MIMINF:Analiza matematyczna 2: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Janusz (dyskusja | edycje)
803 edycje
Nie podano opisu zmian
Janusz (dyskusja | edycje)
803 edycje
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 12 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 3: Linia 3:


== Opis ==
== Opis ==
Kurs jest kontynuacją „Analizy matematycznej 1”. Jego celem jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej i wielu zmiennych.  
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne.


== Sylabus ==
== Sylabus ==


=== Autorzy ===
=== Autorzy ===
* Rafał Czyż — Uniwersytet Jagielloński
* Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
* Leszek Gasiński — Uniwersytet Jagielloński
* Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
* Marta Kosek — Uniwersytet Jagielloński
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.
* Jerzy Szczepański — Uniwersytet Jagielloński
* Halszka Tutaj-Gasińska — Uniwersytet Jagielloński


=== Wymagania wstępne ===
=== Wymagania wstępne ===
* Wymagana jest znajomość ''analizy matematycznej 1'' oraz ''algebry liniowej z geometrią analityczną''.
* ''Analiza matematyczna 1'' oraz ''Algebra liniowa''.


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
* Przestrzenie metryczne:
 
** ciągi w przestrzeniach metrycznych
# Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic).
** zupełność
# Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych.
** zwartość, spójność
# Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
* Przestrzenie unormowane, przestrzenie unitarne
# Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne.
* Ciągi i szeregi funkcyjne:
# Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.
** szeregi potęgowe, szeregi Taylora
 
** trygonometryczne szeregi Fouriera
[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]
* Rachunek różniczkowy w przestrzeniach Banacha i w <math>R^N</math>:
 
** ciągłość funkcji wielu zmiennych
** pochodne cząstkowe i różniczka; interpretacja geometryczna; gradient
** różniczka złożenia
** twierdzenie o funkcjach uwikłanych
** różniczki wyższych rzędów
** wzór Taylora
** ekstrema funkcji wielu zmiennych
** ekstrema warunkowe (metoda mnożników Lagrange'a).
* Wielokrotna całka Riemanna:
** twierdzenie Fubiniego
** wzór Greena
* Równania różniczkowe zwyczajne:
**  twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania problemu Cauchy’ego
** przegląd metod całkowania równań różniczkowych zwyczajnych
** podstawy rachunku wariacyjnego


===Literatura===
===Literatura===
# W. Rudin, ''Podstawy analizy matematycznej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
# Wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978.
# W. Rudnicki, ''Wykłady z analizy matematycznej'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2001.
# J. Ombach, ''Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo – Maple'' wyd. II'',  Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1999.
# G.M. Fichtenholz, ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', tom I, II i III, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# L. Drużkowski, ''Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy'', Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
# L. Drużkowski, ''Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia'', Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
# A. Birkholc, ''Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
# W. Krysicki, L. Włodarski, ''Analiza matematyczna w zadaniach'', część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
# J. Banaś, S. Wędrychowicz, ''Zbiór zadań z analizy matematycznej'', Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.


<!--
<!--

Aktualna wersja na dzień 01:12, 13 sty 2009

Forma zajęć

Wykład (45 godzin) + ćwiczenia (45 godzin)

Opis

Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej, przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych, rachunek różniczkowy wielu zmiennych, rachunek całkowy wielu zmiennych, równania różniczkowe zwyczajne.

Sylabus

Autorzy

  • Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.

Wymagania wstępne

  • Analiza matematyczna 1 oraz Algebra liniowa.

Zawartość

  1. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej: całka nieoznaczona i oznaczona, całkowanie przez części i przez podstawienie, całkowanie funkcji wymiernych, informacje o typowych podstawieniach, całka Riemanna, całkowalność i zbieżność sum Riemanna dla funkcji ciągłych, elementarne własności całki Riemanna, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, twierdzenie (tzw. "I-sze") o wartości średniej, całki niewłaściwe (szkic).
  2. Przestrzenie metryczne i ciągłość funkcji wielu zmiennych: przykłady metryk, normy, zbiory otwarte i domknięte, zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, zwartość w R^n i twierdzenie Bolzano Weierstrassa, granica i ciągłość funkcji, ciągłość funkcji a otwartość/domkniętość zbiorów, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów dla funkcji wielu zmiennych.
  3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych: pochodna funkcji wektorowej 1-nej zmiennej, pochodne cząstkowe i tw. o ekstremach lokalnych, pochodna kierunkowa, różniczka, macierz Jakobiego i jakobian, ciągłość funkcji różniczkowalnych i różniczkowalność funkcji klasy C^1, różniczka złożenia i reguła "łańcuchowa", ekstrema warunkowe i tw. o mnożnikach Lagrange'a, różniczkowanie a lokalna odwracalność, pochodne cząstkowe wyższych rzędów, macierz Hessego i warunki dostateczne na ekstrema lokalne.
  4. Rachunek całkowy wielu zmiennych: definicja całki [wybór podejścia - do wyboru], twierdzenie Fubiniego, całkowanie przez podstawienie, współrzędne biegunowe i sferyczne.
  5. Równania różniczkowe zwyczajne: równania różniczkowe rzędu pierwszego i problem istnienia rozwiązań, przykładowe twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnienia Cauchy'ego (np. dla rozwiązań globalnych), równania skalarne rzędu 1: "o zmiennych rozdzielonych", "liniowe" (w tym "uzmiennianie stałej" w wymiarze 1) i przykłady modeli matematycznych (np. "narodzin i śmierci" Malthusa, "logistyczny", populacji z migracją, modele mutacji w genetyce), n-wymiarowe równania autonomiczne rzędu 1 (pojęcia: przestrzeń fazowa, orbity, pole wektorowe, całka pierwsza), układy równań różniczkowych „liniowych” jednorodnych i metoda znajdowania rozwiązań w przypadku stałych współczynników, sprowadzanie równań skalarnych wyższych rzędów do wektorowych równań rzędu 1, przykład: oscylator harmoniczny.

[Uwaga: w tym wykładzie, z konieczności, bardzo wiele twierdzeń musi być formułowanych bez dowodów; jednocześnie wykład powinien zawierać wiele ilustracji przykładami - np. użycia twierdzeń.]


Literatura

  1. Wybrane rozdziały z podręcznika: Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, 1978.


Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MIMINF:Analiza_matematyczna_2&oldid=75728”