Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 32 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
1111111111111111111111111111111111111
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


==Wstęp. Zbiory liczbowe. Test==


Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.


===Zadania===
<quiz>
Liczba <math>\displaystyle \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}</math>


'''(1)''' jest dodatnia
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
 
'''(2)''' jest wymierna
 
'''(3)'''  należy do trójkowego zbioru Cantora.
</quiz>
 
<quiz>
  Równanie <math>\displaystyle x^6-1=0</math>
 
'''(1)''' ma dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
 
'''(2)''' ma sześć pierwiastków w zbiorze <math>\displaystyle \Bbb C \setminus
\Bbb R</math>
 
'''(3)''' jest spełnione przez  liczbę <math>\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+i
\frac{\sqrt{2}}{2}</math>.
</quiz>
 
<quiz>
  Liczba <math>\displaystyle \binom{10}{4}</math>
 
'''(1)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{5}{2}</math>
 
'''(2)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{10}{6}</math>
 
'''(3)''' jest współczynnikiem <math>\displaystyle a</math> jednomianu <math>\displaystyle a x^4</math> w
wielomianie <math>\displaystyle (x+2)^{10}</math> (to znaczy: w wielomianie, który
otrzymamy po podniesieniu wyrażenia <math>\displaystyle x+2</math> do potęgi 10 i po
redukcji wyrazów podobnych).
</quiz>
 
<quiz>
Zbiór liczb z przedziału <math>\displaystyle [0,1]</math>, których rozwinięcia
dziesiętne można zapisać bez użycia cyfr 3, 4, 5,
 
'''(1)''' nie zawiera żadnej liczby wymiernej
 
'''(2)''' jest równy trójkowemu zbiorowi Cantora
 
'''(3)''' jest przeliczalny.
</quiz>
 
<quiz>
  Suma nieskończonego szeregu geometrycznego:
<math>\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...</math>
 
'''(1)''' jest liczbą niewymierną
 
'''(2)''' należy do przedziału <math>\displaystyle [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})</math>
 
'''(3)''' nie należy do przedziału <math>\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{3}},
\frac{1}{\sqrt{2}})</math>.
</quiz>
 
<quiz>
  Jeśli <math>\displaystyle z=\sqrt{3}+i</math>, to
 
'''(1)''' <math>\displaystyle z^6=64</math>
 
'''(2)''' <math>\displaystyle \Re (\frac{z}{2})^{36}=1</math>
 
'''(3)''' <math>\displaystyle \Im \bar{z}=-i</math>.
</quiz>
=== Odpowiedzi===
 
Zadanie 1.  tak, tak, nie
 
Zadanie 2.  tak, nie, nie
 
Zadanie 3.  nie, tak, nie
 
Zadanie 4.  nie, nie, nie
 
Zadanie 5.  nie, nie, tak
 
Zadanie 6.  nie, tak, nie.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
22222222222222222222222222222222222222
 
==Funkcje elementarne. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
 
===Zadania===
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle f(x)=\left\{\aligned \root{4}\of{x}&, \text{ dla }
x\geq 0\\ -\root{4}\of{-x}&, \text{ dla } x<0\endaligned \right .</math>
 
a. jest funkcją odwrotną do funkcji <math>\displaystyle g(x)=x^4</math>
 
b. jest bijekcją zbioru <math>\displaystyle \Bbb R</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb R</math>
 
c. jest ściśle rosnąca.
</quiz>
 
<quiz>
Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\ln (1+x)</math>.
 
a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-1, +\infty)</math>.
 
b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość zero wyłącznie dla argumentu
<math>\displaystyle x=0</math>.
 
c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=1</math> jest liczba <math>\displaystyle x=e-1</math>.
</quiz>
 
<quiz>
Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\arcsin (2x)</math>.
 
a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]</math>.
 
b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą dla argumentu
<math>\displaystyle x=\frac{\pi}{4}</math>.
 
c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=-\frac{\pi}{6}</math> jest liczba
<math>\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
</quiz>
 
<quiz>
Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=2 \mathrm{arctg}\, \sqrt{x}</math>.
 
a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-\infty, +\infty)</math>.
 
b. Zbiorem wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [0, \pi)</math>
 
c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}</math> jest liczba <math>\displaystyle 1</math>.
</quiz>
 
<quiz>
Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin 2x)</math>.
 
a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
 
b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest równa funkcji <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-2x^2}</math>
 
c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}</math> spełniają dwie liczby
<math>\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}</math> oraz <math>\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4}</math>.
</quiz>
 
<quiz>
Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)={\rm artgh\, }(-x)</math>.
 
a. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest bijekcją przedziału <math>\displaystyle (-1,1)</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb
R</math>.
 
b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ściśle rosnąca.
 
c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=1</math> spełnia liczba  <math>\displaystyle x=\frac{1-e^2}{1+e^2}</math>.
</quiz>
===Odpowiedzi===
 
Zadanie 1.  nie, tak, tak
 
Zadanie 2.  tak, tak, tak
 
Zadanie 3.  nie, nie, nie
 
Zadanie 4.  nie, tak, tak
 
Zadanie 5.  tak, nie, tak
 
Zadanie 6.  tak, nie, tak.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
 
==Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w
przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
{x-1}+\sqrt {x+1}}</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.
</quiz>
tak, nie, tak
 
 
<quiz>
Styczna do wykresu funkcji
<math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
{\pi}{2})</math> ma równanie
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y=x</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}</math>.
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja
 
<center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0,
\\
&0, \ \ \text {dla} \ \ x=0,
\endcases
</math></center>
 
<br>
  '''(1)'''
jest ciągła
<br>
  '''(2)'''
ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>
<br>
  '''(1)'''
ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.
</quiz>
tak, tak, tak
 
 
<quiz>
Równanie <math>\displaystyle \displaystyle x^e=ke^x</math>
<br>
  '''(1)'''
nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math>
<br>
  '''(2)'''
nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math>
<br>
  '''(3)'''
ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.
</quiz>
nie, tak, nie
 
 
<quiz>
Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math>
<br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math>
<br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.
</quiz>
nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
 
<center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
</math></center>
 
Wtedy
<br>
  '''(1)'''
istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystyle \displaystyle
f'(x_0)=A</math>
<br>
  '''(2)'''
jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math>
<br>
  '''(3)'''
jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
<math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2</math>.
</quiz>
nie, nie, tak
 
Odpowiedzi:
 
Zadanie 1.  tak, nie, tak
 
Zadanie 2.  tak, nie, nie
 
Zadanie 3.  tak, tak, tak
 
Zadanie 4.  nie, tak, nie
 
Zadanie 5.  nie, nie, nie
 
Zadanie 6.  nie, nie, tak
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
10101010101010101010101010101010101010101010
 
==Wzór Taylora. Ekstrema. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
<br>
  '''(1)'''
ma dokładnie dwa punkty krytyczne
    <br>
  '''(2)'''
nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>
    <br>
  '''(3)'''
ma minimum w punkcie 2.
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
  <br>
  '''(1)'''
ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
\Bbb Z</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma tylko minima
    <br>
  '''(3)'''
nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.
</quiz>
  nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
  <br>
  '''(1)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne
    <br>
  '''(2)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
<math>\displaystyle (0,1)</math>
    <br>
  '''(3)'''
funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.
</quiz>
  nie, tak, tak
 
 
<quiz>
Liczba <math>\displaystyle  \frac \pi2</math> jest największą
wartością funkcji
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.
</quiz>
  tak, tak, tak
 
 
<quiz>
Z prostokątnego arkusza blachy o
wymiarach <math>\displaystyle a\times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>\displaystyle x</math>. Z
pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
wysokości <math>\displaystyle x</math>. Wartość <math>\displaystyle x</math> została tak dobrana, że pojemność
pudełka jest maksymalna. Wtedy
  <br>
  '''(1)'''
jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math>
    <br>
  '''(2)'''
jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math>
    <br>
  '''(3)'''
jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.
</quiz>
  tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Przykładem funkcji różniczkowalnej
dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
0,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
\left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
-x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.
</quiz>
  tak, nie, tak
 
Odpowiedzi:
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.010|Uzupelnic t.am1.c.10.010|]].  tak, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.020|Uzupelnic t.am1.c.10.020|]].  nie, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.030|Uzupelnic t.am1.c.10.030|]].  nie, tak, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.040|Uzupelnic t.am1.c.10.040|]].  tak, tak, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.050|Uzupelnic t.am1.c.10.050|]].  tak, tak, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.10.060|Uzupelnic t.am1.c.10.060|]].  tak, nie, tak.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
111111111111111111111111111111111111111111111111111111
 
==Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Symbolem nieoznaczonym jest
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
</quiz>
tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
  <br>
  '''(1)'''
może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
    <br>
  '''(2)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
\frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
    <br>
  '''(3)'''
jest równa 0.
</quiz>
tak, nie, nie
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
  <br>
  '''(1)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
\left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
    <br>
  '''(2)'''
jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
\frac1x</math>
<br>
  '''(3)'''
jest równa 0.
</quiz>
nie, nie, tak
 
 
<quiz>
Granica <math>\displaystyle \displaystyle
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
  <br>
  '''(1)'''
istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
    <br>
  '''(2)'''
jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
    <br>
  '''(3)'''
jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
</quiz>
  tak, nie, tak
 
 
<quiz>
Na mocy reguły de l'Hospitala
prawdziwa jest równość
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
\frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
\frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
\frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
</quiz>
    nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
  <br>
  '''(1)'''
ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
    <br>
  '''(2)'''
ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
    <br>
  '''(3)'''
ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
nieskończoności.
</quiz>
  nie, tak, nie
 
Odpowiedzi:
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.010|Uzupelnic t.am1.c.11.010|]].  tak, tak, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.020|Uzupelnic t.am1.c.11.020|]].  tak, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.030|Uzupelnic t.am1.c.11.030|]].  nie, nie, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.040|Uzupelnic t.am1.c.11.040|]].  tak, nie, tak
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.050|Uzupelnic t.am1.c.11.050|]].  nie, nie, nie
 
Zadanie [[##t.am1.c.11.060|Uzupelnic t.am1.c.11.060|]].  nie, tak, nie.
 
Ocena testu:
 
0-3 pkt -- ocena niedostateczna
 
4 pkt -- ocena dostateczna
 
5 pkt -- ocena dobra
 
6 pkt -- ocena bardzo dobra.
 
12121212121212121212121212121212121212121212121212121212
 
==Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test==
 
Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
i fałszywe odpowiedzi.
 
 
<quiz>
Funkcja
<br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x}</math> jest wklęsła
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \cosh{x}</math> jest wypukła
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2}</math> jest wypukła.
</quiz>
nie, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest dwukrotnie
różniczkowalna w pewnym przedziale <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wtedy:
  <br>
  '''(1)'''
Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest wypukła, to <math>\displaystyle f'</math> jest rosnąca.
    <br>
  '''(2)'''
Jeśli <math>\displaystyle f'</math> jest malejąca, to <math>\displaystyle f</math> jest wklęsła.
    <br>
  '''(3)'''
Jeśli <math>\displaystyle f''(1)=0</math>, to <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle 1</math> punkt przegięcia.
</quiz>
tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x}</math> jest
  <br>
  '''(1)'''
wypukła w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math>
    <br>
  '''(2)'''
wklęsła w przedziale <math>\displaystyle (-\infty, -1)</math>
    <br>
  '''(3)'''
wypukła w przedziale <math>\displaystyle (-\frac12,\frac12)</math>.
</quiz>
  tak, tak, nie
 
 
<quiz>
Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos{x})</math>
jest wypukła w przedziale
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle (5\pi,6\pi)</math>.
</quiz>
  nie, tak, tak
 
 
<quiz>
Jeśli funkcja <math>\displaystyle f</math> jest wypukła w
przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>, to
  <br>
  '''(1)'''
funkcja <math>\displaystyle f^2(x)=(f(x))^2</math> też jest wypukła w tym przedziale
    <br>
  '''(2)'''
funkcja <math>\displaystyle f^3(x)=(f(x))^3</math> też jest wypukła w tym przedziale
    <br>
  '''(3)'''
funkcja <math>\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)</math> też jest wypukła w tym
przedziale.
</quiz>
    nie, nie, nie
 
 
<quiz>
Niech <math>\displaystyle x,y,z</math> będą dowolnymi liczbami
z przedziału <math>\displaystyle (0,1)</math>. Prawdziwa jest nierówność
  <br>
  '''(1)'''
<math>\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}</math>
    <br>
  '''(2)'''
<math>\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)</math>
    <br>
  '''(3)'''
<math>\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y
+\mathrm{ctg}\, z)</math>.
</quiz>
tak, tak, tak

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”