|
|
| (Nie pokazano 33 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| 1111111111111111111111111111111111111
| | 5555555555555555555555555555555555555555 Logika |
|
| |
|
| ==Wstęp. Zbiory liczbowe. Test==
| |
|
| |
|
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
| |
| być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
| |
| tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
| |
| i fałszywe odpowiedzi.
| |
|
| |
|
| ===Zadania===
| |
|
| |
|
| Liczba <math>\displaystyle \sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}</math>
| | 10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika |
| | |
| '''(1)''' jest dodatnia
| |
| | |
| '''(2)''' jest wymierna
| |
| | |
| '''(3)''' należy do trójkowego zbioru Cantora.
| |
| | |
| Równanie <math>\displaystyle x^6-1=0</math>
| |
| | |
| '''(1)''' ma dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych
| |
| | |
| '''(2)''' ma sześć pierwiastków w zbiorze <math>\displaystyle \Bbb C \setminus
| |
| \Bbb R</math>
| |
| | |
| '''(3)''' jest spełnione przez liczbę <math>\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}+i
| |
| \frac{\sqrt{2}}{2}</math>.
| |
| | |
| Liczba <math>\displaystyle \binom{10}{4}</math>
| |
| | |
| '''(1)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{5}{2}</math>
| |
| | |
| '''(2)''' jest równa <math>\displaystyle \binom{10}{6}</math>
| |
| | |
| '''(3)''' jest współczynnikiem <math>\displaystyle a</math> jednomianu <math>\displaystyle a x^4</math> w
| |
| wielomianie <math>\displaystyle (x+2)^{10}</math> (to znaczy: w wielomianie, który
| |
| otrzymamy po podniesieniu wyrażenia <math>\displaystyle x+2</math> do potęgi 10 i po
| |
| redukcji wyrazów podobnych).
| |
| | |
| Zbiór liczb z przedziału <math>\displaystyle [0,1]</math>, których rozwinięcia
| |
| dziesiętne można zapisać bez użycia cyfr 3, 4, 5,
| |
| | |
| '''(1)''' nie zawiera żadnej liczby wymiernej
| |
| | |
| '''(2)''' jest równy trójkowemu zbiorowi Cantora
| |
| | |
| '''(3)''' jest przeliczalny.
| |
| | |
| Suma nieskończonego szeregu geometrycznego:
| |
| <math>\displaystyle 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+...</math>
| |
| | |
| '''(1)''' jest liczbą niewymierną
| |
| | |
| '''(2)''' należy do przedziału <math>\displaystyle [\frac{1}{2}, \frac{3}{4})</math>
| |
| | |
| '''(3)''' nie należy do przedziału <math>\displaystyle (\frac{1}{\sqrt{3}},
| |
| \frac{1}{\sqrt{2}})</math>.
| |
| | |
| Jeśli <math>\displaystyle z=\sqrt{3}+i</math>, to
| |
| | |
| '''(1)''' <math>\displaystyle z^6=64</math>
| |
| | |
| '''(2)''' <math>\displaystyle \Re (\frac{z}{2})^{36}=1</math>
| |
| | |
| '''(3)''' <math>\displaystyle \Im \bar{z}=-i</math>.
| |
| | |
| === Odpowiedzi===
| |
| | |
| Zadanie 1. tak, tak, nie
| |
| | |
| Zadanie 2. tak, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie 3. nie, tak, nie
| |
| | |
| Zadanie 4. nie, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie 5. nie, nie, tak
| |
| | |
| Zadanie 6. nie, tak, nie.
| |
| | |
| Ocena testu:
| |
| | |
| 0-3 pkt -- ocena niedostateczna
| |
| | |
| 4 pkt -- ocena dostateczna
| |
| | |
| 5 pkt -- ocena dobra
| |
| | |
| 6 pkt -- ocena bardzo dobra.
| |
| | |
| 22222222222222222222222222222222222222
| |
| | |
| ==Funkcje elementarne. Test==
| |
| | |
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
| |
| Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
| |
| prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
| |
| | |
| ===Zadania===
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle f(x)=\left\{\aligned \root{4}\of{x}&, \text{ dla }
| |
| x\geq 0\\ -\root{4}\of{-x}&, \text{ dla } x<0\endaligned \right .</math>
| |
| | |
| a. jest funkcją odwrotną do funkcji <math>\displaystyle g(x)=x^4</math>
| |
| | |
| b. jest bijekcją zbioru <math>\displaystyle \Bbb R</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb R</math>
| |
| | |
| c. jest ściśle rosnąca.
| |
| | |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\ln (1+x)</math>.
| |
| | |
| a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-1, +\infty)</math>.
| |
| | |
| b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość zero wyłącznie dla argumentu
| |
| <math>\displaystyle x=0</math>.
| |
| | |
| c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=1</math> jest liczba <math>\displaystyle x=e-1</math>.
| |
| | |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\arcsin (2x)</math>.
| |
| | |
| a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]</math>.
| |
| | |
| b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> przyjmuje wartość największą dla argumentu
| |
| <math>\displaystyle x=\frac{\pi}{4}</math>.
| |
| | |
| c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=-\frac{\pi}{6}</math> jest liczba
| |
| <math>\displaystyle x=-\frac{\sqrt{3}}{2}</math>.
| |
| | |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=2 \mathrm{arctg}\, \sqrt{x}</math>.
| |
| | |
| a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle (-\infty, +\infty)</math>.
| |
| | |
| b. Zbiorem wartości funkcji <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [0, \pi)</math>
| |
| | |
| c. Rozwiązaniem równania <math>\displaystyle f(x)=\frac{\pi}{2}</math> jest liczba <math>\displaystyle 1</math>.
| |
| | |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)=\cos(\arcsin 2x)</math>.
| |
| | |
| a. Dziedziną <math>\displaystyle f</math> jest przedział <math>\displaystyle [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]</math>.
| |
| | |
| b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest równa funkcji <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-2x^2}</math>
| |
| | |
| c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}</math> spełniają dwie liczby
| |
| <math>\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}</math> oraz <math>\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4}</math>.
| |
| | |
| Dana jest funkcja <math>\displaystyle f(x)={\rm artgh\, }(-x)</math>.
| |
| | |
| a. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest bijekcją przedziału <math>\displaystyle (-1,1)</math> na zbiór <math>\displaystyle \Bbb
| |
| R</math>.
| |
| | |
| b. Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ściśle rosnąca.
| |
| | |
| c. Równanie <math>\displaystyle f(x)=1</math> spełnia liczba <math>\displaystyle x=\frac{1-e^2}{1+e^2}</math>.
| |
| | |
| ===Odpowiedzi===
| |
| | |
| Zadanie 1. nie, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie 2. tak, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie 3. nie, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie 4. nie, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie 5. tak, nie, tak
| |
| | |
| Zadanie 6. tak, nie, tak.
| |
| | |
| Ocena testu:
| |
| | |
| 0-3 pkt -- ocena niedostateczna
| |
| | |
| 4 pkt -- ocena dostateczna
| |
| | |
| 5 pkt -- ocena dobra
| |
| | |
| 6 pkt -- ocena bardzo dobra.
| |
| | |
| 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
| |
| | |
| ==Pochodna funkcji jednej zmiennej. Test==
| |
| | |
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może być prawdziwa lub fałszywa.
| |
| Można uzyskać jeden punkt wtedy i tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie
| |
| prawdziwe i fałszywe odpowiedzi.
| |
| | |
| Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x)=\frac {\sqrt {x+1}-\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}+\sqrt {x-1}}</math> w
| |
| przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math> jest równa
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\frac {x}{\sqrt {x+1}\sqrt {x-1}}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=\frac {\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}}{\sqrt
| |
| {x-1}+\sqrt {x+1}}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=1-\sqrt {1+\frac {1}{x^2-1}}</math>.
| |
| | |
| tak, nie, tak
| |
| | |
| Styczna do wykresu funkcji
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f(x)=x\sin x</math> w punkcie <math>\displaystyle (\frac {\pi}{2},\frac
| |
| {\pi}{2})</math> ma równanie
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle y=x</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle y=(-\frac {\pi}{2}+1)x+\frac {\pi^2}{4}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle y=x+\frac {\pi}{2}</math>.
| |
| | |
| tak, nie, nie
| |
| | |
| Funkcja
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle f(x)=\begincases &x^3\sin (\frac 1x), \ \ \text{dla} \ \ x\neq 0,
| |
| \\
| |
| &0, \ \ \text {dla} \ \ x=0,
| |
| \endcases
| |
| </math></center>
| |
| | |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| jest ciągła
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| ma pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| ma ciągłą pochodną w punkcie <math>\displaystyle x=0</math>.
| |
| | |
| tak, tak, tak
| |
| | |
| Równanie <math>\displaystyle \displaystyle x^e=ke^x</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k\in(0,1)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| nie ma rozwiązań dla <math>\displaystyle k>1</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| ma dwa rozwiązania dla <math>\displaystyle k=1</math>.
| |
| | |
| nie, tak, nie
| |
| | |
| Pochodna funkcji <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x)=x^{e^x}</math> jest równa
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x}\ln x</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x)=e^xx^{e^x-1}\frac {x\ln x+1}{x}</math>.
| |
| | |
| nie, nie, nie
| |
| | |
| Niech <math>\displaystyle x_0\in (a,b)</math> i niech <math>\displaystyle f</math> będzie
| |
| funkcją ciągłą w przedziale <math>\displaystyle (a,b)</math> taką, że istnieje granica
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac {f(x_0+t)-f(x_0-t)}{t}=A.
| |
| </math></center>
| |
| | |
| Wtedy
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> i <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f'(x_0)=A</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=A</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| jeśli istnieje pochodna funkcji <math>\displaystyle f</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>, to
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle f'(x_0)=\frac A2</math>.
| |
| | |
| nie, nie, tak
| |
| | |
| Odpowiedzi:
| |
| | |
| Zadanie 1. tak, nie, tak
| |
| | |
| Zadanie 2. tak, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie 3. tak, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie 4. nie, tak, nie
| |
| | |
| Zadanie 5. nie, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie 6. nie, nie, tak
| |
| | |
| Ocena testu:
| |
| | |
| 0-3 pkt -- ocena niedostateczna
| |
| | |
| 4 pkt -- ocena dostateczna
| |
| | |
| 5 pkt -- ocena dobra
| |
| | |
| 6 pkt -- ocena bardzo dobra.
| |
| | |
| 10101010101010101010101010101010101010101010
| |
| | |
| ==Wzór Taylora. Ekstrema. Test==
| |
| | |
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
| |
| być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
| |
| tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
| |
| i fałszywe odpowiedzi.
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto (5-x)\sqrt[3]{x^2}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| ma dokładnie dwa punkty krytyczne
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| nie ma ekstremum w punkcie <math>\displaystyle 0</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| ma minimum w punkcie 2.
| |
| | |
| tak, nie, nie
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle x\rightarrow x+\ln(\sin{x})</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| ma punkty krytyczne postaci <math>\displaystyle \frac{\pi}{4}+ k\pi</math>, gdzie <math>\displaystyle k\in
| |
| \Bbb Z</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| ma tylko minima
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| nie ma punktów krytycznych w przedziale <math>\displaystyle (\frac{5\pi}2,3\pi)</math>.
| |
| | |
| nie, nie, nie
| |
| | |
| Niech <math>\displaystyle f(x)= x^m(1-x)^n</math> dla pewnych
| |
| liczb naturalnych <math>\displaystyle m, n</math>. Wtedy
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle f</math> ma dokładnie trzy punkty krytyczne
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle f</math> ma maksimum w pewnym punkcie leżącym w przedziale
| |
| <math>\displaystyle (0,1)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle f</math> może mieć dwa minima.
| |
| | |
| nie, tak, tak
| |
| | |
| Liczba <math>\displaystyle \frac \pi2</math> jest największą
| |
| wartością funkcji
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin x +\sqrt{1-x^2}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto \mathrm{arctg}\, x+ \mathrm{arc\,ctg}\, x</math> w przedziale <math>\displaystyle [1,+\infty)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto (1-x)\arccos{x}</math> w przedziale <math>\displaystyle [0,1]</math>.
| |
| | |
| tak, tak, tak
| |
| | |
| Z prostokątnego arkusza blachy o
| |
| wymiarach <math>\displaystyle a\times b</math> wycięto w każdym rogu kwadrat o boku <math>\displaystyle x</math>. Z
| |
| pozostałej blachy utworzono otwarte prostopadłościenne pudełko o
| |
| wysokości <math>\displaystyle x</math>. Wartość <math>\displaystyle x</math> została tak dobrana, że pojemność
| |
| pudełka jest maksymalna. Wtedy
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| jeśli <math>\displaystyle a=3</math> i <math>\displaystyle b=8</math>, to pojemność ta wynosi <math>\displaystyle \frac{200}{27}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| jeśli <math>\displaystyle a=b</math>, to <math>\displaystyle x=\frac{a}6</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są całkowite, to <math>\displaystyle x</math> jest wymierne.
| |
| | |
| tak, tak, nie
| |
| | |
| Przykładem funkcji różniczkowalnej
| |
| dwukrotnie, która nie jest klasy <math>\displaystyle C^2</math> jest funkcja
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
| |
| \left\{\begin{array} {ll}x^4\cos \frac1x, & {\rm gdy} \; x\neq 0\\
| |
| 0,& {\rm gdy } \; x=0\end{array} \right.</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
| |
| \left\{\begin{array} {ll}-x^3, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
| |
| x^3,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle x\mapsto
| |
| \left\{\begin{array} {ll}x\sinh x, & {\rm gdy} \; x\geq 0\\
| |
| -x\sinh x,& {\rm gdy } \; x<0\end{array} \right.</math>.
| |
| | |
| tak, nie, tak
| |
| | |
| Odpowiedzi:
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.010|Uzupelnic t.am1.c.10.010|]]. tak, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.020|Uzupelnic t.am1.c.10.020|]]. nie, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.030|Uzupelnic t.am1.c.10.030|]]. nie, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.040|Uzupelnic t.am1.c.10.040|]]. tak, tak, tak
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.050|Uzupelnic t.am1.c.10.050|]]. tak, tak, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.10.060|Uzupelnic t.am1.c.10.060|]]. tak, nie, tak.
| |
| | |
| Ocena testu:
| |
| | |
| 0-3 pkt -- ocena niedostateczna
| |
| | |
| 4 pkt -- ocena dostateczna
| |
| | |
| 5 pkt -- ocena dobra
| |
| | |
| 6 pkt -- ocena bardzo dobra.
| |
| | |
| 111111111111111111111111111111111111111111111111111111
| |
| | |
| ==Twierdzenie de l'Hospitala. Równość asymptotyczna. Test==
| |
| | |
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
| |
| być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
| |
| tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
| |
| i fałszywe odpowiedzi.
| |
| | |
| Symbolem nieoznaczonym jest
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle [+\infty - \infty]</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \left[1^{+\infty}\right]</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \left[0^{-\infty}\right]</math>.
| |
| | |
| tak, tak, nie
| |
| | |
| Granica <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\mathrm{arctg}\,{x}}{x^3}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| może być liczona za pomocą reguły de l'Hospitala
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
| |
| \frac{\frac{x^3}{1+x^2}-3x^2\mathrm{arctg}\,{x}}{x^6}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| jest równa 0.
| |
| | |
| tak, nie, nie
| |
| | |
| Granica <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| \lim_{x\rightarrow 0} x\ln{x}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}
| |
| \left(1\cdot \ln{x}+x\cdot \frac1x\right)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| jest równa granicy <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot
| |
| \frac1x</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| jest równa 0.
| |
| | |
| nie, nie, tak
| |
| | |
| Granica <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{1-x^m}}{\ln{x}}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| istnieje dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\displaystyle m</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| jest równa <math>\displaystyle 1</math> dla <math>\displaystyle m=2</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| jest równa <math>\displaystyle 0</math> dla pewnego <math>\displaystyle m</math>.
| |
| | |
| tak, nie, tak
| |
| | |
| Na mocy reguły de l'Hospitala
| |
| prawdziwa jest równość
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{5x^2+3x-2}{2x^2-7x+1}=
| |
| \lim_{x\rightarrow 0} \frac{10x+3}{4x-7}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}
| |
| \frac{3x+\cos{x}}{2x-\sin{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty}
| |
| \frac{3-\sin{x}}{2-\cos{x}}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}
| |
| \frac{\ln{x}}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\frac1x}{2x}</math>
| |
| | |
| nie, nie, nie
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle \displaystyle
| |
| f(x)=2x\arccos\frac1x</math>
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| ma asymptotę pionową <math>\displaystyle x=0</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| ma asymptotę ukośną <math>\displaystyle y=\pi x-2</math> w plus lub minus nieskończoności
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| ma inną asymptotę ukośną w plus nieskończoności niż w minus
| |
| nieskończoności.
| |
| | |
| nie, tak, nie
| |
| | |
| Odpowiedzi:
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.010|Uzupelnic t.am1.c.11.010|]]. tak, tak, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.020|Uzupelnic t.am1.c.11.020|]]. tak, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.030|Uzupelnic t.am1.c.11.030|]]. nie, nie, tak
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.040|Uzupelnic t.am1.c.11.040|]]. tak, nie, tak
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.050|Uzupelnic t.am1.c.11.050|]]. nie, nie, nie
| |
| | |
| Zadanie [[##t.am1.c.11.060|Uzupelnic t.am1.c.11.060|]]. nie, tak, nie.
| |
| | |
| Ocena testu:
| |
| | |
| 0-3 pkt -- ocena niedostateczna
| |
| | |
| 4 pkt -- ocena dostateczna
| |
| | |
| 5 pkt -- ocena dobra
| |
| | |
| 6 pkt -- ocena bardzo dobra.
| |
| | |
| 12121212121212121212121212121212121212121212121212121212
| |
| | |
| ==Wypukłość. Badanie funkcji jednej zmiennej. Test==
| |
| | |
| Do każdego zadania podano trzy odpowiedzi, z których każda może
| |
| być prawdziwa lub fałszywa. Można uzyskać jeden punkt wtedy i
| |
| tylko wtedy, jeśli poprawnie zostaną wskazane wszystkie prawdziwe
| |
| i fałszywe odpowiedzi.
| |
| | |
| Funkcja
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto \ln{\frac1x}</math> jest wklęsła
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto \cosh{x}</math> jest wypukła
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle x\mapsto \sqrt{1-x^2}</math> jest wypukła.
| |
| | |
| nie, tak, nie
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle f</math> jest dwukrotnie
| |
| różniczkowalna w pewnym przedziale <math>\displaystyle (0,+\infty)</math>. Wtedy:
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest wypukła, to <math>\displaystyle f'</math> jest rosnąca.
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| Jeśli <math>\displaystyle f'</math> jest malejąca, to <math>\displaystyle f</math> jest wklęsła.
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| Jeśli <math>\displaystyle f''(1)=0</math>, to <math>\displaystyle f</math> ma w <math>\displaystyle 1</math> punkt przegięcia.
| |
| | |
| tak, tak, nie
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^3+12\mathrm{arctg}\,{x}</math> jest
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| wypukła w przedziale <math>\displaystyle (1,+\infty)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| wklęsła w przedziale <math>\displaystyle (-\infty, -1)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| wypukła w przedziale <math>\displaystyle (-\frac12,\frac12)</math>.
| |
| | |
| tak, tak, nie
| |
| | |
| Funkcja <math>\displaystyle x\mapsto x\arcsin(\cos{x})</math>
| |
| jest wypukła w przedziale
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle (\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle (-\frac{\pi}2,0)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle (5\pi,6\pi)</math>.
| |
| | |
| nie, tak, tak
| |
| | |
| Jeśli funkcja <math>\displaystyle f</math> jest wypukła w
| |
| przedziale <math>\displaystyle (0,1)</math>, to
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle f^2(x)=(f(x))^2</math> też jest wypukła w tym przedziale
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle f^3(x)=(f(x))^3</math> też jest wypukła w tym przedziale
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| funkcja <math>\displaystyle (0,1)\ni x\mapsto xf(x)</math> też jest wypukła w tym
| |
| przedziale.
| |
| | |
| nie, nie, nie
| |
| | |
| Niech <math>\displaystyle x,y,z</math> będą dowolnymi liczbami
| |
| z przedziału <math>\displaystyle (0,1)</math>. Prawdziwa jest nierówność
| |
| <br>
| |
| '''(1)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}</math>
| |
| <br>
| |
| '''(2)'''
| |
| <math>\displaystyle \displaystyle e^{\frac{2x+y}3}\leq \frac23(e^x+e^y)</math>
| |
| <br>
| |
| '''(3)'''
| |
| <math>\displaystyle 2\displaystyle \mathrm{ctg}\, \frac{ 2x+ y+ z}4 \leq \mathrm{ctg}\, x+\frac12(\mathrm{ctg}\, y
| |
| +\mathrm{ctg}\, z)</math>.
| |
| | |
| tak, tak, tak
| |
