Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 10 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
7777777777777777777777777777777777777777777777777
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


==Test sprawdzający==


<quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.1</math>, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:


<wrongoption><math>\displaystyle {\Bbb E}(X) = 3.2</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 6.25</math>.</wrongoption>
<wrongoption>średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi  <math>\displaystyle 2.32</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle q_{0.9} =  6</math></wrongoption>
</quiz>


 
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
<quiz>Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy <math>\displaystyle w</math> zł, a otrzymujemy <math>\displaystyle a</math> zł za wyciągnięcie asa,
15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz <math>\displaystyle x</math> zł za wyciągnięcie karty mającej <math>\displaystyle x</math> oczek. Gra jest sprawiedliwa, gdy:
 
<rightoption><math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle w = 8</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle a = 10</math>, <math>\displaystyle w = 7</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle a = 100</math>, <math>\displaystyle w = 15</math>.</wrongoption>
<wrongoption>nigdy nie jest sprawiedliwa.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma gęstość:
 
<center><math>\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
    0 & \hbox{dla } x < 0 \\
    xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\
\end{array} \right.
</math></center>
 
Oceń prawdziwość następujących zdań:
 
<rightoption><math>\displaystyle {\Bbb E}(X) = 2</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 2</math>.</rightoption>
<rightoption>średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi <math>\displaystyle 8e^{-2}</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle q_{0.5} \approx  1.68</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
<wrongoption>Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną.</wrongoption>
<rightoption>Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana.</rightoption>
<rightoption>Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru.</rightoption>
<wrongoption>Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją i są skończone.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,1)</math>, a następnie utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech <math>\displaystyle X</math> będzie długością tej łamanej. Wtedy:
 
<rightoption><math>\displaystyle P(|X - 2| > 1) \le \frac{1}{3}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle P(|X - 2| < \sqrt{3}) \ge \frac{8}{9}</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle P(|X - 2| < 2) \ge 1</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle P(X = 2) = 0</math></rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:
<center><math>\displaystyle (48\% </math>  liczby rzutów <math>\displaystyle  , 52\% </math>  liczby rzutów <math>\displaystyle  ),</math></center> z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.99</math> lub większym?
 
<wrongoption>Co najmniej 1 000 000 razy.</wrongoption>
<rightoption>Wystarczy rzucić 100 000 razy.</rightoption>
<wrongoption>Dokładnie 4 250 razy.</wrongoption>
<rightoption>Na przykład 62 500 razy.</rightoption>
</quiz>
 
 
8888888888888888888888888888888888888888888888888888888
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>Z urny zawierającej <math>\displaystyle L_n</math> niebieskich i <math>\displaystyle L_c</math> czarnych kul  losujemy <math>\displaystyle k</math> kul. Niech <math>\displaystyle N</math> oraz <math>\displaystyle C</math> oznaczają
liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:
 
<wrongoption><math>\displaystyle N</math> ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem.</wrongoption>
<rightoption>wektor losowy  <math>\displaystyle (N,C)</math> ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle {\Bbb E}(N) = \frac{kL_n}{L_n+L_c}</math>, gdy losowanie odbywa się bez zwracania.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle C</math> ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> ma rozkład Poissona o parametrze <math>\displaystyle \lambda = 4</math>. Wtedy:
 
<rightoption><math>\displaystyle P(X = 0) \approx 0.018</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle P(X \le 7) \approx 0.99</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle P(X > 4) \approx 0.37</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle P(1 < X \le 5) \approx 0.69</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział <math>\displaystyle [a,b]</math> taki, że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym przedziale.
 
<wrongoption><math>\displaystyle a = 7</math>, <math>\displaystyle b = 20</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle a = 0</math>, <math>\displaystyle b = 14</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle b = 15</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle a = 6</math>, <math>\displaystyle b = 16</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Prawdopodobieństwo <math>\displaystyle q</math> tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach
jest:
 
<wrongoption>w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.35</math>.</wrongoption>
<rightoption>w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.24</math>.</rightoption>
<rightoption>mniejsze niż <math>\displaystyle 0.5</math>.</rightoption>
<wrongoption>większe <math>\displaystyle 0.5</math>.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi <math>\displaystyle 0.005</math>. Zakładając, że awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo <math>\displaystyle Pr</math> tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co najmniej dwie awarie.
 
<wrongoption><math>\displaystyle Pr > 0.8</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Pr < 0.5</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Pr \approx 0.4943</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle Pr > 0.7</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?
 
<rightoption>24 minuty.</rightoption>
<wrongoption>2.5 godziny.</wrongoption>
<wrongoption>20 minut.</wrongoption>
<wrongoption>12 minut.</wrongoption>
</quiz>
 
 
999999999999999999999999999999999999999999999999
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>Liczba <math>\displaystyle q\approx 3.5631</math> jest kwantylem rzędu <math>\displaystyle p=0.9</math>
rozkładu normalnego <math>\displaystyle N(m, \sigma)</math>, gdy:
 
<wrongoption><math>\displaystyle m=2</math>, <math>\displaystyle \sigma=1</math>.</wrongoption>
<rightoption>funkcja <math>\displaystyle F(x)=\Phi(\frac{x}{2}-0.5)</math> jest dystrybuantą rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle \Phi(q)=p</math>.</wrongoption>
<rightoption><math>\displaystyle \Phi_{m,\sigma}(1)=0.5</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_n</math> będą zmiennymi losowymi o rozkładach <math>\displaystyle N(0,1),N(0,2),\ldots, N(0,n)</math> oraz
niech: <center><math>\displaystyle Y=X_1+\frac{X_2}{2}+ \ldots +\frac{X_n}{n}.</math></center>
Wówczas:
 
<rightoption><math>\displaystyle {\Bbb E}(Y)=0</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle {\Bbb D}^2(Y)=n</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,\sqrt{n})</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,n)</math>.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?
 
<wrongoption>Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny.</wrongoption>
<rightoption>Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny.</rightoption>
<rightoption>Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny.</rightoption>
<rightoption>Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi
0.1\%. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby
mieć co najmniej 99\% pewności, że wśród nich są
przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?
 
<wrongoption>2 000 osób.</wrongoption>
<rightoption>3 000 osób.</rightoption>
<wrongoption>2 110 osób lub mniej.</wrongoption>
<wrongoption>2 106 osób.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji
posiada rozkład <math>\displaystyle N(124,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób. Niech <math>\displaystyle Pr</math> oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od średniej dla całej populacji. Wówczas:
 
<rightoption><math>\displaystyle Pr \approx 0.7</math>.</rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle Pr\in (0.6,0.7)</math>.</rightoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Pr > 0.7</math>.</wrongoption>
<wrongoption><math>\displaystyle Pr \approx 0.5</math>.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001.
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
<rightoption>Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru.</rightoption>
<rightoption>Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%.</rightoption>
<rightoption>Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%.</rightoption>
<wrongoption>Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną.</wrongoption>
</quiz>
 
 
101010101010101010101010101010101010101010101010
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>W przykładzie [[##markov13|Uzupelnic markov13|]] przestrzenią stanów jest:
 
<rightoption>zbiór liczb całkowitych.</rightoption>
<wrongoption>zbiór liczb rzeczywistych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór liczb naturalnych.</wrongoption>
<wrongoption>zbiór <math>\displaystyle \{-1,0,1\}</math>.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle \xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
Określmy: <center><math>\displaystyle X_0 = 0 </math>  oraz  <math>\displaystyle  X_{i} = X_{i-1} + \xi_i </math>  dla  <math>\displaystyle  i =
1,2,3, \dots.</math></center>
Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\displaystyle \{X_i\}</math> jest
łańcuchem Markowa, w którym:
 
<rightoption>przestrzeń stanów <math>\displaystyle E</math> jest zbiorem liczb naturalnych <math>\displaystyle 0,1,2, \dots</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k) = 0</math> oraz <math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k+1) = \mathbf{p}(k,k+6)</math> dla każdego <math>\displaystyle k \in E</math>.</rightoption>
<wrongoption>każde dwa stany się komunikują.</wrongoption>
<rightoption>suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> jest równa 1.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:
 
<center><math>\displaystyle \mathbf{P} = \left[
\begin{array} {cc}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
1 & 0
\end{array}
\right].
</math></center>
 
Wtedy:
 
<rightoption>łańcuch ten jest powracający.</rightoption>
<rightoption>łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
<wrongoption>łańcuch ten jest okresowy.</wrongoption>
<rightoption>łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math> i  <math>\displaystyle \frac{1}{3}</math>.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
<wrongoption>Jeżeli ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E \subset {\Bbb R}</math>, to także ciąg <math>\displaystyle X_n^2</math> jest łańcuchem Markowa  na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E</math>.</wrongoption>
<wrongoption>Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny.</wrongoption>
<wrongoption>Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny.</wrongoption>
<rightoption>Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten jest nieredukowalny.</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math> będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie [[##markov10|Uzupelnic markov10|]] dla <math>\displaystyle k = 3</math>. Wtedy:
 
<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> ma skończony zbiór stanów.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest nieredukowalny.</rightoption>
<rightoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest powracający.</rightoption>
<wrongoption>łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest okresowy.</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math>, <math>\displaystyle n = 0,1,2,3, \dots </math>,  będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie <math>\displaystyle Q</math>.
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
<wrongoption>Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki.</wrongoption>
<rightoption>Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze macierzy przejścia są sobie równe.</rightoption>
<wrongoption>Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie kolumny macierzy przejścia są sobie równe.</wrongoption>
<wrongoption>Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne).</wrongoption>
</quiz>
 
 
111111111111111111111111111111111111111111111111
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz> Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie
dwupunktowym <math>\displaystyle (0,1,p)</math>: <center><math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}{n}\bar{X} \;\; </math> oraz <math>\displaystyle  \;\;
T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.</math></center>
Wówczas:
 
    <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- asymptotycznie nieobciążonym. {T}
    <math>\displaystyle S</math> nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. {N}
    <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- obciążonym. {N}
    <math>\displaystyle T</math> jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru <math>\displaystyle \alpha</math> w
rozkładzie jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,\alpha)</math>:
<center><math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}.</math></center>
 
    <math>\displaystyle T</math> jest obciążony. {N}
    <math>\displaystyle T</math> jest asymptotycznie nieobciążony. {T}
    <math>\displaystyle T</math> jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. {N}
    <math>\displaystyle T</math> jest nieobciążony. {T}
</quiz>
 
 
<quiz>Przeprowadzono <math>\displaystyle n</math> prób Bernoulliego  <math>\displaystyle X_1, \dots, X_n</math> , z jednakowym
prawdopodobieństwem sukcesu <math>\displaystyle p</math> każda. Co jest dobrym
przybliżeniem parametru <math>\displaystyle p</math>?
 
    Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". {N}
    <math>\displaystyle \frac{k}{n}</math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. {T}
    <math>\displaystyle \frac{n-k}{n}</math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle \sum \frac{X_i}{n}</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Jeżeli estymator <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \theta</math>, to:
 
    <math>\displaystyle \displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\longrightarrow}\theta</math> (symbol
        <math>\displaystyle \stackrel{s}{\longrightarrow}</math> został wprowadzony w uwadze [[##usz|Uzupelnic usz|]]). {T}
    <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
            \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}{n} = \theta\right\}\right) =1 </math>. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
            \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1 </math>. {T}
    <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
            \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1 </math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Próbka prosta:
<center><math>\displaystyle 0,2,1,2,5,0,3,4,4,2</math></center>
 
pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem <math>\displaystyle \lambda>0</math>. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia
parametru <math>\displaystyle \lambda</math>?
 
    <math>\displaystyle 3.0</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2.3</math>. {T}
    <math>\displaystyle 3.1</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2.4</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej
"szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):
<center><math>\displaystyle 2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.</math></center>
 
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
    Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. {N}
    Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". {T}
    Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
    wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. {N}
    Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to  prawdopodobieństwo
    otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1\%. {T}
</quiz>
 
 
121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>Rozważmy funkcję <math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określoną wzorem:
 
<center><math>\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
-x^2\ln{|x|}, &  x \neq 0\\
0, & x=0.
\end{array}  \right. </math></center>
 
Wówczas:
 
    nie istnieje wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math>. {N}
    funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów.  {T}
    wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa <math>\displaystyle 0</math>. {N}
    wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest liczbą niewymierną. {T}
</quiz>
 
 
<quiz>Załóżmy, że próbka prosta <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
o gęstości: <center><math>\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),</math></center>
 
gdzie <math>\displaystyle I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>\displaystyle [0,\infty)</math>, oraz że <math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.
Wtedy:
 
    <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
    wartości oczekiwanej. {T}
    <math>\displaystyle \frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \alpha</math>. {T}
    <math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
\begincenter
 
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
|
  Wiek  ||  <math>\displaystyle 10</math>  ||  <math>\displaystyle 30</math>  ||  <math>\displaystyle 80</math>
|-
|
  Liczba chorych  ||  <math>\displaystyle 1</math>  ||  <math>\displaystyle 5</math>  ||  <math>\displaystyle 9</math>
|-
|
 
|}
 
.
\endcenter
Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
 
    <math>\displaystyle \theta>\frac{1}{80}</math>. {N}
    <math>\displaystyle \theta=0.01</math>. {N}
    <math>\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125)</math>. {N}
    żadne z powyższych. {T}
</quiz>
 
 
<quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak <math>\displaystyle \alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
<math>\displaystyle [\alpha,0]</math> jest:
 
    <math>\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {N}
    <math>\displaystyle \frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2\bar{X}</math>. {N}
    <math>\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {T}
</quiz>
 
 
<quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
celność <math>\displaystyle p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
estymator <math>\displaystyle \hat{p}</math> nieznanej wartości <math>\displaystyle p</math>. Oceń
prawdziwość poniższych zdań.
 
    <math>\displaystyle \hat{p}<0.5</math>. {T}
    <math>\displaystyle \hat{p}<0.4</math>. {N}
    <math>\displaystyle \hat{p}=0.4</math>. {T}
    <math>\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\displaystyle \hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
zmierzono czas od momentu uruchomienia do  momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
(w godzinach):
<center><math>\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.</math></center>
 
Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
rozkład wykładniczy z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math>, to, korzystając z
metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
 
    <math>\displaystyle \hat{m}=2.9</math>. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\displaystyle \lambda</math>. {N}
    <math>\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. {T}
</quiz>
 
 
131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo <math>\displaystyle 50</math> sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech
<math>\displaystyle (a,b)</math> będzie <math>\displaystyle 95\%</math> przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:
 
    <math>\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)</math>. {T}
    <math>\displaystyle a\approx -0.1</math>. {N}
    <math>\displaystyle a\approx -0.0143</math>, <math>\displaystyle b=0.1</math>. {N}
    <math>\displaystyle |a-b|\leq 0.1</math>.  {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru
elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji
<math>\displaystyle 0.04^\circ</math>C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury
wystarczy dokonać, aby mieć <math>\displaystyle 99\%</math> pewności, że średnia z
otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z
błędem nie większym niż <math>\displaystyle 0.01^\circ</math>C?
 
    2 670. {T}
    3 000. {T}
    2 000. {N}
    2 652. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Do weryfikacji pewnej hipotezy <math>\displaystyle \mathrm{H}_0</math> użyto statystyki testowej <math>\displaystyle U</math>, której
rozkład, przy założeniu
prawdziwości <math>\displaystyle \mathrm{H_0}</math>, jest rozkładem Studenta o
<math>\displaystyle 10</math> stopniach swobody,
otrzymując <math>\displaystyle U\approx 1.812</math> oraz wartość-<math>\displaystyle p</math> w przybliżeniu równą <math>\displaystyle 0.05</math>.
Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>, którego użyto w tym teście?
 
    <math>\displaystyle K=[-a,a]</math>. {N}
    <math>\displaystyle K=(-\infty,-a]\cup [a,\infty)</math>. {N}
    <math>\displaystyle K=[a,\infty)</math>. {T}
    <math>\displaystyle K=(-\infty,a]</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada
rozkład <math>\displaystyle N(\mu,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich
iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na
poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.1</math> przetestowano hipotezę <math>\displaystyle H_0\colon
\mu =124</math>, przy alternatywie <math>\displaystyle H_1\colon \mu <124</math>. Oceń
prawdziwość poniższych zdań.
 
    Wynik testu sugerował odrzucenie <math>\displaystyle H_0</math> na korzyść <math>\displaystyle H_1</math>. {T}
    Nie byłoby podstaw do odrzucenia <math>\displaystyle H_0</math>, gdyby <math>\displaystyle \alpha</math> było równe <math>\displaystyle \frac{1}{10000000}</math>. {T}
    Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy <math>\displaystyle H_0</math>. {N}
    Wartość-<math>\displaystyle p</math> wyniosła w tym teście około <math>\displaystyle 0,00000029</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Testujemy pewną hipotezę <math>\displaystyle H_0</math>, wykorzystując statystykę <math>\displaystyle T</math> oraz zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>.
Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?
 
    <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>. {N}
    <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>. {T}
    <math>\displaystyle P(T\in K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle  )</math>. {N}
    <math>\displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle  )</math>. {T}
</quiz>
 
 
<quiz>Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić,
która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C,
D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo
wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im
do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:
\begincenter
 
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| A  ||  B  ||  C  ||  D  ||  E
|-
|
        35 ||  45 ||  40 ||  50 ||  30
|-
|
 
|}
 
\endcenter
Oceń prawdziwość poniższych zdań.
 
    Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
        <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
        stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą <math>\displaystyle 6.5</math>. {N}
    Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
        <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
        stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny <math>\displaystyle K=(a,\infty)</math>, gdzie <math>\displaystyle a\approx 0.297</math>. {N}
    Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
        <math>\displaystyle \alpha=0.075</math> wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. {N}
    Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
        <math>\displaystyle \alpha=0.05</math> wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. {T}
</quiz>
 
 
14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414
 
==Test sprawdzający==
 
<quiz>Na bazie próbki prostej: <center><math>\displaystyle -0.75, -0.03, -0.72, -0.6,</math></center>
 
pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module
metod wyznaczono <math>\displaystyle 4</math>-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:
<center><math>\displaystyle f(x)=0,\!25\mathrm{I}_{[0,1]}+0,\!75\mathrm{I}_{(1,2]}.</math></center>
 
Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.
 
    <math>\displaystyle 1.96,1,-0.29,-0.13</math>. {T}
    <math>\displaystyle 1.67,0.12,-0.29,-0.13</math>. {N}
    <math>\displaystyle 1, 0.12,1.63,1.47</math>. {N}
    <math>\displaystyle 1.47,1.63,0.12,1.67</math>.  {T}
</quiz>
 
 
<quiz>W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:
<center><math>\displaystyle X_{n+1}=aX_n+b  \;\;(\mathrm{mod } \;p),</math></center>
 
z pewnością nie da zadowalających rezultatów?
 
    <math>\displaystyle a=b=p</math>. {T}
    <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle a\neq p</math>. {N}
    <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle X_0=p^2</math> . {T}
    <math>\displaystyle a\neq b</math>, <math>\displaystyle X_0>0</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> (<math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> -- znane),
można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku <math>\displaystyle (a,b)</math> (<math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> -- dowolne)?
 
    Tak. {T}
    Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=1</math>. {N}
    Tak,  ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle a=0</math> i <math>\displaystyle b=1</math>. {N}
    Tak,  ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=b=1</math> i <math>\displaystyle a=0</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Które z poniższych funkcji są jądrami?
 
    <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
        |x|, &  |x| < 1\\
        0, & |x| \ge 1 \end{array} \right. </math>. {T}
    <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
        |x-1|, &  0<x< 2\\
        0, & x\leq 0 \textrm{ lub } x\geq 2 \end{array} \right. </math>. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle K(x)=\frac{1}{2}\cos{x}\cdot I_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(x)</math>. {T}
    <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
        \frac{1}{2}, &  |x| < 2\\
        0, & |x| \ge 2 \end{array} \right. </math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na
średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie
10 replikacji próbki:
<center><math>\displaystyle 4,1,1,</math></center>
 
może być:
 
    <math>\displaystyle 0.535</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2.275</math>. {T}
    <math>\displaystyle 4.12</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2.271</math>. {N}
</quiz>
 
 
<quiz>Dla próbki prostej:
<center><math>\displaystyle 1,3,2,3,4,2,5,</math></center>
 
otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości <math>\displaystyle \hat{f}</math> taki, że <math>\displaystyle \hat{f}(2)=\frac{1}{4}</math>.
Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?
 
    <math>\displaystyle \displaystyle \frac{6}{7}</math>. {N}
    <math>\displaystyle \displaystyle \frac{8}{7}</math>. {N}
    <math>\displaystyle 2</math>. {T}
    <math>\displaystyle 0.1</math>. {N}
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”