|
|
| (Nie pokazano 45 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| <quiz>Komoda ma <math>\displaystyle 10 </math> szuflad.
| | 5555555555555555555555555555555555555555 Logika |
| Pierwsza jest w stanie pomieścić <math>\displaystyle 1 </math> koszulę,
| |
| druga <math>\displaystyle 2 </math> i w ogólności <math>\displaystyle i </math> -ta szuflada jest w stanie pomieścić <math>\displaystyle i </math> koszul.
| |
| Do przechowania jest <math>\displaystyle 46 </math> koszul. Wtedy:}
| |
| <wrongoption>nie da się pomieścić wszystkich koszul w komodzie}
| |
| <wrongoption>wszystkie szuflady będą w pełni zapełnione}
| |
| <rightoption>co najmniej jedna z szuflad będzie w pełni zapełniona}
| |
| <rightoption>któraś szuflada może być pusta}
| |
| </quiz>
| |
|
| |
|
| <quiz>Graf o <math>\displaystyle 524288 </math> wierzchołkach zawiera jako podgraf indukowany:}
| |
| <rightoption>klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{9} </math> lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{9} </math> }
| |
| <rightoption>klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{10} </math> lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{10} </math> }
| |
| <wrongoption>klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{512} </math> lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{512} </math> }
| |
| <wrongoption>klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{1024} </math> lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{1024} </math> }
| |
| </quiz>
| |
|
| |
|
| <quiz>Jeśli graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> ma nieskończenie wiele wierzchołków, to:}
| |
| <rightoption>istnieje liczba naturalna <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math> taka,
| |
| że graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> zawiera jako podgraf indukowany klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math>
| |
| lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
| |
| <rightoption>dla dowolnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math>
| |
| graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> zawiera jako podgraf indukowany klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math>
| |
| lub antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
| |
| <wrongoption>dla dowolnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math>
| |
| graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> zawiera jako podgraf indukowany
| |
| klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math> oraz antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> zawiera jako podgraf indukowany przeliczalną klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{\mathbb{N}} </math>
| |
| lub przeliczalną antyklikę <math>\displaystyle \mathcal{A}_{\mathbb{N}} </math> }
| |
| </quiz>
| |
|
| |
|
| <quiz>Dla dowolnych <math>\displaystyle n,m,p\in\mathbb{N} </math> istnieje liczba <math>\displaystyle q </math> taka, że:}
| |
| <rightoption>dla każdego zbioru <math>\displaystyle X </math> o co najmniej <math>\displaystyle q </math> elementach
| |
| i dowolnego rozbicia <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m </math> ,
| |
| istnieje <math>\displaystyle p </math> -elementowy podzbiór <math>\displaystyle Y </math> zbioru <math>\displaystyle X </math> taki,
| |
| że <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i </math> przy pewnym <math>\displaystyle i=1,\ldots,t </math> }
| |
| <rightoption>dla każdego zbioru <math>\displaystyle X </math> o co najmniej <math>\displaystyle n </math> elementach
| |
| i dowolnego rozbicia <math>\displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_t </math> ,
| |
| istnieje <math>\displaystyle q </math> -elementowy podzbiór <math>\displaystyle Y </math> zbioru <math>\displaystyle X </math> taki,
| |
| że <math>\displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i </math> przy pewnym <math>\displaystyle i=1,\ldots,t </math> }
| |
| <wrongoption>dla każdego zbioru <math>\displaystyle X </math> o co najmniej <math>\displaystyle q </math> elementach
| |
| i dowolnego rozbicia <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m </math> ,
| |
| istnieje <math>\displaystyle \left\lceil q/m \right\rceil </math> -elementowy podzbiór <math>\displaystyle Y </math> zbioru <math>\displaystyle X </math> taki,
| |
| że <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_p </math> }
| |
| <wrongoption>Żadna z pozostałych własności nie musi zachodzić}
| |
| </quiz>
| |
|
| |
|
| <quiz>Liczba Ramseya <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( 3,4 \right) </math> to:}
| | 10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 9 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 14 </math> }
| |
| <rightoption>co najwyżej <math>\displaystyle 10 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczba Ramseya <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right) </math> spełnia:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczby Ramseya <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right) </math> spełniają:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle n2^{n/2}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle n2^{2n}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n-2 \choose n-1 } </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n \choose n } </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| 444444444444444444444444444444444444444444444444
| |
| | |
| | |
| | |
| <quiz>Zaznacz struktury będące grupami:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4,+,0)</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4^*,\cdot,1)</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,0)</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5^*,\cdot,1)</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla dowolnych elementów <math>\displaystyle x,y</math> pewnej grupy element <math>\displaystyle x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1}</math>
| |
| można tez zapisać jako:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle x^{-1}yxy^{-1}</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}</math>, gdzie <math>\displaystyle z</math> jest dowolnym elementem grupy
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy^{-1}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W dowolnej grupie skończonej, jeśli <math>\displaystyle x^{15}=1</math> i <math>\displaystyle x^{25}=1</math>, to:
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle x</math> jest rzędu <math>\displaystyle 5</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle x^5=1</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle x^{30}=1</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle x^{35}=1</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_{12},+,0)</math>
| |
| <rightoption> ma podgrupę <math>\displaystyle 1</math>-elementową
| |
| <rightoption> ma podgrupę <math>\displaystyle 2</math>-elementową
| |
| <rightoption> ma podgrupę <math>\displaystyle 3</math>-elementową
| |
| <rightoption> ma podgrupę <math>\displaystyle 4</math>-elementową
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle H_0,H_1</math> będą podgrupami grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>. Wtedy:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Wskaż prawdziwe własności grup <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> dla <math>\displaystyle n>1</math>:
| |
| <wrongoption> grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
| |
| <rightoption> każda grupa postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczna
| |
| <rightoption> jeśli grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna, to <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze
| |
| <rightoption> grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna o ile <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n</math> jest grupą addytywną <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math>:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{3}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_6</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_{33}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_{99}</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_4</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Czy w dowolnej grupie postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> elementów rzędu <math>\displaystyle 7</math> jest <math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 6</math>?
| |
| <rightoption> tak
| |
| <rightoption> tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n</math> jest wielokrotnkością <math>\displaystyle 7</math>
| |
| <rightoption> tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n\perp 7</math>
| |
| <wrongoption> żadna z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla podgrupy <math>\displaystyle {\mathbf H}</math> skończonej grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> zachodzi:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle gH=Hg</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle gH=Hg</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli element <math>\displaystyle x</math> grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> ma rząd <math>\displaystyle n</math>, to <math>\displaystyle x^{3n}</math> ma rząd:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 1</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle n</math>
| |
| <wrongoption> żadne z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| 555555555555555555555555555555555555555555555555
| |
| | |
| | |
| <quiz>Orbita <math>\displaystyle Gx </math> w G-zbiorze <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math>
| |
| <rightoption>to zbiór elementów zbioru <math>\displaystyle X </math> postaci <math>\displaystyle g\!\left( x \right) </math> , gdzie <math>\displaystyle g\in G </math> .</rightoption>
| |
| <rightoption>jest równa <math>\displaystyle Gy </math> jeśli tylko istnieje <math>\displaystyle g\in G </math> takie, że <math>\displaystyle g\!\left( x \right)=y </math> .</rightoption>
| |
| <wrongoption>jest równa <math>\displaystyle Gy </math> dla dowolnego <math>\displaystyle y\in X </math> .</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest równa <math>\displaystyle Gy </math> jeśli tylko <math>\displaystyle x \circ y = id </math> .</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Stabilizator <math>\displaystyle G_x </math> w G-zbiorze <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math>
| |
| <wrongoption>to szczególny przypadek orbity.</wrongoption>
| |
| <wrongoption>jest równoliczny z orbitą <math>\displaystyle Gx </math> .</wrongoption>
| |
| <rightoption>spełnia warunek <math>\displaystyle \left\vert G_x \right\vert\cdot\left\vert Gx \right\vert=\left\vert G \right\vert </math> .</rightoption>
| |
| <rightoption>to zbiór permutacji <math>\displaystyle g \in G </math> takich, że <math>\displaystyle g\!\left( x \right)=x </math> .</rightoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W G-zbiorze <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math> zachodzi:
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\vert \left\lbrace Gx :x \in G \right\rbrace \right\vert=\frac{1}{\left\vert G \right\vert}\sum_{g\in G} \left\vert {\sf F}\left( g \right) \right\vert </math> .</rightoption>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \bigcup_{x\in X} Gx = X </math> .</rightoption>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\vert Gx_1 \right\vert = \left\vert Gx_2 \right\vert </math> dla wszystkich <math>\displaystyle x_1,x_2 \in X </math> .</rightoption>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle Gx_1 = Gx_2 </math> dla wszystkich <math>\displaystyle x_1,x_2 \in X </math> .</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla G-zbioru <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math> dwa kolorowania <math>\displaystyle \omega_{1}, \omega_{2} </math>
| |
| są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy:
| |
| <rightoption>istnieje permutacja <math>\displaystyle g\in G </math> taka,
| |
| że <math>\displaystyle \omega_{1}\!\left( g\!\left( x \right) \right)=\omega_{2}\!\left( x \right) </math> dla dowolnych <math>\displaystyle x\in X </math> .</rightoption>
| |
| <wrongoption>istnieje permutacja <math>\displaystyle g </math> zbioru <math>\displaystyle X </math> taka,
| |
| że <math>\displaystyle \omega_{1}\!\left( g\!\left( x \right) \right)=\omega_{2}\!\left( x \right) </math> dla dowolnych <math>\displaystyle x\in X </math> </wrongoption>
| |
| <rightoption>istnieje permutacja <math>\displaystyle g\in G </math> taka,
| |
| że <math>\displaystyle \hat{g}\!\left( \omega_{1} \right)=\omega_{2} </math> .</rightoption>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \omega_1 = \omega_2 </math> .</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Indeks grupy permutacji wszystkich możliwych obrotów <math>\displaystyle 3 </math> -wymiarowej
| |
| kostki to:
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{21}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+6x_2^4+6x_4^2 \right) </math> </wrongoption>
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{12}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2 \right) </math> </wrongoption>
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \frac{1}{24}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2 \right) </math> </rightoption>
| |
| <wrongoption>żadna z pozostałych.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczba nieizomorficznych kolorowań trzema barwami ścianek sześcianu foremnego to:
| |
| <wrongoption>54</wrongoption>
| |
| <rightoption>57</rightoption>
| |
| <wrongoption>1368</wrongoption>
| |
| <wrongoption>żadna z pozostałych.</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczba nieizomorficznych kolorowań ścian sześcianu takich,
| |
| że <math>\displaystyle 4 </math> ściany są białe, a <math>\displaystyle 2 </math> czarne to:
| |
| <wrongoption>1</wrongoption>
| |
| <rightoption>2</rightoption>
| |
| <wrongoption>24</wrongoption>
| |
| <wrongoption>48</wrongoption>
| |
| </quiz>
| |
