MIMINF:Analiza matematyczna 1: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Janusz (dyskusja | edycje)
803 edycje
Nie podano opisu zmian
Janusz (dyskusja | edycje)
803 edycje
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 11 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 3: Linia 3:


== Opis ==
== Opis ==
Zadaniem kursu „Analiza matematyczna 1” jest zapoznanie studentów z podstawowymi narzędziami rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej w zakresie niezbędnym do zrozumienia treści wykładów kursowych. Kontynuacją tego kursu jest „Analiza matematyczna 2”.


Aksjomatyka liczb rzeczywistych, potęga rzeczywista, ciągi liczbowe, szeregi liczbowe, granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, rachunek różniczkowy jednej zmiennej, zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych.


== Sylabus ==
== Sylabus ==
=== Autorzy ===
=== Autorzy ===
* Rafał Czyż — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
 
* Leszek Gasiński — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Informatyki
* Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
* Marta Kosek — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
* Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
* Jerzy Szczepański — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki
* Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.
* Halszka Tutaj-Gasińska — Uniwersytet Jagielloński, Wydział Matematyki i Informatyki, Instytut Matematyki


=== Wymagania wstępne ===
=== Wymagania wstępne ===
* Wymagana jest znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.
 
* Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.


=== Zawartość ===
=== Zawartość ===
* Zbiory liczbowe i funkcje:
 
** podzbiory zbioru liczb rzeczywistych
# Szkic teorii aksjomatycznej liczb rzeczywistych, w tym też: indukcja, zapis dziesiętny liczb całkowitych, kresy, potęga rzeczywista.
** zbiór liczb zespolonych
# Ciągi liczbowe: zbieżność, elementarne własności granicy skończonej i nieskończonej, podciągi i tw. Bolzano-Weierstrassa, warunek Cauchy'ego i zupełność, informacje o dalszych twierdzeniach z teorii granicy (np. tw. Stolza).
** przegląd funkcji elementarnych
# Szeregi liczbowe: zbieżność i zbieżność bezwzględna, kryteria: porównawcze, asymptotyczne, d'Alemberta, Cauchy'ego, Dirichleta, zmiana kolejności sumowania, iloczyn Cauchy'ego szeregów.
* Ciągi wektorowe i liczbowe:
# Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, własności granicy, własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, ciągłość jednostajna, szeregi potęgowe i kilka funkcji elementarnych (wykładnicza, logarytmiczna, potęgowa, trygonometryczne).
** odległość w <math>\mathbb{R}^N</math>
# Rachunek różniczkowy: własności algebraiczne pochodnej, różniczkowanie elementarnych funkcji, ekstrema lokalne, twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o wartości średniej, reguła de l'Hospitala, wyższe pochodne, wypukłość, wzór Taylora.
** granica; punkt skupienia; granice dolna i górna
# Zbieżności (punktowa, jednostajna, niemal jednostajna) ciągów i szeregów funkcyjnych: norma "sup" funkcji, warunki konieczne i dostateczne (kryt. Weierstrassa) zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych, twierdzenia o ciągłości i o różniczkowalności granicy, informacja o aproksymacji jednostajnej wielomianami.
** granice niewłaściwe
** liczba e
* Szeregi liczbowe:
** warunek konieczny
** szereg geometryczny; szereg harmoniczny
** kryteria zbieżności
* Granica i ciągłość funkcji:
** definicje Cauchy'ego i Heinego
** własność Darboux
** twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą
** granice niewłaściwe
* Pochodna:
** interpretacja geometryczna i fizyczna
** twierdzenia o pochodnych
** symbole nieoznaczone; reguła de l'Hospitala
** twierdzenie Rolle'a, twierdzenie Lagrange'a
** monotoniczność
** ekstrema
** pochodne wyższych rzędów
** wzór Taylora
** wypukłość
** badanie przebiegu zmienności funkcji
* Pierwotna (całka nieoznaczona):
** metody całkowania
* Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej:
** interpretacja geometryczna; funkcje całkowalne w sensie Riemanna
** podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego (Newtona-Leibniza)
** twierdzenie o zmianie zmiennych w całce Riemanna
** długość krzywej
** obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych


===Literatura===
===Literatura===
# W. Rudin, ''Podstawy analizy matematycznej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
# Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN (np. wyd. 6-te, 1973 r.).
# W. Rudnicki, ''Wykłady z analizy matematycznej'', Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.
# G.M. Fichtenholz, ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
# L. Drużkowski, ''Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy'', Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1995.
# L. Drużkowski, ''Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia'', Skrypt Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków 1997.
# W. Krysicki, L. Włodarski, ''Analiza matematyczna w zadaniach'', część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
# J. Banaś, S. Wędrychowicz, ''Zbiór zadań z analizy matematycznej'', Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.


<!--
<!--

Aktualna wersja na dzień 01:11, 13 sty 2009

Forma zajęć

Wykład (30 godzin) + ćwiczenia (30 godzin)

Opis

Aksjomatyka liczb rzeczywistych, potęga rzeczywista, ciągi liczbowe, szeregi liczbowe, granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, rachunek różniczkowy jednej zmiennej, zbieżność ciągów i szeregów funkcyjnych.

Sylabus

Autorzy

  • Marcin Moszyński — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Paweł Strzelecki — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Matematyki,
  • Jerzy Tyszkiewicz — Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Instytut Informatyki.

Wymagania wstępne

  • Znajomość matematyki w zakresie szkoły średniej.

Zawartość

  1. Szkic teorii aksjomatycznej liczb rzeczywistych, w tym też: indukcja, zapis dziesiętny liczb całkowitych, kresy, potęga rzeczywista.
  2. Ciągi liczbowe: zbieżność, elementarne własności granicy skończonej i nieskończonej, podciągi i tw. Bolzano-Weierstrassa, warunek Cauchy'ego i zupełność, informacje o dalszych twierdzeniach z teorii granicy (np. tw. Stolza).
  3. Szeregi liczbowe: zbieżność i zbieżność bezwzględna, kryteria: porównawcze, asymptotyczne, d'Alemberta, Cauchy'ego, Dirichleta, zmiana kolejności sumowania, iloczyn Cauchy'ego szeregów.
  4. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej, własności granicy, własność Darboux, twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów, ciągłość jednostajna, szeregi potęgowe i kilka funkcji elementarnych (wykładnicza, logarytmiczna, potęgowa, trygonometryczne).
  5. Rachunek różniczkowy: własności algebraiczne pochodnej, różniczkowanie elementarnych funkcji, ekstrema lokalne, twierdzenia Rolle'a, Lagrange'a i Cauchy'ego o wartości średniej, reguła de l'Hospitala, wyższe pochodne, wypukłość, wzór Taylora.
  6. Zbieżności (punktowa, jednostajna, niemal jednostajna) ciągów i szeregów funkcyjnych: norma "sup" funkcji, warunki konieczne i dostateczne (kryt. Weierstrassa) zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych, twierdzenia o ciągłości i o różniczkowalności granicy, informacja o aproksymacji jednostajnej wielomianami.

Literatura

  1. Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej, PWN (np. wyd. 6-te, 1973 r.).


Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MIMINF:Analiza_matematyczna_1&oldid=75726”