|
|
| (Nie pokazano 15 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| ==Odległość i ciągi w <math>\displaystyle\mathbb{R}^N.</math> Test==
| |
|
| |
|
| '''1.''' Odległość punktów
| |
| <math>\displaystyle \bigg(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)</math>
| |
| i
| |
| <math>\displaystyle \bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg)</math>
| |
| w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math><br><br>
| |
| '''(a)''' jest większa w metryce <math>d_1</math> niż w metryce <math>d_2</math><br>
| |
| '''(b)''' jest większa w metryce <math>d_2</math> niż w metryce <math>d_{\infty}</math><br>
| |
| '''(c)''' jest większa w metryce <math>d_{\infty}</math> niż w metryce <math>d_1</math><br>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| '''2.''' Ciąg <math>\displaystyle\{a_n\}\subseteq \mathbb{R}^2</math> dany wzorem
| |
| <math>a_n=\bigg((-1)^n\frac{1}{n},(-1)^n\bigg)</math><br>
| |
| '''(a)''' jest ciągiem Cauchy'ego<br>
| |
| '''(b)''' jest zbieżny w <math>\displaystyle\mathbb{R}^2</math><br>
| |
| '''(c)''' ma podciąg spełniający warunek Cauchy'ego
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| '''3.''' Niech <math>A</math> będzie kulą o środku w punkcie <math>\displaystyle (1,1)</math> i promieniu <math>1</math>
| |
| w <math>\displaystyle\rr^2</math> z metryką taksówkową <math>d_1.</math>
| |
| kula ta zawiera się w kuli<br><br>
| |
| '''(a)''' o środku <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce
| |
| taksówkowej <math>d_1</math><br>
| |
| '''(b)''' o środku <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce
| |
| euklidesowej <math>d_2</math><br>
| |
| '''(c)''' o środku <math>\displaystyle (0,0)</math> i promieniu <math>2</math> w metryce
| |
| maksimowej <math>d_{\infty}</math>
| |
|
| |
| nie, nie, tak
| |
|
| |
| '''4.''' Ciąg <math>\displaystyle\frac{1}{4},\frac{1}{9},\frac{1}{16},\frac{1}{25}, \frac{1}{36},\ldots</math>
| |
| jest
| |
| podciągiem ciągu<br>
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}_{n\in \nn}</math><br>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{n^2}\bigg\}_{n\in \nn}</math><br>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle\bigg\{\frac{1}{2n}\bigg\}_{n\in \nn}</math>
| |
|
| |
| tak, tak, nie
| |
|
| |
| '''5.''' Zbiór
| |
| <math>\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg]</math> jest równy<br>
| |
| '''(a)''' <math>\displaystyle\{0\}</math><br>
| |
| '''(b)''' <math>\displaystyle\emptyset</math><br>
| |
| '''(c)''' <math>\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigg(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\bigg)</math>
| |
|
| |
| tak, nie, tak
| |
|
| |
| '''6.''' Niech <math>\displaystyle\{a_n\}</math> będzie ciągiem
| |
| w <math>\displaystyle\rr^4,</math> takim, że
| |
| <math>\displaystyle a_n=\bigg((-1)^n, \frac{1}{n}, (-1)^n\frac{1}{n},(-1)^{n+1}\bigg).</math>
| |
| Wtedy<br>
| |
| '''(a)''' <math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>\displaystyle (1,0,0,1)</math><br>
| |
| '''(b)''' <math>a_n</math> ma podciąg zbieżny do <math>\displaystyle (-1,0,0,1)</math><br>
| |
| '''(c)''' <math>a_n</math> jest rozbieżny
| |
|
| |
| nie, tak, tak
| |
