|
|
| (Nie pokazano 16 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| 333333333333333333333333333333333333333333
| | 5555555555555555555555555555555555555555 Logika |
|
| |
|
| ==Test sprawdzający==
| |
|
| |
|
| <quiz>Niech <math>\displaystyle (\Omega,\Sigma ,P)</math> będzie dowolną przestrzenią
| |
| probabilistyczną. Wówczas dla dowolnych zbiorów <math>\displaystyle A,B\subset \Sigma</math> takich, że
| |
| <math>\displaystyle A\subset B</math> zachodzi:
| |
|
| |
|
| <wrongoption><math>\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)</math>?</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A\cap B)</math>?</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle P(A\cap B)<P(B)</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle P(A\setminus B)=0</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
|
| |
|
| <quiz>Które z poniższych rodzin
| | 10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika |
| stanowią <math>\displaystyle \sigma</math>-algebry w zbiorze liczb naturalnych <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>?
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle \{\emptyset, 2\mathbb{N}, \mathbb{N}\setminus 2\mathbb{N}, \mathbb{N}\}</math>, gdzie <math>\displaystyle 2\mathbb{N}</math> oznacza zbiór liczb naturalnych parzystych.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \{\emptyset, A_2, A_3, \mathbb{N}\}</math>, gdzie <math>\displaystyle A_n</math> oznacza zbiór liczb naturalnych podzielnych przez <math>\displaystyle n</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{n=10}^\infty{\cal P}(\{0,1,2,\ldots,n\})</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption>Rodzina co najmniej 10-elementowych podzbiorów <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Rzucono <math>\displaystyle 100</math> razy monetą. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <wrongoption>Orła wyrzucono co najmniej <math>\displaystyle 50</math> razy.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Nie jest możliwe, że za każdym razem otrzymano reszkę.</wrongoption>
| |
| <rightoption>Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 2 orłów jest równe prawdopodobieństwu otrzymania dokładnie 98 reszek.</rightoption>
| |
| <wrongoption>Zdarzenie polegające na wyrzuceniu co najmniej 10 orłów lub co najwyżej 99 reszek jest zdarzeniem pewnym.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Rozważmy dowolnie ustaloną miarę <math>\displaystyle \mu</math>, określoną na <math>\displaystyle \sigma</math>-algebrze zbiorów borelowskich w przestrzeni <math>\displaystyle {\Bbb R}^2</math>. Wówczas:
| |
| | |
| <wrongoption><math>\displaystyle \mu</math> jest miarą Lebesgue'a.</wrongoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle \mu({\Bbb R}^2)=1</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>każde koło o promieniu 1 jest zbiorem <math>\displaystyle \mu</math>-mierzalnym.</rightoption>
| |
| <rightoption>jeżeli <math>\displaystyle \mu((0,1) \times (0,1)) > 0 </math>, to <math>\displaystyle \mu(A) > 0</math>, gdzie <math>\displaystyle A</math> jest kołem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu <math>\displaystyle 2</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Trzy osoby wybierają spośród trzech różnych par rękawiczek
| |
| po lewej i prawej rękawiczce. Prawdopodobieństwo tego, że żadna z nich nie dostała pary:
| |
| | |
| <rightoption>jest większe od prawdopodobieństwa tego, że wszyscy otrzymali sparowane rękawiczki.</rightoption>
| |
| <wrongoption>jest równe dokładnie <math>\displaystyle 0.33</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>wynosi dokładnie <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>jest mniejsze niż <math>\displaystyle \frac{1}{2}</math>.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Które z poniższych zdań są prawdziwe?
| |
| | |
| <wrongoption>Jeżeli w 100 kolejnych rzutach monetą za każdym razem otrzymano orła, to w następnym rzucie prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia orła.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>W każdej przestrzeni probabilistycznej <math>\displaystyle (\Omega,\Sigma ,P)</math> znajdziemy niepusty zbiór <math>\displaystyle A</math> taki, że <math>\displaystyle P(A)=0</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>Każda nieskończona przestrzeń probabilistyczna zawiera niepuste zdarzenie o zerowym prawdopodobieństwie.</wrongoption>
| |
| <rightoption>Wśród 400 losowo wybranych osób znajdują się dwie, które obchodzą urodziny w tym samym dniu.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| 44444444444444444444444444444444444444444
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Dla dowolnych liczb naturalnych <math>\displaystyle r</math> i <math>\displaystyle n</math> takich, że <math>\displaystyle 1\leq n\leq r</math>, prawdopodobieństwa zdarzeń
| |
| elementarnych występujących w schematach losowania <math>\displaystyle n</math> ze zbioru <math>\displaystyle r</math>-elementowego elementów, bez zwracania i ze zwracaniem:
| |
| | |
| <wrongoption>są zawsze różne od siebie.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>są zawsze sobie równe. </wrongoption>
| |
| <wrongoption>są zawsze mniejsze niż <math>\displaystyle 1</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>żadne z powyższych.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle K\subset \mathbb{R}^2</math> będzie danym kwadratem o boku <math>\displaystyle 1</math> oraz niech <math>\displaystyle (K,\Sigma, P)</math> będzie
| |
| przestrzenią probabilistyczną występującą w definicji [[##dpg|Uzupelnic dpg|]]. Wówczas:
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle P(A)=\mu(A)</math> dla każdego <math>\displaystyle A\in \Sigma</math> (<math>\displaystyle \mu</math> oznacza dwuwymiarową miarę Lebesgue'a).</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle P(A)<\mu(A)</math> dla pewnego <math>\displaystyle A\in \Sigma</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle P(O)=0</math>, gdzie <math>\displaystyle O</math> jest okręgiem wpisanym w kwadrat <math>\displaystyle K</math>.</rightoption>
| |
| <rightoption>wnętrze kwadratu <math>\displaystyle K</math> jest zdarzeniem pewnym.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Spośród 3 kul niebieskich i 4 kul czarnych losujemy 3 kule. Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania
| |
| co najmniej 2 kul niebieskich:
| |
| | |
| <wrongoption>jest większe w przypadku losowania bez zwracania.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest mniejsze, w przypadku losowania ze zwracaniem, niż prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 kul czarnych.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest w każdym przypadku mniejsze niż <math>\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption>jest większe, w przypadku losowania bez zwracania, niż prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej 3 kul czarnych.</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Maciek jest zapalonym kinomanem, uwielbiającym jednocześnie pływanie. Codziennie wieczorem wychodzi z domu,
| |
| udając się na najbliższy przystanek autobusowy, gdzie dociera między godziną <math>\displaystyle 19^{00}</math> a <math>\displaystyle 20^{00}</math> (każdy moment
| |
| jest jednakowo prawdopodobny). Z przystanku tego odjeżdżają
| |
| autobusy linii <math>\displaystyle 109</math> i <math>\displaystyle 110</math>, wg następującego rozkładu:
| |
| <center><math>\displaystyle 109\colon 19^{05}, 19^{30}, 19^{55},</math></center>
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle 110\colon 19^{11}, 19^{36}, 20^{01}.</math></center>
| |
| | |
| Autobusem nr <math>\displaystyle 109</math> Maciek dojeżdża do swojego ulubionego kina, zaś autobusem nr <math>\displaystyle 100</math> - do ulubionego basenu,
| |
| przy czym zawsze wybiera ten, który nadjedzie jako pierwszy. Jeżeli <math>\displaystyle A</math> oznacza zdarzenie polegające na tym, że Maciek w danym dniu znajdzie się w kinie (w przeciwnym razie będzie pływać w basenie), to zakładając bezwzględną punktualność
| |
| autobusów:
| |
| | |
| <wrongoption>zdarzenia <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle \Omega\setminus A</math> zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem, ponieważ w interesującym nas okresie czasu odjeżdża tyle samo autobusów linii <math>\displaystyle 109</math>, co <math>\displaystyle 110</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>zdarzenie <math>\displaystyle A</math> jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie przeciwne do <math>\displaystyle A</math>, ponieważ autobusy nr <math>\displaystyle 109</math> odjeżdżają wcześniej, niż odpowiadające im autobusy nr <math>\displaystyle 110</math>.</wrongoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle P(A)>\frac{1}{2}</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption><math>\displaystyle P(A)<1-P(A)</math>.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Doświadczenie polega na rzucie monetą -
| |
| rzucamy nią tak długo, aż wypadnie orzeł. Niech
| |
| <math>\displaystyle \omega_{i}</math> oznacza zdarzenie, że za <math>\displaystyle i</math>-tym razem po raz
| |
| pierwszy wypadł orzeł. Ocenić prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} P(\omega_{n})=0</math>.</rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle P(\omega_{n})=P(\omega_{n+1}\cup\omega_{n+2}\cup \omega_{n+3}\cup \ldots)</math> dla każdego <math>\displaystyle n\geq 1</math>.</rightoption>
| |
| <rightoption><math>\displaystyle \displaystyle \sum_{n=1}^\infty P(\omega_{n})=1</math>.</rightoption>
| |
| <wrongoption>Zdarzenia <math>\displaystyle \omega_i</math> są jednakowo prawdopodobne.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| <quiz>Eksperyment polega na wykonaniu 10 rzutów symetryczną kostką do gry, a więc jego wynikiem jest 10 elementowy ciąg. Eksperyment ten można traktować jako:
| |
| | |
| <wrongoption>losowanie liczby naturalnej ze zbioru <math>\displaystyle \{1,\dots,10^6\}</math>.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>losowanie ze zwracaniem sześciu spośród dziesięciu elementów.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>losowanie bez zwracania sześciu spośród dziesięciu elementów.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>losowanie bez zwracania dziesięciu spośród sześciu elementów.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| | |
| 555555555555555555555555555555555555555555555555555555
| |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Poznana definicja prawdopodobieństwa warunkowego\linebreak
| |
| <math>\displaystyle P(W|Z)</math> zakłada, że:
| |
| | |
| oba zdarzenia <math>\displaystyle W</math> i <math>\displaystyle Z</math> mają prawdopodobieństwa dodatnie. {N}
| |
| przynajmniej jedno z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo dodatnie. {N}
| |
| zdarzenie <math>\displaystyle Z</math> ma prawdopodobieństwo dodatnie. {T}
| |
| zdarzenie <math>\displaystyle W</math> ma prawdopodobieństwo dodatnie. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Jeżeli dwa zdarzenia są niezależne, to zdarzenia te są rozłączne. {N}
| |
| Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są zależne. {N}
| |
| Jeżeli dwa zdarzenia są rozłączne, to zdarzenia te są niezależne. {N}
| |
| Jeżeli <math>\displaystyle P(B|A) = P(A)</math>, to zdarzenia <math>\displaystyle A</math> i <math>\displaystyle B</math> są niezależne. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Rzucamy trzema kostkami do gry. Zdarzenie <math>\displaystyle A</math> oznacza, że wśród uzyskanych oczek nie ma "szóstki", zaś zdarzenie <math>\displaystyle B</math> --
| |
| że na co najmniej jednej kostce wypada "jedynka". Wtedy <math>\displaystyle P(A|B)</math>:
| |
| | |
| równa się <math>\displaystyle \displaystyle \frac{61}{91}</math>. {T}
| |
| równa się <math>\displaystyle \displaystyle \frac{127}{216}</math>. {N}
| |
| jest mniejsze od <math>\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}</math>. {N}
| |
| jest większe od <math>\displaystyle \displaystyle \frac{2}{3}</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Trzy oddziały pewnej firmy produkują monitory komputerowe, które następnie są centralnie testowane:
| |
| 40\% monitorów pochodzi z oddziału <math>\displaystyle A</math>, gdzie wadliwość wynosi 3\%, 30\% monitorów pochodzi z oddziału <math>\displaystyle B</math>,
| |
| gdzie wadliwość wynosi 1\%, zaś pozostałe monitory pochodzą z oddziału <math>\displaystyle C</math>, który ma 0\% wadliwości. Wiemy, że
| |
| losowo wybrany monitor przeszedł pozytywnie test. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że został on wyprodukowany w oddziale <math>\displaystyle C</math>?
| |
| | |
| Około 3\%. {N}
| |
| Ponad 30\%. {T}
| |
| Więcej niż 50\%. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \frac{60}{197}</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Chcemy szybko rozpalić ognisko, lecz mamy do dyspozycji tylko trzy zapałki. Prawdopodobieństwo rozpalenia ogniska pojedynczą
| |
| zapałką wynosi <math>\displaystyle 0.4</math>, dwiema złączonymi zapałkami -- <math>\displaystyle 0.6</math>, zaś trzema złączonymi zapałkami -- <math>\displaystyle 0.8</math>. Jaką wybrać strategię?
| |
| | |
| Używać pojedynczych zapałek. {N}
| |
| Użyć najpierw jedną, a potem dwie złączone zapałki. {N}
| |
| Użyć najpierw dwie złączone zapałki, a potem jedną zapałkę. {N}
| |
| Użyć od razu trzy zapałki. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń
| |
| wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi <math>\displaystyle 0.2</math>. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?
| |
| | |
| Uzyskanie 2 sukcesów. {N}
| |
| Uzyskanie 3 sukcesów. {N}
| |
| Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów. {T}
| |
| Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 66666666666666666666666666666666666666666666666666
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Każdy rozkład prawdopodobieństwa ma dystrybuantę. {T}
| |
| Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest albo rozkładem dyskretnym albo rozkładem ciągłym. {N}
| |
| Dystrybuanta rozkładu ciągłego jest funkcją ciągłą. {T}
| |
| Dystrybuanta rozkładu dyskretnego nie jest funkcją ciągłą. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Wskaż rozkład wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek przy rzucie dwiema kostkami:
| |
| | |
| <math>\displaystyle x_i=1,2,3,4,5</math>; \ <math>\displaystyle \displaystyle p_i=\frac{16}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5</math>; \ <math>\displaystyle \displaystyle p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle x_i=0,1,2,3,4,5</math>; \ <math>\displaystyle \displaystyle p_i=\frac{10}{6},\frac{6}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle x_i=1,2,3,4,5,6</math>; \ <math>\displaystyle \displaystyle p_i=\frac{1}{6},\frac{10}{36},\frac{8}{36},\frac{6}{36},\frac{4}{36},\frac{2}{36}</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma gęstość:
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x < 0 \\
| |
| xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\
| |
| \end{array} \right.
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Oceń prawdziwość następujących zdań:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \displaystyle P(X > 1) < \frac{1}{2}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle P(X = 1) = \frac{2}{e^{-1}}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle P(X > 1) > \frac{3}{4}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle P(X > -1) < 1</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma rozkład jednostajny na odcinku <math>\displaystyle (-1,1)</math>. Wskaż gęstość rozkładu zmiennej losowej <math>\displaystyle X^2</math>:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x \le -1 \\
| |
| \frac{1}{2}x^2 & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\
| |
| 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\
| |
| \end{array} .\right.
| |
| </math> {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x \le 0 \\
| |
| \frac{1}{3}x^2 & \hbox{dla }0 < x < 1 \\
| |
| 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\
| |
| \end{array} .\right.
| |
| </math> {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x \le -1 \\
| |
| \frac{1}{\sqrt{|x|}} & \hbox{dla } -1 < x < 1 \\
| |
| 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\
| |
| \end{array} .\right.
| |
| </math> {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x \le 0 \\
| |
| \frac{1}{2\sqrt{x}} & \hbox{dla } 0 < x < 1 \\
| |
| 0 & \hbox{dla } x \ge 1 \\
| |
| \end{array} .\right.
| |
| </math> {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Wyprodukowano dwie kostki do gry w ten sposób, że "szóstka" wypada z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.1</math>, natomiast pozostałe
| |
| ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Niech <math>\displaystyle X</math> oraz <math>\displaystyle Y</math> oznaczają liczby oczek otrzymanych w
| |
| rezultacie rzutu tymi kostkami. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <math>\displaystyle P(X > Y) = P(X < Y)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle P(X = Y) = 0.172</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle P(X > Y) = 0.414</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle X</math> oraz <math>\displaystyle Y</math> są zależnymi zmiennymi losowymi. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Czy z niezależności zmiennych
| |
| losowych <math>\displaystyle \xi</math> oraz <math>\displaystyle \eta</math> wynika, że:
| |
| | |
| niezależne są zmienne losowe <math>\displaystyle \xi + \eta</math> oraz <math>\displaystyle \xi - \eta</math>? {N}
| |
| niezależne są zmienne losowe <math>\displaystyle 3\xi</math> oraz <math>\displaystyle - \eta</math>? {T}
| |
| niezależne są zmienne losowe <math>\displaystyle \xi^2</math> oraz <math>\displaystyle \eta^2</math>? {T}
| |
| niezależne są zmienne losowe <math>\displaystyle \max (\xi,\eta)</math> oraz <math>\displaystyle \xi+\eta</math>? {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 7777777777777777777777777777777777777777777777777
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> oznacza liczbę oczek otrzymanych przy rzucie "fałszywą kostką", na której "szóstka"
| |
| wypada z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.1</math>, natomiast pozostałe ścianki wypadają z jednakowym prawdopodobieństwem każda. Wtedy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle {\Bbb E}(X) = 3.2</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 6.25</math>. {N}
| |
| średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi <math>\displaystyle 2.32</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle q_{0.9} = 6</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Za prawo wyciągnięcia jednej karty z talii 52 kart płacimy <math>\displaystyle w</math> zł, a otrzymujemy <math>\displaystyle a</math> zł za wyciągnięcie asa,
| |
| 15 zł za wyciągnięcie waleta, damy lub króla oraz <math>\displaystyle x</math> zł za wyciągnięcie karty mającej <math>\displaystyle x</math> oczek. Gra jest sprawiedliwa,
| |
| gdy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle w = 8</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle a = 10</math>, <math>\displaystyle w = 7</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle a = 100</math>, <math>\displaystyle w = 15</math>. {N}
| |
| nigdy nie jest sprawiedliwa. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Zmienna losowa <math>\displaystyle X</math> ma gęstość:
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| 0 & \hbox{dla } x < 0 \\
| |
| xe^{-x} & \hbox{dla } x \ge 0. \\
| |
| \end{array} \right.
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Oceń prawdziwość następujących zdań:
| |
| | |
| <math>\displaystyle {\Bbb E}(X) = 2</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle {\Bbb D}^2 (X) = 2</math>. {T}
| |
| średni błąd <math>\displaystyle X</math> wynosi <math>\displaystyle 8e^{-2}</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle q_{0.5} \approx 1.68</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Każda zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. {N}
| |
| Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana. {T}
| |
| Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru. {T}
| |
| Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych, pod warunkiem, że wariancje te istnieją
| |
| i są skończone. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Wylosowano niezależnie od siebie cztery liczby, zgodnie z rozkładem jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,1)</math>, a następnie
| |
| utworzono łamaną z odcinków o długościach równych tym liczbom. Niech <math>\displaystyle X</math> będzie długością tej łamanej. Wtedy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle P(|X - 2| > 1) \le \frac{1}{3}</math> {T}
| |
| <math>\displaystyle P(|X - 2| < \sqrt{3}) \ge \frac{8}{9}</math> {T}
| |
| <math>\displaystyle P(|X - 2| < 2) \ge 1</math> {T}
| |
| <math>\displaystyle P(X = 2) = 0</math> {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Ile razy należy rzucić monetą symetryczną, żeby liczba otrzymanych orłów mieściła się w przedziale:
| |
| <center><math>\displaystyle (48\% </math> liczby rzutów <math>\displaystyle , 52\% </math> liczby rzutów <math>\displaystyle ),</math></center>
| |
| z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle 0.99</math> lub większym?
| |
| | |
| Co najmniej 1 000 000 razy. {N}
| |
| Wystarczy rzucić 100 000 razy. {T}
| |
| Dokładnie 4 250 razy. {N}
| |
| Na przykład 62 500 razy. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 8888888888888888888888888888888888888888888888888888888
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Z urny zawierającej <math>\displaystyle L_n</math> niebieskich i <math>\displaystyle L_c</math> czarnych kul losujemy <math>\displaystyle k</math> kul. Niech <math>\displaystyle N</math> oraz <math>\displaystyle C</math> oznaczają
| |
| liczbę uzyskanych niebieskich i czarnych kul. Wtedy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle N</math> ma rozkład hipergeometryczny, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {N}
| |
| wektor losowy <math>\displaystyle (N,C)</math> ma rozkład wielomianowy, gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. {T}
| |
| <math>\displaystyle {\Bbb E}(N) = \frac{kL_n}{L_n+L_c}</math>, gdy losowanie odbywa się bez zwracania. {T}
| |
| <math>\displaystyle C</math> ma w przybliżeniu rozkład Poissona, gdy w urnie jest dużo kul niebieskich w porównaniu z kulami czarnymi, a
| |
| liczba losowań ze zwracaniem jest porównywalna z liczbą kul w urnie. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> ma rozkład Poissona o parametrze <math>\displaystyle \lambda = 4</math>. Wtedy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle P(X = 0) \approx 0.018</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle P(X \le 7) \approx 0.99</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle P(X > 4) \approx 0.37</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle P(1 < X \le 5) \approx 0.69</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Średnia liczba stłuczek samochodowych w ciągu doby w pewnym mieście wynosi 10.5. Wskaż przedział <math>\displaystyle [a,b]</math> taki,
| |
| że w dniu jutrzejszym liczba stłuczek samochodowych w tym mieście będzie z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zawierać się w tym
| |
| przedziale.
| |
| | |
| <math>\displaystyle a = 7</math>, <math>\displaystyle b = 20</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle a = 0</math>, <math>\displaystyle b = 14</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle a = 5</math>, <math>\displaystyle b = 15</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle a = 6</math>, <math>\displaystyle b = 16</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Prawdopodobieństwo <math>\displaystyle q</math> tego, że powtarzając rzut parą kostek otrzymamy parę "szóstek" w pierwszych dziesięciu rzutach
| |
| jest:
| |
| | |
| w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.35</math>. {N}
| |
| w przybliżeniu równe <math>\displaystyle 0.24</math>. {T}
| |
| mniejsze niż <math>\displaystyle 0.5</math>. {T}
| |
| większe <math>\displaystyle 0.5</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Prawdopodobieństwo awarii serwera w studenckiej pracowni komputerowej w ciągu każdego dnia pracy wynosi <math>\displaystyle 0.005</math>. Zakładając, że
| |
| awarie są niezależne od siebie, ocenić jakie jest prawdopodobieństwo <math>\displaystyle Pr</math> tego, że w trakcie 500 dni pracy serwera będą co
| |
| najmniej dwie awarie.
| |
| | |
| <math>\displaystyle Pr > 0.8</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Pr < 0.5</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Pr \approx 0.4943</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Pr > 0.7</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Samolot znajduje rozbitka, na określonym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej wynoszącej 30 minut. Motorówka
| |
| ratunkowa znajduje rozbitka, na tym samym akwenie, w czasie mającym rozkład wykładniczy o średniej równej 2 godziny. Ile wynosi wartość
| |
| oczekiwana czasu poszukiwania rozbitka na tym akwenie, gdy samolot i motorówka działają niezależnie od siebie?
| |
| | |
| 24 minuty. {T}
| |
| 2.5 godziny. {N}
| |
| 20 minut. {N}
| |
| 12 minut. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 999999999999999999999999999999999999999999999999
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Liczba <math>\displaystyle q\approx 3.5631</math> jest kwantylem rzędu <math>\displaystyle p=0.9</math>
| |
| rozkładu normalnego <math>\displaystyle N(m, \sigma)</math>, gdy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle m=2</math>, <math>\displaystyle \sigma=1</math>. {N}
| |
| funkcja <math>\displaystyle F(x)=\Phi(\frac{x}{2}-0.5)</math>
| |
| jest dystrybuantą rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \Phi(q)=p</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \Phi_{m,\sigma}(1)=0.5</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle X_1,X_2,\ldots,X_n</math> będą zmiennymi losowymi o rozkładach <math>\displaystyle N(0,1),N(0,2),\ldots, N(0,n)</math> oraz
| |
| niech: <center><math>\displaystyle Y=X_1+\frac{X_2}{2}+ \ldots +\frac{X_n}{n}.</math></center>
| |
| Wówczas:
| |
| | |
| <math>\displaystyle {\Bbb E}(Y)=0</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle {\Bbb D}^2(Y)=n</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,\sqrt{n})</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Y</math> ma rozkład <math>\displaystyle N(0,n)</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Które z poniższych stwierdzeń można uznać za wnioski z centralnego twierdzenia granicznego?
| |
| | |
| Wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {N}
| |
| Średni wzrost mężczyzn w Polsce ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
| |
| Liczba osób chorych na białaczkę ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
| |
| Częstość występowania białaczki w USA. ma w przybliżeniu rozkład normalny. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Częstość występowania pewnej choroby w Chinach wynosi
| |
| 0.1\%. Jak liczną grupę Chińczyków wystarczy zebrać, aby
| |
| mieć co najmniej 99\% pewności, że wśród nich są
| |
| przynajmniej 2 osoby chore na tę chorobę?
| |
| | |
| 2 000 osób. {N}
| |
| 3 000 osób. {T}
| |
| 2 110 osób lub mniej. {N}
| |
| 2 106 osób. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Z pewnej (dużej) populacji, w której iloraz inteligencji
| |
| posiada rozkład <math>\displaystyle N(124,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób. Niech
| |
| <math>\displaystyle Pr</math> oznacza prawdopodobieństwo tego, że średni iloraz
| |
| inteligencji w wybranej grupie różni się o nie więcej niż 0.1 od
| |
| średniej dla całej populacji. Wówczas:
| |
| | |
| <math>\displaystyle Pr \approx 0.7</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle Pr\in (0.6,0.7)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle Pr > 0.7</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle Pr \approx 0.5</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Prawdopodobieństwo zarażenia się wirusem WZW B podczas pojedynczego badania endoskopowego wynosi 0.001.
| |
| Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Prawdopodobieństwo tego, że po przebadaniu 1 000 000 osób okaże się, iż
| |
| dokładnie jedna z nich została podczas tego badania zarażona wirusem WZW B jest bardzo bliskie zeru. {T}
| |
| Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej jedna z nich została
| |
| zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
| |
| Po przebadaniu 1 000 osób, prawdopodobieństwo tego, że co najwyżej jedna z nich została
| |
| zarażona wirusem WZW B wynosi około 50\%. {T}
| |
| Bardziej prawdopodobne od zarażenia jest otrzymanie samych orłów w serii 10 rzutów monetą symetryczną. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 101010101010101010101010101010101010101010101010
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>W przykładzie [[##markov13|Uzupelnic markov13|]] przestrzenią stanów jest:
| |
| | |
| zbiór liczb całkowitych. {T}
| |
| zbiór liczb rzeczywistych. {N}
| |
| zbiór liczb naturalnych. {N}
| |
| zbiór <math>\displaystyle \{-1,0,1\}</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle \xi_1,\xi_2, \xi_3, \dots</math> oznaczają liczbę oczek
| |
| uzyskanych w trakcie kolejnych rzutów kostką symetryczną.
| |
| Określmy: <center><math>\displaystyle X_0 = 0 </math> oraz <math>\displaystyle X_{i} = X_{i-1} + \xi_i </math> dla <math>\displaystyle i =
| |
| 1,2,3, \dots.</math></center>
| |
| Wtedy ciąg zmiennych losowych <math>\displaystyle \{X_i\}</math> jest
| |
| łańcuchem Markowa, w którym:
| |
| | |
| przestrzeń stanów <math>\displaystyle E</math> jest zbiorem liczb naturalnych <math>\displaystyle 0,1,2, \dots</math> {T}
| |
| <math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k) = 0</math> oraz <math>\displaystyle \mathbf{p}(k,k+1) = \mathbf{p}(k,k+6)</math> dla każdego <math>\displaystyle k \in E</math>. {T}
| |
| każde dwa stany się komunikują. {N}
| |
| suma elementów w każdym wierszu macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> jest równa 1. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Dany jest łańcuch Markowa o macierzy przejścia:
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle \mathbf{P} = \left[
| |
| \begin{array} {cc}
| |
| \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
| |
| 1 & 0
| |
| \end{array}
| |
| \right].
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Wtedy:
| |
| | |
| łańcuch ten jest powracający. {T}
| |
| łańcuch ten jest nieredukowalny. {T}
| |
| łańcuch ten jest okresowy. {N}
| |
| łańcuch ten jest ergodyczny, a rozkładem stacjonarnym jest wektor o współrzędnych <math>\displaystyle \frac{2}{3}</math> i
| |
| <math>\displaystyle \frac{1}{3}</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Jeżeli ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E \subset {\Bbb R}</math>, to także ciąg
| |
| <math>\displaystyle X_n^2</math> jest łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów <math>\displaystyle E</math>. {N}
| |
| Jeżeli przestrzeń stanów jest skończona, to łańcuch Markowa jest nieredukowalny. {N}
| |
| Każdy łańcuch Markowa na skończonej przestrzeni stanów jest albo okresowy, albo ergodyczny. {N}
| |
| Jeżeli wszystkie wyrazy macierzy przejścia <math>\displaystyle \mathbf{P}</math> pewnego łańcucha Markowa są dodatnie, to łańcuch ten
| |
| jest nieredukowalny. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math> będzie łańcuchem Markowa określonym w przykładzie [[##markov10|Uzupelnic markov10|]] dla <math>\displaystyle k = 3</math>. Wtedy:
| |
| | |
| łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> ma skończony zbiór stanów. {T}
| |
| łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest nieredukowalny. {T}
| |
| łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest powracający. {T}
| |
| łańcuch <math>\displaystyle X_n</math> jest okresowy. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle X_n</math>, <math>\displaystyle n = 0,1,2,3, \dots </math>, będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie <math>\displaystyle Q</math>.
| |
| Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa o macierzy przejścia, która ma na przekątnej same jedynki. {N}
| |
| Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie wiersze
| |
| macierzy przejścia są sobie równe. {T}
| |
| Jeżeli <math>\displaystyle Q</math> jest rozkładem dyskretnym skoncentrowanym na zbiorze skończonym, to ciąg <math>\displaystyle X_n</math> jest łańcuchem Markowa, a wszystkie
| |
| kolumny macierzy przejścia są sobie równe. {N}
| |
| Ciąg <math>\displaystyle X_n</math> nie jest łańcuchem Markowa (gdyż zmienne losowe są niezależne). {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 111111111111111111111111111111111111111111111111
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz> Rozważmy dwa następujące estymatory wartości oczekiwanej w rozkładzie
| |
| dwupunktowym <math>\displaystyle (0,1,p)</math>: <center><math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n+1}{n}\bar{X} \;\; </math> oraz <math>\displaystyle \;\;
| |
| T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{X_1+X_n}{2}.</math></center>
| |
| Wówczas:
| |
| | |
| <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- asymptotycznie nieobciążonym. {T}
| |
| <math>\displaystyle S</math> nie jest ani estymatorem zgodnym, ani estymatorem nieobciążonym. {N}
| |
| <math>\displaystyle S</math> jest estymatorem zgodnym, zaś <math>\displaystyle T</math>-- obciążonym. {N}
| |
| <math>\displaystyle T</math> jest estymatorem zgodnym i nieobciążonym. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Z poniższych własności wybierz te, które posiada następujący estymator parametru <math>\displaystyle \alpha</math> w
| |
| rozkładzie jednostajnym na odcinku <math>\displaystyle (0,\alpha)</math>:
| |
| <center><math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=(n+1)\min\{X_1,\ldots,X_n\}.</math></center>
| |
| | |
| <math>\displaystyle T</math> jest obciążony. {N}
| |
| <math>\displaystyle T</math> jest asymptotycznie nieobciążony. {T}
| |
| <math>\displaystyle T</math> jest obciążony i asymptotycznie nieobciążony. {N}
| |
| <math>\displaystyle T</math> jest nieobciążony. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Przeprowadzono <math>\displaystyle n</math> prób Bernoulliego <math>\displaystyle X_1, \dots, X_n</math> , z jednakowym
| |
| prawdopodobieństwem sukcesu <math>\displaystyle p</math> każda. Co jest dobrym
| |
| przybliżeniem parametru <math>\displaystyle p</math>?
| |
| | |
| Liczba sukcesów podzielona przez liczbę "porażek". {N}
| |
| <math>\displaystyle \frac{k}{n}</math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. {T}
| |
| <math>\displaystyle \frac{n-k}{n}</math>, gdzie <math>\displaystyle k</math> oznacza liczbę sukcesów. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \sum \frac{X_i}{n}</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Jeżeli estymator <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \theta</math>, to:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \displaystyle S(X_1,\ldots,X_n)\stackrel{s}{\longrightarrow}\theta</math> (symbol
| |
| <math>\displaystyle \stackrel{s}{\longrightarrow}</math> został wprowadzony w uwadze [[##usz|Uzupelnic usz|]]). {T}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
| |
| \infty}\frac{S(X_1,\ldots,X_n)}{n} = \theta\right\}\right) =1 </math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
| |
| \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = \theta\right\}\right) =1 </math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle P\left(\left\{\omega \in \Omega: \lim_{n\longrightarrow
| |
| \infty}S(X_1,\ldots,X_n) = 0\right\}\right) =1 </math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Próbka prosta:
| |
| <center><math>\displaystyle 0,2,1,2,5,0,3,4,4,2</math></center>
| |
| | |
| pochodzi z rozkładu Poissona z parametrem <math>\displaystyle \lambda>0</math>. Które z poniższych liczb można uznać za dobre przybliżenia
| |
| parametru <math>\displaystyle \lambda</math>?
| |
| | |
| <math>\displaystyle 3.0</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2.3</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle 3.1</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2.4</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Wykonano 30 serii rzutów kostką do gry, przy czym każda seria kończyła się w momencie wyrzucenia pierwszej
| |
| "szóstki", otrzymując następuje rezultaty (długości poszczególnych serii):
| |
| <center><math>\displaystyle 2,9,3,8,4,3,5,7,7,8,10,4,12,4,5,6,17,2,9,4,3,2,5,2,1,5,5,6,8,14.</math></center>
| |
| | |
| Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Jest bardzo prawdopodobne, iż użyto "fałszywej" kostki. {N}
| |
| Nie ma podstaw do stwierdzenia, że użyta kostka była "sfałszowana". {T}
| |
| Na podstawie powyższych danych można wnioskować, iż prawdopodobieństwo
| |
| wyrzucenia "szóstki" (za pomocą tej kostki) jest w przybliżeniu równe 0.5. {N}
| |
| Jeżeli kostka była "sprawiedliwa", to prawdopodobieństwo
| |
| otrzymania powyższego wyniku jest mniejsze niż 1\%. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Rozważmy funkcję <math>\displaystyle f\colon {\Bbb R}\longrightarrow {\Bbb R}</math>, określoną wzorem:
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle f(x) =\left\{ \begin{array} {rl}
| |
| -x^2\ln{|x|}, & x \neq 0\\
| |
| 0, & x=0.
| |
| \end{array} \right. </math></center>
| |
| | |
| Wówczas:
| |
| | |
| nie istnieje wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math>. {N}
| |
| funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą w parzystej liczbie punktów. {T}
| |
| wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest równa <math>\displaystyle 0</math>. {N}
| |
| wartość największa funkcji <math>\displaystyle f</math> jest liczbą niewymierną. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że próbka prosta <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_n</math> pochodzi z rozkładu ciągłego
| |
| o gęstości: <center><math>\displaystyle f(x)=\alpha^2xe^{-\alpha x}I_{[0,\infty)}(x),</math></center>
| |
| | |
| gdzie <math>\displaystyle I_{[0,\infty)}</math> oznacza funkcję charakterystyczną przedziału <math>\displaystyle [0,\infty)</math>, oraz że <math>\displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)</math> jest estymatorem
| |
| największej wiarygodności parametru <math>\displaystyle \alpha</math>.
| |
| Wtedy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle S(X_1,\ldots,X_n) = \frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{2n-1}</math> jest w tym rozkładzie estymatorem największej wiarygodności
| |
| wartości oczekiwanej. {T}
| |
| <math>\displaystyle \frac{nT}{n+1}</math> jest estymatorem zgodnym parametru <math>\displaystyle \alpha</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{2n+1}{\sum_{i=1}^n X_i}</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że prawdopodobieństwo zachorowania na pewną chorobę jest wprost proporcjonalne do wieku,
| |
| ze współczynnikiem proporcjonalności <math>\displaystyle \theta>0</math>.
| |
| Zbadano 20-elementowe próbki ludności w różnym wieku, otrzymując następujące wyniki:
| |
| \begincenter
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| |
| |
| Wiek || <math>\displaystyle 10</math> || <math>\displaystyle 30</math> || <math>\displaystyle 80</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| Liczba chorych || <math>\displaystyle 1</math> || <math>\displaystyle 5</math> || <math>\displaystyle 9</math>
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| .
| |
| \endcenter
| |
| Jeżeli <math>\displaystyle \hat{\theta}</math> oznacza wyestymowaną, na podstawie powyższych danych, wartość nieznanego
| |
| parametru <math>\displaystyle \theta</math>, przy użyciu metody największej wiarygodności, to:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \theta>\frac{1}{80}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \theta=0.01</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \theta\in (0.01,0.0125)</math>. {N}
| |
| żadne z powyższych. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Estymatorem największej wiarygodności parametru\linebreak <math>\displaystyle \alpha<0</math> w rozkładzie jednostajnym na odcinku
| |
| <math>\displaystyle [\alpha,0]</math> jest:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \max\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \frac{n+1}{n}\min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2\bar{X}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \min\{X_1,\ldots,X_n\}</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty "za 3
| |
| punkty". Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi --
| |
| za trzecim, trzeci -- za czwartym, zaś czwarty -- za
| |
| pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową
| |
| celność <math>\displaystyle p</math>, metodą największej wiarygodności wyznaczono
| |
| estymator <math>\displaystyle \hat{p}</math> nieznanej wartości <math>\displaystyle p</math>. Oceń
| |
| prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| <math>\displaystyle \hat{p}<0.5</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \hat{p}<0.4</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \hat{p}=0.4</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \hat{p}>\frac{2}{5}</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>W celu oszacowania wartości przeciętnej <math>\displaystyle \hat{m}</math> czasu bezawaryjnej pracy nowego systemu operacyjnego NIWUX 2006,
| |
| przeznaczonego dla komputerów osobistych klasy PC, zainstalowano ten system na 10 losowo wybranych
| |
| komputerach, a następnie (dla każdego z nich)
| |
| zmierzono czas od momentu uruchomienia do momentu pierwszego "zawieszenia" systemu, otrzymując następujące wyniki
| |
| (w godzinach):
| |
| <center><math>\displaystyle 2.5,2,2.5,1.5,3.5,4,4.5,2,3,3.</math></center>
| |
| | |
| Jeżeli założymy, że czas bezawaryjnej pracy systemu NIWUX 2006 ma
| |
| rozkład wykładniczy z parametrem <math>\displaystyle \lambda</math>, to, korzystając z
| |
| metody największej wiarogodności, otrzymujemy:
| |
| | |
| <math>\displaystyle \hat{m}=2.9</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}=\frac{10}{29}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest oceną parametru <math>\displaystyle \lambda</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \hat{m}=\hat{\lambda}</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \hat{\lambda}\approx 0.35</math>, gdzie <math>\displaystyle \hat{\lambda}</math> jest takie jak wyżej. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Z jednej partii pewnego towaru wybrano losowo <math>\displaystyle 50</math> sztuk, z których dwie okazały się wadliwe. Niech
| |
| <math>\displaystyle (a,b)</math> będzie <math>\displaystyle 95\%</math> przedziałem ufności dla frakcji elementów wadliwych w tej partii. Wówczas:
| |
| | |
| <math>\displaystyle b-a\in (0.1,0.11)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle a\approx -0.1</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle a\approx -0.0143</math>, <math>\displaystyle b=0.1</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle |a-b|\leq 0.1</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Załóżmy, że błąd pomiaru pewnego termometru
| |
| elektronicznego ma rozkład normalny o wariancji
| |
| <math>\displaystyle 0.04^\circ</math>C. Ilu niezależnych pomiarów temperatury
| |
| wystarczy dokonać, aby mieć <math>\displaystyle 99\%</math> pewności, że średnia z
| |
| otrzymanych wyników wskazuje faktyczną temperaturę, z
| |
| błędem nie większym niż <math>\displaystyle 0.01^\circ</math>C?
| |
| | |
| 2 670. {T}
| |
| 3 000. {T}
| |
| 2 000. {N}
| |
| 2 652. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Do weryfikacji pewnej hipotezy <math>\displaystyle \mathrm{H}_0</math> użyto statystyki testowej <math>\displaystyle U</math>, której
| |
| rozkład, przy założeniu
| |
| prawdziwości <math>\displaystyle \mathrm{H_0}</math>, jest rozkładem Studenta o
| |
| <math>\displaystyle 10</math> stopniach swobody,
| |
| otrzymując <math>\displaystyle U\approx 1.812</math> oraz wartość-<math>\displaystyle p</math> w przybliżeniu równą <math>\displaystyle 0.05</math>.
| |
| Jaką postać mógł posiadać zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>, którego użyto w tym teście?
| |
| | |
| <math>\displaystyle K=[-a,a]</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle K=(-\infty,-a]\cup [a,\infty)</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle K=[a,\infty)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle K=(-\infty,a]</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Z pewnej populacji, w której iloraz inteligencji posiada
| |
| rozkład <math>\displaystyle N(\mu,10)</math>, wybrano losowo 10 000 osób, zbadano ich
| |
| iloraz inteligencji otrzymując średnią 123.5, a następnie na
| |
| poziomie istotności <math>\displaystyle \alpha=0.1</math> przetestowano hipotezę <math>\displaystyle H_0\colon
| |
| \mu =124</math>, przy alternatywie <math>\displaystyle H_1\colon \mu <124</math>. Oceń
| |
| prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Wynik testu sugerował odrzucenie <math>\displaystyle H_0</math> na korzyść <math>\displaystyle H_1</math>. {T}
| |
| Nie byłoby podstaw do odrzucenia <math>\displaystyle H_0</math>, gdyby <math>\displaystyle \alpha</math> było równe <math>\displaystyle \frac{1}{10000000}</math>. {T}
| |
| Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy <math>\displaystyle H_0</math>. {N}
| |
| Wartość-<math>\displaystyle p</math> wyniosła w tym teście około <math>\displaystyle 0,00000029</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Testujemy pewną hipotezę <math>\displaystyle H_0</math>, wykorzystując statystykę <math>\displaystyle T</math> oraz zbiór krytyczny <math>\displaystyle K</math>.
| |
| Które z poniższych wielkości oznaczają błąd drugiego rodzaju?
| |
| | |
| <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle )</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle P(T\notin K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle )</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle P(T\in K\mid H_0 </math> -- prawdziwa <math>\displaystyle )</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 1-P(T\in K\mid H_0 </math> -- fałszywa <math>\displaystyle )</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Pewna firma wypuszcza nowy produkt na rynek i chce sprawdzić,
| |
| która z pięciu proponowanych nazw tego produktu (powiedzmy A, B, C,
| |
| D lub E) najbardziej spodoba się klientom. Poproszono więc grupę losowo
| |
| wybranych osób, aby wskazali najbardziej przypadającą im
| |
| do gustu nazwę, otrzymując następujące wyniki:
| |
| \begincenter
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | A || B || C || D || E
| |
| |-
| |
| |
| |
| 35 || 45 || 40 || 50 || 30
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endcenter
| |
| Oceń prawdziwość poniższych zdań.
| |
| | |
| Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
| |
| <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
| |
| stopniu, to otrzymujemy wartość statystyki testowej równą <math>\displaystyle 6.5</math>. {N}
| |
| Jeżeli testem zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> weryfikujemy na poziomie istotności
| |
| <math>\displaystyle \alpha=0.01</math> hipotezę, że nazwy te podobają się w takim samym
| |
| stopniu, to otrzymujemy zbiór krytyczny <math>\displaystyle K=(a,\infty)</math>, gdzie <math>\displaystyle a\approx 0.297</math>. {N}
| |
| Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
| |
| <math>\displaystyle \alpha=0.075</math> wskazuje na to, że nazwy te podobają się klientom w istotnie niejednakowym stopniu. {N}
| |
| Wynik testu zgodności <math>\displaystyle \chi^{2}</math> na poziomie istotności
| |
| <math>\displaystyle \alpha=0.05</math> wskazuje na to, że nazwy te w jednakowym stopniu podobają się klientom. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| 14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414
| |
| | |
| ==Test sprawdzający==
| |
| | |
| <quiz>Na bazie próbki prostej: <center><math>\displaystyle -0.75, -0.03, -0.72, -0.6,</math></center>
| |
| | |
| pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku (-1,0), używając jednej z opisanych w tym module
| |
| metod wyznaczono <math>\displaystyle 4</math>-elementową próbkę losową z rozkładu o gęstości:
| |
| <center><math>\displaystyle f(x)=0,\!25\mathrm{I}_{[0,1]}+0,\!75\mathrm{I}_{(1,2]}.</math></center>
| |
| | |
| Spośród poniższych ciągów wybierz te, które mogły być wynikami działania tej procedury.
| |
| | |
| <math>\displaystyle 1.96,1,-0.29,-0.13</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle 1.67,0.12,-0.29,-0.13</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 1, 0.12,1.63,1.47</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 1.47,1.63,0.12,1.67</math>. {T}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>W których z poniższych przypadków, generator liczb pseudolosowych:
| |
| <center><math>\displaystyle X_{n+1}=aX_n+b \;\;(\mathrm{mod } \;p),</math></center>
| |
| | |
| z pewnością nie da zadowalających rezultatów?
| |
| | |
| <math>\displaystyle a=b=p</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle a\neq p</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle b=0</math>, <math>\displaystyle X_0=p^2</math> . {T}
| |
| <math>\displaystyle a\neq b</math>, <math>\displaystyle X_0>0</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Czy na bazie próbki prostej, pochodzącej z rozkładu <math>\displaystyle N(m,\sigma)</math> (<math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> -- znane),
| |
| można wyznaczyć próbkę liczb pseudolosowych z rozkładu jednostajnego na odcinku <math>\displaystyle (a,b)</math> (<math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> -- dowolne)?
| |
| | |
| Tak. {T}
| |
| Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=1</math>. {N}
| |
| Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle a=0</math> i <math>\displaystyle b=1</math>. {N}
| |
| Tak, ale tylko w przypadku, gdy <math>\displaystyle m=\sigma=b=1</math> i <math>\displaystyle a=0</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Które z poniższych funkcji są jądrami?
| |
| | |
| <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| |x|, & |x| < 1\\
| |
| 0, & |x| \ge 1 \end{array} \right. </math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| |x-1|, & 0<x< 2\\
| |
| 0, & x\leq 0 \textrm{ lub } x\geq 2 \end{array} \right. </math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle K(x)=\frac{1}{2}\cos{x}\cdot I_{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}(x)</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle K(x) = \left\{\begin{array} {rl}
| |
| \frac{1}{2}, & |x| < 2\\
| |
| 0, & |x| \ge 2 \end{array} \right. </math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Estymatorem bootstrapowym wartości oczekiwanej (opartym na
| |
| średniej z próbki) nieznanego rozkładu, wyznaczonym na podstawie
| |
| 10 replikacji próbki:
| |
| <center><math>\displaystyle 4,1,1,</math></center>
| |
| | |
| może być:
| |
| | |
| <math>\displaystyle 0.535</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2.275</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle 4.12</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2.271</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
| | |
| <quiz>Dla próbki prostej:
| |
| <center><math>\displaystyle 1,3,2,3,4,2,5,</math></center>
| |
| | |
| otrzymano, przy użyciu jądra trójkątnego, estymator jądrowy gęstości <math>\displaystyle \hat{f}</math> taki, że <math>\displaystyle \hat{f}(2)=\frac{1}{4}</math>.
| |
| Jaka szerokości pasma mogła zostać w tym przypadku zastosowana?
| |
| | |
| <math>\displaystyle \displaystyle \frac{6}{7}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \frac{8}{7}</math>. {N}
| |
| <math>\displaystyle 2</math>. {T}
| |
| <math>\displaystyle 0.1</math>. {N}
| |
| | |
| }
| |
