MIMINF:Analiza matematyczna 2: Różnice pomiędzy wersjami
Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Nie podano opisu zmian |
|||
| (Nie pokazano 6 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) | |||
| Linia 3: | Linia 3: | ||
== Opis == | == Opis == | ||
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne. | |||
== Sylabus == | == Sylabus == | ||
=== Autorzy === | === Autorzy === | ||
* Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki | * Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki, | ||
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki | * Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki, | ||
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki. | |||
=== Wymagania wstępne === | === Wymagania wstępne === | ||
| Linia 15: | Linia 16: | ||
=== Zawartość === | === Zawartość === | ||
# Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic). | |||
# Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych. | |||
# Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne. | |||
# Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne. | |||
# Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny. | |||
[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.] | |||
===Literatura=== | ===Literatura=== | ||
# | # Wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978. | ||
<!-- | <!-- | ||
Aktualna wersja na dzień 01:12, 13 sty 2009
Forma zajęć
Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)
Opis
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne.
Sylabus
Autorzy
- Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
- Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
- Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.
Wymagania wstępne
- Analiza matematyczna 1 oraz Algebra liniowa.
Zawartość
- Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic).
- Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych.
- Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
- Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne.
- Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.
[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]
Literatura
- Wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978.
