>
 
Wówczas dla dowolnego <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>\aligned \graph
 
\big|a_nb_n-ab\big|
 
& \le &
 
\big|a_nb_n-a_nb\big|
 
+\big|a_nb-ab\big|
 
\ =\
 
|a_n||b_n-b|+|a_n-a||b|\\
 
& < &
 
A\cdot\frac{\eps}{2A}
 
+\frac{\eps}{2|b|}\cdot |b|
 
\ =\
 
\eps,
 
\endaligned</math></center>
 
zatem
 
<center><math>
 
\limn (a_nb_n)
 
\ =\
 
a\cdot b
 
\ =\
 
\bigg(\limn a_n\bigg)\cdot\bigg(\limn b_n\bigg).
 
</math></center>
 
'''(2)'''
 
Niech <math>\displaystyle\limn a_n=a</math> i <math>\displaystyle\limn b_n=b</math>
 
(gdzie <math>b_n\ne 0</math> dla <math>n\in\nn</math> oraz <math>b\ne 0</math>).
 
Pokażemy najpierw, że
 
<center><math>
 
\limn \frac{1}{b_n}
 
=\frac{1}{b}.
 
</math></center>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
 
Z Zadania [[##z.new.am1.c.04.0040|Uzupelnic z.new.am1.c.04.0040|]]  wynika, że
 
<center><math>
 
\exists M>0\ \forall n\in\nn:\
 
\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|\le M.
 
</math></center>
 
Z definicji granicy,
 
zastosowanej do
 
<math>\displaystyle\wt{\eps}=\frac{|b|\eps}{M}</math>, mamy także
 
<center><math>
 
\exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
 
|b_n-b|<\frac{|b|\eps}{M}.
 
</math></center>
 
Wówczas dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
 
\bigg|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\bigg|
 
\ =\
 
\bigg|\frac{b-b_n}{bb_n}\bigg|
 
\ =\
 
|b_n-b|\cdot\bigg|\frac{1}{b}\bigg|\cdot\bigg|\frac{1}{b_n}\bigg|
 
\ \le\
 
\frac{|b|\eps}{M}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot M
 
\ =\
 
\eps,
 
</math></center>
 
pokazaliśmy więc, że
 
<math>\displaystyle\limn \frac{1}{b_n}=\frac{1}{b}.</math>
 
Możemy teraz skorzystać z udowodnionego już punktu (2),
 
a mianowicie
 
<center><math>
 
\limn \frac{a_n}{b_n}
 
\ =\
 
\limn \bigg(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\bigg)
 
\ =\
 
a\cdot\frac{1}{b}
 
\ =\
 
\frac{a}{b}.
 
</math></center>
 
Niech
 
<math>\displaystyle\{a_n\},\{b_n\}\subseteq\rr</math>
 
będą ciągami liczbowymi zbieżnymi.
 
Udowodnić następujące stwierdzenia:<br>
 
'''(1)'''
 
<math>\displaystyle\limn a_n =a\quad
 
\Lra\quad
 
\limn |a_n|=|a|</math>;<br>
 
'''(2)'''
 
<math>\displaystyle\limn a_n =0\quad
 
\Llra\quad
 
\limn |a_n|=0</math>;
 
'''(1)'''
 
Udowodnić najpierw prostą nierówność:
 
<center><math>
 
\forall x,y\in\rr:\
 
\big| |x|-|y|\big|
 
\ \le\
 
|x-y|.
 
</math></center>
 
'''(2)''' Wykorzystać jedynie definicję granicy ciągu.
 
'''(1)'''
 
Udowodnimy najpierw, że
 
<center><math>
 
\forall x,y\in\rr:\
 
\big| |x|-|y|\big|
 
\ \le\
 
|x-y|.
 
</math></center>
 
Korzystając z nierówności trójkąta dla
 
wartości bezwzględnej (metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\rr</math>), mamy
 
<center><math>
 
|x|
 
\ =\
 
|x-y+y|
 
\ \le\
 
|x-y|+|y|,
 
</math></center>
 
stąd
 
<center><math>
 
|x|-|y|
 
\ \le\
 
|x-y|.
 
</math></center>
 
Analogicznie dostajemy
 
<center><math>
 
|y|-|x|
 
\ \le\
 
|y-x|
 
\ =\
 
|x-y|.
 
</math></center>
 
Dwie ostatnie nierówności oznaczają, że
 
<center><math>
 
\big| |x|-|y|\big|
 
\ \le\
 
|x-y|,
 
</math></center>
 
co należało dowieść.
 
Załóżmy teraz, że
 
<math>\displaystyle\limn a_n=a.</math>
 
Należy pokazać, że
 
<math>\displaystyle\limn |a_n|=|a|.</math>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
 
Z definicji granicy mamy
 
<center><math>
 
\exists N\in\nn\ \forall n\ge N:\
 
|a_n-a|<\eps.
 
</math></center>
 
Wówczas, korzystając z udowodnionej nierówności,
 
dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
 
\big||a_n|-|a|\big|
 
\ \le\
 
|a_n-a|
 
\ <\
 
\eps.
 
</math></center>
 
Zatem pokazaliśmy, że
 
<math>\displaystyle\limn |a_n|=|a|.</math><br>
 
<br>
 
Zauważmy w tym miejscu, że nie jest ogólnie prawdziwa implikacja
 
w drugą stronę. Rozważmy bowiem ciąg <math>a_n=(-1)^n</math>.
 
Wówczas <math>\limn |a_n|=\limn 1=1=|1|</math>, , ale ciąg <math>\{a_n\}</math> nie ma
 
granicy.<br>
 
<br>
 
'''(2)'''
 
"<math>\displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
 
Wynika wprost z punktu (4).<br>
 
"<math>\displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
 
Niech <math>\displaystyle\limn |a_n|=0.</math>
 
Należy pokazać, że <math>\displaystyle\limn a_n=0.</math>
 
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle\eps>0.</math>
 
Z definicji granicy ciągu mamy
 
<center><math>
 
\exists  N\in\nn\ \forall n\ge N:\
 
\big||a_n|-0\big|<\eps.
 
</math></center>
 
Zatem dla <math>n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>
 
|a_n-0|
 
\ =\
 
|a_n|
 
\ =\
 
\big||a_n|\big|
 
\ =\
 
\big||a_n|-0\big|
 
\ <\
 
\eps,
 
</math></center>
 
co oznacza, że <math>\displaystyle\limn a_n=0.</math>

Aktualna wersja na dzień 08:57, 28 sie 2023

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

Testy

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty


Dlaczego suma ∑i=110i jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?

z∑i=110i



Zadanie 1.

<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>

<img alt="Ikona obiektu Pytanie"

class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> Zadanie 1,

Liczba Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle <msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt>}   

<tbody> </tbody>
<input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest dodatnia
<input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest wymierna
<input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"

value="vFalse"

onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 nale»y do trójkowego zbioru Cantora.
<a href="index.xml">« previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next »</a>
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_Arka&oldid=79852”