Analiza matematyczna 1/Ćwiczenia 10: Wzór Taylora. Ekstrema: Różnice pomiędzy wersjami
Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>” |
|||
(Nie pokazano 3 wersji utworzonych przez jednego użytkownika) | |||
Linia 34: | Linia 34: | ||
a) Dziedziną funkcji <math>f(x)= \frac{(x+2)^2}{x+3}</math> jest zbiór <math>\mathbb R\setminus\{-3\}</math>. Liczymy pochodną | a) Dziedziną funkcji <math>f(x)= \frac{(x+2)^2}{x+3}</math> jest zbiór <math>\mathbb R\setminus\{-3\}</math>. Liczymy pochodną | ||
<center><math>f'(x)=\frac{2(x+2)(x+3)-(x+2)^2}{(x+3)^2}= | <center><math>f'(x)=\frac{2(x+2)(x+3)-(x+2)^2}{(x+3)^2}= | ||
\frac{(x+2)(2x+6-x-2)}{(x+3)^2}= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+3)^2} | \frac{(x+2)(2x+6-x-2)}{(x+3)^2}= \frac{(x+2)(x+4)}{(x+3)^2}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
która jest określona w całej dziedzinie funkcji <math>f</math> i ma dwa punkty krytyczne <math>-4</math> i <math>-2</math>. Ponieważ w pierwszym z tych punktów pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w drugim z ujemnego na dodatni, <math>f</math> ma w punkcie <math>-4</math> maksimum, a w punkcie | która jest określona w całej dziedzinie funkcji <math>f</math> i ma dwa punkty krytyczne <math>-4</math> i <math>-2</math>. Ponieważ w pierwszym z tych punktów pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w drugim z ujemnego na dodatni, <math>f</math> ma w punkcie <math>-4</math> maksimum, a w punkcie | ||
<math>-2</math> minimum. | <math>-2</math> minimum. | ||
Linia 41: | Linia 40: | ||
Dziedziną funkcji <math>g(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}</math> jest <math>\mathbb R\setminus \{1\}</math>. Liczymy pochodną | Dziedziną funkcji <math>g(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}</math> jest <math>\mathbb R\setminus \{1\}</math>. Liczymy pochodną | ||
<center><math>g'(x)=\frac{3x^2(x-1)^2-x^32(x-1)}{(x-1)^4}= | <center><math>g'(x)=\frac{3x^2(x-1)^2-x^32(x-1)}{(x-1)^4}= | ||
\frac{x^2(x-1)(3x-3-2x)}{(x-1)^4}= \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3} | \frac{x^2(x-1)(3x-3-2x)}{(x-1)^4}= \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}</math>,</center> | ||
</math></center> | która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty krytyczne <math>0</math> i <math>3</math>. W pierwszym z tych punktów pochodna nie zmienia znaku (w całym przedziale <math>(-\infty,1)</math> jest nieujemna), w drugim natomiast zmienia z dodatniego na ujemny, zatem <math> g</math> ma w punkcie <math>3</math> maksimum i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. | ||
która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty krytyczne <math>0</math> i <math>3</math>. W pierwszym z tych punktów pochodna nie zmienia znaku (w całym przedziale <math>(-\infty,1)</math> jest nieujemna), w drugim natomiast zmienia z dodatniego na ujemny, zatem <math>g</math> ma w punkcie <math>3</math> maksimum i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. | |||
Pochodna funkcji <math>h(x)=\frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math> dana wzorem | Pochodna funkcji <math>h(x)=\frac{(x-2)^3}{(x+2)^3}</math> dana wzorem | ||
Linia 54: | Linia 52: | ||
<center><math>f'(x)=2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=\sin{x}(2\cos{x}-1) | <center><math>f'(x)=2\sin{x}\cos{x}-\sin{x}=\sin{x}(2\cos{x}-1) | ||
</math></center> | </math></center> | ||
są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego <math>x</math>. Punkty krytyczne pochodnej to punkty postaci <math>k\pi</math>, <math> \frac{\pi}{3}+2k\pi</math> oraz <math>-\frac \pi3+2k\pi</math>, gdzie <math>k\in \mathbb Z</math>. Policzmy drugą pochodną <math>f''(x)=(\sin{2x}-\sin{x})'=2\cos{2x}-\cos{x}</math>. Zatem <math>f''(k\pi)=2-(-1)^k>0</math>, <math>f''\left(\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)= 2\cos{\frac{2\pi}3}-\cos{\frac{\pi}{3}}=-\frac{3}{2}<0</math> dla dowolnego <math>k\in \mathbb Z</math>. Wnioskujemy stąd, że funkcja <math>f</math> ma minima w punktach <math>k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math> oraz maksima w | są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego <math>x</math>. Punkty krytyczne pochodnej to punkty postaci <math>k\pi</math>, <math>\frac{\pi}{3}+2k\pi</math> oraz <math>-\frac \pi3+2k\pi</math>, gdzie <math>k\in \mathbb Z</math>. Policzmy drugą pochodną <math>f''(x)=(\sin{2x}-\sin{x})'=2\cos{2x}-\cos{x}</math>. Zatem <math>f''(k\pi)=2-(-1)^k>0</math>, <math>f''\left(\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)= 2\cos{\frac{2\pi}3}-\cos{\frac{\pi}{3}}=-\frac{3}{2}<0</math> dla dowolnego <math>k\in \mathbb Z</math>. Wnioskujemy stąd, że funkcja <math>f</math> ma minima w punktach <math>k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math> oraz maksima w | ||
punktach <math>\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math>. | punktach <math>\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi\, (k\in \mathbb Z)</math>. | ||
Zarówno funkcja <math>g(x)=\mathrm{tg}\, x- \sin x</math>, jak i jej pochodna | Zarówno funkcja <math>g(x)=\mathrm{tg}\, x- \sin x</math>, jak i jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> | ||
g'(x)=\frac1{\cos^2{x}}-\cos{x}=\frac{1-\cos^3{x}}{\cos^2 x} | g'(x)=\frac1{\cos^2{x}}-\cos{x}=\frac{1-\cos^3{x}}{\cos^2 x}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
są określone w zbiorze <math>\mathbb R \setminus \left\{\frac \pi2+ k\pi: k\in\mathbb Z\right\}</math>. Punkty krytyczne mają postać <math>2k\pi</math>, gdzie <math>k\in \mathbb Z</math>, ale pochodna jest nieujemna w całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem funkcja nie ma ekstremów. | są określone w zbiorze <math>\mathbb R \setminus \left\{\frac \pi2+ k\pi: k\in\mathbb Z\right\}</math>. Punkty krytyczne mają postać <math>2k\pi</math>, gdzie <math>k\in \mathbb Z</math>, ale pochodna jest nieujemna w całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem funkcja nie ma ekstremów. | ||
Linia 83: | Linia 80: | ||
<math>2+\sqrt{2}</math>. | <math>2+\sqrt{2}</math>. | ||
d) Funkcja <math>f(x)= \ln|x^2+3x-10|=\ln|(x+5)(x-2)|</math> i jej pochodna <math> f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-10}</math> są określone w <math>\mathbb R\setminus \{-5,2\}</math>. Jedynym punktem krytycznym jest <math>-\frac 32</math> i funkcja <math>f</math> ma w nim maksimum. | d) Funkcja <math>f(x)= \ln|x^2+3x-10|=\ln|(x+5)(x-2)|</math> i jej pochodna <math>f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-10}</math> są określone w <math>\mathbb R\setminus \{-5,2\}</math>. Jedynym punktem krytycznym jest <math>-\frac 32</math> i funkcja <math>f</math> ma w nim maksimum. | ||
Funkcja <math>g(x)=\ln^2|x|-2\ln|x|</math> jest określona w <math>\mathbb | Funkcja <math>g(x)=\ln^2|x|-2\ln|x|</math> jest określona w <math>\mathbb | ||
Linia 117: | Linia 114: | ||
<math>1-\sqrt{2}</math> i ma w nim minimum. | <math>1-\sqrt{2}</math> i ma w nim minimum. | ||
f) Funkcja <math> f(x)= x^x</math> jest rozważana tylko dla dodatnich argumentów i jej pochodna <math>f'(x)=x^x(\ln{x}+1)</math> jest też zdefiniowana w przedziale <math>(0,+\infty)</math>. Jedynym punktemkrytycznym jest punkt <math> \frac1e</math> i <math>f</math> ma w nim minimum. | f) Funkcja <math>f(x)= x^x</math> jest rozważana tylko dla dodatnich argumentów i jej pochodna <math>f'(x)=x^x(\ln{x}+1)</math> jest też zdefiniowana w przedziale <math>(0,+\infty)</math>. Jedynym punktemkrytycznym jest punkt <math>\frac1e</math> i <math>f</math> ma w nim minimum. | ||
Natomiast funkcja <math> g(x)= (x^2+1)^{x^3+2x}</math> i jej pochodna | Natomiast funkcja <math>g(x)= (x^2+1)^{x^3+2x}</math> i jej pochodna | ||
<center><math> | <center><math> | ||
g'(x)=(x^2+1)^{x^3+2x}\left((3x^2+2)\ln(x^2+1)+ | g'(x)=(x^2+1)^{x^3+2x}\left((3x^2+2)\ln(x^2+1)+ | ||
Linia 127: | Linia 124: | ||
że <math>g'</math> jest wszędzie nieujemna, ponieważ <math> | że <math>g'</math> jest wszędzie nieujemna, ponieważ <math> | ||
(x^2+1)^{x^3+2x}>0,\, a(x)=(3x^2+2)\ln(x^2+1)\geq 0</math> oraz | (x^2+1)^{x^3+2x}>0,\, a(x)=(3x^2+2)\ln(x^2+1)\geq 0</math> oraz | ||
<math> b(x)= \frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\geq 0</math> dla | <math>b(x)= \frac{2x^2(x^2+2)}{x^2+1}\geq 0</math> dla | ||
dowolnego <math>x\in \mathbb R</math>. Zatem w punkcie krytycznym <math>0</math> nie ma | dowolnego <math>x\in \mathbb R</math>. Zatem w punkcie krytycznym <math>0</math> nie ma | ||
ekstremum. (<math>0</math> jest jedynym punktem krytycznym, bo nieujemna suma | ekstremum. (<math>0</math> jest jedynym punktem krytycznym, bo nieujemna suma | ||
Linia 140: | Linia 137: | ||
x\mapsto \sqrt[5]{x^3}</math>, | x\mapsto \sqrt[5]{x^3}</math>, | ||
b) <math> x\mapsto \sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\quad x\mapsto | b) <math>x\mapsto \sqrt{\frac{x^3}{x-2}},\quad x\mapsto | ||
\sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math>, | \sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math>, | ||
c) <math> x\mapsto 3\sqrt[3]{x^2}e^x,\quad x\mapsto | c) <math>x\mapsto 3\sqrt[3]{x^2}e^x,\quad x\mapsto | ||
5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}, \quad x\mapsto \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, | 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}, \quad x\mapsto \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, | ||
d) <math> x\mapsto \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}},\quad | d) <math>x\mapsto \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}},\quad | ||
x\mapsto \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math>. | x\mapsto \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math>. | ||
Linia 163: | Linia 160: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \; | f'(x)=\left\{\begin{array} {ll}1& {\rm gdy} \; | ||
x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right</math></center> | x>0\\-1& {\rm gdy}\; x<0\end{array} \right.</math></center> | ||
jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje. | jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math> i nigdzie się nie zeruje. | ||
Dziedziną funkcji <math>g(x)= \sqrt[3]{x^2}</math> jest zbiór <math>\mathbb R</math>, a jej pochodnej <math> g'(x)=\frac2{3\sqrt[3]{x}}</math> zbiór <math>\mathbb R\setminus \{0\}</math>. Pochodna nigdzie się nie zeruje, ale zmienia znak z ujemnego dla argumentów ujemnych na dodatni dla argumentów dodatnich. Funkcja <math>g</math> ma zatem w <math>0</math> minimum. | Dziedziną funkcji <math>g(x)= \sqrt[3]{x^2}</math> jest zbiór <math>\mathbb R</math>, a jej pochodnej <math>g'(x)=\frac2{3\sqrt[3]{x}}</math> zbiór <math>\mathbb R\setminus \{0\}</math>. Pochodna nigdzie się nie zeruje, ale zmienia znak z ujemnego dla argumentów ujemnych na dodatni dla argumentów dodatnich. Funkcja <math>g</math> ma zatem w <math>0</math> minimum. | ||
Wreszcie funkcja <math>h(x)= \sqrt[5]{x^3}</math> zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych ma dodatnią pochodną <math>h'(x)=\frac3{5\sqrt[5]{x^2}}</math>, zdefiniowaną wszędzie poza zerem, które jest punktem krytycznym. Funkcja <math>h</math> nie ma żadnego ekstremum, bo jej pochodna jest dodatnia. | Wreszcie funkcja <math>h(x)= \sqrt[5]{x^3}</math> zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych ma dodatnią pochodną <math>h'(x)=\frac3{5\sqrt[5]{x^2}}</math>, zdefiniowaną wszędzie poza zerem, które jest punktem krytycznym. Funkcja <math>h</math> nie ma żadnego ekstremum, bo jej pochodna jest dodatnia. | ||
Linia 181: | Linia 178: | ||
|} | |} | ||
b) Dziedziną funkcji <math> f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x-2}}</math> jest suma przedziałów <math>(-\infty,0]\cup(2, +\infty)</math>, a jej pochodnej | b) Dziedziną funkcji <math>f(x)= \sqrt{\frac{x^3}{x-2}}</math> jest suma przedziałów <math>(-\infty,0]\cup(2, +\infty)</math>, a jej pochodnej | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\begin{array}{lll} | \begin{array}{lll} | ||
Linia 193: | Linia 190: | ||
zbiór <math>(-\infty,0)\cup(2, +\infty)</math>. Ponieważ funkcja jest nieujemna, osiąga minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math>0</math>. Ponadto <math>f</math> ma również minimum w drugim punkcie krytycznym <math>3</math>. | zbiór <math>(-\infty,0)\cup(2, +\infty)</math>. Ponieważ funkcja jest nieujemna, osiąga minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math>0</math>. Ponadto <math>f</math> ma również minimum w drugim punkcie krytycznym <math>3</math>. | ||
Natomiast również nieujemna funkcja <math> g(x)= \sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math> jest zdefiniowana w przedziale <math>(-2,4]</math> i podobnie jak poprzednia funkcja osiąga swoje minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math>4</math>. Jest to jedyny punkt krytyczny funkcji <math>g</math>, ponieważ jej pochodna | Natomiast również nieujemna funkcja <math>g(x)= \sqrt{\frac{4-x}{(x+2)^3}}</math> jest zdefiniowana w przedziale <math>(-2,4]</math> i podobnie jak poprzednia funkcja osiąga swoje minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym <math>4</math>. Jest to jedyny punkt krytyczny funkcji <math>g</math>, ponieważ jej pochodna | ||
<center><math>\begin{array}{lll} | <center><math>\begin{array}{lll} | ||
Linia 207: | Linia 204: | ||
c) Dziedzinami wszystkich funkcji rozważanych w tym podpunkcie jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast ich pochodne nie są określone w zerze. | c) Dziedzinami wszystkich funkcji rozważanych w tym podpunkcie jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast ich pochodne nie są określone w zerze. | ||
Jeśli <math> f(x)= 3\sqrt[3]{x^2}e^x</math>, to | Jeśli <math>f(x)= 3\sqrt[3]{x^2}e^x</math>, to | ||
<center><math> | <center><math> | ||
f'(x)= | f'(x)= | ||
\frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | \frac2{\sqrt[3]{x}}e^x+ 3\sqrt[3]{x^2}e^x= | ||
\frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x)</math></center> | \frac{e^x}{\sqrt[3]{x}}(2+3x)</math></center> | ||
Punktami krytycznymi są <math> -\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum | Punktami krytycznymi są <math>-\frac23</math> i <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma maksimum | ||
w punkcie <math> -\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna | w punkcie <math>-\frac23</math> i minimum w punkcie <math>0</math>, ponieważ pochodna | ||
odpowiednio zmienia znak. | odpowiednio zmienia znak. | ||
Jeśli <math> g(x)= 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}</math>, to | Jeśli <math>g(x)= 5\sqrt[5]{x^4}e^{-x}</math>, to | ||
<center><math> | <center><math> | ||
g'(x)= | g'(x)= | ||
Linia 224: | Linia 221: | ||
punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>. | punkcie <math>0</math> i maksimum w punkcie <math>\frac45</math>. | ||
Wreszcie jeśli <math> h(x)= \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, to <math> h'(x)=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2}-1}}</math> i jedynym punktem krytycznym jest <math>0</math>. Funkcja <math>h</math> ma minimum w tym punkcie. | Wreszcie jeśli <math>h(x)= \sqrt{e^{x^2}-1}</math>, to <math>h'(x)=\frac{xe^{x^2}}{\sqrt{e^{x^2}-1}}</math> i jedynym punktem krytycznym jest <math>0</math>. Funkcja <math>h</math> ma minimum w tym punkcie. | ||
d) Zauważmy, że <math> \left|\frac{1-x^2}{1+x^2}\right|= \left|\frac{2}{1+x^2}-1\right|\leq 1</math> dla dowolnego rzeczywistego argumentu <math>x</math>. Dlatego dziedziną funkcji <math> f(x)= \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast pochodna | d) Zauważmy, że <math>\left|\frac{1-x^2}{1+x^2}\right|= \left|\frac{2}{1+x^2}-1\right|\leq 1</math> dla dowolnego rzeczywistego argumentu <math>x</math>. Dlatego dziedziną funkcji <math>f(x)= \arccos{\frac{1-x^2}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast pochodna | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\begin{array}{lll} | \begin{array}{lll} | ||
Linia 238: | Linia 235: | ||
jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma minimum w tym punkcie. | jest nieokreślona tylko w punkcie <math>0</math>. Funkcja <math>f</math> ma minimum w tym punkcie. | ||
Niech <math>x</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że ponieważ <math>(1-|x|)^2\geq 0</math>, więc <math>1+x^2\geq 2|x|</math>, a w konsekwencji <math> \left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\leq 1</math>. Pokazaliśmy w ten sposób, że dziedziną funkcji <math> g(x)= | Niech <math>x</math> będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że ponieważ <math>(1-|x|)^2\geq 0</math>, więc <math>1+x^2\geq 2|x|</math>, a w konsekwencji <math>\left|\frac{2x}{1+x^2}\right|\leq 1</math>. Pokazaliśmy w ten sposób, że dziedziną funkcji <math>g(x)= | ||
\arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Pochodna | \arcsin{\frac{2x}{1+x^2}}</math> jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Pochodna | ||
<center><math>\begin{array}{lll} | <center><math>\begin{array}{lll} | ||
Linia 257: | Linia 254: | ||
wartość funkcji | wartość funkcji | ||
a) <math> f(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}</math>, | a) <math>f(x)= e^{\frac{x^2}{x^2-10}}</math>, | ||
b) <math> g(x)= \mathrm{arctg}\, \frac{|x|}{\sqrt{3}}</math>,<br> | b) <math>g(x)= \mathrm{arctg}\, \frac{|x|}{\sqrt{3}}</math>,<br> | ||
w przedziale <math>[-1,3]</math>. | w przedziale <math>[-1,3]</math>. | ||
Linia 277: | Linia 274: | ||
gdy}\quad x<0\\ | gdy}\quad x<0\\ | ||
\frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0 | \frac{\sqrt{3}}{x^2+3}& {\rm gdy}\quad x>0 | ||
\end{array} \right</math></center> | \end{array} \right.</math></center> | ||
W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>. | W przedziale <math>(-1,3)</math> obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny <math>0</math>. | ||
Ponieważ <math> f(-1)=e^{-\frac19}, f(0)=1</math> i <math> f(3)=e^{-9}</math>, najmniejszą wartością funkcji <math>f</math> w przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math> e^{-9}</math>, a największą <math>1</math>. | Ponieważ <math>f(-1)=e^{-\frac19}, f(0)=1</math> i <math>f(3)=e^{-9}</math>, najmniejszą wartością funkcji <math>f</math> w przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math>e^{-9}</math>, a największą <math>1</math>. | ||
Dla funkcji <math>g</math> mamy <math>g(-1)=\frac{\pi}6, g(0)=0</math> i <math>g(3)=\frac{\pi}{3}</math>, zatem najmniejszą wartością funkcji <math>g</math> w przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math>0</math>, a największą <math>\frac{\pi}{3}</math>. | Dla funkcji <math>g</math> mamy <math>g(-1)=\frac{\pi}6, g(0)=0</math> i <math>g(3)=\frac{\pi}{3}</math>, zatem najmniejszą wartością funkcji <math>g</math> w przedziale <math>[-1,3]</math> jest <math>0</math>, a największą <math>\frac{\pi}{3}</math>. | ||
Linia 316: | Linia 313: | ||
\left|f(x+h)-\left( | \left|f(x+h)-\left( | ||
f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\right)\right|\leq M | f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^n\right)\right|\leq M | ||
\frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!} | \frac{|h|^{n+1}}{(n+1)!}</math>,</center> | ||
</math></center> | |||
gdzie <math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in [a,b]\}</math> dla pewnych <math>a,b</math> takich, że <math>x,x+h\in[a,b]</math>. | gdzie <math>M:=\sup\{|f^{(n+1)}(t)|, t\in [a,b]\}</math> dla pewnych <math>a,b</math> takich, że <math>x,x+h\in[a,b]</math>. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
Linia 339: | Linia 335: | ||
0,32= 2+0,01=2,01 | 0,32= 2+0,01=2,01 | ||
</math></center> | </math></center> | ||
i <math> |\sqrt[4]{16,32}-2,01|\leq \frac{3\cdot | i <math>|\sqrt[4]{16,32}-2,01|\leq \frac{3\cdot | ||
(0,01)^2}{4}=0,000075</math> bo <math>\sup\{|g''(t)|: t\in [16,81]\}=\frac3{16\sqrt[4]{16^7}}=\frac3{2^{11}}</math>. | (0,01)^2}{4}=0,000075</math> bo <math>\sup\{|g''(t)|: t\in [16,81]\}=\frac3{16\sqrt[4]{16^7}}=\frac3{2^{11}}</math>. | ||
Linia 362: | Linia 358: | ||
0& {\rm gdy}\; x=0 | 0& {\rm gdy}\; x=0 | ||
\end{array} \right., n\in\mathbb N_0</math></center> | \end{array} \right., n\in\mathbb N_0</math></center> | ||
Pokazać, że <math> f_{2n}</math> ma <math> n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a | Pokazać, że <math>f_{2n}</math> ma <math>n</math>-tą pochodną nieciągłą w <math>0</math>, a | ||
<math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej | <math>f_{2n+1}</math> należy do klasy <math>C^n</math>, ale nie ma <math>(n+1)</math>-ej pochodnej | ||
w <math>0</math>, dla <math>n\in\mathbb N_0</math>. | w <math>0</math>, dla <math>n\in\mathbb N_0</math>. | ||
Linia 378: | Linia 374: | ||
funkcje są klasy <math>C^\infty</math> poza zerem. Granica <math> | funkcje są klasy <math>C^\infty</math> poza zerem. Granica <math> | ||
\lim_{x\rightarrow 0} \sin \frac1x</math> nie istnieje z definicji | \lim_{x\rightarrow 0} \sin \frac1x</math> nie istnieje z definicji | ||
Heinego, bo na przykład <math> \sin \frac | Heinego, bo na przykład <math>\sin \frac | ||
1{(n\pi)^{-1}}\equiv 0</math>, a <math> \sin | 1{(n\pi)^{-1}}\equiv 0</math>, a <math>\sin | ||
\frac1{(2n\pi+\pi/2)^{-1}}\equiv 1 (n\in\mathbb N)</math>, zatem <math>f_0</math> nie jest ciągła w zerze. | \frac1{(2n\pi+\pi/2)^{-1}}\equiv 1 (n\in\mathbb N)</math>, zatem <math>f_0</math> nie jest ciągła w zerze. | ||
Mamy także z twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i zbieżnej do zera <math> \lim_{x\rightarrow 0} x^n\sin \frac1x=0</math>, jeśli <math>n>0</math>, zatem funkcja <math>f_n</math> jest ciągła w <math>0</math>. | Mamy także z twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i zbieżnej do zera <math>\lim_{x\rightarrow 0} x^n\sin \frac1x=0</math>, jeśli <math>n>0</math>, zatem funkcja <math>f_n</math> jest ciągła w <math>0</math>. | ||
Następnie widzimy, że <math> \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\sin \frac1x}x</math> nie istnieje (jest to ta sama granica, którą liczyliśmy dla funkcji <math>f_0</math>), zatem <math>f_1</math> nie ma pochodnej | Następnie widzimy, że <math>\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x\sin \frac1x}x</math> nie istnieje (jest to ta sama granica, którą liczyliśmy dla funkcji <math>f_0</math>), zatem <math>f_1</math> nie ma pochodnej | ||
w zerze. | w zerze. | ||
Linia 398: | Linia 394: | ||
|} | |} | ||
Natomiast ponieważ <math> \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^n\sin \frac1x}x = \lim_{x\rightarrow 0} {x^{n-1}\sin | Natomiast ponieważ <math>\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^n\sin \frac1x}x = \lim_{x\rightarrow 0} {x^{n-1}\sin | ||
\frac1x}=0</math> dla <math>n>1</math>, wszystkie następne funkcje są różniczkowalne | \frac1x}=0</math> dla <math>n>1</math>, wszystkie następne funkcje są różniczkowalne | ||
i <math> f_n'(x)=\left\{\begin{array} {ll} | i <math>f_n'(x)=\left\{\begin{array} {ll} | ||
nx^{n-1}\sin \frac1x -x^{n-2}\cos \frac1x& {\rm gdy}\; x\neq | nx^{n-1}\sin \frac1x -x^{n-2}\cos \frac1x& {\rm gdy}\; x\neq | ||
0\\ | 0\\ | ||
Linia 408: | Linia 404: | ||
</math>. | </math>. | ||
Pochodna <math> f_2'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x</math> jest nieciągła w <math>0</math>, bo <math> \lim_{x\rightarrow 0} 2x\sin \frac1x=0</math> i <math> \lim_{x\rightarrow 0} \cos \frac1x</math> nie istnieje (co pokazujemy analogicznie jak dla <math>f_0</math>). | Pochodna <math>f_2'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x</math> jest nieciągła w <math>0</math>, bo <math>\lim_{x\rightarrow 0} 2x\sin \frac1x=0</math> i <math>\lim_{x\rightarrow 0} \cos \frac1x</math> nie istnieje (co pokazujemy analogicznie jak dla <math>f_0</math>). | ||
Pochodne <math>f_n'</math> są ciągłe dla <math>n>2</math>, co wynika po raz kolejny z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera. | Pochodne <math>f_n'</math> są ciągłe dla <math>n>2</math>, co wynika po raz kolejny z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera. |
Aktualna wersja na dzień 07:55, 24 lip 2024
10. Wzór Taylora. Ekstrema
Ćwiczenie 10.1.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.2.
Wyznaczyć ekstrema funkcji
a) ,
b) ,
c) ,
d) .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.3.
Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
a) ,
b) ,
w przedziale .
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.4.
Znaleźć wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości , do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.5.
a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru parametru funkcja ma minimum w punkcie .
b) Wykorzystując wzór Taylora dla , wyznaczyć przybliżoną wartość i oraz oszacować błąd przybliżenia.
Wskazówka
Rozwiązanie
Ćwiczenie 10.6.
Niech
Pokazać, że ma -tą pochodną nieciągłą w , a należy do klasy , ale nie ma -ej pochodnej w , dla .
Wskazówka
Rozwiązanie