Analiza matematyczna 1/Test 9: Pochodna funkcji jednej zmiennej: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
m Zastępowanie tekstu – „.↵</math>” na „</math>”
 
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle
Pochodna funkcji <math>
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>(1,+\infty)</math> jest równa
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>(1,+\infty)</math> jest równa


<rightoption><math>\displaystylef'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>
<rightoption><math>f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>


<wrongoption><math>\displaystylef'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
<wrongoption><math>f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
{x-1}+\sqrt {x+1}}</math></wrongoption>
{x-1}+\sqrt {x+1}}</math></wrongoption>


<rightoption><math>\displaystylef'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.</rightoption>
<rightoption><math>f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 14: Linia 14:
<quiz>
<quiz>
Styczna do wykresu funkcji
Styczna do wykresu funkcji
<math>\displaystylef(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>(\frac {\pi}{2},\frac
<math>f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>(\frac {\pi}{2},\frac
{\pi}{2})</math> ma równanie
{\pi}{2})</math> ma równanie


<rightoption><math>\displaystyley=x</math></rightoption>
<rightoption><math>y=x</math></rightoption>


<wrongoption><math>\displaystyley=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math></wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystyley=x+\frac {\pi}{2}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>y=x+\frac {\pi}{2}</math>.</wrongoption>


</quiz>
</quiz>
Linia 42: Linia 42:


<quiz>
<quiz>
Równanie <math>\displaystylex^e=ke^x</math>
Równanie <math>x^e=ke^x</math>


<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>k\in(0,1)</math></wrongoption>
<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>k\in(0,1)</math></wrongoption>
Linia 53: Linia 53:


<quiz>
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle
Pochodna funkcji <math>
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa


<wrongoption><math>\displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}</math></wrongoption>
<wrongoption><math>f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math></wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystylef'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math></wrongoption>
<wrongoption><math>f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math></wrongoption>


<wrongoption><math>\displaystylef'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.</wrongoption>
</quiz>
</quiz>


Linia 68: Linia 68:
funkcją ciągłą w przedziale <math>(a,b)</math> taką, że istnieje granica
funkcją ciągłą w przedziale <math>(a,b)</math> taką, że istnieje granica


<center><math>\lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
<center><math>\lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A</math></center>
</math></center>


Wtedy
Wtedy


<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i <math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>
<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math> i <math>f'(x_0)=A</math></wrongoption>


<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<math>\displaystylef'(x_0)=A</math></wrongoption>
<math>f'(x_0)=A</math></wrongoption>


<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>f</math> w punkcie <math>x_0</math>, to
<math>\displaystylef'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
<math>f'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 21:39, 11 wrz 2023

Pochodna funkcji f(x)=x+1−x−1x+1+x−1 w przedziale (1,+∞) jest równa

f′(x)=1−xx+1x−1

f′(x)=x−1−x+1x−1+x+1

f′(x)=1−1+1x2−1.


Styczna do wykresu funkcji f(x)=xsin⁡x w punkcie (π2,π2) ma równanie

y=x

y=(−π2+1)x+π24

y=x+π2.


Funkcja

f(x)={x3sin⁡(1x),  dla  x≠0,0,  dla  x=0,


jest ciągła

ma pochodną w punkcie x=0

ma ciągłą pochodną w punkcie x=0.


Równanie xe=kex

nie ma rozwiązań dla k∈(0,1)

nie ma rozwiązań dla k>1

ma dwa rozwiązania dla k=1.


Pochodna funkcji f(x)=xex jest równa

f′(x)=exxex−1

f′(x)=exxexln⁡x

f′(x)=exxex−1xln⁡x+1x.


Niech x0∈(a,b) i niech f będzie funkcją ciągłą w przedziale (a,b) taką, że istnieje granica

limt→0f(x0+t)−f(x0−t)t=A

Wtedy

istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0 i f′(x0)=A

jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0, to f′(x0)=A

jeśli istnieje pochodna funkcji f w punkcie x0, to f′(x0)=A2.

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Test_9:_Pochodna_funkcji_jednej_zmiennej&oldid=82222”