Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 20 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
131313131313131313131313131313131313131313131313
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


==Równania różniczkowe zwyczajne. Test==


Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.


<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle h</math> jest rozwiązaniem
pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją
  <br>
  '''(1)'''
ciągłą
    <br>
  '''(2)'''
różniczkowalną
    <br>
  '''(3)'''
klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>.


</quiz>
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Pewna substancja paruje z prędkością
wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od
momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g  substancji, po
dalszych dwóch 9,2g.
<br>
  '''(1)''' Na początku było 73,6 g substancji.
    <br>
  '''(2)''' Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od
  początku procesu.
    <br>
  '''(3)''' Jeśli w chwili <math>\displaystyle t_0</math> mamy <math>\displaystyle 4</math> g tej substancji, to po 4
  godzinach zostanie <math>\displaystyle 1</math> g.
 
</quiz>
 
tak, nie, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle g(t)=-\ln(1-e^t)</math> jest
rozwiązaniem
  <br>
  '''(1)''' równania różniczkowego <math>\displaystyle x'=e^{t+x}</math>
    <br>
  '''(2)'''
problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases </math>
    <br>
  '''(3)''' problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases </math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Problem początkowy Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases </math></center>
ma
dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle t_0=3, x_0=2</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle t_0=2,x_0=3</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle t_0=3, x_0=3</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Jednym z rozwiązań równania <math>\displaystyle t^2x'=
-x</math> jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f(t)=-\exp\left(\frac1t\right)+2</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\
3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases </math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle h(t)=\exp\left(\frac1t\right)</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, nie
 
<quiz> Wyznaczając metodą kolejnych
przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases </math></center>
otrzymujemy
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x_2(t)=\frac12t^2-\frac16t^3</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x_4(t)=\frac12t^2-\frac16t^3+\frac1{24}t^4-\frac1{120}t^5</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-t)^n}{n!}</math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, tak
 
<quiz> Stosując metodę łamanych Eulera dla
problemu początkowego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases </math></center>
w przedziale
<math>\displaystyle [0;\ 2]</math> i biorąc <math>\displaystyle h=0,5</math> otrzymujemy
  <br>
  '''(1)'''
łamaną o węzłach <math>\displaystyle \displaystyle (0,0), \left(\frac12,0\right),
\left(1, \frac18\right), \left(\frac32, \frac{11}{16}\right),
\left(2, \frac{69}{32}\right)</math>
    <br>
  '''(2)'''
wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle \dfrac 32</math> równą
<math>\displaystyle \tilde{x}\left(\dfrac 32\right) =\dfrac{11}{16}</math>
    <br>
  '''(3)'''
wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle 2</math> równą
<math>\displaystyle \tilde{x}\left(2\right) = \dfrac{47}{32}</math>.
    <br>
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle x</math> jest rozwiązaniem
problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases </math>, to
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x'(0)=1</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x''(0)=1</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x'''(0)=2</math>.
 
</quiz>
 
nie, tak, tak
 
<quiz> Rozważamy równanie <math>\displaystyle x'=\dfrac xt</math>.
  <br>
  '''(1)''' Izoklinami tego równania są wszystkie proste
  przechodzące przez środek układu współrzędnych.
    <br>
  '''(2)'''
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=3t</math> są do
niej równoległe.
    <br>
  '''(3)'''
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=0</math> są do
niej prostopadłe.
 
</quiz>
 
nie, tak, nie
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 2.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 3.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 4.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 5.  nie, nie, nie
 
\bfZadanie 6.  tak, tak, tak
 
\bfZadanie 7.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 8.  nie, tak, tak
 
\bfZadanie 9.  nie, tak, nie.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515
 
==Elementy rachunku wariacyjnego. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Przestrzeń <math>\displaystyle C^1[0,1]</math> z normą
<center><math>\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq t\leq
1\}.</math></center>
 
<br>
  '''(1)''' jest przestrzenią metryczną zupełną
    <br>
  '''(2)''' jest przestrzenią Hilberta
    <br>
  '''(3)''' ma wymiar skończony.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle y</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}( f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}( f,
  f',t)=0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,
  f',t)=C</math>, gdzie <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial
  t}(f,f',t)=0</math>.
 
</quiz>
 
<quiz>  W przestrzeni <math>\displaystyle C^1[0,1]</math> określono
normę <center><math>\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq
t\leq 1\}.</math></center>
Norma  funkcji <math>\displaystyle f(t)=-\exp(-t)</math> w tej przestrzeni
wynosi
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle 0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle 2</math>
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle 2e^{-1}</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle t</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,
  f',t)=C</math>, gdzie <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,
  f',t)=0</math>.
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial
  t}(f,f',t)=0</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Równanie <math>\displaystyle t\mapsto (x(t), y(t))</math>,
gdzie <math>\displaystyle x(t)=r(t-\sin t)</math>, <math>\displaystyle y(t)=r(1-\cos t)</math> przedstawia
  <br>
  '''(1)''' okrąg
    <br>
  '''(2)''' elipsę
    <br>
  '''(3)''' cykloidę.
 
</quiz>
 
<quiz> Funkcjonał <math>\displaystyle J[f]=\pi \int_{a}^{b}f^2
dt</math> wyraża
  <br>
  '''(1)''' objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu
  funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq b</math>, dokoła osi rzędnych
    <br>
  '''(2)''' pole powierzchni  obrotowej powstałej z obrotu wykresu
  funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq b</math>, dokoła osi rzędnych
    <br>
  '''(3)''' długość krzywej stanowiącej wykres funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq
  b</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle x</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial t}(f,f',t)=C,</math> gdzie
  <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=C,</math> gdzie
  <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
</quiz>
 
<quiz> Ekstremalą funkcjonału <math>\displaystyle \displaystyle
J[f]=\int_{0}^{1} \sqrt{1+(f')^2 }dt</math>, <math>\displaystyle f(0)=1</math>, <math>\displaystyle f(1)=2</math>, jest
  <br>
  '''(1)''' łuk okręgu o środku <math>\displaystyle (1,1)</math> i promieniu <math>\displaystyle 1</math>
    <br>
  '''(2)''' odcinek o końcach <math>\displaystyle (0,1)</math>, <math>\displaystyle (1,2)</math>
    <br>
  '''(3)''' odcinek prostej o równaniu <math>\displaystyle  f(t)=t+1</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Ekstremalą funkcjonału <math>\displaystyle \displaystyle
J[f]=\int_{-\pi}^{\pi} f\sqrt{1+(f')^2 }dt</math>, <math>\displaystyle f(-\pi)=0</math>,
<math>\displaystyle f(\pi)=0</math>, jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''  <math>\displaystyle f(t)=t^2-\pi^2</math>
    <br>
  '''(2)'''  <math>\displaystyle f(t)=1+\cos  t</math>
    <br>
  '''(3)'''  <math>\displaystyle f(t)=0.</math>
 
</quiz>
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 2.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 3.  nie, tak, nie.
 
\bfZadanie 4.  nie, nie, nie.
 
\bfZadanie 5.  nie, nie, tak.
 
\bfZadanie 6.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 7.  nie, nie, tak.
 
\bfZadanie 8.  nie, tak, tak.
 
\bfZadanie 9.  nie, nie, tak.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”