Test GR4: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
Rogoda (dyskusja | edycje)
1875 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 67 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
5555555555555555555555555555555555555555 Logika


{thm}{Twierdzenie}
{obs}[thm]{Obserwacja}
{con}[thm]{Wniosek}
{exrr}{Zadanie}


{


0mm


'''#1'''
10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika
10mm }{{ <math>\displaystyle \square </math> }
 
}
 
{article}
{../makraT}
 
0mm
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Sumy skończone i rachunek różnicowy'''
|-
|
 
|}
 
10mm
 
<quiz>Czarta funkcja różnicowa <math>\displaystyle \Delta^4(4^x)</math> to:}
<rightoption>  <math>\displaystyle 3^4\cdot4^x</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 4^4\cdot4^x</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 5^4\cdot4^x</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{4^x}{5^4}</math>
</quiz>
 
<quiz>Wskaż błędne przejścia (o ile istnieją) w poniższym wyprowadzeniu
 
<center><math>\displaystyle \aligned \sum_{i=0}^ni^4&=\sum_{i=0}^n(i^{\underline{1}}+7i^{\underline{2}}+6i^{\underline{3}}+i^{\underline{4}})\\
&=\sum_0^n(x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+6x^{\underline{3}}+x^{\underline{4}})\delta x\\
&=\sum_0^nx^{\underline{1}}\delta x+7\sum_0^nx^{\underline{2}}\delta x+6\sum_0^nx^{\underline{3}}\delta x+\sum_0^nx^{\underline{4}}\delta x\\
&=\frac{1}{2}n^{\underline{2}}+\frac{7}{3}n^{\underline{3}}+\frac{6}{4}n^{\underline{4}}+\frac{1}{5}n^{\underline{5}}
\endaligned</math></center>
 
}
<wrongoption> pierwsza równość
<rightoption>  druga równość
<wrongoption> trzecia równość
<wrongoption> czwarta równość
<wrongoption> wszystkie są poprawne
</quiz>
 
<quiz>Jeśli <math>\displaystyle f(n)</math> jest <math>\displaystyle n</math>-tą liczbą Fibonacciego, to dla <math>\displaystyle n>1</math>
wartość funkcji <math>\displaystyle (\Delta f)(n)</math> wynosi:}
<rightoption>  <math>\displaystyle f(n-1)</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle f(n)</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle f(n+1)</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \sum_{i=0}^n f(i)</math>
</quiz>
 
<quiz>Zaznacz zdania prawdziwe:}
<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta x^{\underline{m}}=mx^{\underline{m-1}}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle m\in\mathbb{Z}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{m+n}}=x^{\underline{m}}x^{\underline{n}}</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle m,n\in\mathbb{Z}</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \sum_a^ag(x)\delta x=0</math>, dla dowolnego <math>\displaystyle a\in\mathbb{N}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta(f(x)g(x))=g(x)\Delta f(x)+f(x)\Delta g(x)</math>
</quiz>
 
<quiz>Suma nieoznaczona <math>\displaystyle \sum 10^x\delta x</math> to:}
<wrongoption> <math>\displaystyle 9\cdot 10^x+C</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \frac{10^x}{9}+C</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{9^x}{10}+C</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle 10\cdot9^x+C</math>
</quiz>
 
<quiz>Równość <math>\displaystyle \sum f(x)\delta x=H_x+C</math> zachodzi dla}
<rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+c</math>, przy dowolnym <math>\displaystyle c\in\mathbb{Z}</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{x+1}+\sin{x\pi}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle f(x)=H_{x+1}</math>
</quiz>
 
<quiz>Dla dowolnego  wielomianu <math>\displaystyle p(x)</math> o stopniu <math>\displaystyle n</math>:}
<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta^n p(x)=0</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle \Delta^{n-1} p(x)=c</math>, dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{R}</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta^{n+1} p(x)=0</math>
<rightoption>  <math>\displaystyle \Delta^{2n} p^2(x)=c</math>, dla pewnego <math>\displaystyle c\in\mathbb{R}</math>
</quiz>
 
<quiz>Wielomian <math>\displaystyle x^5</math> można przedstawić jako następującą sumę dolnych silni:}
<rightoption>  <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+15x^{\underline{2}}+25x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+2x^{\underline{2}}+7x^{\underline{3}}+6x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+11x^{\underline{2}}+21x^{\underline{3}}+11x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math>
<wrongoption> <math>\displaystyle x^{\underline{1}}+7x^{\underline{2}}+15x^{\underline{3}}+10x^{\underline{4}}+x^{\underline{5}}</math>
</quiz>
 
 
 
 
 
 
 
-------------------------------------------------------------------
<quiz>Niech <math>\displaystyle X</math> będzie dowolnym zbiorem skończonym. Wtedy:
<rightoption>  liczba injekcji, liczba surjekcji i liczba bijekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest taka sama</rightoption>
<wrongoption> injekcji i bijekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest tyle samo, natomiast surjekcji może być mniej</wrongoption>
<wrongoption> injekcji i surjekcji z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math> jest tyle samo, natomiast bijekcji może być mniej</wrongoption>
<rightoption>liczba injekcji jest niewiększa od liczby surjekcji, która jest niewiększa od liczby bijekcji (wszystkie funkcje z <math>\displaystyle X</math> w <math>\displaystyle X</math>)</rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem dodatnich liczb nieparzystych. Wtedy:
<rightoption>  <math>\displaystyle A</math> jest przeliczalny</rightoption>
<rightoption>  istnieje injekcja z <math>\displaystyle A</math> w <math>\displaystyle \mathbb{N}</math></rightoption>
<rightoption>  istnieje surjekcja z <math>\displaystyle A</math> w <math>\displaystyle \mathbb{N}</math></rightoption>
<rightoption>  istnieje bijekcja z <math>\displaystyle A</math> w pewien właściwy podzbiór <math>\displaystyle A</math></rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Maksymalna liczba punktów które można wybrać w trójkącie równobocznym o boku <math>\displaystyle 1</math>
(wraz z obrzeżami) tak, by dowolne dwa były odległe o co najmniej <math>\displaystyle \frac{1}{2}</math> to:
<wrongoption> <math>\displaystyle 3</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 4</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 5</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle 6</math></rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Dla skończonych zbiorów <math>\displaystyle A,B,C,D</math> takich,
że <math>\displaystyle A\cap B=\emptyset</math> i <math>\displaystyle C\cap D=\emptyset</math>, moc zbioru <math>\displaystyle A\cup B\cup C\cup D</math> wynosi:
<rightoption><math>\displaystyle \left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\left\vert A\cap C \right\vert-\left\vert A\cap D \right\vert-\left\vert B\cap C \right\vert-\left\vert B\cap D \right\vert</math></rightoption>
<rightoption><math>\displaystyle \displaystyle{\left\vert A \right\vert+\left\vert B \right\vert+\left\vert C \right\vert+\left\vert D \right\vert-\sum_{I,J\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J}\left\vert I\cap J \right\vert+\sum_{I,J,K\in\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace, I\neq J\neq K \neq I}\left\vert I\cap J\cap K \right\vert}</math></rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\vert A\cup B \right\vert+\left\vert C\cup D \right\vert</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \left\vert A\cup C \right\vert+\left\vert B\cup D \right\vert</math></wrongoption>
</quiz>
 
<quiz>Gdy <math>\displaystyle X</math> jest zbiorem skończonym,
to par <math>\displaystyle (A,B)</math> takich, że <math>\displaystyle A\subseteq B\subseteq X</math> jest:
<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert}+2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert}\cdot 2^{\left\vert X \right\vert}</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 2^{\left\vert X \right\vert^2}</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle 3^{\left\vert X \right\vert}</math></rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Bartek, Paweł i Piotrek wybrali się na wesele znajomych.
W pewnym momencie na parkiecie tańczyło <math>\displaystyle 7</math> samotnych dziewcząt.
Cała trójka postanowiła spróbować szczęścia.
Najpierw jednak ustalili, że każdy poprosi do tańca inną panią.
Na ile sposobów mogli oni dokonać wyboru?
<wrongoption> <math>\displaystyle 7^3</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 3^7</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 7!\cdot 3!</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle \frac{7!}{4!}</math></rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Dowolna permutacja zbioru skończonego:
<rightoption>  jest odwracalna</rightoption>
<rightoption>  jest rozkładalna na cykle</rightoption>
<rightoption>  jest rozkładalna na rozłączne cykle</rightoption>
<rightoption>  jest jednoznacznie rozkładalna (z dokładnością do porządku cykli) na rozłączne cykle</rightoption>
</quiz>
 
<quiz>W dowolnym dwu-kolorowaniu (białym i czarnym kolorem) punktów płaszczyzny <math>\displaystyle \mathbb{R}^2</math>:
<wrongoption> dla nieskończenie wielu <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></wrongoption>
<wrongoption> dla dowolnego <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa czarne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></wrongoption>
<rightoption>  dla nieskończenie wielu <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></rightoption>
<rightoption>  dla dowolnego <math>\displaystyle r>0</math> istnieją dwa jednobarwne punkty oddalone o <math>\displaystyle r</math></rightoption>
</quiz>
 
<quiz>Masz zestaw składający się z trzech typów klocków:
<math>\displaystyle 6</math> dużych, <math>\displaystyle 7</math> średnich i <math>\displaystyle 3</math> małych.
Piramidę złożoną z <math>\displaystyle 3</math> klocków (na dole największy, później średni i na górze mały)
można zbudować na:
<rightoption>  <math>\displaystyle 6\cdot7\cdot3</math> sposobów</rightoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{6\cdot7\cdot3}{2}</math> sposobów</wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle \frac{6\cdot 7\cdot 3}{3!}</math> sposobów</wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 6!7!3!</math> sposobów</wrongoption>
</quiz>
 
<quiz>Ile liczb rzeczywistych wystarcza by mieć pewność,
że wśród nich co najmniej dwie
mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej liczbie miejsc po przecinku
(jeśli liczba ma skończone rozwinięcie, to uzupełniamy je zerami).
<wrongoption> <math>\displaystyle 2</math></wrongoption>
<wrongoption> <math>\displaystyle 10</math></wrongoption>
<rightoption>  <math>\displaystyle 11</math></rightoption>
<rightoption>  nieskończenie wiele</rightoption>
</quiz>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------------------------------------------------
<quiz>
Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 0 \right\rbrace
</math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest:
<wrongoption reply="Źle">zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0 \right\rbrace </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">zbiorem skończonym</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">zbiorem wszystkich liczb naturalnych</rightoption>
<rightoption reply="Dobrze">zbiorem nieskończonym</rightoption>
</quiz>
 
<quiz>
Niech  <math>\displaystyle S_0=\left\lbrace 10 \right\rbrace </math>  oraz  <math>\displaystyle S_{i+1}=S_i \cup \left\lbrace \left\vert S_i \right\vert \right\rbrace </math> .
Suma  <math>\displaystyle \bigcup_{i=0}^{\infty}S_i </math>  jest:
<wrongoption reply="Źle">zbiorem jednoelementowym  <math>\displaystyle \left\lbrace 10 \right\rbrace </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">zbiorem skończonym  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\rbrace </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">zbiorem wszystkich liczb naturalnych</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">zbiorem wszystkich liczb naturalnych poza liczbą  <math>\displaystyle 0 </math></rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Niech  <math>\displaystyle a_0=1 </math>  oraz  <math>\displaystyle a_n=a_0+a_1+\ldots+a_{n-1} </math> . Ciąg  <math>\displaystyle a_n </math>  jest:
<wrongoption reply="Źle">ciągiem arytmetycznym</wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">ciągiem geometrycznym</rightoption>
<rightoption reply="Dobrze">ciągiem o wyrazach  <math>\displaystyle a_n=2^{n-1} </math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle">ciągiem Fibonacci'ego</wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Przy modyfikacji problemu przenoszenia Wież Hanoi i dopuszczeniu
czterech wież zamiast trzech,
liczba  <math>\displaystyle H_n </math>  ruchów potrzebnych do przeniesienia  <math>\displaystyle n </math> 
krążków wyraża się zależnością:
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+1 </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+3 </math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-1}+3 </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle H_n=2H_{n-2}+1 </math></wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Które z równości są prawdziwe dla liczb Fibonacci'ego:
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_{n+1}+f_n </math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1} </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_{n+2}=f_n+f_{n-1}+\ldots+f_1+f_0-1 </math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}
\left[\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n\right] </math> .</rightoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Niech  <math>\displaystyle a_0=2 </math> , zaś  <math>\displaystyle a_1=1 </math> , oraz ponadto  <math>\displaystyle a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} </math> .
Postać zwarta ciągu  <math>\displaystyle a_n </math> , to:
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=\left( -2 \right)^n+3^n </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze"><math>\displaystyle a_n=\left( -1 \right)^n+2^n </math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=-2^n+3 </math></wrongoption>
<wrongoption reply="Źle"><math>\displaystyle a_n=2\left( \frac{1}{2} \right)^n </math></wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Drzewo binarne o wysokości  <math>\displaystyle 4 </math>  ma szerokość:
<wrongoption reply="Źle">co najwyżej  <math>\displaystyle 16 </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">co najwyżej  <math>\displaystyle 8 </math></rightoption>
<rightoption reply="Dobrze">co najmniej  <math>\displaystyle 4 </math></rightoption>
<wrongoption reply="Źle">co najmniej  <math>\displaystyle 5 </math></wrongoption>
</quiz>
 
 
<quiz>
Każde zdanie logiczne zbudowane wyłącznie z jednej zmiennej  <math>\displaystyle a </math> ,
implikacji  <math>\displaystyle \Rightarrow </math>  oraz poprawnego nawiasowania jest:
<wrongoption reply="Źle">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math></wrongoption>
<rightoption reply="Dobrze">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle a </math>  lub jest tautologią</rightoption>
<wrongoption reply="Źle">tautologią</wrongoption>
<wrongoption reply="Źle">równoważne zdaniu  <math>\displaystyle \neg a </math>  lub zdaniu  <math>\displaystyle a </math></wrongoption>
</quiz>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---------------------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Twierdzenie}
\newtheorem{obs}[thm]{Obserwacja}
\newtheorem{con}[thm]{Wniosek}
\newtheorem{exrr}{Zadanie}
 
{
 
\parindent 0mm
 
'''#1'''
\parindent 10mm }{\hfill{ <math>\displaystyle \square </math> }
 
}
 
{article}
\input{../makraT}
 
\newpage
 
\parindent 0mm
\beginLarge
 
{| border=1
|+ <span style="font-variant:small-caps">Uzupelnij tytul</span>
|-
| '''Indukcja'''
|-
|
 
|}
 
\endLarge
\parindent 10mm
 
; Zaznacz zdania prawdziwe dotyczące podłogi i sufitu:
: 
:;  <math>\displaystyle n\geq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} </math> ,
::
:;  <math>\displaystyle n\leq 2^{\left\lceil \log_2 n \right\rceil} </math> ,
::
:;  <math>\displaystyle \left\lceil \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rceil=\left\lceil \log_2 \left( n/2 \right) \right\rceil </math> ,
::
:;  <math>\displaystyle \left\lfloor \log_2 \left\lceil n/2 \right\rceil \right\rfloor=\left\lfloor \log_2 \left( n/2 \right) \right\rfloor </math> .
::
 
; Dowolny niepusty podzbiór  <math>\displaystyle S\subseteq \mathbb{N} </math>  zbioru liczb naturalnych
: 
:; ma w sobie liczbę największą
::
:; ma w sobie liczbę najmniejszą
::
:; ma w sobie liczbę największą oraz liczbę najmniejszą
::
:; ma w sobie liczbę najmniejszą ale nigdy nie ma największej
::
 
; Zbiór  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math>  jest taki, że jeśli  <math>\displaystyle s\in S </math>  to  <math>\displaystyle s+1\in S </math> .
Jeśli  <math>\displaystyle 9\in S </math> , to:
: 
 
:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N} </math>
::
 
:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
::
 
:;  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
::
 
:;  <math>\displaystyle S\supseteq\mathbb{N}-\left\lbrace 0,1,2,3,4,5,6,7,8 \right\rbrace </math>
::
 
; Zbiór  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math>  jest taki, że jeśli  <math>\displaystyle a,b\in S </math> ,
to  <math>\displaystyle a+b\in S </math>  oraz  <math>\displaystyle a+b+1\not\in S </math> .
Jeśli  <math>\displaystyle 0,2 \in S </math> , to:
: 
 
:;  <math>\displaystyle S=\mathbb{N} </math>
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne, które są parzyste
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  jest zawarty w zbiorze liczb naturalnych, które są parzyste
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych, które są parzyste
::
 
; Ostatnią cyfrą liczby  <math>\displaystyle 3^{3^n} </math>  jest:
: 
 
:; zawsze  <math>\displaystyle 3 </math>
::
 
:; zawsze  <math>\displaystyle 3 </math>  lub  <math>\displaystyle 7 </math>
::
 
:; zawsze  <math>\displaystyle 7 </math>
::
 
:; jakakolwiek z cyfr  <math>\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 </math>
::
 
;  Jeśli  <math>\displaystyle Z \subseteq \mathbb{N} </math>  jest jakimś zbiorem liczb naturalnych,
który wraz z każdym początkowym fragmentem zbioru  <math>\displaystyle \mathbb{N} </math> 
postaci  <math>\displaystyle \left\lbrace 0,\ldots,k-1 \right\rbrace </math>  zawiera również kolejną liczbę  <math>\displaystyle k </math> , to wtedy
: 
 
:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne poza skończonym podzbiorem
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera wszystkie liczby naturalne
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych
::
 
:; zbiór  <math>\displaystyle Z </math>  jest pusty
:: 
 
; Grupa uczniów stojących przed klasą skłóciła się do tego stopnia,
że nikt z nikim się nie lubił.
Jeden z nich, aby naprawić relacje, wymyślił,
że jeżeli wszyscy znajdujący się wewnątrz klasy będą pogodzeni,
to nie powinno być problemu,
aby któryś stojący na zewnątrz klasy wszedł do środka i pogodził się ze wszystkimi,
będącymi w klasie.
Drugi z nich zauważył jednak,
że nic z tego nie wyjdzie, bo w środku nikogo nie ma.
Czy klasa jest w stanie się pogodzić?
: 
 
:; klasa na pewno się nie pogodzi
::
 
:; klasa się pogodzi, jeżeli każdy pójdzie za radą pierwszego ucznia
::
 
:; jeżeli w klasie byłaby już jedna osoba, to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić
::
 
:; jeżeli w klasie byłyby już co najmniej dwie osoby,
przy czym osoby w klasie byłyby ze sobą pogodzone,
to reszta klasy miałaby szansę się pogodzić
::
 
; Jeśli  <math>\displaystyle S\subseteq\mathbb{N} </math> , to:
:   
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element największy
::
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element najmniejszy
::
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element największy, o ile  <math>\displaystyle S </math>  jest niepusty
::
:; zbiór  <math>\displaystyle S </math>  ma element najmniejszy, o ile  <math>\displaystyle S </math>  jest niepusty
::

Aktualna wersja na dzień 20:09, 29 wrz 2006

5555555555555555555555555555555555555555 Logika



10101010101010101010101010101010101010101010101010 Logika

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Test_GR4&oldid=60021”