Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 26 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
22222222222222222222222222222222222222
5555555555555555555555555555555555555555 Logika




9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999


<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa


<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math></rightoption>
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
{x-1}+\sqrt {x+1}}</math></wrongoption>
 
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.</rightoption>
</quiz>
tak, nie, tak
 
 
<quiz>
Styczna do wykresu funkcji
<math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
{\pi}{2})</math> ma równanie
 
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle y=x</math></rightoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}</math>.</wrongoption>
 
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0,
\\
&0, \ \ \text {dla} \ \ x=0,
\endcases
</math></center>
 
 
<rightoption>jest ciągła</rightoption>
 
<rightoption>ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math></rightoption>
 
<rightoption>ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.</rightoption>
</quiz>
tak, tak, tak
 
 
<quiz>
Równanie <math>\displaystyle \displaystyle x^e=ke^x</math>
 
<wrongoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math></wrongoption>
 
<rightoption>nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math></rightoption>
 
<wrongoption>ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.</wrongoption>
</quiz>
nie, tak, nie
 
 
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math></wrongoption>
 
<wrongoption><math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.</wrongoption>
</quiz>
nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
 
<center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
</math></center>
 
Wtedy
 
<wrongoption>istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math></wrongoption>
 
<wrongoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math></wrongoption>
 
<rightoption>jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2</math>.</rightoption>
</quiz>
nie, nie, tak
 
 
10101010101010101010101010101010101010101010
 
==Wzór Taylora. Ekstrema. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
<br>
  '''(1)'''
ma dokładnie dwa punkty krytyczne
    <br>
  '''(2)'''
nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>
    <br>
  '''(3)'''
ma minimum w punkcie 2.
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
  <br>
  '''(1)'''
ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
\Bbb Z</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma tylko minima
    <br>
  '''(3)'''
nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.
</quiz>
  nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
  <br>
  '''(1)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne
    <br>
  '''(2)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
<math>\displaystyle (0,1)</math>
    <br>
  '''(3)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.
</quiz>
  nie, tak, tak
 
 
<quiz>
Liczba <math>\displaystyle  \frac \pi2</math> jest największą
wartością funkcji
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.
</quiz>
  tak, tak, tak
 
 
<quiz>
Z prostokątnego arkusza blachy o
wymiarach <math>\displaystyle a\times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>\displaystyle x</math>. Z
pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
wysokości <math>\displaystyle x</math>. Wartość <math>\displaystyle x</math> została tak dobrana, że pojemność
pudełka jest maksymalna. Wtedy
  <br>
  '''(1)'''
jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math>
    <br>
  '''(2)'''
jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math>
    <br>
  '''(3)'''
jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.
</quiz>
  tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Przykładem funkcji różniczkowalnej
dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
0,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
-x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.
</quiz>
  tak, nie, tak
 
Odpowiedzi:
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.010|Uzupelnic t.am1.c.10.010|]].  tak, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.020|Uzupelnic t.am1.c.10.020|]].  nie, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.030|Uzupelnic t.am1.c.10.030|]].  nie, tak, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.040|Uzupelnic t.am1.c.10.040|]].  tak, tak, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.050|Uzupelnic t.am1.c.10.050|]].  tak, tak, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.060|Uzupelnic t.am1.c.10.060|]].  tak, nie, tak.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
111111111111111111111111111111111111111111111111111111
 
==Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Symbolem nieoznaczonym jest
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
</quiz>
tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
  <br>
  '''(1)'''
może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
    <br>
  '''(2)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
    <br>
  '''(3)'''
jest równa 0.
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
  <br>
  '''(1)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
\left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
    <br>
  '''(2)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
\frac1x</math>
<br>
  '''(3)'''
jest równa 0.
</quiz>
nie, nie, tak
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
  <br>
  '''(1)'''
istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
    <br>
  '''(2)'''
jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
    <br>
  '''(3)'''
jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
</quiz>
  tak, nie, tak
 
 
<quiz>
Na mocy reguły de l'Hospitala
prawdziwa jest równość
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
\frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
\frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
\frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
</quiz>
    nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
  <br>
  '''(1)'''
ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
    <br>
  '''(3)'''
ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
nieskończoności.
</quiz>
  nie, tak, nie
 
Odpowiedzi:
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.010|Uzupelnic t.am1.c.11.010|]].  tak, tak, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.020|Uzupelnic t.am1.c.11.020|]].  tak, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.030|Uzupelnic t.am1.c.11.030|]].  nie, nie, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.040|Uzupelnic t.am1.c.11.040|]].  tak, nie, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.050|Uzupelnic t.am1.c.11.050|]].  nie, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.060|Uzupelnic t.am1.c.11.060|]].  nie, tak, nie.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
12121212121212121212121212121212121212121212121212121212
 
==Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Funkcja
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x}</math> jest wklęsła
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \cosh{x}</math> jest wypukła
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2}</math> jest wypukła.
</quiz>
nie, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest dwukrotnie
różniczkowalna w pewnym przedziale <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wtedy:
  <br>
  '''(1)'''
Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest wypukła, to <math>\displaystyle f'</math> jest rosnąca.
    <br>
  '''(2)'''
Jeśli <math>\displaystyle f'</math> jest malejąca, to <math>\displaystyle f</math> jest wklęsła.
    <br>
  '''(3)'''
Jeśli <math>\displaystyle f''(1)=0</math>, to <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle 1</math> punkt przegięcia.
</quiz>
tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x}</math> jest
  <br>
  '''(1)'''
wypukła w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math>
    <br>
  '''(2)'''
wklęsła w przedziale <math>\displaystyle (-\infty, -1)</math>
    <br>
  '''(3)'''
wypukła w przedziale <math>\displaystyle (-\frac12,\frac12)</math>.
</quiz>
  tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos{x})</math>
jest wypukła w przedziale
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle (5\pi,6\pi)</math>.
</quiz>
  nie, tak, tak
 
 
<quiz>
Jeśli funkcja <math>\displaystyle f</math> jest wypukła w
przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>, to
  <br>
  '''(1)'''
funkcja <math>\displaystyle f^2(x)=(f(x))^2</math> też jest wypukła w tym przedziale
    <br>
  '''(2)'''
funkcja <math>\displaystyle f^3(x)=(f(x))^3</math> też jest wypukła w tym przedziale
    <br>
  '''(3)'''
funkcja <math>\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)</math> też jest wypukła w tym
przedziale.
</quiz>
    nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle x,y,z</math> będą dowolnymi liczbami
z przedziału <math>\displaystyle (0,1)</math>. Prawdziwa jest nierówność
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y
+\mathrm{ctg}\, z)</math>.
</quiz>
tak, tak, tak

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”