|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| ==Iloczyn kartezjański i podobne konstrukcje==
| |
|
| |
|
| {{zainteresowani|||
| |
|
| |
| W definicji 2.1 zaprezentowanej w rozdziale 2 (patrz '''<u>definicja 2.1.</u>''') jest pewna nieścisłość. Konstrukcja iloczynu
| |
| kartezjańskiego odwołuje się do aksjomatu wyróżniania w wersji nieuprawomocnionej.
| |
| Konstrukcja którą zobaczą państwo w tym rozdziale usuwa tą poprzednią niedogodność.
| |
|
| |
| '''Twierdzenie 5.1.'''
| |
|
| |
| Dla dowolnych dwóch zbiorów <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> istnieje zbiór <math>\displaystyle x\times y</math> zawierający
| |
| wszystkie pary postaci <math>\displaystyle (w,z)</math> gdzie <math>\displaystyle w\in x</math> i <math>\displaystyle z\in y</math>.
| |
|
| |
| '''Dowód'''
| |
|
| |
| Ustalmy dwa dowolne zbiory <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>. Jeśli <math>\displaystyle x=\emptyset</math> lub <math>\displaystyle y=\emptyset</math> to
| |
| <math>\displaystyle x\times y = \emptyset</math> istnieje na podstawie aksjomatu zbioru pustego. W przeciwnym
| |
| przypadku <math>\displaystyle x\cup y</math> jest zbiorem jednoelementowym <math>\displaystyle \{z\}</math> to <math>\displaystyle x\times
| |
| y=\{\{\{z\}\}\}</math> istnieje na podstawie aksjomatu pary. W dalszej częsci dowodu
| |
| zakładamy że zbiory <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są niepuste i że <math>\displaystyle x\cup y</math> ma więcej niż jeden element.
| |
| Na podstawie aksjomatu zbioru potęgowego, aksjomatu unii i aksjomatu wycinania
| |
| następujące zbiory istnieją:
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \aligned A &=\{z\in\mathcal{P}(x)\,|\, \exists w\; z =\{w\}\}, \\
| |
| B &=\{z\in\mathcal{P}(x\cup y)\,|\, \exists w \exists v\; (w \neq v \land z=\{v,w\})\},\\
| |
| C &=\{z\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(y))\,|\, \exists v\; z=\{\{v\}\}=(v,v)\}.
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| Nasze założenia gwarantują, że żaden z powyższych zbiorów nie jest pusty. Kontynuując
| |
| możemy stworzyć
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \aligned D_0 &=\{z\in\mathcal{P}(A\cup B)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land
| |
| z=\{\{w\},\{w,v\}\}=(w,v)\},
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| w którym to zbiorze mamy pewność, że <math>\displaystyle w</math> jest elementem <math>\displaystyle x</math>. Kontynuujemy definiując
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \aligned D_0' &=\{z\in\mathcal{P}(D_0\cup C)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land
| |
| z=\{(w,v),(v,v)\}\},
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| gdzie mamy pewność, że <math>\displaystyle w</math> jest elementem <math>\displaystyle x</math>, a <math>\displaystyle v</math> elementem <math>\displaystyle y</math>, oraz
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \aligned D_0'' &=\{z\in\mathcal{P}(D_0\cup C)\,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land
| |
| z=\{(w,v),(w,w )\}\},
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| gdzie mamy pewność, że <math>\displaystyle w\in A\cap B</math>. Kończąc
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \aligned x\times y &=\{z\in\bigcup D_0' \,|\, \exists w \exists v\; w\neq v \land
| |
| z=(w,v)\}\cup \{z\in\bigcup D_0'' \,|\, \exists w\; z=(w,w)\}.
| |
| \endaligned</math></center>
| |
|
| |
| '''Twierdzenie 5.2.'''
| |
|
| |
| Jeśli <math>\displaystyle x,y</math> i <math>\displaystyle z</math> są zbiorami i <math>\displaystyle z\subseteq x\times y</math> to zbiorem jest również ogół
| |
| <math>\displaystyle v</math> takich, że istnieje <math>\displaystyle w</math> spełniające <math>\displaystyle (v,w)\in z</math>. Zbiór takich <math>\displaystyle v</math> oznaczamy
| |
| przez <math>\displaystyle \pi_1(z)</math> i nazywamy projekcją na pierwszą współrzędną.
| |
|
| |
| '''Dowód'''
| |
|
| |
| Zbiór <math>\displaystyle \pi_1(z)</math> istnieje na podstawie aksjomatów ZF i jest równy:
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \pi_1(z) = \bigcup\{w\in\bigcup z\,|\, \exists u\; w=\{u\}\}.
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| W tej chwili jesteśmy gotowi dowieść własność zapowiedzianą w <u>'''Wykład. AKS</u>''' Dla
| |
| dowolnej formuły <math>\displaystyle \varphi'</math> nie posiadającej zmiennych wolnych innych niż <math>\displaystyle z'</math> i
| |
| <math>\displaystyle x_1'</math> następująca formuła jest prawdą
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \forall x_1' \forall x' \exists y' \forall z'\; z'\in y' \iff (z'\in x' \land
| |
| \varphi').
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| Aby dowieść tą własność ustalmy dowolną formułę <math>\displaystyle \varphi'</math> i dowolny zbiór <math>\displaystyle x_1'</math>.
| |
| Stosujemy aksjomat wyróżniania do <math>\displaystyle x=x\times \{x_1'\}</math> (który istnieje na mocy
| |
| Twierdzenia 5.1 (patrz '''<u>twierdzenie 5.1.</u>''') i do formuły
| |
|
| |
| <center><math>\displaystyle \exists z' \exists x_1'\; z=(z',x_1')\land\varphi'
| |
| </math></center>
| |
|
| |
| otrzymując zbiór <math>\displaystyle y</math>. Wymagany zbiór <math>\displaystyle y'</math> istnieje na mocy
| |
| Twierdzenia 5.2 (patrz '''<u>twierdzenie 5.2.</u>''') i jest równy <math>\displaystyle \pi_1(y)</math>.
| |
|
| |
| Przykładem zastosowania powyższego twierdzenia może być otrzymanie drugiej projekcji
| |
| z iloczynu kartezjańskiego. Aby otrzymać <math>\displaystyle \pi_2(z)</math> stosujemy powyższe twierdzenie do
| |
| <math>\displaystyle x_1'=z</math>, <math>\displaystyle x=\bigcup\bigcup{z}</math> i wyrażenia <math>\displaystyle \varphi'</math> mówiącego <math>\displaystyle \exists w\;
| |
| (w,z')\in x_1'</math>.
| |
|
| |
| }}
| |
