Test Arka: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Arek (dyskusja | edycje)
687 edycji
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „\displaystyle ” na „”
 
(Nie pokazano 61 wersji utworzonych przez 4 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
{|
<quiz type="exclusive">
|+ The table's caption
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
|-
<rightoption>True</rightoption>
| column 1 entry  ||  column 2 entry ...  ||  column n entry
<wrongoption>False</wrongoption>
|-
</quiz>
| column 1 entry  ||  column 2 entry ...  ||  column n entry
==Testy==
|}


<quiz type="exclusive">
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<quiz>
When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).
<rightoption>True</rightoption>
<wrongoption>False</wrongoption>
</quiz>


<quiz type="exclusive">
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>
<quiz>
In C++, 14 % 4 =
<option reply="Za mało">1</option>
<option>2</option>
<option reply="Za dużo">3</option>
<wrongoption reply="O wiele za dużo">4</wrongoption>
</quiz>


{}
<quiz>
{}
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


==Odległość i ciągi w <math>\displaystyle\mathbb{R}^N.</math> Ćwiczenia==
<quiz type="exclusive">
Variables that are declared, but not initialized, contain
<wrongoption>blank spaces</wrongoption>
<rightoption reply="Tak, pod warunkiem, że są globalne">zeros</rightoption>
<rightoption reply="Jeśli nie są globalne">"garbage" values</rightoption>
<wrongoption reply="Dostajesz pałę!">nothing - they are empty</wrongoption>
</quiz>


{{cwiczenie||
Wykazać, że funkcje <math>d_{\infty}</math> i <math>d_1</math> zdefiniowane
na  <math>\displaystyle\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}^N</math>
jako


<center><math>\aligned
<div style="background-color: #bbbbbb; padding: 2em; border: 1px solid black">
d_{\infty}(x,y)
Dlaczego suma <math>\sum_{i=1}^{10}i</math> jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?
& \ \stackrel{df}{=}\  &
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|,
\qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N,\\
d_1(x,y)
& \ \stackrel{df}{=}\  &
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
\qquad\textrm{dla}\quad x,y\in\mathbb{R}^N,


\endaligned</math></center>
<math>z^{\sum_{i=1}^{10}i}</math>


są metrykami
(patrz Przykłady [[##p.new.am1.w.03.050|Uzupelnic p.new.am1.w.03.050|]] i [[##p.new.am1.w.03.060|Uzupelnic p.new.am1.w.03.060|]]).<br>
}}


{black}
</div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Wszystkie trzy warunki definicji metryki są łatwe do
sprawdzenia.
W nierówności trójkąta należy wykorzystać
nierówność dla wartości bezwzględnej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>
(to znaczy nierówność trójkąta
dla metryki euklidesowej w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>).
{}<math>\Box</math></div></div>


<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
<div id="content">
Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla <math>d_{\infty}</math>:<br>
<div id="navcontainer">
Dla <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy
<ul id="navlist">
<div><a href="index.xml" class="withChild">Start</a></div>


<center><math>\aligned
<div id="active" class="withoutChild">Zadanie 1.</div>
d_{\infty}(x,y)=0
<div><a href="zadanie_2.xml" class="withoutChild">Zadanie 2.</a></div>
& \Longleftrightarrow &
<div><a href="zadanie_3.xml" class="withoutChild">Zadanie 3.</a></div>
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|=0
<div><a href="zadanie_4.xml" class="withoutChild">Zadanie 4.</a></div>
\ \Longleftrightarrow\
<div><a href="zadanie_5.xml" class="withoutChild">Zadanie 5.</a></div>
|x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\
<div><a href="zadanie_6.xml" class="withoutChild">Zadanie 6.</a></div>
& \Longleftrightarrow &
\big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big]
\ \Longleftrightarrow\
x=y.


\endaligned</math></center>
</ul>
</div>
<div id="main">
<div id="nodeDecoration">
<p id="nodeTitle">Zadanie 1.</p>
</div>
<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script
type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>
<div class="iDevice emphasis1"><img alt="Ikona obiektu Pytanie"
class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> <span
class="iDeviceTitle">Zadanie 1,</span><br />
<div class="iDevice_inner">
Liczba <math><msqrt><mrow><mn>3</mn>


Wobec tego, że <math>|a-b|=|b-a|</math>,
<mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
dla <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn>
<mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow>
<mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt></math> &nbsp;&nbsp;
<table>
<tbody>


<center><math>
<tr>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"
value="vTrue"
onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
<td>jest dodatnia</td>
<td>
<div id="sa0b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
</td>
</tr>
<tr>


d_{\infty}(x,y)
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"
\ =\
value="vTrue"
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|
onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>
\ =\
<td>jest wymierna</td>
\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-x_i|
<td>
\ =\
<div id="sa1b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Poprawnie</div>
d_{\infty}(x,y)
</td>
</math></center>
</tr>
<tr>
<td><input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"
value="vFalse"
onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" /></td>


zatem spełniony jest warunek symetrii.<br>
<td>nale&raquo;y do tr&oacute;jkowego zbioru Cantora.</td>
Wobec tego, że <math>|a-b|\le |a-c|+|c-b|</math>,
<td>
dla <math>x,y,z\in\mathbb{R}^N</math> mamy
<div id="sa2b9" style="color: rgb(0, 51, 204);display: none;">Źle</div>
</td>
</tr>
</tbody>
</table>


<center><math>\aligned
</div>
d_{\infty}(x,z)
</div>
& = &
<div class="noprt" align="right"><a href="index.xml">&laquo;
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-z_i|
previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next &raquo;</a></div>
\ =\
</div>
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i+y_i-z_i|
</div>
\ \le\
\max_{i=1,\ldots, N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\
& \le &
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|
+\max_{i=1,\ldots, N}|y_i-z_i|
\ =\
d_{\infty}(x,y)+d_{\infty}(y,z),
 
\endaligned</math></center>
 
zatem pokazaliśmy warunek trójkąta.
Zatem że <math>d_{\infty}</math>
jest metryką w <math>\displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
<br>
Sprawdźmy trzy warunki z definicji metryki dla <math>d_1</math>:<br>
Dla <math>x,y\in\mathbb{R}^N</math> mamy
 
<center><math>\aligned
d_1(x,y)=0
& \Longleftrightarrow &
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|=0
\ \Longleftrightarrow\
|x_1-y_1|=\ldots=|x_N-y_N|=0\\
& \Longleftrightarrow &
\big[x_1=y_1,\ \ldots,\ x_N=y_N\big]
\ \Longleftrightarrow\
x=y.
 
\endaligned</math></center>
 
Dla <math>x,y\in\mathbb{R}^N,</math> mamy
 
<center><math>
 
d_1(x,y)
\ =\
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
\ =\
\sum_{i=1}^{N}|y_i-x_i|
\ =\
d_1(x,y)
</math></center>
 
zatem spełniony jest warunek symetrii.<br>
Dla <math>x,y,z\in\mathbb{R}^N,</math> mamy
 
<center><math>\aligned
d_1(x,z)
& = &
\sum_{i=1}^{N}|x_i-z_i|
\ =\
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i+y_i-z_i|
\ \le\
\sum_{i=1}^{N}\big(|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\big)\\
& \le &
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
+\sum_{i=1}^{N}|y_i-z_i|
\ =\
d_1(x,y)+d_1(y,z),
 
\endaligned</math></center>
 
zatem pokazaliśmy warunek trójkąta.
Wykazaliśmy zatem, że <math>d_1</math>
jest metryką w <math>\displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie||
Dla danej metryki <math>d</math> w
<math>\mathbb{R}^N</math> można zdefiniować odległość punktu <math>x</math>
od zbioru <math>A\ne \emptyset</math>
jako infimum wszystkich odległości między <math>x</math> a punktami
zbioru <math>A</math>, czyli
 
<center><math>
 
\mathrm{dist}\, (x,A)
\ =\
\inf_{z\in A}d(x,z).
</math></center>
 
[Rysunek AM1.M03.C.R01 (stary numer AM1.3.24)].<br>
Dany jest zbiór <math>A=[0,1]\times[0,1]\subseteq\mathbb{R}^2</math>
oraz dwa punkty <math>x=(2,3)</math> oraz <math>y=(3,-2).</math>
Wyznaczyć <br>
'''(a)''' odległość punktów <math>x</math> i <math>y</math>;<br>
'''(b)''' <math>\displaystyle\mathrm{dist}\, (x,A)</math>;
kolejno w metrykach:
euklidesowej <math>d_2</math>;
taksówkowej <math>d_1</math>;
maksimowej <math>d_{\infty}.</math>
}}
 
{black}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Należy wykonać rysunek zbioru <math>A</math> oraz wszystkich zadanych punktów
w układzie współrzędnych.
Przy liczeniu odległości punktów
oraz odległości punktu od zbioru należy skorzystać z definicji
poszczególnych metryk oraz rysunku.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)''' Dla metryki euklidesowej <math>d_2</math> mamy:<br>
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R02 (nowy)]]}<br>
'''(a)'''
 
<center><math>
 
d_2(x,y)
\ =\
d_2\big((2,3),(3,-2)\big)
\ =\
\sqrt{(2-3)^2+(3+2)^2}
\ =\
\sqrt{26}.
</math></center>
 
'''(b)'''
Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana w punkcie
<math>z=(1,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest większa, niż do <math>z</math>),
zatem
 
<center><math>
 
\mathrm{dist}\, (x,A)
\ =\
d_2\big((2,3),(1,1)\big)
\ =\
\sqrt{(2-1)^2+(3-1)^2}
\ =\
\sqrt{5}.
</math></center>
 
<br>
'''(2)''' Dla metryki taksówkowej <math>d_1</math> mamy:<br>
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R03 (nowy)]]}<br>
'''(a)'''
 
<center><math>
 
d_1(x,y)
\ =\
d_1\big((2,3),(3,-2)\big)
\ =\
|2-3|+|3+2|
\ =\
6.
</math></center>
 
'''(b)'''
Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana w punkcie
<math>z=(1,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest większa, niż do <math>z</math>),
zatem
 
<center><math>
 
\mathrm{dist}\, (x,A)
\ =\
d_1\big((2,3),(1,1)\big)
\ =\
|2-1|+|3-1|
\ =\
3.
</math></center>
 
<br>
'''(3)''' Dla metryki maksimowej <math>d_{\infty}</math> mamy:<br>
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R04 (nowy)]]}.<br>
'''(a)'''
 
<center><math>
 
d_{\infty}(x,y)
\ =\
d_{\infty}\big((2,3),(3,-2)\big)
\ =\
\max\big\{|2-3|,|3+2|\big\}
\ =\
5.
</math></center>
 
'''(b)'''
Odległość <math>x</math> od zbioru <math>A</math> jest realizowana na przykład w punkcie
<math>z=(0,1)</math> (patrz rysunek; łatwo pokazać, że odległość od <math>x</math>
do dowolnego innego punktu zbioru <math>A</math> jest niemniejsza, niż do <math>z</math>),
zatem
 
<center><math>
 
\mathrm{dist}\, (x,A)
\ =\
d_2\big((2,3),(0,1)\big)
\ =\
\max\big\{|2-0|,|3-1|\big\}
\ =\
2.
</math></center>
 
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie||
Udowodnić, że dla każdego ciągu <math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N</math> istnieje co najwyżej
jedna granica, to znaczy:
 
<center><math>
 
\bigg[
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1\in \mathbb{R}^N
\quad\textrm{i}\quad
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in \mathbb{R}^N
\bigg]
\ \Longrightarrow\
g_1=g_2.
</math></center>
 
}}
 
{black}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Przeprowadzić dowód niewprost. Dobrać
<math>\displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}d(g_1,g_2)</math> w definicji granicy ciągu.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
 
<center><math>
 
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1,
\quad
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2
\quad\textrm{oraz}\quad
g_1\ne g_2.
</math></center>
 
Niech <math>\displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}d(g_1,g_2).</math>
Wówczas <math>\displaystyle\varepsilon>0</math> (gdyż założyliśmy, że <math>g_1\ne g_2</math>).
Z definicji granicy ciągu wynika, że
 
<center><math>\aligned
\exists N_1\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_1)<\frac{1}{2},\\
\exists N_2\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N_1: && d(x_n,g_2)<\frac{1}{2}.
 
\endaligned</math></center>
 
Niech <math>N=\max \{N_1,N_2\}.</math>
Wówczas dla wyrazu <math>x_N</math> mamy:
 
<center><math>
 
d(g_1,g_2)
\ \le\
d(g_1,x_N)+d(x_N,g_2)
\ <\
\frac{1}{2}d(g_1,g_2)+\frac{1}{2}d(g_1,g_2)
\ =\
d(g_1,g_2),
</math></center>
 
sprzeczność. Zatem <math>g_1=g_2.</math><br>
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R05 (nowy)]]}<br>
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R06 (nowy)]]}
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie||
Udowodnić, że jeśli ciąg
<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq\mathbb{R}^N</math> jest zbieżny, to jest
ograniczony.
}}
 
{black}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Zastosować definicję granicy z ustalonym <math>\displaystyle\varepsilon>0</math>
(na przykład <math>\displaystyle\varepsilon=1</math>) i zauważyć, że od pewnego miejsca ciąg jest
ograniczony.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Załóżmy, że
<math>\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
Ustalmy <math>\displaystyle\varepsilon=1.</math>
Z definicji granicy ciągu mamy
 
<center><math>
 
\exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:
d(x_n,g)<1
</math></center>
 
(to znaczy wszystkie wyrazy ciągu począwszy od <math>N</math>-tego
leża w kuli jednostkowej, a więc tworzą zbiór ograniczony).
Niech teraz
 
<center><math>
 
R
\ =\
\max\big\{
d(x_1,g),\ d(x_2,g),\ \ldots,\ d(x_N,g)
\big\}
+1.
</math></center>
 
Wówczas <math>d(x_n,g)<R</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N},</math> czyli
 
<center><math>
 
\forall n\in \mathbb{N}: x_n\in K(g,R),
</math></center>
 
{{red}[[Rysunek AM1.M03.C.R07 (nowy)]]}<br>
a to oznacza, że ciąg <math>\displaystyle\{x_n\}</math> jest ograniczony.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie||
'''(1)'''
Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów otwartych w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>
takich, że ich przecięcie nie jest zbiorem otwartym.<br>
'''(2)'''
Podać przykład nieskończonej rodziny zbiorów domkniętych w <math>\displaystyle\mathbb{R}</math>
takich, że ich suma nie jest zbiorem domkniętym.
}}
 
{black}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
'''(1)'''
Rozważyć zstępującą
rodzinę przedziałów otwartych
(to znaczy rodzinę zbiorów otwartych, z których każdy następny
jest zawarty w poprzednim).<br>
'''(2)'''
Rozważyć wstępującą rodzinę przedziałów domkniętych
(to znaczy rodzinę zbiorów domkniętych, z których każdy następny
zawiera poprzedni).
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
'''(1)'''
Rozważmy przedziały otwarte
<math>\displaystyle U_n=\big(-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\bigg)</math>
dla <math>n\in\mathbb{N}.</math>
Wówczas
 
<center><math>
 
\bigcap_{n=1}^{\infty}U_n
\ =\
[0,1],
</math></center>
 
oraz przedział <math>\displaystyle [0,1]</math> nie jest zbiorem otwartym.<br>
<br>
'''(2)'''
Rozważmy przedziały domknięte
<math>\displaystyle F_n=\big[\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}\bigg].</math>
Wówczas
 
<center><math>
 
\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n
\ =\
(0,2),
</math></center>
 
oraz przedział <math>\displaystyle (0,2)</math> nie jest zbiorem domkniętym.
{}<math>\Box</math></div></div>
 
{{cwiczenie||
Zbadać czy ciąg
<math>\displaystyle\{x_n\}\subseteq \mathbb{R}^2,</math> gdzie
<math>x_n=\bigg\{\frac{2+n}{n},n\bigg\},</math>
spełnia warunek Cauchy'ego.
}}
 
{black}
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Zbadać odległość dwóch kolejnych wyrazów ciągu
<math>x_n</math> i <math>x_{n+1}</math> dla dowolnego <math>n\in\mathbb{N}.</math>
{}<math>\Box</math></div></div>
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Zauważmy, że
 
<center><math>
 
d_2(x_n,x_{n+1})
\ =\
\sqrt{\underbrace{\bigg(\frac{2+n+1}{n+1}-\frac{2+n}{n}\bigg)^2}_{\ge 0}+(\underbrace{n+1-n}_{=1})^2}
\ \ge\
1,
</math></center>
 
a zatem ciąg ten nie spełnia warunku Cauchy'ego,
gdyż dla dowolnie dużego <math>n\in\mathbb{N}</math>
odległości między kolejnymi wyrazami ciągu
są stale większe od <math>1.</math>
{}<math>\Box</math></div></div>

Aktualna wersja na dzień 08:57, 28 sie 2023

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

Testy

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

When working with character arrays, always reserve enough array elements to hold the string AND its null-terminating character (\0).

True

False

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

In C++, 14 % 4 =

1

2

3

4

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty

Variables that are declared, but not initialized, contain

blank spaces

zeros

"garbage" values

nothing - they are empty


Dlaczego suma ∑i=110i jest źle wyświetlana w wykładniku potęgi?

z∑i=110i



Zadanie 1.

<script type="text/javascript" src="common.js"></script> <script type="text/javascript" src="libot_drag.js"></script>

<img alt="Ikona obiektu Pytanie"

class="iDevice_icon" src="icon_question.gif" /> Zadanie 1,

Liczba Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle <msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">+</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo><msqrt><mrow><mn>3</mn> <mo class="MathClass-bin">&minus;</mo> <mn>2</mn><msqrt><mrow> <mn>2</mn></mrow></msqrt></mrow></msqrt>}   

<tbody> </tbody>
<input type="checkbox" name="option9" id="ia0b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa0b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest dodatnia
<input type="checkbox" name="option9" id="ia1b9"

value="vTrue"

onclick="document.getElementById('sa1b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 jest wymierna
<input type="checkbox" name="option9" id="ia2b9"

value="vFalse"

onclick="document.getElementById('sa2b9').style.display = this.checked ? 'block' : 'none';" />		 nale»y do trójkowego zbioru Cantora.
<a href="index.xml">« previous</a> | <a href="zadanie_2.xml">next »</a>
Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_Arka&oldid=79852”