|
|
| (Nie pokazano 63 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika) |
| Linia 1: |
Linia 1: |
| | 5555555555555555555555555555555555555555 Logika |
|
| |
|
| \newtheorem{thm}{Twierdzenie}
| |
| \newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja}
| |
| \newtheorem{con}[thm]{Wniosek}
| |
| \newtheorem{exrr}{Zadanie}
| |
|
| |
|
| {
| |
|
| |
|
| \parindent 0mm
| |
|
| |
|
| '''#1'''
| | 10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika |
| \parindent 10mm }{\hfill{ <math>\displaystyle \square </math> }
| |
| | |
| }
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Współczynniki dwumianowe'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Zależność <math>\displaystyle {n\choose0}-{n\choose1}+\ldots+(-1)^n{n\choose n}=0</math>
| |
| zachodzi dla:}
| |
| \ok wszystkich liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
| |
| \odp tylko skończenie wielu liczb naturalnych <math>\displaystyle n</math>
| |
| \odp żadnej liczby naturalnej <math>\displaystyle n</math>
| |
| \ok wszystkich, poza skończenie wieloma liczbami naturalnymi <math>\displaystyle n</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Suma elementów <math>\displaystyle n</math>-tego wiersza Trójkąta Pascala
| |
| bez obu wartości brzegowych to:}
| |
| | |
| \odp <math>\displaystyle 2^n</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle 2^{n}-2</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle \sum_{i=1}^n{n\choose i}-1</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+2)^{2n}</math> to:}
| |
| \odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^n{n\choose2}</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle {2n\choose n}2^n</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {2n\choose n}2^{2n}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz><math>\displaystyle {-1\choose k}</math> dla <math>\displaystyle k\geqslant0</math> jest równe:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 0</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle (-1)^k</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle (-1)^{k+1}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Suma <math>\displaystyle \sum_{i=0}^n2^i{n\choose i}</math> wynosi}
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^n</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle 3^n</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle (n+2)^n</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {2n\choose n}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczba nieporządków na zbiorze <math>\displaystyle 3</math>-elementowym to:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle 2</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle 3</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle 6</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz><math>\displaystyle {n\choose a,b,0,\ldots,0}</math> gdzie <math>\displaystyle a+b=n</math> to:}
| |
| \ok <math>\displaystyle {n\choose a}</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle {n\choose b}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {n\choose a+b}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {n+a+b\choose a+b}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na ile sposobów z grupy <math>\displaystyle 5n</math> osób,
| |
| złożonej z <math>\displaystyle 3n</math> mężczyzn i <math>\displaystyle 2n</math> kobiet,
| |
| można wybrać <math>\displaystyle n</math>-kobiet i <math>\displaystyle n</math>-mężczyzn,
| |
| i dodatkowo z niewybranych mężczyzn wyznaczyć przywódcę?}
| |
| \odp <math>\displaystyle \left( {5n\choose 3n}{3n\choose n}+{5n\choose 2n}{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 2n</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle \left( {3n\choose n}+{2n\choose n} \right)\cdot 2n</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {3n\choose n}{2n\choose n}\cdot 3n</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Suma <math>\displaystyle {0\choose7}+{1\choose7}+{2\choose7}+{3\choose7}+{4\choose7}+{5\choose7}+{6\choose7}+{7\choose7}</math> to:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 0</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {8\choose7}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {7\choose8}</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle {8\choose8}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Współczynnik przy wyrazie <math>\displaystyle x^my^n</math> w rozwinięciu dwumianu <math>\displaystyle (x+y)^{m+n}</math> to:}
| |
| \ok <math>\displaystyle {m+n\choose m}</math>.
| |
| \ok <math>\displaystyle {m+n\choose n}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle {m\choose n}</math>.
| |
| \odp <math>\displaystyle \sum_{i=0}^m{m+n\choose i}</math>.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 66666666666666666666666666666
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Permutacje i podziały'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle n_{\pi},n_{\sigma},n_{\rho}</math> będą kolejno liczbami permutacji w <math>\displaystyle S_7</math>
| |
| tego samego typu co, odpowiednio,
| |
| <math>\displaystyle \pi=(14)(26)(357)</math>, <math>\displaystyle \sigma=(1357)(246)</math>, <math>\displaystyle \rho=(12)(34)(56)(7)</math>. Wtedy:}
| |
| \ok <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\tau}\leqslant n_{\rho}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle n_{\tau}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\rho}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle n_{\rho}\leqslant n_{\pi}\leqslant n_{\tau}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle n_{\pi}\leqslant n_{\rho}\leqslant n_{\tau}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla sprzężonych permutacji <math>\displaystyle \pi,\sigma\in S_{13}</math> zachodzi:}
| |
| \ok <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają tyle samo cykli <math>\displaystyle 4</math>-elementowych
| |
| \odp elementy <math>\displaystyle 1</math> i <math>\displaystyle 2</math> albo są w tym samym cyklu w obu permutacjach,
| |
| albo nie są w tym samym cyklu w obu permutacjach
| |
| \ok <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam typ
| |
| \ok <math>\displaystyle \pi</math> i <math>\displaystyle \sigma</math> mają ten sam znak
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle n\geqslant 2</math>,
| |
| podziałowa liczba Stirlinga <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right\}</math> wynosi:}
| |
| \odp <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}{n\choose k}k!=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{n!}{k!}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle n!\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \frac{n!}{2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Średnia liczba cykli permutacji <math>\displaystyle n</math>-elementowej
| |
| (czyli stosunek sumarycznej liczby cykli we wszystkich permutacjach <math>\displaystyle n</math>-elementowych
| |
| do liczby cykli <math>\displaystyle n</math>-elementowych) to:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 2n</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \left\lfloor \frac{n}{\lg{n}} \right\rfloor+1</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \frac{n}{2}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Podziałowa liczba Stirlinga<math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}7\\ 4\end{array} \right\}</math> wynosi}
| |
| \odp <math>\displaystyle 90</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 140</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 301</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 350</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jednomian <math>\displaystyle x^n</math> jest równy:}
| |
| \ok <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}x^{\underline{i}}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle B_nx^{\underline{n}}</math>, gdzie <math>\displaystyle B_n</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Bella
| |
| \odp <math>\displaystyle \sum_i\left[\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right]x^{\overline{i}}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \sum_i\left\{\begin{array} {c}n\\ i\end{array} \right\}(-1)^{n-i}x^{\overline{i}}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> rozróżnialnych obiektów
| |
| do dokładnie <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad, tak by każda szufladka była niepusta?}
| |
| \odp <math>\displaystyle b^a</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle b!\left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na ile sposobów można rozłożyć <math>\displaystyle a</math> nierozróżnialnych obiektów
| |
| do co najwyżej <math>\displaystyle b</math> rozróżnialnych szuflad?}
| |
| \odp <math>\displaystyle {a-1\choose b-1}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle {b+a-1\choose b-1}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \sum_{i=1}^b\left\{\begin{array} {c}a\\ i\end{array} \right\}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Gdy <math>\displaystyle P(n,k)</math> jest liczbą rozkładów liczby <math>\displaystyle n</math>
| |
| na sumy dokładnie <math>\displaystyle k</math> nieujemnych całkowitych składników,
| |
| to <math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{P(n,k)}{n^k}</math> wynosi:}
| |
| \ok <math>\displaystyle 0</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \frac{1}{k!(k-1)!}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \frac{1}{k}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na ile sposobów można podzielić zbiór <math>\displaystyle a</math> elementowy na <math>\displaystyle b+c</math> bloków,
| |
| przy czym <math>\displaystyle b</math> bloków jest wyróżnionych?}
| |
| \ok <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}{b+c\choose b}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \sum_k{a\choose k}\left\{\begin{array} {c}k\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-k\\ c\end{array} \right\}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b\end{array} \right\}\left\{\begin{array} {c}a-b\\ c\end{array} \right\}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}a\\ b+c\end{array} \right\}b!</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| -------------------------------------------------
| |
| | |
| 777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Funkcje tworzące'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Na ile sposobów można rozmienić <math>\displaystyle 25 </math> centów za pomocą monet <math>\displaystyle 1 </math> , <math>\displaystyle 5 </math> , <math>\displaystyle 10 </math>
| |
| oraz <math>\displaystyle 25 </math> centowych?}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 12 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 13 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 49 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja tworząca postaci <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots </math>
| |
| ma odwrotną względem mnożenia (splotu),
| |
| tzn. istnieje funkcja tworząca <math>\displaystyle U\!\left( x \right) </math> taka,
| |
| że <math>\displaystyle U\!\left( x \right)G\!\left( x \right)=1 </math> }
| |
| <wrongoption>jeśli <math>\displaystyle g_0\neq 1 </math> }
| |
| <rightoption>jeśli <math>\displaystyle g_0\neq 0 </math> }
| |
| <rightoption>jeśli wszystkie <math>\displaystyle g_i\neq0 </math> }
| |
| <rightoption>wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle g_0\neq0 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math> spełniająca
| |
| <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \right)\cdot\left( 1+xG\!\left( x \right) \right) </math>
| |
| jest funkcją tworzącą:}
| |
| <wrongoption>ciągu <math>\displaystyle 1,1,2,4,8,16,32,\ldots, 2^{n-1},\dots </math> }
| |
| <rightoption>ciągu geometrycznego <math>\displaystyle g_n=2^n </math> }
| |
| <wrongoption>nie ma takiego ciągu}
| |
| <wrongoption>nie istnieje taka funkcja tworząca}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja <math>\displaystyle G\!\left( x \right) </math> spełniająca
| |
| <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=G'\!\left( x \right) </math> oraz <math>\displaystyle G\!\left( 0 \right)=1 </math>
| |
| jest funkcją tworzącą ciągu:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{1}{n!} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_n=1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_0=1 </math> oraz <math>\displaystyle g_n=0 </math> dla <math>\displaystyle n>1 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\left( 1+x \right)^y </math> , gdzie <math>\displaystyle y </math> jest liczba rzeczywistą.
| |
| Jeśli <math>\displaystyle G\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}g_n x^n </math> , to:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_n=\frac{y^n}{n!} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle g_n={ y+n \choose n }=\frac{\left( y+n \right)^{\underline{n}}}{n!} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle g_n={ y \choose n }=\frac{y^{\underline{n}}}{n!} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Suma <math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left( 3k^2-3k+1 \right) </math> wynosi:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 2n^3+3n+n </math> ,}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle n^3 </math> ,}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \left( 2n^3+3n+n \right)/{6} </math> ,}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 3n^3-3n^2+n </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle a_0=2 </math> , <math>\displaystyle a_1=3 </math> , <math>\displaystyle a_2=5 </math> , oraz <math>\displaystyle a_{n+3}=7a_{n+2}-16a_{n+1}+12a_n </math> .
| |
| Wtedy:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\left( 1-n \right)2^n+3^n </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n+3} \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n}-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n} \right) </math> }
| |
| <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| --------------------------------
| |
| 8888888888888888888888888888888888888888888888
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Zliczanie obiektów'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Liczby Catalana <math>\displaystyle c_n </math> spełniają zależność rekurencyjną:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n-1} c_{k} c_{n-k} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle c_n =\sum_{k=1}^{n} c_{k-1} c_{n-k} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz> <math>\displaystyle n </math> -ta liczba Catalana to:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {2n \choose n} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \frac{1}{n+1}{2n \choose n} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {1/2 \choose n}\left( -4 \right)^n </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 2{1/2 \choose n+1}\left( -4 \right)^n </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle t_{10} </math> będzie liczbą drzew o wysokości <math>\displaystyle 10 </math> . Wtedy:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{1023} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{512} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle t_{10}\leq 2^{10} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle t_{10}\geq 2^{9} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczba podziałów liczby <math>\displaystyle 16 </math> na sumy złożone jedynie ze składników <math>\displaystyle 1,2,4,8,16 </math>
| |
| wynosi:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 25 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 26 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 35 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 165 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja tworząca podziału liczby na sumy jest przedstawialna jako:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^{nk}} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \prod_{k=1}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}x^{nk} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja tworząca
| |
| <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\left[\begin{array} {c}n\\ 0\end{array} \right]+\left[\begin{array} {c}n\\ 1\end{array} \right]x+\left[\begin{array} {c}n\\ 2\end{array} \right]x^2+\left[\begin{array} {c}n\\ 3\end{array} \right]x^3+\ldots,
| |
| </math>
| |
| dla cyklowych liczb Stirlinga <math>\displaystyle \left[\begin{array} {c}n\\ m\end{array} \right] </math> , ma postać zwartą:
| |
| }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\overline{n}} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=\prod_{k=0}^{n-1}\left( x+k \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=x^{\underline{n}} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle s_n\!\left( x \right)=1/\prod_{k=0}^{n-1}\left( 1-kx \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Podziałowe liczby Stirlinga spełniają zależność rekurencyjną:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n\\ k\end{array} \right\}=\left( n-1 \right)\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla <math>\displaystyle 0>k>n </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\{\begin{array} {c}n+k\\ k\end{array} \right\}=k\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k\end{array} \right\}+\left\{\begin{array} {c}n+k-1\\ k-1\end{array} \right\} </math> , dla <math>\displaystyle n>1,\ k>0 </math> }
| |
| <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz> Niech <math>\displaystyle a_0=1 </math> , <math>\displaystyle a_1=0 </math> oraz <math>\displaystyle a_n=\frac{a_{n-2}}{n} </math> .
| |
| Funkcja tworząca <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n </math> ma postać zwartą:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=\sin x </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle A\!\left( x \right)=e^{x^2/2} </math> }
| |
| <wrongoption>żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 999999999999999999999999999999999999999
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Asymptotyka'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Funkcja <math>\displaystyle n^2\lg{n}+\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}}</math> jest:}
| |
| \odp <math>\displaystyle \Theta(n^2\lg{n})</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle O(n^2\lg{n})</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \Theta{n^2\sqrt{n}}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle O(\frac{n^2\sqrt{n}}{\lg{n}})</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja <math>\displaystyle \frac{n^9}{\lg^{10}n}</math> jest:}
| |
| \odp <math>\displaystyle O(n^{\frac{9}{10}})</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle O(n)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle O(n^9)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \Omega(\lg^{10}n)</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=2^{\lg{n}+1}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\lg{2n}-1</math> zachodzi:}
| |
| \odp <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dowolny wielomian <math>\displaystyle k</math>-tego stopnia jest:}
| |
| \ok <math>\displaystyle \Omega(n^k)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \Theta(n^k)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle O(n^k)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle o(n^{k+\varepsilon})</math> dla dowolnego <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle f(n)=\frac{\lg n}{n}</math> oraz <math>\displaystyle g(n)=\frac{1}{\sqrt{n}}</math> zachodzi:}
| |
| \odp <math>\displaystyle f(x)=\omega(g(x))</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=o(g(x))</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle f(x)=x^2</math> oraz <math>\displaystyle g(x)=x^2+\sin x</math> zachodzi:}
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=\Omega(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=\Theta(g(x))</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle f(x)=O(g(x))</math>
| |
| \odp żadne z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=9T(\frac{n}{3})+\frac{n^2}{\lg n}</math>:}
| |
| \odp możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
| |
| \odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2\lg n)</math>
| |
| \odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
| |
| \ok żadne z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle T(n)=25T(\frac{n}{4})+\frac{n^2}{\lg n}</math>}
| |
| \ok możemy skorzystać z pierwszego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^{\lg_4{25}})</math>
| |
| \odp możemy skorzystać z drugiego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(n^2)</math>
| |
| \odp możemy skorzystać z trzeciego punktu Tw. o rekurencji uniwersalnej i <math>\displaystyle T(n)=\Theta(\frac{n^2}{\lg n})</math>
| |
| \odp żadne z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Funkcja spełniająca zależność <math>\displaystyle T(n)=T(\frac{n}{2})+1</math> jest:}
| |
| \ok <math>\displaystyle \Theta(\lg n)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \Theta(n)</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle O(n)</math>
| |
| \odp żadne z pozostałych
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 101010101010101010101010101010101010
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Teoria liczb I'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Liczb naturalnych <math>\displaystyle n>1</math> w rozkładzie których
| |
| występują wszystkie liczby pierwsze niewiększe od <math>\displaystyle n</math> jest:}
| |
| \odp nieskończenie wiele
| |
| \ok co najmniej jedna
| |
| \ok skończenie wiele
| |
| \odp nie ma takich liczb
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle 91n+7</math>, dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> jest:}
| |
| \odp nie ma takich liczb
| |
| \ok dokładnie jedna
| |
| \ok skończenie wiele
| |
| \odp nieskończenie wiele
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli w ciągu postaci <math>\displaystyle \left\lbrace an+b \right\rbrace_{n\in\mathbb{N}}</math>, gdzie <math>\displaystyle a,b\in\mathbb{N}</math>,
| |
| są przynajmniej dwie liczby pierwsze, to}
| |
| \ok jest ich nieskończenie wiele
| |
| \odp wszystkie liczby tego ciągu są pierwsze
| |
| \odp może ich być tylko skończenie wiele
| |
| \ok <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są względnie pierwsze
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle p</math> jest dowolną liczbą pierwszą, to sito Eratostenesa
| |
| zastosowane do liczby <math>\displaystyle p^2+2</math> jako ostatnią skreśli:}
| |
| \odp <math>\displaystyle p</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle p^2</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle p^2+1</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle p^2+2</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|bc</math> oraz \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)=d</math>, to}
| |
| \ok <math>\displaystyle \frac{a}{d}|c</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle a|cd</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp b</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \frac{a}{d}\perp\frac{b}{d}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Liczb pierwszych postaci <math>\displaystyle n^2-1</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math>, jest:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 0</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 1</math>
| |
| \ok skończenie wiele
| |
| \odp nieskończenie wiele
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> są liczbami złożonymi to}
| |
| \odp \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)>1</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle \frac{a}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)}\perp\frac{b}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)}</math>
| |
| \odp jedna z liczb <math>\displaystyle \frac{a}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)}</math>, <math>\displaystyle \frac{b}{ </math> \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)}</math> jest pierwsza
| |
| \odp jeśli <math>\displaystyle a\perp b</math>, to przynajmniej jedna z liczb <math>\displaystyle a-b</math>, <math>\displaystyle a+b</math> jest parzysta
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle a|c</math> i <math>\displaystyle b|c</math>, to}
| |
| \odp \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)>1</math>
| |
| \odp \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)<c</math>
| |
| \ok jeśli \sf NWD <math>\displaystyle (a,b)>1</math>, to \sf NWW <math>\displaystyle (a,b)<c</math>
| |
| \ok \sf NWW <math>\displaystyle (a,b)\leqslant c</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Rosnący ciąg arytmetyczny rozpoczynający się od <math>\displaystyle 1</math>:}
| |
| \ok zawsze zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych
| |
| \odp może zawierać tylko skończenie wiele liczb pierwszych
| |
| \odp zawsze zawiera tylko skończenie wiele liczb pierwszych
| |
| \odp może nie zawierać żadnej liczby pierwszej
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 11111111111111111111111111111111
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Teoria liczb II'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle d\perp n</math> oraz <math>\displaystyle acd\equiv_{cn}bcd</math>, to}
| |
| \ok <math>\displaystyle a\equiv_nb</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle ad\equiv_nbd</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle acd\equiv_nbcd</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle ac\equiv_{nd}bc</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Równanie <math>\displaystyle 7x\equiv_{91}4</math>}
| |
| \odp nie ma rozwiązania
| |
| \odp ma skończenie wiele rozwiązań
| |
| \odp zbiór wszystkich jego rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 13n+c:n\in\ N \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
| |
| \ok zbiór wszystkich rozwiązań jest postaci <math>\displaystyle \left\lbrace 91n+c:n\in\mathbb{N} \right\rbrace</math> dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{N}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Układ równań
| |
| | |
| <center><math>\displaystyle \aligned x&\equiv_9&8,\\
| |
| x&\equiv_{223}&222.
| |
| \endaligned</math></center>
| |
| | |
| }
| |
| \ok ma całkowite rozwiązanie mniejsze od 2006
| |
| \odp <math>\displaystyle 2006</math> jest jego jedynym rozwiązaniem
| |
| \odp wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2006\cdot n</math>, gdzie <math>\displaystyle n\in\mathbb{Z}</math>
| |
| \ok wszystkie jego rozwiązania są postaci <math>\displaystyle 2007n+2006</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Dla <math>\displaystyle a<b</math> warunek <math>\displaystyle \varphi(a)\leqslant\varphi(b)</math> zachodzi jeśli}
| |
| \odp <math>\displaystyle a\leqslant b</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle a|b</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle a\perp b</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle a\leqslant b</math> i <math>\displaystyle b</math> jest pierwsza
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz><math>\displaystyle 16^{49} </math> {\sf mod} <math>\displaystyle 25</math> wynosi:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 7</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 14</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 21</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz><math>\displaystyle 14^{111} </math> {\sf mod} <math>\displaystyle 15</math> wynosi:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 3</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 12</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 14</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Wiedząc, że <math>\displaystyle 2006=2\cdot17\cdot59</math> oblicz <math>\displaystyle \mu(2006)</math>: }
| |
| \ok <math>\displaystyle -1</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 0</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 1</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 3</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz><math>\displaystyle (n-1)!</math> modulo <math>\displaystyle n</math> to:}
| |
| \ok <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle -1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
| |
| \ok <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle n-1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
| |
| \odp <math>\displaystyle 0</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest złożona a <math>\displaystyle 1</math>, jeśli <math>\displaystyle n</math> jest pierwsza
| |
| \odp zawsze wynosi <math>\displaystyle 1</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 12121212121212121212121212121212
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Grafy I'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Różnych grafów skierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Różnych grafów nieskierowanych bez cykli jednoelementowych w zbiorze <math>\displaystyle n</math>-elementowym jest:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{n^2}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{n^2-n}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{2^n}</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2^{2^n-n}</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 2^{n \choose 2}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
| |
| \odp W każdym grafie prostym <math>\displaystyle G= \left( V;E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> musi być zwrotna.
| |
| \ok W grafie nieskierowanym <math>\displaystyle G= \left( V,E \right)</math> relacja <math>\displaystyle E</math> jest symetryczna.
| |
| \odp Graf nieskierowany to rodzina wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru wierzchołków.
| |
| \ok W grafie pełnym każde dwa różne wierzchołki połączone są krawędzią.
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe dla grafów nieskierowanych:}
| |
| \ok podgraf indukowany grafu pełnego jest grafem pełnym
| |
| \ok każdy graf jest podgrafem jakiegoś grafu pełnego
| |
| \odp każdy graf jest podgrafem indukowanym jakiegoś grafu pełnego
| |
| \odp graf pełny ma zawsze parzystą liczbę krawędzi
| |
| \ok w grafie pełnym wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jaka jest najmniejsza liczba krawędzi w grafie
| |
| nieskierowanym o 100 wierzchołkach i trzech składowych spójnych:}
| |
| \odp <math>\displaystyle 99</math>
| |
| \ok <math>\displaystyle 97</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 98</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 100</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle \frac{100 \cdot 99}{3}</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Ile jest krawędzi w pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{1000,1000}</math>:}
| |
| \ok <math>\displaystyle 1000 \cdot 1000</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 1000!</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 1000 \choose 2</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 1000 \choose 50</math>
| |
| \odp <math>\displaystyle 2000 \choose 1000</math>
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W pełnym grafie <math>\displaystyle 100</math>-elementowym:}
| |
| \odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
| |
| \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
| |
| \ok każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
| |
| \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
| |
| \odp nie ma drzew rozpinających
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W pełnym grafie dwudzielnym <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
| |
| \odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 50</math> krawędzi
| |
| \odp każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
| |
| \ok każde drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
| |
| \odp dokładnie jedno drzewo rozpinające ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
| |
| \odp nie ma drzew rozpinających
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W <math>\displaystyle 100</math> elementowym grafie o trzech składowych spójnych:}
| |
| \odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 100</math> krawędzi
| |
| \odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 99</math> krawędzi
| |
| \odp jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 98</math> krawędzi
| |
| \ok jakiś las rozpinający ma <math>\displaystyle 97</math> krawędzi
| |
| \odp może nie być lasu rozpinającego
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
| |
| \ok jest grafem Hamiltonowskim
| |
| \odp jest grafem Eulerowskim
| |
| \odp jest spójny
| |
| \odp jest dwudzielny
| |
| \ok jest stukolorowalny
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{25,25}</math>:}
| |
| \ok jest grafem Hamiltonowskim
| |
| \odp jest grafem Eulerowskim
| |
| \ok zawiera cykl <math>\displaystyle 4</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
| |
| \odp zawiera cykl <math>\displaystyle 6</math> wierzchołkach jako podgraf indukowany
| |
| \ok jest trójkolorowalny
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Graf o <math>\displaystyle 2005 </math> wierzchołkach, z których każdy ma stopień <math>\displaystyle 101 </math> :}
| |
| <wrongoption>ma <math>\displaystyle 202505 </math> krawędzi}
| |
| <wrongoption>ma <math>\displaystyle 2106 </math> krawędzi}
| |
| <wrongoption>ma <math>\displaystyle 405010 </math> krawędzi}
| |
| <rightoption>nie istnieje}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli <math>\displaystyle \mathbf{G}_1=\left( V,E_1 \right) </math> i <math>\displaystyle \mathbf{G}_2=\left( V,E_2 \right) </math>
| |
| są grafami niespójnymi o tym samym zbiorze wierzchołków <math>\displaystyle V </math> , to:}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math> może być spójny}
| |
| <wrongoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cup\mathbf{G}_1 </math> jest spójny}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math> może nie być spójny}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G}_1\cap\mathbf{G}_1 </math> nie jest spójny}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Graf <math>\displaystyle \mathbf{P}_4 </math> to graf, który składa się jedynie ze ścieżki
| |
| odwiedzającej <math>\displaystyle 4 </math> wierzchołki,
| |
| czyli <math>\displaystyle {\sf V}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace a,b,c,d \right\rbrace </math>
| |
| oraz <math>\displaystyle {\sf E}\!\left(\mathbf{P}_4\right)=\left\lbrace \left\lbrace a,b \right\rbrace,\left\lbrace b,c \right\rbrace,\left\lbrace c,d \right\rbrace \right\rbrace </math> .
| |
| W grafie spójnym, w którym nie ma
| |
| podgrafu indukowanego izomorficznego do <math>\displaystyle \mathbf{P}_4 </math> :}
| |
| <rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej trzy}
| |
| <rightoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej dwa}
| |
| <wrongoption>dowolne dwa punkty leżą w odległości co najwyżej jeden}
| |
| <wrongoption>każde trzy wierzchołki tworzą klikę <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
| |
| <rightoption>Każdy graf pusty jest grafem dwudzielnym.}
| |
| <wrongoption>Każdy graf pełny jest grafem dwudzielnym.}
| |
| <wrongoption>Graf <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3} </math> jest grafem dwudzielnym.}
| |
| <rightoption>Graf <math>\displaystyle \mathcal{K}_{2} </math> jest grafem dwudzielnym.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
| |
| <rightoption>Każdy graf dwudzielny, który jest zarazem grafem pełnym jest planarny.}
| |
| <rightoption>Graf <math>\displaystyle \mathcal{K}_{4} </math> jest grafem planarnym.}
| |
| <wrongoption>Graf <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math> jest grafem planarnym.}
| |
| <wrongoption>Każdy graf dwudzielny jest grafem planarnym.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Graf o <math>\displaystyle 100 </math> wierzchołkach:}
| |
| <wrongoption>jeśli ma <math>\displaystyle 99 </math> krawędzi, to jest drzewem.}
| |
| <wrongoption>jeśli ma <math>\displaystyle 100 </math> krawędzi, to jest drzewem.}
| |
| <wrongoption>jeśli ma <math>\displaystyle 4850 </math> krawędzi, to jest spójny.}
| |
| <rightoption>jeśli ma <math>\displaystyle 4851 </math> krawędzi, to jest spójny.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na to by graf <math>\displaystyle \mathbf{T} </math> był drzewem potrzeba i wystarcza, by:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \mathbf{T} </math> nie zawierał cykli}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \mathbf{T} </math> był spójny i miał <math>\displaystyle \left\vert V \right\vert-1 </math> krawędzi}
| |
| <rightoption>dowolne dwa wierzchołki grafu <math>\displaystyle \mathbf{T} </math> były połączone dokładnie jedną drogą}
| |
| <wrongoption>dowolne dwa wierzchołki grafu <math>\displaystyle \mathbf{T} </math> leżały na dokładnie jednym cyklu}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 131313131313131313131313131313
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Grafy II'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle \mathcal{K}_{3,3} </math> :}
| |
| <wrongoption>jest eulerowski}
| |
| <rightoption>jest hamiltonowski}
| |
| <wrongoption>jest planarny}
| |
| <wrongoption>nie jest ani eulerowski ani planarny}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Pełny graf <math>\displaystyle 100</math>-elementowy:}
| |
| \ok jest grafem Hamiltonowskim
| |
| \odp jest grafem Eulerowskim
| |
| \odp jest spójny
| |
| \odp jest dwudzielny
| |
| \ok jest stukolorowalny
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Graf, w którym cykl Hamiltona jest zarazem cyklem Eulera}
| |
| <wrongoption>sam jest cyklem o parzystej liczbie krawędzi}
| |
| <rightoption>jest cyklem}
| |
| <rightoption>ma wierzchołki wyłącznie o stopniu <math>\displaystyle 2 </math> }
| |
| <wrongoption>jest sumą dwu grafów o tych samych wierzchołkach ale rozłącznych zbiorach krawędzi,
| |
| przy czym każdy z nich jest cyklem}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Jeśli graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest eulerowski, to:}
| |
| <wrongoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest hamiltonowski}
| |
| <rightoption>każdy wierzchołek w grafie <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> ma parzysty stopień}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest sumą grafów o tych samych wierzchołkach
| |
| ale rozłącznych zbiorach krawędzi, przy czym każdy z nich jest cyklem}
| |
| <wrongoption>jeśli dodatkowo <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest hamiltonowski,
| |
| to po usunięciu cyklu Hamiltona graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> dalej jest eulerowski}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Graf o <math>\displaystyle 101 </math> wierzchołkach:}
| |
| <wrongoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia <math>\displaystyle 50 </math> , jest hamiltonowski}
| |
| <rightoption>w którym wszystkie wierzchołki są stopnia <math>\displaystyle 51 </math> , jest hamiltonowski}
| |
| <wrongoption>w którym dowolne dwa niesąsiednie wierzchołki <math>\displaystyle v </math> i <math>\displaystyle w </math>
| |
| spełniają <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math> jest hamiltonowski}
| |
| <wrongoption>w którym dowolne dwa sąsiednie wierzchołki <math>\displaystyle v </math> i <math>\displaystyle w </math>
| |
| spełniają <math>\displaystyle \deg{v}+\deg{w}\geq 100 </math> jest hamiltonowski}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Który z warunków wystarcza na to,
| |
| by w grafie dwudzielnym <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( V_1\cup V_2, E \right) </math>
| |
| istniało pełne skojarzenie <math>\displaystyle V_1 </math> z <math>\displaystyle V_2 </math> ?}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest hamiltonowski}
| |
| <wrongoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest eulerowski}
| |
| <wrongoption>w grafie <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> każdy wierzchołek z <math>\displaystyle V_1 </math>
| |
| ma co najmniej dwu sąsiadów}
| |
| <rightoption>dowolny zbiór niezależny w ma co najwyżej <math>\displaystyle \left\vert V_2 \right\vert </math> wierzchołków}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Grafem <math>\displaystyle 100 </math> -spójnym jest:}
| |
| <rightoption>graf w którym pomiędzy dowolnymi wierzchołkami istnieje <math>\displaystyle 100 </math>
| |
| dróg wierzchołkowo rozłącznych}
| |
| <wrongoption>graf, którego każdy zbiór rozdzielający ma co najmniej <math>\displaystyle 99 </math> wierzchołków}
| |
| <rightoption>klika <math>\displaystyle \mathcal{K}_{101} </math> }
| |
| <wrongoption>pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle \mathcal{K}_{100,100} </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W <math>\displaystyle 2 </math> -spójnym krawędziowo grafie o <math>\displaystyle 20 </math> wierzchołkach
| |
| i minimalnej liczbie krawędzi:}
| |
| <wrongoption>jest dokładnie <math>\displaystyle 38 </math> krawędzi}
| |
| <rightoption>jest dokładnie <math>\displaystyle 20 </math> krawędzi}
| |
| <rightoption>dowolny wierzchołek ma stopień co najmniej <math>\displaystyle 2 </math> }
| |
| <wrongoption>istnieje wierzchołek o stopniu co najmniej <math>\displaystyle 3 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 141414141414141414141414141414141414141414
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Grafy III'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]] jest planarny?
| |
| | |
| \beginfigure [!ht]
| |
| \begincenter
| |
| \includegraphics{test_petersen4}
| |
| \caption{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_petersen4.eps</tt>''']'''}
| |
| \endcenter
| |
| \endfigure
| |
| }
| |
| | |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].a.}
| |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].b.}
| |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].c.}
| |
| <rightoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test petersen4|Uzupelnic test petersen4|]].d.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Który z grafów przedstawionych na Rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]] jest homeomorficzny z kliką <math>\displaystyle \mathcal{K}_{5} </math> ?
| |
| | |
| \beginfigure [!ht]
| |
| \begincenter
| |
| \includegraphics{test_klika5}
| |
| \caption{ '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_klika5.eps</tt>''']'''}
| |
| \endcenter
| |
| \endfigure
| |
| }
| |
| | |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].a.}
| |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].b.}
| |
| <rightoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].c.}
| |
| <wrongoption>graf przedstawiony na rysunku [[##test klika5|Uzupelnic test klika5|]].d.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Spójny graf planarny o <math>\displaystyle 20 </math> wierzchołkach, z których każdy jest stopnia <math>\displaystyle 3 </math> ma:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 11 </math> ścian}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 12 </math> ścian}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 22 </math> ścian}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 24 </math> ścian}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Ile spójnych składowych ma graf planarny o <math>\displaystyle 121 </math> wierzchołkach,
| |
| <math>\displaystyle 53 </math> krawędziach, oraz <math>\displaystyle 30 </math> ścianach?}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 98 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 99 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 100 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 143 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> będzie grafem geometrycznie dualnym do
| |
| grafu płaskiego <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> .
| |
| Podzbiór <math>\displaystyle C </math> zbioru krawędzi grafu <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest cyklem w grafie <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
| |
| wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór krawędzi dualnych do krawędzi zbioru <math>\displaystyle C </math> }
| |
| <wrongoption>posiada parzystą liczbę elementów}
| |
| <wrongoption>posiada nieparzystą liczbę elementów}
| |
| <wrongoption>jest cyklem grafu <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
| |
| <rightoption>jest rozcięciem grafu <math>\displaystyle \mathbf{G}^* </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Spójny graf prosty, który nie jest pełny,
| |
| i w którym wszystkie wierzchołki mają stopień nie większy niż <math>\displaystyle k </math> jest:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \left( k-1 \right) </math> -kolorowalny}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle k </math> -kolorowalny}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left( k+1 \right) </math> -kolorowalny}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 2k </math> -kolorowalny}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Iloma kolorami można pokolorować polityczną mapę Europy?}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 3 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 4 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 5 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 6 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W grafie prostym zachodzi:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)=\chi_s\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Pełny graf dwudzielny <math>\displaystyle K_{50,50}</math>:}
| |
| \ok jest grafem Hamiltonowskim
| |
| \ok jest grafem Eulerowskim
| |
| \odp jest lasem
| |
| \ok jest dwukolorowalny
| |
| \ok jest 49-kolorowalny
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
|
| |
| 151515151515151515151515151515151515
| |
| | |
| {article}
| |
| \input{../makraT}
| |
| | |
| \newpage
| |
| | |
| \parindent 0mm
| |
| \beginLarge
| |
| | |
| {| border=1
| |
| |+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
| |
| |-
| |
| | '''Metody algebraiczne w teorii grafów'''
| |
| |-
| |
| |
| |
| | |
| |}
| |
| | |
| \endLarge
| |
| \parindent 10mm
| |
| | |
| \btest
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle m_{ij} </math> oznacza liczbę skierowanych marszrut,
| |
| nie dłuższych niż <math>\displaystyle n-1 </math> , z wierzchołka <math>\displaystyle v_i </math> do <math>\displaystyle v_j </math>
| |
| w grafie skierowanym <math>\displaystyle \mathbf{G}=\left( \left\lbrace v_1,\ldots,v_n \right\rbrace,E \right) </math> ,
| |
| a <math>\displaystyle M </math> niech będzie macierzą <math>\displaystyle \langle m_{ij}\rangle </math> .
| |
| Wtedy:}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^1+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^2+\ldots+{\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle M={\sf A}\left( \mathbf{G} \right)^{\left( n-1 \right)} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle M=n\cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle m_{ij}>0 </math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle \left( v_i,v_j \right)\in{\sf E}\!\left({\sf TC}\left( \mathbf{G} \right)\right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz prawdziwe zależności dla grafu prostego <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
| |
| o macierzy sąsiedztwa <math>\displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
| |
| macierzy incydencji <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
| |
| zorientowanej macierzy incydencji <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math>
| |
| oraz macierzy stopni <math>\displaystyle {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> :}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf B}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf D}\left( \mathbf{G} \right)+ {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf B}\left( \mathbf{G} \right) \cdot{\sf A}\left( \mathbf{G} \right) = {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)\cdot {\sf C}\left( \mathbf{G} \right)^T= {\sf A}\left( \mathbf{G} \right)- {\sf D}\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Niech <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> będzie grafem o <math>\displaystyle 10 </math> wierzchołkach
| |
| przedstawionym na Rysunku [[##test alg|Uzupelnic test alg|]],
| |
| a macierz <math>\displaystyle M </math> , o rozmiarach <math>\displaystyle 9\times9 </math> ,
| |
| będzie minorem (podmacierzą) zorientowanej macierzy incydencji <math>\displaystyle {\sf C}\left( \mathbf{G} \right) </math> ,
| |
| w którym kolumny odpowiadają krawędziom
| |
| <math>\displaystyle e_0, e_2, e_3, e_6, e_9, e_{12}, e_{13}, e_{14}, e_{15} </math> .
| |
| | |
| \beginfigure [!ht]
| |
| \begincenter
| |
| \includegraphics{test_alg}
| |
| \caption{Graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> . '''[Rysunek z pliku:''' <tt>test\_alg.eps</tt>''']'''}
| |
| \endcenter
| |
| \endfigure
| |
| | |
| Wtedy:}
| |
| <rightoption>macierz <math>\displaystyle M </math> jest nieosobliwa}
| |
| <wrongoption>macierz <math>\displaystyle M </math> jest osobliwa}
| |
| <wrongoption>suma elementów w każdej kolumnie macierzy <math>\displaystyle M </math> wynosi <math>\displaystyle 0 </math> }
| |
| <wrongoption>macierz <math>\displaystyle M </math> jest antysymetryczna}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Na to by permanent grafu <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> był niezerowy, wystarcza by:}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> posiadał cykl Hamiltona}
| |
| <wrongoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> posiadał cykl Eulera}
| |
| <wrongoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> był spójny}
| |
| <rightoption>graf <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> był grafem dwudzielnym posiadającym skojarzenie doskonałe}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe o wartościach własnych grafów:}
| |
| <wrongoption>Co najmniej jedna z wartości własnych jest liczbą zespoloną.}
| |
| <wrongoption>Jeśli wszystkie wartości własne są wymierne, to graf jest eulerowski.}
| |
| <rightoption>Wszystkie wartości własne grafu hamiltonowskiego są rzeczywiste.}
| |
| <rightoption>Wszystkie wartości własne dowolnego grafu są rzeczywiste.}
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz prawdziwe związki wartości własnych z maksymalnym stopniem wierzchołka
| |
| w grafie prostym:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \left\vert \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) \right\vert\leq\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
| |
| wtedy i tylko wtedy, gdy któraś spójna składowa grafu <math>\displaystyle \mathbf{G} </math>
| |
| jest grafem regularnym stopnia <math>\displaystyle \Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle -\Delta\left( \mathbf{G} \right) </math>
| |
| jest wartością własną macierzy <math>\displaystyle {\sf A}\left( \mathbf{G} \right) </math>
| |
| wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> jest regularnym grafem dwudzielnym
| |
| stopnia <math>\displaystyle \Delta\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>W grafie regularnym <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> o <math>\displaystyle 10 </math> wierzchołkach stopnia <math>\displaystyle 4 </math>
| |
| oraz wartościach własnych <math>\displaystyle \lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)\approx-2,73205 </math> i <math>\displaystyle \lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)=4 </math>
| |
| moc niezależnego podzbioru jest ograniczona z góry przez:}
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 2 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle 3 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 4 </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle 10 </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| <quiz>Zaznacz zdania prawdziwe wiążące liczbę chromatyczną <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right) </math>
| |
| z wartościami własnymi grafu regularnego <math>\displaystyle \mathbf{G} </math> :}
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)= 1-\frac{\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)}{\lambda_{min}\!\left( \mathbf{G} \right)} </math> }
| |
| <rightoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\leq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right)+1 </math> }
| |
| <wrongoption> <math>\displaystyle \chi\!\left( \mathbf{G} \right)\geq\lambda_{max}\!\left( \mathbf{G} \right) </math> }
| |
| </quiz>
| |
| | |
| \etest
| |
