|
|
| (Nie pokazano 5 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| 121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
| | 5555555555555555555555555555555555555555 Logika |
|
| |
|
| ==Test sprawdzający==
| |
|
| |
|
| <quiz>Rozważmy funkcję <math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określoną wzorem:
| |
|
| |
|
| <center><math>\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
| |
| -x^2\ln{|x|}, & x \neq 0\\
| |
| 0, & x=0.
| |
| \end{array} \right. </math></center>
| |
|
| |
|
| Wówczas:
| | 10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika |
| | |
| <wrongoption>nie istnieje wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.</rightoption>
| |
| <wrongoption>wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa <math>\displaystyle 0</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest liczbą niewymierną.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że próbka prosta <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
| |
| o gęstości: <center><math>\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),</math></center>
| |
| | |
| gdzie <math>\displaystyle I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>\displaystyle [0,\infty)</math>, oraz że <math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
| |
| największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.
| |
| Wtedy:
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności wartości oczekiwanej.</rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
| |
| ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
| |
| Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
| |
| \begincenter
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| |
| |
| Wiek || <math>\displaystyle 10</math> || <math>\displaystyle 30</math> || <math>\displaystyle 80</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| Liczba chorych || <math>\displaystyle 1</math> || <math>\displaystyle 5</math> || <math>\displaystyle 9</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| .
| |
| \endcenter
| |
| Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
| |
| parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \theta>\frac{1}{80}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \theta=0.01</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125)</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>żadne z powyższych.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak <math>\displaystyle \alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
| |
| <math>\displaystyle [\alpha,0]</math> jest:
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 2\bar{X}</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
| |
| punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
| |
| za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
| |
| pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
| |
| celność <math>\displaystyle p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
| |
| estymator <math>\displaystyle \hat{p}</math> nieznanej wartości <math>\displaystyle p</math>. Oceń
| |
| prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle \hat{p}<0.5</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \hat{p}<0.4</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \hat{p}=0.4</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\displaystyle \hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
| |
| przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
| |
| komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
| |
| zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
| |
| (w godzinach):
| |
| <center><math>\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.</math></center>
| |
| | |
| Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
| |
| rozkład wykładniczy z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math>, to, korzystając z
| |
| metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \hat{m}=2.9</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\displaystyle \lambda</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| 131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo <math>\displaystyle 50</math> sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech
| |
| <math>\displaystyle (a,b)</math> będzie <math>\displaystyle 95\%</math> przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle a\approx -0.1</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle a\approx -0.0143</math>, <math>\displaystyle b=0.1</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle |a-b|\leq 0.1</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru
| |
| elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji
| |
| <math>\displaystyle 0.04^\circ</math>C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury
| |
| wystarczy dokonać, aby mieć <math>\displaystyle 99\%</math> pewności, że średnia z
| |
| otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z
| |
| błędem nie większym niż <math>\displaystyle 0.01^\circ</math>C?
| |
| | |
| <rightoption>2 670.</rightoption>
| |
| <rightoption>3 000.</rightoption>
| |
| <wrongoption>2 000.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>2 652.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Do weryfikacji pewnej hipotezy <math>\displaystyle \mathrm{H}_0</math> użyto statystyki testowej <math>\displaystyle U</math>, której rozkład, przy założeniu prawdziwości <math>\displaystyle \mathrm{H_0}</math>, jest rozkładem Studenta o <math>\displaystyle 10</math> stopniach swobody, otrzymując <math>\displaystyle U\approx 1.812</math> oraz wartość-<math>\displaystyle p</math> w przybliżeniu równą <math>\displaystyle 0.05</math>.
| |
| Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>, którego użyto w tym teście?
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle K=[-a,a]</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle K=(-\infty,-a]\cup [a,\infty)</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle K=[a,\infty)</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle K=(-\infty,a]</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada
| |
| rozkład <math>\displaystyle N(\mu,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich
| |
| iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na
| |
| poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.1</math> przetestowano hipotezę <math>\displaystyle H_0\colon
| |
| \mu =124</math>, przy alternatywie <math>\displaystyle H_1\colon \mu <124</math>. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <rightoption>Wynik testu sugerował odrzucenie <math>\displaystyle H_0</math> na korzyść <math>\displaystyle H_1</math>.</rightoption>
| |
| <rightoption>Nie byłoby podstaw do odrzucenia <math>\displaystyle H_0</math>, gdyby <math>\displaystyle \alpha</math> było równe <math>\displaystyle \frac{1}{10000000}</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption>Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy <math>\displaystyle H_0</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Wartość-<math>\displaystyle p</math> wyniosła w tym teście około <math>\displaystyle 0,00000029</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Testujemy pewną hipotezę <math>\displaystyle H_0</math>, wykorzystując statystykę <math>\displaystyle T</math> oraz zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>.
| |
| Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle )</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle )</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle P(T\in K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle )</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle )</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić,
| |
| która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C,
| |
| D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo
| |
| wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im
| |
| do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:
| |
| \begincenter
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | A || B || C || D || E
| |
| |-
| |
| |
| |
| 35 || 45 || 40 || 50 || 30
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endcenter
| |
| Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <wrongoption>Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą <math>\displaystyle 6.5</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny <math>\displaystyle K=(a,\infty)</math>, gdzie <math>\displaystyle a\approx 0.297</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.075</math> wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu.</wrongoption>
| |
| <rightoption>Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.05</math> wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| 14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Na bazie próbki prostej: <center><math>\displaystyle -0.75, -0.03, -0.72, -0.6,</math></center>
| |
| | |
| pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module
| |
| metod wyznaczono <math>\displaystyle 4</math>-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:
| |
| <center><math>\displaystyle f(x)=0,\!25\mathrm{I}_{[0,1]}+0,\!75\mathrm{I}_{(1,2]}.</math></center>
| |
| | |
| Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle 1.96,1,-0.29,-0.13</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1.67,0.12,-0.29,-0.13</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 1, 0.12,1.63,1.47</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 1.47,1.63,0.12,1.67</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:
| |
| <center><math>\displaystyle X_{n+1}=aX_n+b \;\;(\mathrm{mod } \;p),</math></center>
| |
| | |
| z pewnością nie da zadowalających rezultatów?
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle a=b=p</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle a\neq p</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle X_0=p^2</math> .</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle a\neq b</math>, <math>\displaystyle X_0>0</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> (<math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> -- znane),
| |
| można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku <math>\displaystyle (a,b)</math> (<math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> -- dowolne)?
| |
| | |
| <rightoption>Tak.</rightoption>
| |
| <wrongoption>Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=1</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle a=0</math> i <math>\displaystyle b=1</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=b=1</math> i <math>\displaystyle a=0</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Które z poniższych funkcji są jądrami?
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| |x|, & |x| < 1\\
| |
| 0, & |x| \ge 1 \end{array} \right. </math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| |x-1|, & 0<x< 2\\
| |
| 0, & x\leq 0 \textrm{ lub } x\geq 2 \end{array} \right. </math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle K(x)=\frac{1}{2}\cos{x}\cdot I_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(x)</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| \frac{1}{2}, & |x| < 2\\
| |
| 0, & |x| \ge 2 \end{array} \right. </math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na
| |
| średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie
| |
| 10 replikacji próbki:
| |
| <center><math>\displaystyle 4,1,1,</math></center>
| |
| | |
| może być:
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0.535</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 2.275</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 4.12</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 2.271</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Dla próbki prostej:
| |
| <center><math>\displaystyle 1,3,2,3,4,2,5,</math></center>
| |
| | |
| otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości <math>\displaystyle \hat{f}</math> taki, że <math>\displaystyle \hat{f}(2)=\frac{1}{4}</math>.
| |
| Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{6}{7}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle \frac{8}{7}</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle 2</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle 0.1</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
