Matematyka dyskretna 1/Test 7: Funkcje tworzące: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
Rogoda (dyskusja | edycje)
Nie podano opisu zmian
 
m Zastępowanie tekstu – „ </math>” na „</math>”
 
(Nie pokazano 1 pośredniej wersji utworzonej przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
<quiz>Na ile sposobów można rozmienić  <math>\displaystyle 25 </math>  centów za pomocą monet  <math>\displaystyle 1 </math> ,  <math>\displaystyle 5 </math> ,  <math>\displaystyle 10 </math>   
<quiz>Na ile sposobów można rozmienić  <math>25</math>  centów za pomocą monet  <math>1</math> ,  <math>5</math> ,  <math>10</math>   
oraz  <math>\displaystyle 25 </math>  centowych?
oraz  <math>25</math>  centowych?
<wrongoption> <math>\displaystyle 6 </math></wrongoption>
<wrongoption> <math>6</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 12 </math></wrongoption>
<wrongoption> <math>12</math></wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle 13 </math></rightoption>
<rightoption> <math>13</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 49 </math></wrongoption>
<wrongoption> <math>49</math></wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  




<quiz>Funkcja tworząca postaci  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots </math>  
<quiz>Funkcja tworząca postaci  <math>G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots</math>  
ma odwrotną względem mnożenia (splotu),  
ma odwrotną względem mnożenia (splotu),  
tzn. istnieje funkcja tworząca  <math>\displaystyle U\!\left( x \right) </math>  taka,  
tzn. istnieje funkcja tworząca  <math>U\!\left( x \right)</math>  taka,  
że  <math>\displaystyle U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1 </math>:
że  <math>U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1</math>:
<wrongoption>jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 1 </math></wrongoption>
<wrongoption>jeśli  <math>g_0\neq 1</math></wrongoption>
<rightoption>jeśli  <math>\displaystyle g_0\neq 0 </math></rightoption>
<rightoption>jeśli  <math>g_0\neq 0</math></rightoption>
<rightoption>jeśli wszystkie  <math>\displaystyle g_i\neq0 </math></rightoption>
<rightoption>jeśli wszystkie  <math>g_i\neq0</math></rightoption>
<rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>\displaystyle g_0\neq0 </math></rightoption>
<rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy  <math>g_0\neq0</math></rightoption>
</quiz>  
</quiz>  




<quiz>Funkcja <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  spełniająca <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right) </math> jest funkcją tworzącą:
<quiz>Funkcja <math>G\!\left( x \right)</math>  spełniająca <math>G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right)</math> jest funkcją tworzącą:
<wrongoption>ciągu  <math>\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> </wrongoption>
<wrongoption>ciągu  <math>1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots</math> </wrongoption>
<rightoption>ciągu geometrycznego  <math>\displaystyle g_n=2^n </math> </rightoption>
<rightoption>ciągu geometrycznego  <math>g_n=2^n</math> </rightoption>
<wrongoption>nie ma takiego ciągu</wrongoption>
<wrongoption>nie ma takiego ciągu</wrongoption>
<wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca</wrongoption>
<wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca</wrongoption>
Linia 27: Linia 27:




<quiz>Funkcja  <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math>  spełniająca <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right) </math>  oraz  <math>\displaystyle G\!\left( 0 \right)=1 </math> jest funkcją tworzącą ciągu:
<quiz>Funkcja  <math>G\!\left( x \right)</math>  spełniająca <math>G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right)</math>  oraz  <math>G\!\left( 0 \right)=1</math> jest funkcją tworzącą ciągu:
<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n} </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_n=\frac{1}{n}</math> </wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n!} </math> </rightoption>
<rightoption> <math>g_n=\frac{1}{n!}</math> </rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=1 </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_n=1</math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle g_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle g_n=0 </math>  dla  <math>\displaystyle n>1 </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_0=1</math>  oraz  <math>g_n=0</math>  dla  <math>n>1</math> </wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  




<quiz>Niech  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y </math> , gdzie  <math>\displaystyle y </math>  jest liczba rzeczywistą.  
<quiz>Niech  <math>G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y</math> , gdzie  <math>y</math>  jest liczba rzeczywistą.  
Jeśli  <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n </math> , to:
Jeśli  <math>G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n</math> , to:
<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n}</math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{y^n}{n!} </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_n=\frac{y^n}{n!}</math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!}</math> </wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> </rightoption>
<rightoption> <math>g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!}</math> </rightoption>
</quiz>  
</quiz>  




<quiz>Suma  <math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right) </math>  wynosi:
<quiz>Suma  <math>\sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right)</math>  wynosi:
<wrongoption> <math>\displaystyle 2n^3+3n+n </math> ,</wrongoption>
<wrongoption> <math>2n^3+3n+n</math> ,</wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle n^3 </math> ,</rightoption>
<rightoption> <math>n^3</math> ,</rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,</wrongoption>
<wrongoption> <math>\left( 2n^3+3n+n \right)/{6}</math> ,</wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 3n^3-3n^2+n </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>3n^3-3n^2+n</math> </wrongoption>
</quiz>  
</quiz>  




<quiz>Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> ,  <math>\displaystyle a_1=3 </math> ,  <math>\displaystyle a_2=5 </math> , oraz  <math>\displaystyle a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n </math> .  
<quiz>Niech  <math>a_0=2</math> ,  <math>a_1=3</math> ,  <math>a_2=5</math> , oraz  <math>a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n</math> .  
Wtedy:
Wtedy:
<wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n</math> </wrongoption>
<rightoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math></rightoption>  
<rightoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right)</math></rightoption>  
<wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> </wrongoption>
<wrongoption> <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right)</math> </wrongoption>
<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa</wrongoption>
<wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa</wrongoption>
</quiz>
</quiz>

Aktualna wersja na dzień 10:10, 5 wrz 2023

Na ile sposobów można rozmienić 25 centów za pomocą monet 1 , 5 , 10 oraz 25 centowych?

6

12

13

49


Funkcja tworząca postaci G(x)=g0+g1x+g2x2+g3x3+ ma odwrotną względem mnożenia (splotu), tzn. istnieje funkcja tworząca U(x) taka, że U(x)G(x)=1:

jeśli g01

jeśli g00

jeśli wszystkie gi0

wtedy i tylko wtedy, gdy g00


Funkcja G(x) spełniająca G(x)=(n=0xn)(1+xG(x)) jest funkcją tworzącą:

ciągu 1,1,2,4,8,16,32,,2n1,

ciągu geometrycznego gn=2n

nie ma takiego ciągu

nie istnieje taka funkcja tworząca


Funkcja G(x) spełniająca G(x)=G(x) oraz G(0)=1 jest funkcją tworzącą ciągu:

gn=1n

gn=1n!

gn=1

g0=1 oraz gn=0 dla n>1


Niech G(x)=(1+x)y , gdzie y jest liczba rzeczywistą. Jeśli G(x)=n=0gnxn , to:

gn=(y+n)n_n

gn=ynn!

gn=(y+nn)=(y+n)n_n!

gn=(yn)=yn_n!


Suma k=0n(3k23k+1) wynosi:

2n3+3n+n ,

n3 ,

(2n3+3n+n)/6 ,

3n33n2+n


Niech a0=2 , a1=3 , a2=5 , oraz an+3=7an+216an+1+12an . Wtedy:

an=(1n)2n+3n

an=15((1+52)n+3(152)n+3)

an=15((1+52)n(152)n)

żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa