Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 48 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


{thm}{Twierdzenie}
{obs}[thm]{Obserwacja}
{con}[thm]{Wniosek}
{exrr}{Zadanie}


{


0mm


'''#1'''
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
10mm }{{ <math>\displaystyle \square </math> }
 
}
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Zagadnienia Mini-Maksowe w grafach'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Które z następujących zdań poprawnie opisują Rysunek [[##test matching|Uzupelnic test matching|]]:
 
[!ht]
{test_1}
{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test1.eps</tt>''']'''}
}
<wrongoption>Na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].a
oraz [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].b zostały przedstawione minimalne pokrycia krawędziowe.}
<rightoption>Na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].a
oraz [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].b zostały przedstawione maksymalne skojarzenia.}
<rightoption>Na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].a
zostało przedstawione minimalne pokrycie krawędziowe,
a na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].b maksymalne skojarzenie.}
<wrongoption>Na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].a
zostało przedstawione maksymalne skojarzenie,
a na Rysunku [[##test matching|Uzupelnic test matching|]].b skojarzenie doskonałe.}
</quiz>
 
<quiz>Które z następujących zdań poprawnie opisują Rysunek [[##test 2|Uzupelnic test 2|]]:
 
[!ht]
{test_2}
{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test2.eps</tt>''']'''}
}
 
<rightoption>Na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].a oraz [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].b zostały przedstawione minimalne pokrycia wierzchołkowe.}
<wrongoption>Na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].a oraz [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].b zostały przedstawione zbiory niezależne.}
<wrongoption>Na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].a zostało przedstawione minimalne pokrycie wierzchołkowe, a na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].b maksymalny zbiór niezależny.}
<rightoption>Na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].a zostało przedstawione pokrycie wierzchołkowe, a na Rysunku [[##test 2|Uzupelnic test 2|]].b zbiór niezależny.}
</quiz>
 
<quiz>W  <math>\displaystyle 100 </math> -wierzchołkowym grafie spójnym  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  posiadającym
skojarzenie doskonałe:}
<rightoption>moc maksymalnego skojarzenia wynosi  <math>\displaystyle \nu\left( \mathbf{G} \right)=50 </math> }
<wrongoption>moc najliczniejszego zbioru niezależnego wynosi  <math>\displaystyle \alpha\left( \mathbf{G} \right)=50 </math> }
<rightoption>moc minimalnego pokrycia krawędziowego wynosi  <math>\displaystyle \rho\left( \mathbf{G} \right)=50 </math> }
<wrongoption>moc minimalnego pokrycia krawędziowego wynosi  <math>\displaystyle \rho\left( \mathbf{G} \right)=49 </math> }
</quiz>
 
<quiz>W  <math>\displaystyle 1073 </math> -wierzchołkowym grafie spójnym  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> 
o liczbie chromatycznej  <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)=23 </math> :}
<rightoption>moc najliczniejszego zbioru niezależnego wynosi  <math>\displaystyle \alpha\left( \mathbf{G} \right)\leq1051 </math> }
<wrongoption>moc najliczniejszego zbioru niezależnego wynosi  <math>\displaystyle \alpha\left( \mathbf{G} \right)\leq1050 </math> }
<wrongoption>istnieje pokrycie  <math>\displaystyle 23 </math>  wierzchołkami}
<rightoption>każde pokrycie wierzchołkowe ma co najmniej  <math>\displaystyle 24 </math>  elementy}
</quiz>
 
<quiz>Jeśli  <math>\displaystyle M </math>  jest maksymalnym skojarzeniem w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> , to:}
<rightoption> <math>\displaystyle M </math>  zawiera się w jakimś minimalnym pokryciu krawędziowym}
<wrongoption>istnieje maksymalny zbiór niezależny  <math>\displaystyle A </math> ,
dla którego każda krawędź z  <math>\displaystyle M </math>  jest incydentna z którymś wierzchołkiem  w  <math>\displaystyle A </math>  }
<rightoption>wierzchołki nieincydentne z żądną krawędzią z  <math>\displaystyle M </math>  tworzą zbiór niezależny}
<wrongoption> <math>\displaystyle M </math>  jest minimalnym pokryciem krawędziowym}
</quiz>
 
<quiz>W  <math>\displaystyle 153 </math> -wierzchołkowym grafie dwudzielnym  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> ,
w którym maksymalne skojarzenie  ma  <math>\displaystyle \nu\left( \mathbf{G} \right)=73 </math> 
krawędzi:}
<wrongoption>minimalne pokrycie wierzchołkowe ma moc  <math>\displaystyle \tau\left( \mathbf{G} \right)=80 </math> }
<rightoption>minimalne pokrycie wierzchołkowe ma moc  <math>\displaystyle \tau\left( \mathbf{G} \right)=73 </math> }
<rightoption>minimalne pokrycie krawędziowe ma moc  <math>\displaystyle \rho\left( \mathbf{G} \right)=80 </math> }
<wrongoption>minimalne pokrycie krawędziowe ma moc  <math>\displaystyle \rho\left( \mathbf{G} \right)=73 </math> }
</quiz>
 
<quiz>W każdym grafie prostym  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  zachodzi:}
<rightoption> <math>\displaystyle \nu\left( \mathbf{G} \right)\leq \tau\left( \mathbf{G} \right) </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle \tau\left( \mathbf{G} \right)\leq\nu\left( \mathbf{G} \right) </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle \nu\left( \mathbf{G} \right)+ \tau\left( \mathbf{G} \right)=\left\vert {\sf V}\!\left(\mathbf{G}\right) \right\vert </math> }
<rightoption> <math>\displaystyle \tau\left( \mathbf{G} \right)\leq 2\nu\left( \mathbf{G} \right) </math> }
</quiz>
 
22222222222222222222222222222222222222222222222222222
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Częściowe porządki'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Relacja podzielności określona jako
 
<center><math>\displaystyle x \mid y  </math> wtw  <math>\displaystyle  \exists z \ \ x\cdot z = y
</math></center>
 
jest relacją częściowego porządku w zbiorze:}
<wrongoption> liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>
<wrongoption> liczb wymiernych <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math>
<wrongoption> liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math>
<rightoption>  liczb naturalnych <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>
<rightoption>  liczb naturalnych nieparzystych
</quiz>
 
<quiz>Relacja podzielności jest relacją liniowego porządku w zbiorze:}
<rightoption>  liczb naturalnych będących potęgami liczby <math>\displaystyle 2</math>
<rightoption>  liczb naturalnych będących potęgami liczby <math>\displaystyle 6</math>
<rightoption>  liczb naturalnych będących potęgami liczby <math>\displaystyle 2</math> lub <math>\displaystyle 6</math>
<wrongoption> liczb naturalnych będących równocześnie potęgami liczby <math>\displaystyle 2</math> i <math>\displaystyle 6</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,1 \right\rbrace</math>
</quiz>
 
<quiz>Relacja inkluzji <math>\displaystyle \subseteq</math> jest relacją częściowego porządku w zbiorze:}
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych <math>\displaystyle \mathbb{R}</math>
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb wymiernych <math>\displaystyle \mathbb{Q}</math>
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math> postaci <math>\displaystyle [-k,k]</math>
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math> postaci <math>\displaystyle [k,l]</math>
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych <math>\displaystyle \mathbb{N}</math>
</quiz>
 
<quiz>Relacja inkluzji <math>\displaystyle \subseteq</math> jest relacją liniowego porządku w zbiorze:}
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math> postaci <math>\displaystyle [0,k]</math>
<wrongoption> w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math>
<rightoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math> postaci <math>\displaystyle [-k,k]</math>
<wrongoption> w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru liczb całkowitych <math>\displaystyle \mathbb{Z}</math> postaci <math>\displaystyle [k,l]</math>
<wrongoption>  w zbiorze wszystkich podzbiorów zbioru <math>\displaystyle \left\lbrace 0,1 \right\rbrace</math>
</quiz>
 
<quiz> {Wiedząc, że <math>\displaystyle R,S \subseteq A \times A</math> są relacjami częściowego porządku na zbiorze <math>\displaystyle A</math>
zaznacz prawdziwe zależności:}
<rightoption>  <math>\displaystyle R \cap S</math> jest relacją częściowego porządku na zbiorze <math>\displaystyle A</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle R \cup S</math> jest relacją częściowego porządku na zbiorze <math>\displaystyle A</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle R \circ S</math> jest relacją częściowego porządku na zbiorze <math>\displaystyle A</math>
<rightoption> <math>\displaystyle R \circ R = R</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle R= R^\leftharpoonup</math>
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
<rightoption>    W skończonym zbiorze częściowo uporządkowanym istnieje co najmniej jeden element minimalny.
<rightoption>    Jeśli w zbiorze częściowo uporządkowanym jest element najmniejszy, to jest on jedynym elementem minimalnym.
<rightoption>    W zbiorze liniowo uporządkowanym element minimalny o ile istnieje, jest elementem najmniejszym.
<wrongoption>    W zbiorze liniowo uporządkowanym nie każdy skończony niepusty podzbiór ma element najmniejszy i największy.
<rightoption>    W zbiorze częściowo uporządkowanym każdy skończony niepusty podzbiór ma elementy minimalne i maksymalne.
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
<wrongoption>    Porządek produktowy porządków liniowych jest zawsze porządkiem liniowym.   
<wrongoption>    Każdy zbiór ograniczony z góry i z dołu ma kresy.
<rightoption>    Elementów minimalnych może w zbiorze uporządkowanym nie być wcale.
<wrongoption>    Kres górny w zbiorze uporządkowanym i ograniczenie górne -- to to samo.
<rightoption>    Porządek leksykograficzny jest zawsze liniowy.
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
<rightoption>    Każda relacja  równoważności jest relacją symetryczną.
<rightoption>    Suma dowolnej rodziny relacji zwrotnych jest zwrotna.
<wrongoption>    Relacja porządku nie musi być  relacją zwrotną.
<wrongoption>    Każda relacja przechodnia i zwrotna jest relacją symetryczną.
<wrongoption>    Relacja porządku musi być relacją symetryczną.
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
<rightoption>    Każdy zbiór jednoelementowy jest łańcuchem.
<rightoption>    W łańcuchu każde dwa elementy są porównywalne.
<rightoption>    Łańcuch jest zbiorem liniowo uporządkowanym.
<wrongoption>    Relacja częściowego porządku jest spójna.
<rightoption>    Jeśli relacja <math>\displaystyle R</math> porządkuje częściowo zbiór <math>\displaystyle X</math>, to relacja <math>\displaystyle R^{-1}</math> też częściowo porządkuje zbiór <math>\displaystyle X</math>.
</quiz>
 
<quiz>Rozważamy zbiór <math>\displaystyle T= \left\lbrace 2,3,4,5,...13,14,15 \right\rbrace</math> z relacją podzielności ograniczoną do elementów zbioru <math>\displaystyle T</math>.
Zaznacz zdania prawdziwe:}
<wrongoption>    W zbiorze tym są dokładnie trzy łańcuchy trzyelementowe.
<rightoption>    W zbiorze tym są dokładnie cztery łańcuchy trzyelementowe. 
<wrongoption>    W zbiorze tym nie ma łańcuchów trzyelementowych.
<rightoption>    Między innymi <math>\displaystyle 3</math> i <math>\displaystyle 7</math> są elementami minimalnymi. 
<rightoption>    Między innymi <math>\displaystyle 9</math> i <math>\displaystyle 15</math> są elementami maksymalnymi.
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zbiory częściowo uporządkowane:}
<wrongoption> <math>\displaystyle \left( \mathbb{Z}_n,\leq_1 \right) </math> , gdzie  <math>\displaystyle x\leq_1 y </math>  w.t.w.  <math>\displaystyle x+1=y \mod n </math> .}
<rightoption> <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( V,E \right) </math> , gdzie  <math>\displaystyle \mathbf{G}={\sf TC}\left( \mathbf{H} \right)\cup\left\lbrace \left( x,x \right):x\in V \right\rbrace </math> , gdzie  <math>\displaystyle H </math>  jest prostym acyklicznym grafem skierowanym.}
<rightoption> <math>\displaystyle \left( \mathbb{N},\leq \right) </math> , gdzie  <math>\displaystyle x\leq_1 y </math>  w.t.w. istnieje  <math>\displaystyle a\in\mathbb{N} </math>  takie, że  <math>\displaystyle x+a=y </math> .}
<wrongoption> <math>\displaystyle \left( \mathscr{G},\leq_2 \right) </math> , gdzie  <math>\displaystyle \mathscr{G} </math>  jest rodziną wszystkich skończonych nieizomorficznych grafów, zaś  <math>\displaystyle \mathbf{G}\leq_2 \mathbf{H} </math>  w.t.w. w grafie  <math>\displaystyle \mathbf{H} </math>  istnie podgraf homeomorficzny do grafu  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> .}
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania poprawnie opisujące zbiór  <math>\displaystyle X </math>  będący
równocześnie  łańcuchem oraz antyłańcuchem
w zbiorze częściowo uporządkowanym:}
<wrongoption>Nie istnieje taki zbiór  <math>\displaystyle X </math> .}
<wrongoption>Zbiór  <math>\displaystyle X </math>  jest pusty.}
<rightoption>Zbiór  <math>\displaystyle X </math>  jest co najwyżej jednoelementowy.}
<wrongoption>Zbiór  <math>\displaystyle X </math>  jest co najwyżej dwuelementowy.}
</quiz>
 
<quiz>Jeśli  <math>\displaystyle A </math>  jest maksymalnym antyłańcuchem w posecie  <math>\displaystyle \mathbf{P}=\left( P,\leq \right) </math> ,
to:}
<rightoption>dowolny element  <math>\displaystyle p\in P </math>  jest porównywalny z którymś elementem  <math>\displaystyle a\in A </math> ,
czyli  <math>\displaystyle p\leq a </math>  lub  <math>\displaystyle a\leq p </math> }
<wrongoption>jeśli  <math>\displaystyle C\subseteq P </math>  jest łańcuchem o maksymalnym rozmiarze,
to  <math>\displaystyle C\cap A\neq\emptyset </math> }
<wrongoption>istnieje łańcuch  <math>\displaystyle C\subseteq P </math>  o maksymalnym rozmiarze taki,
że  <math>\displaystyle C\cap A\neq\emptyset </math> }
<wrongoption>poset  <math>\displaystyle \mathbf{P}- A </math>  jest szerokości co najwyżej  <math>\displaystyle {\sf width}\!\left( \mathbf{P} \right)-1 </math> }
</quiz>
 
<quiz>Jeśli poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma szerokość  <math>\displaystyle {\sf width}\!\left( \mathbf{P} \right)=10 </math> , to:}
<wrongoption>najliczniejszy łańcuch w posecie  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma  <math>\displaystyle 10 </math>  elementów}
<rightoption>najliczniejszy antyłańcuch w posecie  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma  <math>\displaystyle 10 </math>  elementów}
<wrongoption>da się pokryć  <math>\displaystyle 10 </math>  antyłańcuchami}
<rightoption>da się pokryć  <math>\displaystyle 10 </math>  łańcuchami}
</quiz>
 
<quiz>Jeśli poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma szerokość  <math>\displaystyle {\sf width}\!\left( \mathbf{P} \right)=11 </math> ,
a każdy jego łańcuch ma co najwyżej  <math>\displaystyle 9 </math>  elementów, to:}
<rightoption>poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma co najwyżej  <math>\displaystyle 99 </math>  elementów}
<rightoption>poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma co najwyżej  <math>\displaystyle 100 </math>  elementów}
<rightoption>poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma co najmniej  <math>\displaystyle 19 </math>  elementów}
<wrongoption>poset  <math>\displaystyle \mathbf{P} </math>  ma co najmniej  <math>\displaystyle 20 </math>  elementów}
</quiz>
 
<quiz>Każdy  <math>\displaystyle 100 </math> -elementowy ciąg liczb rzeczywistych zawiera:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 11 </math> -elementowy podciąg niemalejący lub  <math>\displaystyle 11 </math> -elementowy podciąg malejący}
<rightoption> <math>\displaystyle 10 </math> -elementowy podciąg niemalejący lub  <math>\displaystyle 12 </math> -elementowy podciąg malejący}
<rightoption> <math>\displaystyle 10 </math> -elementowy podciąg niemalejący lub  <math>\displaystyle 10 </math> -elementowy podciąg malejący}
<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest poprawna}
</quiz>
 
<quiz>Jeśli  <math>\displaystyle X </math>  jest zbiorem  <math>\displaystyle 10 </math> -elementowym, to:}
<rightoption>poset  <math>\displaystyle \left( \mathscr{P}\!\left( X \right),\subseteq \right) </math>  ma szerokość  <math>\displaystyle 252 </math> }
<wrongoption>poset  <math>\displaystyle \left( \mathscr{P}\!\left( X \right),\subseteq \right) </math>  ma szerokość  <math>\displaystyle 210 </math> }
<rightoption>poset  <math>\displaystyle \left( \mathscr{P}\!\left( X \right),\subseteq \right) </math>  ma wysokość  <math>\displaystyle 11 </math> }
<wrongoption>poset  <math>\displaystyle \left( \mathscr{P}\!\left( X \right),\subseteq \right) </math>  ma wysokość  <math>\displaystyle 10 </math> }
</quiz>
 
<quiz>Jeśli  <math>\displaystyle \mathscr{R} </math>  jest zbiorem wszystkich relacji równoważności
na  <math>\displaystyle 10 </math> -elementowym zbiorze  <math>\displaystyle X </math> , to:}
<rightoption>para  <math>\displaystyle \left( \mathscr{R},\subseteq \right) </math>  jest zbiorem częściowo uporządkowanym}
<rightoption>para  <math>\displaystyle \left( \mathscr{R},\subseteq \right) </math>  jest kratą}
<wrongoption>para  <math>\displaystyle \left( \mathscr{R},\subseteq \right) </math>  jest zbiorem częściowo uporządkowanym
o szerokości mniejszej niż szerokość posetu  <math>\displaystyle \left( \mathscr{P}\!\left( X \right),\subseteq \right) </math> }
<wrongoption>Żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawdziwa.}
</quiz>
 
33333333333333333333333333333333333333333333333333
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Własności podziałowe i Twierdzenie Ramsey'a'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Komoda ma  <math>\displaystyle 10 </math>  szuflad.
Pierwsza jest w stanie pomieścić  <math>\displaystyle 1 </math>  koszulę,
druga  <math>\displaystyle 2 </math>  i  w ogólności  <math>\displaystyle i </math> -ta szuflada jest w stanie pomieścić  <math>\displaystyle i </math>  koszul.
Do przechowania jest  <math>\displaystyle 46 </math>  koszul. Wtedy:}
<wrongoption>nie da się pomieścić wszystkich koszul w komodzie}
<wrongoption>wszystkie szuflady będą w pełni zapełnione}
<rightoption>co najmniej jedna z szuflad będzie w pełni zapełniona}
<rightoption>któraś szuflada może być pusta}
</quiz>
 
<quiz>Graf o  <math>\displaystyle 524288 </math>  wierzchołkach zawiera jako podgraf indukowany:}
<rightoption>klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{9} </math>  lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{9} </math> }
<rightoption>klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{10} </math>  lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{10} </math> }
<wrongoption>klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{512} </math>  lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{512} </math> }
<wrongoption>klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{1024} </math>  lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{1024} </math> }
</quiz>
 
<quiz>Jeśli graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  ma nieskończenie wiele wierzchołków, to:}
<rightoption>istnieje liczba naturalna  <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math>  taka,
że graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  zawiera jako podgraf indukowany klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math> 
lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
<rightoption>dla dowolnej liczby naturalnej  <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math> 
graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  zawiera jako podgraf indukowany klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math> 
lub antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
<wrongoption>dla dowolnej liczby naturalnej  <math>\displaystyle n\in\mathbb{N} </math> 
graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  zawiera jako podgraf indukowany
klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{n} </math>  oraz antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{n} </math> }
<rightoption>graf  <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>  zawiera jako podgraf indukowany przeliczalną klikę  <math>\displaystyle \mathcal{K}_{\mathbb{N}} </math> 
lub przeliczalną antyklikę  <math>\displaystyle \mathcal{A}_{\mathbb{N}} </math> }
</quiz>
 
<quiz>Dla dowolnych  <math>\displaystyle n,m,p\in\mathbb{N} </math>  istnieje liczba  <math>\displaystyle q </math>  taka, że:}
<rightoption>dla każdego zbioru  <math>\displaystyle X </math>  o co najmniej  <math>\displaystyle q </math>  elementach
i dowolnego rozbicia  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m </math> ,
istnieje  <math>\displaystyle p </math> -elementowy podzbiór  <math>\displaystyle Y </math>  zbioru  <math>\displaystyle X </math>  taki,
że  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i </math>  przy pewnym  <math>\displaystyle i=1,\ldots,t </math> }
<rightoption>dla każdego zbioru  <math>\displaystyle X </math>  o co najmniej  <math>\displaystyle n </math>  elementach
i dowolnego rozbicia  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_t </math> ,
istnieje  <math>\displaystyle q </math> -elementowy podzbiór  <math>\displaystyle Y </math>  zbioru  <math>\displaystyle X </math>  taki,
że  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{r}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_i </math>  przy pewnym  <math>\displaystyle i=1,\ldots,t </math> }
<wrongoption>dla każdego zbioru  <math>\displaystyle X </math>  o co najmniej  <math>\displaystyle q </math>  elementach
i dowolnego rozbicia  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( X \right)=\mathscr{A}_1\cup\ldots\cup\mathscr{A}_m </math> ,
istnieje  <math>\displaystyle \left\lceil q/m \right\rceil </math> -elementowy podzbiór  <math>\displaystyle Y </math>  zbioru  <math>\displaystyle X </math>  taki,
że  <math>\displaystyle \mathscr{P}_{n}\!\left( Y \right)\subseteq \mathscr{A}_p </math> }
<wrongoption>Żadna z pozostałych własności nie musi zachodzić}
</quiz>
 
<quiz>Liczba Ramseya  <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( 3,4 \right) </math>  to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
<rightoption> <math>\displaystyle 9 </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle 14 </math> }
<rightoption>co najwyżej  <math>\displaystyle 10 </math> }
</quiz>
 
<quiz>Liczba Ramseya  <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right) </math>  spełnia:}
<rightoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r}\!\left( 4,3 \right) \right) </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right)+1 </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}_{r}\!\left( 4,4 \right)\leq {\sf R}_{{r-1}}\!\left( {\sf R}_{r-1}\!\left( 3,4 \right),{\sf R}_{r-1}\!\left( 4,3 \right) \right) </math> }
</quiz>
 
<quiz>Liczby Ramseya  <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right) </math>  spełniają:}
<rightoption> <math>\displaystyle n2^{n/2}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle n2^{2n}\left( \frac{1}{e\sqrt{2}}-{\sf o}\!\left( 1 \right) \right)\leq{\sf R}\!\left( n,n \right) </math> }
<rightoption> <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n-2 \choose n-1 } </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf R}\!\left( n,n \right)\geq { 2n \choose n } </math> }
</quiz>
 
444444444444444444444444444444444444444444444444
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Elementy teorii grup'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Zaznacz struktury będące grupami:}
<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4,+,0)</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_4^*,\cdot,1)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5,+,0)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_5^*,\cdot,1)</math>
</quiz>
 
<quiz>Dla dowolnych elementów <math>\displaystyle x,y</math> pewnej grupy element <math>\displaystyle x^{-1}yy^{-1}yxy^{-1}</math>
można tez zapisać jako:}
<rightoption>  <math>\displaystyle x^{-1}yxy^{-1}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle x^{-1}zzz^{-1}z^{-1}yxy^{-1}</math>, gdzie <math>\displaystyle z</math> jest dowolnym elementem grupy
<wrongoption> <math>\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy^{-1}</math>
</quiz>
 
<quiz>W dowolnej grupie skończonej, jeśli <math>\displaystyle x^{15}=1</math> i <math>\displaystyle x^{25}=1</math>, to}
<wrongoption> <math>\displaystyle x</math> jest rzędu <math>\displaystyle 5</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle x^5=1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle x^{30}=1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle x^{35}=1</math>
</quiz>
 
<quiz>Grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_{12},+,0)</math>}
<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 1</math>-elementową
<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 2</math>-elementową
<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 3</math>-elementową
<rightoption>  ma podgrupę <math>\displaystyle 4</math>-elementową
</quiz>
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle H_0,H_1</math> będą podgrupami grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>. Wtedy:}
<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cap H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle H_0\cup H_1</math> jest podgrupą grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math>, o ile <math>\displaystyle H_0\subseteq H_1</math>
</quiz>
 
<quiz>Wskaż prawdziwe własności grup <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> dla <math>\displaystyle n>1</math>:}
<wrongoption> grupa <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczną wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
<rightoption>  każda grupa postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> jest cykliczna
<rightoption>  jeśli grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna, to <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze
<rightoption>  grupa <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n\times\mathbb{Z}_m</math> jest cykliczna o ile <math>\displaystyle m</math> i <math>\displaystyle n</math> są względnie pierwsze
</quiz>
 
<quiz>Wskaż pary izomorficznych grup, gdzie <math>\displaystyle \mathbb{Z}_n</math> jest grupą addytywną <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math>:}
<rightoption>  <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_2</math>
<rightoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{3}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_6</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_{33}</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_{99}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2</math> i <math>\displaystyle \mathbb{Z}_4</math>
</quiz>
 
<quiz>Czy w dowolnej grupie postaci <math>\displaystyle (\mathbb{Z}_n,+,0)</math> elementów rzędu <math>\displaystyle 7</math> jest <math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 6</math>?}
<rightoption>  tak
<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n</math> jest wielokrotnkością <math>\displaystyle 7</math>
<rightoption>  tak, jeśli dodatkowo <math>\displaystyle n\perp 7</math>
<wrongoption> żadna z pozostałych
</quiz>
 
<quiz>Dla podgrupy <math>\displaystyle {\mathbf H}</math> skończonej grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> zachodzi:}
<rightoption>  <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle gH=Hg</math>, jeśli <math>\displaystyle g\in H</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \left\vert gH \right\vert=\left\vert Hg \right\vert</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math>
<wrongoption>  <math>\displaystyle gH=Hg</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle g\in G</math>
</quiz>
 
<quiz>Jeśli element <math>\displaystyle x</math> grupy <math>\displaystyle {\mathbf G}</math> ma rząd <math>\displaystyle n</math>, to <math>\displaystyle x^{3n}</math> ma rząd:}
<rightoption>  <math>\displaystyle 1</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math>
<wrongoption> żadne z pozostałych
</quiz>
 
555555555555555555555555555555555555555555555555
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Twierdzenie Pólya'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Orbita  <math>\displaystyle Gx </math>  w G-zbiorze  <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math> }
<rightoption>to zbiór elementów zbioru  <math>\displaystyle X </math>  postaci  <math>\displaystyle g\!\left( x \right) </math> , gdzie  <math>\displaystyle g\in G </math> .}
<rightoption>jest równa  <math>\displaystyle Gy </math>  jeśli tylko istnieje  <math>\displaystyle g\in G </math>  takie, że  <math>\displaystyle g\!\left( x \right)=y </math> .}
<wrongoption>jest równa  <math>\displaystyle Gy </math>  dla dowolnego  <math>\displaystyle y\in X </math> .}
<wrongoption>jest równa  <math>\displaystyle Gy </math>  jeśli tylko  <math>\displaystyle x \circ y = id </math> .}
</quiz>
 
<quiz>Stabilizator  <math>\displaystyle G_x </math>  w G-zbiorze  <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math> }
<wrongoption>to szczególny przypadek orbity.}
<wrongoption>jest równoliczny z orbitą  <math>\displaystyle Gx </math> .}
<rightoption>spełnia warunek  <math>\displaystyle \left\vert G_x \right\vert\cdot\left\vert Gx \right\vert=\left\vert G \right\vert </math> .}
<rightoption>to zbiór permutacji  <math>\displaystyle g \in G </math>  takich, że  <math>\displaystyle g\!\left( x \right)=x </math> .}
</quiz>
 
<quiz>W G-zbiorze  <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math>  zachodzi:}
<rightoption> <math>\displaystyle \left\vert \left\lbrace Gx :x \in G \right\rbrace \right\vert=\frac{1}{\left\vert G \right\vert}\sum_{g\in G} \left\vert {\sf F}\left( g \right) \right\vert </math> .}
<rightoption> <math>\displaystyle \bigcup_{x\in X} Gx = X </math> .}
<rightoption> <math>\displaystyle \left\vert Gx_1 \right\vert = \left\vert Gx_2 \right\vert </math>  dla wszystkich  <math>\displaystyle x_1,x_2 \in X </math> .}
<wrongoption> <math>\displaystyle Gx_1 = Gx_2 </math>  dla wszystkich  <math>\displaystyle x_1,x_2 \in X </math> .}
</quiz>
 
<quiz>Dla G-zbioru  <math>\displaystyle \left( G, X \right) </math>  dwa kolorowania  <math>\displaystyle \omega_{1}, \omega_{2} </math> 
są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy}
<rightoption>istnieje permutacja  <math>\displaystyle g\in G </math>  taka,
że  <math>\displaystyle \omega_{1}\!\left( g\!\left( x \right) \right)=\omega_{2}\!\left( x \right) </math>  dla dowolnych  <math>\displaystyle x\in X </math> .}
<wrongoption>istnieje permutacja  <math>\displaystyle g </math>  zbioru  <math>\displaystyle X </math>  taka,
że  <math>\displaystyle \omega_{1}\!\left( g\!\left( x \right) \right)=\omega_{2}\!\left( x \right) </math>  dla dowolnych  <math>\displaystyle x\in X </math> }
<rightoption>istnieje permutacja  <math>\displaystyle g\in G </math>  taka,
że  <math>\displaystyle \hat{g}\!\left( \omega_{1} \right)=\omega_{2} </math> .}
<wrongoption> <math>\displaystyle \omega_1 = \omega_2 </math> .}
</quiz>
 
<quiz>Indeks grupy permutacji wszystkich możliwych obrotów  <math>\displaystyle 3 </math> -wymiarowej
kostki to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{21}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+6x_2^4+6x_4^2 \right) </math> }
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{1}{12}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2 \right) </math> }
<rightoption> <math>\displaystyle \frac{1}{24}\left( x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2 \right) </math> }
<wrongoption>żadna z pozostałych.}
</quiz>
 
<quiz>Liczba nieizomorficznych kolorowań trzema barwami ścianek sześcianu foremnego to:}
<wrongoption>54}
<rightoption>57}
<wrongoption>1368}
<wrongoption>żadna z pozostałych.}
</quiz>
 
<quiz>Liczba nieizomorficznych kolorowań ścian sześcianu takich,
że  <math>\displaystyle 4 </math>  ściany są białe, a  <math>\displaystyle 2 </math>  czarne to:}
<wrongoption>1}
<rightoption>2}
<wrongoption>24}
<wrongoption>48}
</quiz>
 
666666666666666666666666666666666666666666666666
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Ciała skończone'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Dla dowolnego <math>\displaystyle x</math> w pierścieniu <math>\displaystyle {\mathbf R}</math>
 
<center><math>\displaystyle x\cdot0=x\cdot(0+0)=x\cdot0+x\cdot0
</math></center>
 
czyli
 
<center><math>\displaystyle 0=x\cdot0.
</math></center>
 
W przedstawionym rozumowaniu:
}
<wrongoption> pierwsza równość jest błędna
<wrongoption> druga równość jest błędna
<wrongoption> implikacja dająca trzecią równość jest błędna
<rightoption>  żadne z powyższych
</quiz>
 
<quiz>Zbiór <math>\displaystyle M_{3\times3}</math> wszystkich macierzy wymiaru <math>\displaystyle 3\times3</math>
wypełnionych liczbami całkowitymi wraz z dodawaniem i mnożeniem macierzy
jest:}
<rightoption>  pierścieniem
<wrongoption> pierścieniem przemiennym
<wrongoption> pierścieniem bez dzielników zera
<wrongoption> ciałem
</quiz>
 
<quiz>Dla wielomianów <math>\displaystyle a(x), b(x)</math> nad pierścieniem <math>\displaystyle {\mathbf R}</math>:}
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf deg}(a(x)\cdot b(x))={\sf deg}(a(x))+{\sf deg}(b(x))</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle {\sf deg}(a(x)+b(x))\leqslant\max\left( {{\sf deg}(a(x))},{{\sf deg}(b(x))} \right)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle {\sf deg}(a(x)+b(x))\leqslant{\sf deg}(a(x))+{\sf deg}(b(x))</math>
<wrongoption>  <math>\displaystyle {\sf deg}(a(x)\cdot b(x))\leq{\sf deg}(a(x))\cdot{\sf deg}(b(x))</math>
</quiz>
 
<quiz>Jeśli <math>\displaystyle 1</math> jest największym wspólnym dzielnikiem wielomianów <math>\displaystyle a(x)</math> i <math>\displaystyle b(x)</math>
nad <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3</math>, to ich największym wspólnym dzielnikiem jest także:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 2</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x+1</math>
<wrongoption> żaden z pozostałych
</quiz>
 
<quiz>W pierścieniu wielomianów nad <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3</math> ideał główny generowany przez <math>\displaystyle x^2+2</math> zawiera:}
<rightoption>  <math>\displaystyle 0</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 2x^2+2</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 2x^3+x</math>
</quiz>
 
<quiz>Dla dowolnego <math>\displaystyle p(x)</math> nierozkładalnego wielomianu nad ciałem <math>\displaystyle {\bf F}</math>:}
<wrongoption> <math>\displaystyle {\sf deg}(p(x))\leq \left\vert F \right\vert</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle p(x)</math> jest odwracalny,
<rightoption>  jeśli <math>\displaystyle p(x)=a(x)b(x)</math>,
to <math>\displaystyle {\sf deg}(a(x))=0</math> lub <math>\displaystyle {\sf deg}(b(x))=0</math>
<rightoption>  jeśli <math>\displaystyle p(x)|a(x)b(x)</math>, to <math>\displaystyle p(x)|a(x)</math> lub <math>\displaystyle p(x)|b(x)</math>
</quiz>
 
<quiz>Wskaż wielomiany nierozkładalne nad <math>\displaystyle \mathbb{Z}_3</math>}
<rightoption>  <math>\displaystyle 2x+1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 2x^3+x^2+x+2</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle x^2+2</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x^2+1</math>
</quiz>
 
<quiz>Dla <math>\displaystyle p(x)</math> wielomianu nad ciałem <math>\displaystyle {\bf F}</math> jeśli <math>\displaystyle (x-c)^2|p(x)</math> to:}
<rightoption>  <math>\displaystyle p(c)=0</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle p(x)=(x-c)^2q(x)</math> i <math>\displaystyle q(c)=0</math>, dla pewnego wielomianu <math>\displaystyle q(x)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle p(x)=(x-c)q(x)</math> i <math>\displaystyle q(c)=0</math>, dla pewnego wielomianu <math>\displaystyle q(x)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle p(x)=(x-c)q(x)</math> i <math>\displaystyle x-c|q(x)</math>, dla pewnego wielomianu <math>\displaystyle q(x)</math>
</quiz>
 
<quiz>Stopień dowolnego niezerowego elementu ciała <math>\displaystyle \mathbb{Z}_p</math> to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 0</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 1</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle p-1</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle p</math>
</quiz>
 
<quiz>Istnieje ciało o liczności:}
<rightoption>  <math>\displaystyle 8</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 9</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 10</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 11</math>
</quiz>
 
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Zastosowania teorii liczb w kryptografii'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Dla  małych wartości użytych liczb pierwszych łatwo można złamać RSA.
Jeśli <math>\displaystyle (35,5)</math> jest kluczem publicznym RSA to kluczem dekodującym jest:}
<wrongoption> <math>\displaystyle (35,3)</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle (35,5)</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle (35,7)</math>
<wrongoption> żaden z pozostałych
</quiz>
 
<quiz>Załóżmy, że <math>\displaystyle (35,11)</math> jest naszym kluczem dekodującym w kryptosystemie RSA.
Otrzymaliśmy jednostkę szyfrogramu o wartości <math>\displaystyle 5</math>. Wartość zdekodowanej jednostki to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 3</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 5</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle 10</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 11</math>
</quiz>
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle n=pq</math> dla pewnych liczb pierwszych <math>\displaystyle p \neq q</math>
oraz niech <math>\displaystyle n\perp e</math> dla pewnego <math>\displaystyle e</math>. Wtedy:}
<rightoption>  znany jest algorytm wielomianowy, który mając na wejściu <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math> liczy <math>\displaystyle \varphi(n)</math>
<rightoption>  znany jest algorytm wielomianowy, który mając na wejściu <math>\displaystyle n</math> i <math>\displaystyle \varphi(n)</math> liczy <math>\displaystyle p</math> i <math>\displaystyle q</math>
<wrongoption> znany jest algorytm wielomianowy, który mając na wejściu <math>\displaystyle n</math> i <math>\displaystyle e</math> wylicza <math>\displaystyle d</math> takie, że <math>\displaystyle ed\equiv_{\varphi(n)}1</math>
<rightoption>  znany jest algorytm wielomianowy, który mając na wejściu <math>\displaystyle n, \varphi(n)</math> i <math>\displaystyle e</math> liczy <math>\displaystyle d</math> spełniające <math>\displaystyle ed\equiv_{\varphi(n)}1</math>
</quiz>
 
<quiz>Jeśli liczba <math>\displaystyle n</math> przeszła <math>\displaystyle k</math> testów Fermata, to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math> jest złożona z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle \frac{1}{2^k}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle \frac{1}{2^k}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math> jest liczbą Carmichaela z prawdopodobieństwem <math>\displaystyle \frac{1}{2^k}</math>
<rightoption>  żadna z pozostałych
</quiz>
 
<quiz>Liczba Carmichaela:}
<rightoption>  przechodzi test Fermata dla dowolnie wylosowanej podstawy
<rightoption>  jest iloczynem przynajmniej trzech liczb pierwszych
<wrongoption> mogą być parzyste
<wrongoption> mogą być podzielne przez <math>\displaystyle 9</math>
</quiz>
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle t</math> będzie liczbą nieparzystą oraz <math>\displaystyle n=2^st</math>, gdzie <math>\displaystyle s\geq 1</math>.
Jeśli <math>\displaystyle n</math> jest silnie pseudopierwsza przy podstawie <math>\displaystyle b</math> to:}
<rightoption>  <math>\displaystyle b^{n-1}\equiv_n1</math>
<wrongoption> istnieje <math>\displaystyle 0\leqslant r<s</math> takie, że <math>\displaystyle b^{2^rt}\equiv_n-1</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle n</math> jest pseudopierwsza przy podstawie <math>\displaystyle b</math>
<wrongoption> jeśli <math>\displaystyle b^{2^rt}\equiv_n1</math> dla pewnego <math>\displaystyle r>0</math> to <math>\displaystyle b^{2^{r-1}t}\equiv_n-1</math>
</quiz>
 
<quiz>Jeśli liczba <math>\displaystyle n</math> przeszła <math>\displaystyle k</math> testów Millera-Rabina to:}
<rightoption>  <math>\displaystyle n</math> jest złożona z prawdopodobieństwem co najwyżej <math>\displaystyle \frac{1}{4^k}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza z prawdopodobieństwem co najwyżej <math>\displaystyle \frac{1}{4^k}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza, o ile prawdziwa jest Uogólniona Hipoteza Riemanna
<wrongoption> żadna z pozostałych
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”