Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 22 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666


==Funkcje wielu zmiennych. Ciągłość. Pochodne cząstkowe. Test==


Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.


<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac {xy\ln
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
(x^2+y^2)}{x^2+y^2}</math>. Wtedy
<br>
  '''(1)'''
istnieją granice iterowane <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\lim_{y\to
0}f(x,y)</math>, <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)</math> i są
równe
<br>
  '''(2)'''
istnieją granice iterowane <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\to 0}\lim_{y\to
0}f(x,y)</math>, <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)</math> i są
różne
<br>
  '''(3)'''
istnieje granica <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Niech
 
<center><math>\displaystyle \nabla f(x)=\left(\frac {\partial f}{\partial x_1}(x),\dots,\frac
{\partial f}{\partial x_n}(x)\right )
</math></center>
 
oznacza gradient funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x=(x_1,\dots,x_n)</math>. Wtedy
dla dowolnych funkcji <math>\displaystyle f,g</math>, które mają ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu pierwszego, prawdziwy jest wzór
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \nabla (f+g)=\nabla f+\nabla g</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=(\nabla f,\nabla g)</math> (symbol <math>\displaystyle (v,u)</math>
oznacza iloczyn skalarny wektorów <math>\displaystyle v,u</math>)
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \nabla (fg)=g\nabla f+f\nabla g</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, tak
 
<quiz> Funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &\frac {\sin (x^3-y^3)}{x^2+y^2}, \ \ \text{dla}
\ \ (x,y)\neq 0,
\\
&0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0,
\endcases
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
ma pochodną kierunkową <math>\displaystyle \displaystyle \partial_v f(0,0)</math>, dla
dowolnego wektora <math>\displaystyle v\neq 0</math>
<br>
  '''(2)'''
jest ciągła
<br>
  '''(3)'''
jest ograniczona.
 
</quiz>
 
tak, tak, tak
 
<quiz> Niech
 
<center><math>\displaystyle \Delta f(x)=\sum_{j=1}^n\frac {\partial^2 f}{\partial x_j^2}(x)
</math></center>
 
oznacza laplasjan funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x=(x_1,\dots,x_n)</math>. Wtedy
dla dowolnych funkcji <math>\displaystyle f,g</math>, które mają ciągłe pochodne cząstkowe
rzędu drugiego, prawdziwy jest wzór
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \Delta (f+g)=\Delta f+\Delta g</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=\Delta f\Delta g</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \Delta (fg)=g\Delta f+f\Delta g</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &\mathrm{arctg}\, \left(\frac {x^2}{y^2}\right ), \ \
\text{dla} \ \ y\neq 0,
\\
&\frac {\pi}{2}, \ \ \text {dla} \ \ y=0,
\endcases
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
jest ciągła
<br>
  '''(2)'''
jest ciągła w zbiorze <math>\displaystyle \displaystyle \mathbb{R} \setminus \{(0,0)\}</math>
<br>
  '''(3)'''
jest ograniczona.
 
</quiz>
 
nie, tak, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=x+g(xy)</math>,
gdzie <math>\displaystyle \displaystyle g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> jest funkcją różniczkowalną,
spełnia równanie
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \displaystyle x\frac {\partial f}{\partial
x}-y\frac {\partial f}{\partial y}=x</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\frac {\partial f}{\partial x}+y\frac {\partial
f}{\partial y}=x</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y\frac {\partial f}{\partial x}-x\frac {\partial
f}{\partial y}=y</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm{arctg}\,
(\sqrt {x^2+y^2})</math>. Wtedy zbiór
 
<center><math>\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:|\nabla f(x,y)|=c\}
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
jest okręgiem <math>\displaystyle \displaystyle x^2+y^2=1</math> dla <math>\displaystyle c=1</math>
<br>
  '''(2)'''
jest pusty dla <math>\displaystyle c\in(0,1)</math>
<br>
  '''(3)'''
jest pusty dla <math>\displaystyle c>1</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=e^x(x\cos
y-y\sin y)</math> spełnia równanie
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac
{\partial^2 f}{\partial y\partial x}</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac
{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac {\partial^2 f}{\partial x^2}=-\frac
{\partial^2 f}{\partial y^2}</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, tak
 
<quiz> Równanie
 
<center><math>\displaystyle \frac {x+yy'}{xy'-y}=2
</math></center>
 
we współrzędnych biegunowych ma postać
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle r'+2r=0</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle r'=2r</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle 2r'=r</math>.
 
</quiz>
 
nie, tak, nie
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 2.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 3.  tak, tak, tak
 
\bfZadanie 4.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 5.  nie, tak, tak
 
\bfZadanie 6.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 7.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 8.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 9.  nie, tak, nie.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
 
==Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &\frac {x^2y}{x^2+y^2}, \ \ \text{dla} \ \
(x,y)\neq 0,
\\
&0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)=0,
\endcases
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
ma pochodne cząstkowe w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
<br>
  '''(2)'''
ma różniczkę w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
<br>
  '''(3)'''
jest ciągła w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, tak
 
<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle P=\{(x,x^2):x\in
\mathbb{R}, x\neq 0\}</math>. Wtedy funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &1, \ \ \text{dla} \ \ (x,y)\in P,
\\
&0, \ \ \text {dla} \ \ (x,y)\notin P,
\endcases
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
ma różniczkę w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
<br>
  '''(2)'''
jest ciągła w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
<br>
  '''(3)'''
ma pochodne kierunkowe <math>\displaystyle \displaystyle \partial_v f(0,0)</math> dla
dowolnego wektora <math>\displaystyle v\neq 0</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Różniczka funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
f(x,y,x)=(xy,yz)</math> jest odwzorowaniem liniowym danym przez macierz
<br>
  '''(1)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}y&x&0\\0&z&y
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(2)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}y&0\\x&z\\0&y
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(3)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {ccc}y&x&0\\0&z&y\\x&y&z
\end{array} \right] .
</math></center>
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji
<math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=2x+3xy^2</math> w punkcie <math>\displaystyle (a,b,f(a,b))</math> jest
równoległa do płaszczyzny <math>\displaystyle \displaystyle 5x+12y-z=0</math>,
<br>
  '''(1)'''
tylko jeśli <math>\displaystyle (a,b)=(2,1)</math>
<br>
  '''(2)'''
jeśli <math>\displaystyle (a,b)=(1,2)</math> lub <math>\displaystyle (a,b)=(-1,-2)</math>
<br>
  '''(3)'''
jeśli <math>\displaystyle (a,b)=(-2,-1)</math> lub <math>\displaystyle (a,b)=(2,1)</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Różniczka rzędu drugiego funkcji
<math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\sin x+\cos y+xy</math> jest odwzorowaniem
dwuliniowym danym przez macierz
<br>
  '''(1)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\sin x&1\\1&-\cos y
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(2)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\cos y&1\\1&-\sin x
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(3)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}-\sin x&-\cos y\\1&1
\end{array} \right] .
</math></center>
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Jeśli <math>\displaystyle f:\mathbb{R}^2\ni (x,y)\mapsto
\left(xe^y, x^2+y^2\right)\in\mathbb{R}^2</math>, to
<br>
  '''(1)''' macierzą Jacobiego odwzorowania <math>\displaystyle f</math> w  punkcie <math>\displaystyle (3,0)</math> jest
 
<center><math>\displaystyle \left[\beginmatrix 1&6\\3&0\endmatrix \right]</math></center>
 
  '''(2)'''
jakobian odwzorowania <math>\displaystyle f</math> w każdym punkcie jest nieujemny
<br>
  '''(3)'''
jakobian odwzorowania <math>\displaystyle f</math> zeruje się na paraboli <math>\displaystyle y=x^2</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=\mathrm{arctg}\,
(x+y)</math>. Współczynnik przy wyrażeniu <math>\displaystyle \displaystyle h_1^2h_2</math> we
wzorze na wartość różniczki <math>\displaystyle d_{(0,1)}^3(h,h,h)</math> na trójce takich
samych wektorów <math>\displaystyle h=(h_1,h_2)</math> jest równy
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac {1}{2}</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac 32</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \frac 16</math>.
 
</quiz>
 
nie, tak, nie
 
<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=(x+y,xy)</math> i
<math>\displaystyle \displaystyle g(x,y)=(x,xy,x^2y)</math>. Wtedy różniczka funkcji
złożonej <math>\displaystyle \displaystyle g\circ f</math> jest dana przez macierz powstałą
z pomnożenia macierzy
<br>
  '''(1)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x
\end{array} \right] \left[\begin{array} {ccc}1&y&2xy\\0&x&x^2
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(2)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}0&1\\x&y\\x^2&2xy
\end{array} \right] \left[\begin{array} {cc}1&1\\x&y
\end{array} \right]
</math></center>
 
<br>
  '''(3)'''
 
<center><math>\displaystyle \left[\begin{array} {cc}1&0\\y&x\\2xy&x^2
\end{array} \right] \left[\begin{array} {cc}1&1\\y&x
\end{array} \right] .
</math></center>
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Rozważmy następujące zdania
<br>
  '''(a)'''
<math>\displaystyle f</math> ma różniczkę w punkcie <math>\displaystyle (x_0,y_0)</math>
<br>
  '''(b)'''
<math>\displaystyle f</math> ma pochodne cząstkowe w punkcie <math>\displaystyle (x_0,y_0)</math>
<br>
  '''(c)'''
<math>\displaystyle f</math> jest ciągła w punkcie <math>\displaystyle (x_0,y_0)</math>.
 
Wtedy prawdziwe są następujące implikacje
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b)\Rightarrow (c)</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (b)</math> i <math>\displaystyle (c)\Rightarrow (a)</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle (a)\Rightarrow (c)</math> i <math>\displaystyle (b)\Rightarrow (c)</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, nie
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 2.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 3.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 4.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 5.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 6.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 7.  nie, tak, nie
 
\bfZadanie 8.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 9.  nie, nie, nie.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888
 
==Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x)=ax^2-2xy+2y^2-6x</math>
<br>
  '''(1)'''
ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (6,3)</math>, jeśli <math>\displaystyle a=1</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (-2,-1)</math>, jeśli <math>\displaystyle a=-1</math>
    <br>
  '''(3)'''
nie ma ekstremum, jeśli <math>\displaystyle a=\frac14</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=(2x-x^2)(2y+y^2)</math>
  <br>
  '''(1)'''
przyjmuje zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne w sąsiedztwie
punktu <math>\displaystyle (0,0)</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (2,-2)</math>
    <br>
  '''(3)'''
ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (1,-1)</math>.
 
</quiz>
 
  tak, nie, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle f(x,y)=(y-x^3)(y-3x^3)</math>
  <br>
  '''(1)'''
zacieśniona do zbioru <math>\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb R^2: y=2x^3\}</math> osiąga
maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
    <br>
  '''(2)'''
zacieśniona do prostej <math>\displaystyle y=x</math> osiąga minimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>
    <br>
  '''(3)'''
osiąga minimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Jeśli <math>\displaystyle z=f(x)=x^4-2x^2</math> oraz
<math>\displaystyle z=F(x,y)=(x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)</math>, to
  <br>
  '''(1)'''
wykres funkcji <math>\displaystyle F</math> powstał przez obrót wykresu funkcji <math>\displaystyle f</math> dookoła
osi <math>\displaystyle 0z</math>
    <br>
  '''(2)'''
funkcja <math>\displaystyle F</math> ma maksimum lokalne
    <br>
  '''(3)'''
funkcja <math>\displaystyle F</math> ma maksimum globalne.
 
</quiz>
 
  tak, tak, nie
 
<quiz> Maksimum globalne w punkcie <math>\displaystyle (0,0)</math> ma
funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle f(x,y)=\cosh(x^2+y^2)</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle g(x,y)=x^4+y^2</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle h(x,y)=xy</math>.
 
</quiz>
 
  nie, nie, nie
 
<quiz> Funkcja
<math>\displaystyle f(x,y,z)=\ln{x}+\ln{y}+\ln{z}+\ln(4-x-y-z)</math>
  <br>
  '''(1)'''
nie ma punktów krytycznych
    <br>
  '''(2)'''
ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (1,1,1)</math>
    <br>
  '''(3)'''
ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (-1,-1,-1)</math>.
 
</quiz>
 
  nie, tak, nie
 
<quiz> Funkcja
<math>\displaystyle f(x,y,z)=x^6-2y^5+z^2-3x^2-5y^2-4z</math>
  <br>
  '''(1)'''
ma dokładnie trzy punkty krytyczne
    <br>
  '''(2)'''
ma maksimum w punkcie <math>\displaystyle (0,0,2)</math>
    <br>
  '''(3)'''
ma minimum w punkcie <math>\displaystyle (1,-1,2)</math>.
    <br>
</quiz>
 
  nie, nie, tak
 
<quiz> Minimum globalne w <math>\displaystyle (0,0,0)</math> ma funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle f(x,y,z)=|x|+|y|+|z|</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle g(x,y,z)=\sqrt{x^4+y^4+z^4}</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle h(x,y,z)= \sinh(x^2+y^2+z^2)</math>.
 
</quiz>
 
  tak, tak, tak
 
<quiz> Funkcja wielu zmiennych
  <br>
  '''(1)'''
może mieć nieskończenie wiele maksimów i ani jednego minimum
    <br>
  '''(2)'''
musi mieć przynajmniej jedno maksimum, jeśli ma jakieś minimum
    <br>
  '''(3)'''
ma maksimum globalne, jeśli ma tylko jedno maksimum lokalne.
 
</quiz>
 
  tak, nie, nie.
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.010|Uzupelnic t.am2.c.7.010|]].  nie, nie, tak
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.020|Uzupelnic t.am2.c.7.020|]].  tak, nie, tak
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.030|Uzupelnic t.am2.c.7.030|]].  tak, tak, nie
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.040|Uzupelnic t.am2.c.7.040|]].  tak, tak, nie
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.050|Uzupelnic t.am2.c.7.050|]].  nie, nie, nie
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.060|Uzupelnic t.am2.c.7.060|]].  nie, tak, nie
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.070|Uzupelnic t.am2.c.7.070|]].  nie, nie, tak
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.080|Uzupelnic t.am2.c.7.080|]].  tak, tak, tak
 
\bfZadanie [[##t.am2.c.7.090|Uzupelnic t.am2.c.7.090|]].  tak, nie, nie.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
 
==Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Rozważmy funkcję <math>\displaystyle F(x,y)=\displaystyle
x^y=y^x</math> i jej <math>\displaystyle P(a,b)</math>. Wtedy
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle a=1</math> i <math>\displaystyle b=1</math>
<br>
  '''(2)'''
poziomica <math>\displaystyle \{F=0\}</math> jest wykresem pewnej
funkcji <math>\displaystyle y=y(x)</math>
<br>
  '''(3)'''
jeśli <math>\displaystyle (a,b)\neq (e,e)</math>, to w otoczeniu punktu <math>\displaystyle P</math> poziomica
<math>\displaystyle \{F=0\}</math> jest wykresem pewnej funkcji <math>\displaystyle y=y(x)</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle y=y(x)</math> uwikłana
równaniem <math>\displaystyle \displaystyle xy-\ln y-1=0</math> i taka, że <math>\displaystyle y(\frac 2e)=e</math>,
ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle \frac 2e</math> równą
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle e</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle -e^2</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle e^2</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Równanie <math>\displaystyle \displaystyle
x^2+y^2=e^{x^2+y^2-1}</math>
<br>
  '''(1)'''
przedstawia okrąg <math>\displaystyle \displaystyle x^2+y^2=1</math>
<br>
  '''(2)'''
określa jednoznacznie pewną funkcję <math>\displaystyle \displaystyle y=y(x)</math> poza
punktami <math>\displaystyle (-1,0)</math> i <math>\displaystyle (1,0)</math>
<br>
  '''(3)'''
określa jednoznacznie pewną funkcję <math>\displaystyle \displaystyle x=x(y)</math> poza
punktami <math>\displaystyle (0,-1)</math> i <math>\displaystyle (0,1)</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Równanie <math>\displaystyle \displaystyle z^3-3xyz-20=0</math>
określa jednoznacznie pewną funkcję
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle z=z(x,y)</math> w otoczeniu punktu <math>\displaystyle (-1,2,2)</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x=x(y,z)</math> w otoczeniu punktu <math>\displaystyle (0,1,1)</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y=y(x,z)</math> w otoczeniu punktu <math>\displaystyle (0,1,\root 3 \of
{20})</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Układ równań
 
<center><math>\displaystyle \begincases &xy+yz+zx-11=0, \\
&xyz-6=0\\
\endcases
</math></center>
 
określa jednoznacznie parę funkcji <math>\displaystyle \displaystyle y=y(x), z=z(x)</math>
w otoczeniu punku <math>\displaystyle (1,2,3)</math>, których pochodne w punkcie <math>\displaystyle 1</math> są
równe
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y'(1)=-8, z'(1)=9</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y'(1)=9, z'(1)=-8</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y'(1)=8, z'(1)=-9</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Równanie <math>\displaystyle \displaystyle F(x,y)=0</math>
<br>
  '''(1)'''
w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję
<math>\displaystyle y=y(x)</math> spełniającą równanie<br> <math>\displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0</math>
<br>
  '''(2)'''
w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję
<math>\displaystyle x=x(y)</math> spełniającą równanie<br> <math>\displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0</math>
<br>
  '''(3)'''
w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję <math>\displaystyle y=y(x)</math>
spełniającą równanie <math>\displaystyle \displaystyle F(x,y(x))=0</math> lub funkcję
<math>\displaystyle x=x(y)</math> spełniającą równanie <math>\displaystyle \displaystyle F(x(y),y)=0</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle z=z(x,y)</math>
określona równaniem <math>\displaystyle \displaystyle x^6+y^6+z^6-6xyz=0</math>
<br>
  '''(1)'''
ma w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2)</math>
maksimum lokalne
<br>
  '''(2)'''
ma w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)</math>
minimum lokalne
<br>
  '''(3)'''
ma w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)</math>
minimum lokalne.
 
</quiz>
 
<quiz> Niech <math>\displaystyle \displaystyle g(x,y)=x^2+y^2-1</math>.
Wtedy funkcja <math>\displaystyle \displaystyle f(x,y)=x^3+y^3</math>
<br>
  '''(1)'''
ma minimum warunkowe pod warunkiem <math>\displaystyle \displaystyle g(x,y)=0</math> w
punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)</math>
<br>
  '''(2)'''
ma maksimum warunkowe pod warunkiem <math>\displaystyle \displaystyle g(x,y)=0</math> w
punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)</math>
<br>
  '''(3)'''
nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem <math>\displaystyle \displaystyle
g(x,y)=0</math> w punkcie <math>\displaystyle \displaystyle (x,y)=(0,1)</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2</math> ma ekstremum warunkowe w punkcie <math>\displaystyle (0,0,1)</math>
pod warunkiem
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x+y+z-1=0</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0</math>.
 
</quiz>
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  nie, nie, tak
 
\bfZadanie 2.  nie, tak, nie
 
\bfZadanie 3.  tak, tak, tak
 
\bfZadanie 4.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 5.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 6.  nie, nie, nie
 
\bfZadanie 7.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 8.  nie, tak, nie
 
\bfZadanie 9.  nie, nie, tak.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
131313131313131313131313131313131313131313131313
 
==Równania różniczkowe zwyczajne. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle h</math> jest rozwiązaniem
pewnego równania różniczkowego, to jest funkcją
  <br>
  '''(1)'''
ciągłą
    <br>
  '''(2)'''
różniczkowalną
    <br>
  '''(3)'''
klasy <math>\displaystyle C^{\infty}</math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Pewna substancja paruje z prędkością
wprost proporcjonalną do jej aktualnej masy. Po godzinie od
momentu rozpoczęcia tego procesu było 36,8g  substancji, po
dalszych dwóch 9,2g.
<br>
  '''(1)''' Na początku było 73,6 g substancji.
    <br>
  '''(2)''' Substancja wyparuje całkowicie po 10 godzinach od
  początku procesu.
    <br>
  '''(3)''' Jeśli w chwili <math>\displaystyle t_0</math> mamy <math>\displaystyle 4</math> g tej substancji, to po 4
  godzinach zostanie <math>\displaystyle 1</math> g.
 
</quiz>
 
tak, nie, tak
 
<quiz> Funkcja <math>\displaystyle g(t)=-\ln(1-e^t)</math> jest
rozwiązaniem
  <br>
  '''(1)''' równania różniczkowego <math>\displaystyle x'=e^{t+x}</math>
    <br>
  '''(2)'''
problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=\exp(x(t))-1\\x(-\ln 2)=\ln 2\endcases </math>
    <br>
  '''(3)''' problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases \exp(1-x(t))\frac{dx}{dt}=\exp(t+1)\\x(1)=0\endcases </math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Problem początkowy Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=\sqrt[3]{x(t)-3}\\ x(t_0)=x_0\endcases </math></center>
ma
dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle t_0=3, x_0=2</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle t_0=2,x_0=3</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle t_0=3, x_0=3</math>.
 
</quiz>
 
tak, nie, nie
 
<quiz> Jednym z rozwiązań równania <math>\displaystyle t^2x'=
-x</math> jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f(t)=-\exp\left(\frac1t\right)+2</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle g(t)=\begincases 0, &t\leq 0\\
3\exp\left(\frac1t\right), & t>0\endcases </math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle h(t)=\exp\left(\frac1t\right)</math>.
 
</quiz>
 
nie, nie, nie
 
<quiz> Wyznaczając metodą kolejnych
przybliżeń rozwiązanie problemu Cauchy'ego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t-x(t),\\x(0)=0\endcases </math></center>
otrzymujemy
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x_2(t)=\frac12t^2-\frac16t^3</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x_4(t)=\frac12t^2-\frac16t^3+\frac1{24}t^4-\frac1{120}t^5</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x(t)=\sum_{n=2}^\infty\frac{(-t)^n}{n!}</math>.
 
</quiz>
 
tak, tak, tak
 
<quiz> Stosując metodę łamanych Eulera dla
problemu początkowego
<center><math>\displaystyle \begincases x'(t)=t^2+x(t)\\x(0)=0\endcases </math></center>
w przedziale
<math>\displaystyle [0;\ 2]</math> i biorąc <math>\displaystyle h=0,5</math> otrzymujemy
  <br>
  '''(1)'''
łamaną o węzłach <math>\displaystyle \displaystyle (0,0), \left(\frac12,0\right),
\left(1, \frac18\right), \left(\frac32, \frac{11}{16}\right),
\left(2, \frac{69}{32}\right)</math>
    <br>
  '''(2)'''
wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle \dfrac 32</math> równą
<math>\displaystyle \tilde{x}\left(\dfrac 32\right) =\dfrac{11}{16}</math>
    <br>
  '''(3)'''
wartość łamanej Eulera w punkcie <math>\displaystyle 2</math> równą
<math>\displaystyle \tilde{x}\left(2\right) = \dfrac{47}{32}</math>.
    <br>
</quiz>
 
tak, tak, nie
 
<quiz> Jeśli funkcja <math>\displaystyle x</math> jest rozwiązaniem
problemu początkowego Cauchy'ego
<math>\displaystyle \begincases x'(t)=x(t)t\\x(0)=1\endcases </math>, to
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x'(0)=1</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x''(0)=1</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x'''(0)=2</math>.
 
</quiz>
 
nie, tak, tak
 
<quiz> Rozważamy równanie <math>\displaystyle x'=\dfrac xt</math>.
  <br>
  '''(1)''' Izoklinami tego równania są wszystkie proste
  przechodzące przez środek układu współrzędnych.
    <br>
  '''(2)'''
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=3t</math> są do
niej równoległe.
    <br>
  '''(3)'''
Wektory pola kierunków zaczepione w punktach prostej <math>\displaystyle x=0</math> są do
niej prostopadłe.
 
</quiz>
 
nie, tak, nie
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 2.  tak, nie, tak
 
\bfZadanie 3.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 4.  tak, nie, nie
 
\bfZadanie 5.  nie, nie, nie
 
\bfZadanie 6.  tak, tak, tak
 
\bfZadanie 7.  tak, tak, nie
 
\bfZadanie 8.  nie, tak, tak
 
\bfZadanie 9.  nie, tak, nie.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515
 
==Elementy rachunku wariacyjnego. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
<quiz> Przestrzeń <math>\displaystyle C^1[0,1]</math> z normą
<center><math>\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq t\leq
1\}.</math></center>
 
<br>
  '''(1)''' jest przestrzenią metryczną zupełną
    <br>
  '''(2)''' jest przestrzenią Hilberta
    <br>
  '''(3)''' ma wymiar skończony.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle y</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}( f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}( f,
  f',t)=0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,
  f',t)=C</math>, gdzie <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial
  t}(f,f',t)=0</math>.
 
</quiz>
 
<quiz>  W przestrzeni <math>\displaystyle C^1[0,1]</math> określono
normę <center><math>\displaystyle \|f\|=\max \{|f(t)|, 0\leq t\leq 1\}+\max \{|f'(t)|, 0\leq
t\leq 1\}.</math></center>
Norma  funkcji <math>\displaystyle f(t)=-\exp(-t)</math> w tej przestrzeni
wynosi
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle 0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle 2</math>
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle 2e^{-1}</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle t</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial x}(f,
  f',t)=C</math>, gdzie <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial y}(f,
  f',t)-\frac{\partial L}{\partial t}(f,
  f',t)=0</math>.
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle L(f,f',t)-f'\frac{\partial L}{\partial
  t}(f,f',t)=0</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Równanie <math>\displaystyle t\mapsto (x(t), y(t))</math>,
gdzie <math>\displaystyle x(t)=r(t-\sin t)</math>, <math>\displaystyle y(t)=r(1-\cos t)</math> przedstawia
  <br>
  '''(1)''' okrąg
    <br>
  '''(2)''' elipsę
    <br>
  '''(3)''' cykloidę.
 
</quiz>
 
<quiz> Funkcjonał <math>\displaystyle J[f]=\pi \int_{a}^{b}f^2
dt</math> wyraża
  <br>
  '''(1)''' objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu wykresu
  funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq b</math>, dokoła osi rzędnych
    <br>
  '''(2)''' pole powierzchni  obrotowej powstałej z obrotu wykresu
  funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq b</math>, dokoła osi rzędnych
    <br>
  '''(3)''' długość krzywej stanowiącej wykres funkcji <math>\displaystyle t\mapsto f(t)</math>, <math>\displaystyle a\leq t\leq
  b</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Jeśli funkcja Lagrange'a
<math>\displaystyle (x,y,t)\mapsto L(x,y,t)</math> nie zależy od zmiennej <math>\displaystyle x</math>, to równanie
Lagrange'a-Eulera jest równoważne równaniu
  <br>
  '''(1)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=0</math>
    <br>
  '''(2)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial t}(f,f',t)=C,</math> gdzie
  <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą
    <br>
  '''(3)''' <math>\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}(f,f',t)=C,</math> gdzie
  <math>\displaystyle C</math> jest dowolną stałą.
    <br>
</quiz>
 
<quiz> Ekstremalą funkcjonału <math>\displaystyle \displaystyle
J[f]=\int_{0}^{1} \sqrt{1+(f')^2 }dt</math>, <math>\displaystyle f(0)=1</math>, <math>\displaystyle f(1)=2</math>, jest
  <br>
  '''(1)''' łuk okręgu o środku <math>\displaystyle (1,1)</math> i promieniu <math>\displaystyle 1</math>
    <br>
  '''(2)''' odcinek o końcach <math>\displaystyle (0,1)</math>, <math>\displaystyle (1,2)</math>
    <br>
  '''(3)''' odcinek prostej o równaniu <math>\displaystyle  f(t)=t+1</math>.
 
</quiz>
 
<quiz> Ekstremalą funkcjonału <math>\displaystyle \displaystyle
J[f]=\int_{-\pi}^{\pi} f\sqrt{1+(f')^2 }dt</math>, <math>\displaystyle f(-\pi)=0</math>,
<math>\displaystyle f(\pi)=0</math>, jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''  <math>\displaystyle f(t)=t^2-\pi^2</math>
    <br>
  '''(2)'''  <math>\displaystyle f(t)=1+\cos  t</math>
    <br>
  '''(3)'''  <math>\displaystyle f(t)=0.</math>
 
</quiz>
 
\bfOdpowiedzi:
 
\bfZadanie 1.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 2.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 3.  nie, tak, nie.
 
\bfZadanie 4.  nie, nie, nie.
 
\bfZadanie 5.  nie, nie, tak.
 
\bfZadanie 6.  tak, nie, nie.
 
\bfZadanie 7.  nie, nie, tak.
 
\bfZadanie 8.  nie, tak, tak.
 
\bfZadanie 9.  nie, nie, tak.
 
\bfOcena testu:
 
0-4  pkt -- ocena niedostateczna
 
5 pkt -- ocena dostateczna
 
6 pkt -- ocena plus dostateczna
 
7 pkt -- ocena dobra
 
8 pkt -- ocena plus dobra
 
9 pkt -- ocena bardzo dobra.

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”