GW: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Gracja (dyskusja | edycje)
4759 edycji
Gracja (dyskusja | edycje)
4759 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 20 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
==Ciągi w przestrzeniach metrycznych==
<img src="http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg" alt="nazwa alternatywna">
[[grafika:Banach.jpg|thumb|right||Stefan Banach (1892-1945) <br>[[Biografia Banacha|Zobacz biografię]]]]
W wykładzie tym wprowadzamy pojęcie ciągu
w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Definiujemy granicę ciągu w przestrzeni metrycznej i
przedstawiamy jej własności.
Wprowadzamy pojęcie ciągu Cauchy'ego i zupełności.
Dowodzimy twierdzenie Banacha o
punkcie stałym i twierdzenie Cantora dla przestrzeni zupełnych.
Wprowadzamy pojęcie ciągowej zwartości
i charakteryzujemy zbiory zwarte w przestrzeni euklidesowej.
Jako materiał nadobowiązkowy
omawiamy ciągłość funkcji między przestrzeniami metrycznymi.
Dowodzimy pewnego warunku równoważnego ciągłości funkcji oraz
tak zwaną własność Darboux.
Wprowadzamy pojęcie jednostajną ciągłość funkcji.


==Ciąg i granica==
<a href="http://osilek.mimuw.edu.pl">http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg</a>


Wyobraźmy sobie dwóch ludzi na kuli ziemskiej: jednego człowieka
http://osilek.mimuw.edu.pl/images/d/d8/Wykres.gif
na biegunie północnym, a drugiego na biegunie południowym.
Jaka jest ich odległość?
Jeśli potraktujemy tych ludzi jako dwa punkty przestrzeni
<math>\displaystyle \mathbb{R}^3</math>,
to ich odległość będzie równa średnicy Ziemi
(czyli około <math>\displaystyle 12\,732</math> kilometry).
Ale każdy odpowie, że odległość tych
ludzi równa jest połowie obwodu Ziemi
(czyli około <math>\displaystyle 20\,000</math> kilometrów).
Odległość jaką w tej chwili podajemy nie jest zatem odległością
w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>, lecz w zupełnie innej przestrzeni jaką jest
powierzchnia kuli.
Tak więc na co dzień spotykamy się także z przestrzeniami
metrycznymi innymi niż <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
 
{{definicja|2.1. [ciąg]||
 
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie dowolnym zbiorem.
'''''Ciągiem''''' o wyrazach w zbiorze <math>\displaystyle X</math> nazywamy dowolną
funkcję
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon \mathbb{N}\longrightarrow X.</math><br>
Ciąg ten oznaczamy
 
<center><math>\displaystyle \{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq X,\quad
\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq X,\quad
\{x_n\}\subseteq X,\quad\quad</math>&nbsp; lub &nbsp;<math>\displaystyle \quad x_1,x_2,\ldots,
</math></center><br>
 
<center>gdzie <math>\quad\displaystyle f(n)
\ =\
x_n
\qquad\forall\  n\in\mathbb{N}.
</math></center>}}
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R01.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R01</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R02.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R02</div></div>
</div>
|}
 
{{definicja|2.2. [granica ciągu]||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną,
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> ciągiem oraz <math>\displaystyle g\in X.</math><br>
Mówimy, że <math>\displaystyle g</math> jest
'''''granicą ciągu'''''
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> w metryce <math>\displaystyle d,</math> jeśli
 
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
d(x_n,g)<\varepsilon
</math></center>
 
i piszemy
 
<center><math>\displaystyle
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g,\quad
x_n\xrightarrow[n\rightarrow+\infty]{}g,\quad
x_n\longrightarrow g
\quad </math> lub <math>\displaystyle  \quad
x_n\xrightarrow{d} g.
</math></center>
 
Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest '''''zbieżny''''', jeśli
 
<center><math>\displaystyle \exists g\in X:\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.
</math></center>}}
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R03.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R03</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R04.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R04</div></div>
</div>
|}
 
{{uwaga|2.3.||
 
Warunek
 
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
d(x_n,g)<\varepsilon
</math></center>
 
w powyższej definicji jest
równoważny warunkowi
 
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
x_n\in K(g,\varepsilon).
</math></center>
 
Wynika to wprost z definicji kuli, gdyż
 
<center><math>\displaystyle d(x_n,g)<\varepsilon
\ \Longleftrightarrow\
x_n\in K(g,\varepsilon).
</math></center>
 
}}
 
{{definicja|2.4. [ciąg ograniczony]||
 
Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> nazywamy
'''''ograniczonym''''', jeśli
 
<center><math>\displaystyle \exists x\in X\ \exists r>0\ \forall n\in\mathbb{N}:\
d(x,x_n)<r.
</math></center>
 
Innymi słowy, ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest ograniczony,
jeśli zbiór jego wartości
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{x_n:\ n\in\mathbb{N}\big\}</math> jest ograniczony w <math>\displaystyle X.</math>
}}
 
{{przyklad|2.5.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną
dyskretną oraz <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> dowolnym ciągiem.
Wówczas ciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest zbieżny
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest stały od pewnego miejsca.<br>
<br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
Ta implikacja jest oczywista.<br>
<br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
Załóżmy, że <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x.</math> Należy pokazać, że ciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest stały od pewnego miejsca.
Ustalmy <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon=\frac{1}{2}.</math>
Z definicji granicy wiemy, że
 
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
d(x_n,x)
\ <\
\frac{1}{2}.
</math></center>
 
Ale metryka dyskretna przyjmuje tylko wartości <math>\displaystyle 0</math> lub <math>\displaystyle 1.</math>
Zatem warunek <math>\displaystyle d(x_n,x)<\frac{1}{2}</math> oznacza, że
<math>\displaystyle d(x_n,x)=0,</math> czyli
<math>\displaystyle x_n=x.</math>
Pokazaliśmy zatem, że
 
<center><math>\displaystyle \forall n\ge N:\ x_n=x,
</math></center>
 
to znaczy ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest stały
od pewnego miejsca.
}}
 
Podobnie jak w przypadku ciągów w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> zachodzą następujące
twierdzenia:
 
<span id="tw_2_6">{{twierdzenie|2.6.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie dowolną przestrzenią metryczną.
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> będzie ciągiem
oraz <math>\displaystyle g\in X.</math> Wówczas:<br>
'''(1)'''
<math>\displaystyle x_n\xrightarrow{d} g</math> wtedy i tylko, wtedy, gdy
<math>\displaystyle d(x_n,g)\xrightarrow{\mathbb{R}} 0</math>;<br>
'''(2)'''
Istnieje co najwyżej jedna granica ciągu <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\},</math>
to znaczy
 
<center><math>\displaystyle \bigg[
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_1\in X
\quad </math> i <math>\displaystyle  \quad
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n = g_2\in X
\bigg]
\ \Longrightarrow\
g_1=g_2.
</math></center>
 
'''(3)'''
Jeśli ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest zbieżny, to jest
ograniczony.<br>
'''(4)'''
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g</math> oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest dowolnym podciągiem ciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\},</math> to
 
<center><math>\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}
\ =\
g.
</math></center>
 
'''(5)'''
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest ciągiem zbieżnym oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> jest jego dowolnym podciągiem takim,
że
<math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=g,</math>
to także <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math><br>
'''(6)'''
Jeśli dla dowolnego podciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_k}\big\}</math> ciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> istnieje jego dalszy podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{x_{n_{k_l}}\big\}</math> taki, że
<math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{l\rightarrow +\infty} x_{n_{k_l}}=g,</math>
to <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g.</math>
}}</span>
 
==Zupełność==
[[grafika:Cauchy.jpg|thumb|right||Augustin Louis Cauchy (1789-1857)<br>[[Biografia Cauchy|Zobacz biografię]]]]
Przypomnijmy teraz znane już
z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]] pojęcie ciągu Cauchy'ego.
 
{{definicja|2.7. [warunek Cauchy'ego dla ciągu]||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną oraz
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> ciągiem.<br>
Mówimy, że ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> spełnia
'''''warunek Cauchy'ego'''''
lub jest '''''ciągiem Cauchy'ego''''', jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\
\exists N\in\mathbb{N}
\ \forall n,m\ge N:\
d(x_n,x_m)<\varepsilon.
</math>
</center>
 
}}
 
Warunek Cauchy'ego dla ciągu <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> oznacza, że dla dowolnie
wybranej liczby
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0,</math> począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu
są bliższe niż <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon.</math>
 
Na wykładzie z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]] dowiedzieliśmy się, że
ciągi zbieżne w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> to są dokładnie ciągi Cauchy'ego.
W dowolnej przestrzeni metrycznej zachodzi wynikanie tylko w
jedną stronę.
 
{{twierdzenie|2.8. [Zbieżność ciągu a warunek Cauchy'ego]||
Niech
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną
oraz niech <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> będzie dowolnym ciągiem.<br>
Jeśli ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> jest zbieżny w <math>\displaystyle X,</math>
to spełnia on warunek Cauchy'ego.
}}
 
{{dowod|2.8.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> będzie ciągiem zbieżnym w <math>\displaystyle X,</math> to znaczy
<math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=g\in X.</math>
Aby pokazać warunek Cauchy'ego ustalmy dowolne <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math>
Z definicji granicy wynika, że
 
<center>
<math>\displaystyle \exists N\in \mathbb{N}\ \forall n\ge N:
d(x_n,g)<\frac{\varepsilon}{2}.
</math>
</center>
 
Zatem dla dowolnych <math>\displaystyle n,m\ge N</math> mamy
 
<center>
<math>\displaystyle d(x_n,x_m)
\ \le\
d(x_n,g)+d(g,x_m)
\ =\
d(x_n,g)+d(x_m,g)
\ <\
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
\ =\
\varepsilon,
</math>
</center>
 
co kończy dowód.
}}
 
{{uwaga|2.9.||
 
Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe.
Było to pokazane na wykładzie z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]]
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#uw_3_31|Analiza matematyczna 1 uwaga 3.31.]]
oraz [[#prz_2_11|przykład 2.11.]] poniżej).
}}
 
{{definicja|2.10. [przestrzeń zupełna]||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną.
Mówimy, że przestrzeń <math>\displaystyle X</math> jest
'''''zupełna''''', jeśli dowolny ciąg spełniający
warunek Cauchy'ego w <math>\displaystyle X</math> jest zbieżny w <math>\displaystyle X.</math>
}}
 
<span id="prz_2_11">{{przyklad|2.11.||
 
Przestrzenie
<math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle ([0,1],d_2)</math>
są zupełne (wiemy to z wykładu [[Analiza matematyczna 1|Analiza matematyczna 1]]).
 
Przestrzenie
<math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{Q},d_2)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2)</math>
nie są zupełne.
Aby pokazać, że
przestrzeń <math>\displaystyle \displaystyle ((0,1),d_2)</math> nie jest zupełna,
weźmy ciąg
<math>\displaystyle \displaystyle \bigg\{\frac{1}{n}\bigg\}.</math>
Łatwo sprawdzić, że
jest on ciągiem Cauchy'ego, ale nie ma granicy
w <math>\displaystyle \displaystyle (0,1).</math>
}}</span>
 
Ważnym twierdzeniem zachodzącym w przestrzeniach zupełnych jest
następujące twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
Mówi ono iż każde odwzorowanie zwężające
(to znaczy "zmniejszające odległości" miedzy punktami;
patrz definicja 2.12.)
prowadzące z przestrzeni zupełnej w siebie
posiada punkt stały.
Oznacza to, że istnieje element
<math>\displaystyle x\in X</math> o tej własności, że
<math>\displaystyle f(x)=x.</math>
Z zastosowaniem tego twierdzenia spotkamy się przy
okazji równań różniczkowych.
Twierdzenie to zajmuje ważne miejsce w matematyce i
zostało udowodnione przez wielkiego polskiego matematyka
Stefana Banacha.
 
{{definicja|2.12. [odwzorowanie zwężające]||
 
Niech
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że odwzorowanie
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X</math> jest
'''''zwężające''''', jeśli
 
<center><math>\displaystyle \exists \lambda\in [0,1)
\ \forall x,y\in X:\
d(f(x),f(y))
\ \le\
\lambda\ d(x,y).
</math></center>
 
}}
 
{{przyklad|2.13.||
 
Dla <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2),</math>
odwzorowaniem zwężającym
jest na przykład
<math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x,</math>
a odwzorowania
<math>\displaystyle f(x)=x,\displaystyle f(x)=x+2,\displaystyle f(x)=x^2</math> nie są zwężające.
}}
 
{{definicja|2.14. [punkt stały]||
 
Niech
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną.
Mówimy, że <math>\displaystyle x_0\in X</math> jest
'''''punktem stałym''''' odwzorowania
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X,</math> jeśli
<math>\displaystyle f(x_0)=x_0.</math>
}}
 
{{przyklad|2.15.||
 
Dla <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2),</math>
punktem stałym odwzorowania
<math>\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x</math> jest <math>\displaystyle 0,</math>
punktami stałymi odwzorowania
<math>\displaystyle f(x)=x</math> są wszystkie punkty <math>\displaystyle x\in\mathbb{R}</math>;
odwzorowanie <math>\displaystyle f(x)=x+2</math> nie ma punktów stałych;
punktami stałymi odwzorowania
<math>\displaystyle f(x)=x^2</math> są <math>\displaystyle 0</math> i <math>\displaystyle 1.</math>
}}
 
{{twierdzenie|2.16. [Twierdzenie Banacha o punkcie stałym]||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną zupełną,
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow X</math> jest
odwzorowaniem zwężającym,
to
<math>\displaystyle f</math> ma dokładnie jeden punkt stały, to znaczy
 
<center>
<math>\displaystyle \exists!\ x^*\in X:\
f(x^*)=x^*.
</math>
</center>
 
}}
 
<div class="thumb tleft"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R05.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R05</div></div>
</div>
 
{{dowod|2.16. [nadobowiązkowy]||
Ustalmy dowolny <math>\displaystyle x_0\in X.</math> Zdefiniujmy rekurencyjnie ciąg:
 
<center>
<math>\displaystyle x_n
\ \ \stackrel{df}{=}\ \
f(x_{n-1})
\quad </math> dla <math>\displaystyle  \ n\in\mathbb{N}.
</math>
</center>
 
Jeżeli <math>\displaystyle d(x_0,x_1)=0,</math> to
<math>\displaystyle f(x_0)=x_1=x_0,</math> a zatem <math>\displaystyle x_0</math> jest szukanym punktem stałym.<br>
Możemy więc w dalszej części założyć, że
<math>\displaystyle d(x_0,x_1)>0.</math><br>
Pokażemy, że zdefiniowany powyżej ciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego,
a zatem jest zbieżny
(gdyż przestrzeń jest zupełna).<br>
W tym celu ustalmy
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1),</math>
więc ciąg geometryczny
<math>\displaystyle \displaystyle\{\lambda^n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq \mathbb{R}</math> jest zbieżny do
zera (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#przyklad_3_22|Analiza matematyczna 1 przykład 03.22.]]).
Z definicji granicy wynika, że
 
<center>
<math>\displaystyle \exists N_0\in\mathbb{N}:\ \ \lambda^{N_0}<\frac{\varepsilon(1-\lambda)}{d(x_0,x_1)}.
</math>
</center>
 
Niech teraz <math>\displaystyle n,m\ge N_0.</math>
Dla ustalenia uwagi załóżmy, że
<math>\displaystyle m>n</math> (rozumowanie dla <math>\displaystyle n>m</math> jest analogiczne).
Mamy
 
<center>
<math>\displaystyle d(x_n,x_{n+1})
\ =\
d(f(x_{n-1}),f(x_n))
\ \le\
\lambda d(x_{n-1},x_n).
</math>
</center>
 
Zatem (dowodząc indukcyjnie) dostajemy
 
<center>
<math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\
d(x_n,x_{x_{n+1}})
\ \le\
\lambda^n d(x_0,x_1)
</math>
</center>
 
Korzystając z nierówności trójkąta oraz faktu powyżej,
dostajemy
 
<center>
<math>\displaystyle \aligned d(x_n,x_m)
& \le &
d(x_n,x_{n+1})
+d(x_{n+1},x_{n+2})
+\ldots+
d(x_{m-1},x_m)
\ \le\
(\lambda^n+\lambda^{n+1}+\ldots+\lambda^{m-1})d(x_0,x_n)\\
&=
\lambda^n(1+\lambda+\ldots+\lambda^{m-n-1})d(x_0,x_1).
\endaligned</math>
</center>
 
Wykorzystując wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego (patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 1: Zbiory liczbowe#wn_1_11|Analiza matematyczna 1 wnoisek 1.11]]),
mamy
 
<center><math>\displaystyle d(x_n,x_m)
\ \le\
\lambda^n\frac{1-\lambda^{m-n}}{1-\lambda}d(x_0,x_1)
\ <\
\frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1)
</math></center>
 
Z powyższej nierówności oraz definicji <math>\displaystyle N_0,</math> mamy
 
<center><math>\displaystyle d(x_n,x_m)
\ <\
\frac{\lambda^n}{1-\lambda}d(x_0,x_1)
\ <\
\varepsilon.
</math></center>
 
Pokazaliśmy zatem, że ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego,
a więc jest zbieżny
(bo <math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią zupełną), to znaczy
 
<center><math>\displaystyle \exists x^*\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x^*.
</math></center>
 
Pokażemy, że element <math>\displaystyle x^*</math> jest punktem stałym odwzorowania <math>\displaystyle f.</math>
W tym celu ustalmy <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0.</math>
Korzystając z definicji granicy ciągu mamy
 
<center><math>\displaystyle \exists N\in\mathbb{N}\ \forall n\ge N:\
d(x^*,x_n)<\frac{\varepsilon}{2}.
</math></center>
 
Zatem z nierówności trójkąta oraz wyboru <math>\displaystyle N,</math>
dla <math>\displaystyle n\ge N,</math> mamy
 
<center><math>\begin{array}{lll}\displaystyle 0
\ \le\
d(f(x^*),x^*)
&\le& d(f(x^*),f(x_n))+d(f(x_n),x^*)
\ \le\
\lambda f(x^*,x_n)+d(x_{n+1},x^*)\\
&<&
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
\ =\
\varepsilon.\end{array}
</math></center>
 
Ponieważ nierówność <math>\displaystyle d(f(x^*),x^*)<\varepsilon</math> zachodzi dla dowolnego
<math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0,</math> zatem <math>\displaystyle d(f(x^*),x^*)=0,</math> a to oznacza
(z definicji metryki),
że <math>\displaystyle f(x^*)=x^*.</math>
 
Na koniec pokażemy, że znaleziony punkt <math>\displaystyle x^*</math> jest jedynym punktem
stałym odwzorowania <math>\displaystyle f.</math>
Załóżmy, że pewien element <math>\displaystyle x\in X</math> jest  punktem stałym
dla <math>\displaystyle f,</math> to znaczy <math>\displaystyle f(x)=x.</math>
Wówczas:
 
<center><math>\displaystyle d(x^*,x)
\ =\
d(f(x^*),f(x))
\ \le\
\lambda d(x^*,x),
</math></center>
 
zatem
 
<center><math>\displaystyle (1-\lambda)d(x^*,x)
\ \le\
0.
</math></center>
 
Ponieważ <math>\displaystyle \displaystyle\lambda\in(0,1),</math> więc
<math>\displaystyle d(x^*,x)=0,</math> a stąd <math>\displaystyle x=x^*.</math>
Pokazaliśmy więc, że
<math>\displaystyle x^*</math> jest jedynym punktem stałym.
}}
 
Ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> skonstruowany w powyższym dowodzie nosi nazwę
'''''ciągu kolejnych przybliżeń'''''.
 
Będziemy chcieli scharakteryzować zbiory zwarte w dowolnej
przestrzeni metrycznej.
Rozważmy następujący przykład.
 
{{przyklad|2.17.||
 
Rozważmy przedział <math>\displaystyle \displaystyle (0,1)</math> z metryką
euklidesową <math>\displaystyle d_2.</math>
Zauważmy, że w tym przedziale
przedziały <math>\displaystyle \displaystyle (0,a]</math> gdzie <math>\displaystyle a\in (0,1)</math>
są zbiorami domkniętymi
(bo ich uzupełnienia <math>\displaystyle \displaystyle (a,1)</math>
są otwarte).
Weźmy ciąg przedziałów
<math>\displaystyle \displaystyle F_n=\bigg(0,\frac{1}{n}\bigg].</math>
Oczywiści
<math>\displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq \ldots.</math>
Widać, że część wspólna wszystkich tych zbiorów jest
zbiorem pustym.
Jeśli natomiast zamiast przedziału
<math>\displaystyle \displaystyle (0,1)</math> weźmiemy przedział <math>\displaystyle \displaystyle [0,1]</math> z metryką
euklidesową <math>\displaystyle d_2</math>
i zdefiniujemy zbiory domknięte
<math>\displaystyle \displaystyle F_n=\bigg[0,\frac{1}{n}\bigg],</math> to także
<math>\displaystyle \displaystyle F_1\supseteq F_\supseteq \ldots</math> oraz
część wspólna wszystkich tych zbiorów jest
zbiorem jednopunktowym <math>\displaystyle \displaystyle\{0\}.</math>
Ten przykład jest ilustracją do poniższego twierdzenia Cantora.
}}
[[grafika:Cantor.jpg|thumb|right||Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) <br>[[Biografia Cantor|Zobacz biografię]]]]
<div class="thumb tleft"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R06.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R06</div></div>
</div>
{{twierdzenie|2.18. [Twierdzenie Cantora; Warunek równoważny zupełności przestrzeni]||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
to
<math>\displaystyle X</math> jest zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
zstępujący ciąg zbiorów domkniętych,
niepustych, o średnicach malejących do zera, ma
przecięcie niepuste.
}}
 
Przedstawiamy jedynie szkic dowodu twierdzenia Cantora.
Piszemy "dlaczego?" zaznaczając fakty wymagające
dokładniejszego uzasadnienia.
 
{{dowod|2.18. [nadobowiązkowy]||
[Szkic]
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{F_n\}</math> będzie zstępującym ciągiem zbiorów niepustych i
domkniętych o średnicach zmierzających do zera, to znaczy
 
<center>
<math>\displaystyle F_1\supseteq F_2\supseteq\ldots
</math>
</center>
 
gdzie
 
<center>
<math>\displaystyle \mathrm{diam}\, (F_n)\searrow 0.
</math>
</center>
 
Dla każdego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> wybierzmy jeden dowolny element
<math>\displaystyle x_n\in F_n.</math>
Powstały w ten sposób ciąg spełnia warunek
Cauchy'ego (dlaczego?).
Ponieważ przestrzeń jest zupełna, więc
 
<center>
<math>\displaystyle \exists x\in X:\ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x.
</math>
</center>
 
Wówczas <math>\displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n</math>
(dlaczego?), a zatem
<math>\displaystyle \displaystyle\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n\ne\emptyset.</math><br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
Aby pokazać zupełność przestrzeni <math>\displaystyle X</math> weźmy dowolny ciąg
spełniający warunek Cauchy'ego
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X.</math>
Dla każdego <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}</math> definiujemy
 
<center>
<math>\displaystyle F_n
\ =\
\overline{\{x_n,x_{n+1},\ldots\}}
</math>
</center>
 
(to znaczy <math>\displaystyle F_n</math> jest domknięciem zbioru wartości ciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_k\}_{k=n}^{\infty}</math>).
Wówczas <math>\displaystyle \displaystyle\{F_n\}</math> jest zstępującym ciągiem zbiorów niepustych,
domkniętych o średnicach zmierzających do zera (dlaczego?).
Zatem z założenia
istnieje <math>\displaystyle x\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}}F_n.</math>
Wówczas <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x</math> (dlaczego?).
}}
 
Kolejne twierdzenie podaje związki między zbieżnością ciągu
(odpowiednio warunkiem Cauchy'ego dla ciągu) w
iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych, a zbieżnością ciągów
(odpowiednio warunkiem Cauchy'ego) na
poszczególnych współrzędnych.
Dowód pozostawiamy na ćwiczenia
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Ćwiczenia 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych#cw_2_3|ćwiczenie 2.3.]]).
 
<span id="tw_2_19">{{twierdzenie|2.19. [Granica ciągu w iloczynie kartezjańskim]||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)</math> są przestrzeniami metrycznymi dla <math>\displaystyle i=1,\ldots k,\displaystyle X=X_1\times\ldots\times X_k,\displaystyle \displaystyle\{a_n\}\subseteq X</math> jest ciągiem w <math>\displaystyle X,</math> w
szczególności
<math>\displaystyle a_n=(a_n^1,\ldots,a_n^k)</math> dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N},</math>
oraz <math>\displaystyle a=(a^1,\ldots,a^k)\in X,</math>
to<br>
'''(1)'''
<math>\displaystyle  \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n=a</math>
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} a_n^i= a^i</math>
dla <math>\displaystyle i=1,\ldots,k.</math><br>
'''(2)''' ciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{a_n\}</math> spełnia warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy
ciągi <math>\displaystyle \displaystyle\{a^i_n\}</math> spełniają warunek Cauchy'ego dla <math>\displaystyle i=1,\ldots,k.</math>
}}
 
{ [[Rysunek AM2.M02.W.R07 (nowy)]]}
 
Prostą konsekwencją powyższego twierdzenia są
następujące wnioski mówiące, że zupełność zachowuje się przy
braniu iloczynu kartezjańskiego przestrzeni metrycznych
(dowód pomijamy).
 
{{wniosek|2.20.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)</math>
są przestrzeniami metrycznymi zupełnymi
dla <math>\displaystyle i=1,\ldots, k,</math>
to
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k</math>
jest przestrzenią metryczną zupełną.
}}
 
{{wniosek|2.21.||
 
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{C}^N</math> są przestrzeniami metrycznymi
zupełnymi.
}}
 
==Ciągowa zwartość==
 
Pojęcie ciągowej zwartości było wprowadzone na wykładzie z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]]. Zbiory ciągowo zwarte nazwaliśmy wtedy
zwartymi, korzystając z faktu, że w przypadku <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> oba
te pojęcia są równoważne (patrz twierdzenie 2.23.).
 
{{definicja|2.22.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną oraz
<math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
Mówimy, że <math>\displaystyle A</math> jest zbiorem
'''''ciągowo zwartym''''', jeśli z każdego ciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq A</math> można wybrać podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_{n_k}\}</math> zbieżny w <math>\displaystyle A.</math>
}}
 
Okazuje się, że zwartość jest równoważna ciągowej zwartości w
przestrzeniach metrycznych.
Mówi o tym kolejne twierdzenie.
Podamy dowód tylko jednej z implikacji w poniższym twierdzeniu,
mianowicie, że zwartość pociąga za sobą ciągową zwartość.
Dowód przeciwnej (bardziej interesującej) implikacji
wykracza poza program tego kursu.
Przestrzeń metryczną, która jest zbiorem zwartym będziemy
nazywać przestrzenią zwartą.
 
<span id="tw_2_23">{{twierdzenie|2.23.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią metryczną
to
<math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią zwartą
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią ciągowo zwartą.
}}<span>
 
{{dowod|2.23. [nadobowiązkowy]||
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>"
Załóżmy, że przestrzeń <math>\displaystyle X</math> jest zwarta.
Aby pokazać ciągową zwartość przypuśćmy, że
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X</math> jest dowolnym ciągiem przestrzeni <math>\displaystyle X.</math>
Dla dowolnej liczby <math>\displaystyle n\in\mathbb{N},</math> definiujemy zbiory
 
<center><math>\displaystyle A_n
\ \stackrel{df}{=}\
\overline{\{x_{n+1},x_{n+2},\ldots\}},
\qquad
V_n
\ \stackrel{df}{=}\
X\setminus A_n.
</math></center>
 
Zbiory <math>\displaystyle V_n</math> są otwarte (jako uzupełnienie zbiorów domkniętych)
oraz
 
<center><math>\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}:\
V_n
\ \subseteq\
V_{n+1}
</math></center>
 
Pokażemy, że
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n\ne X.</math>
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n=X,</math> czyli
<math>\displaystyle \displaystyle\{V_n\}_{n\in \mathbb{N}}</math> jest pokryciem otwartym <math>\displaystyle X.</math>
Ponieważ z założenia <math>\displaystyle X</math> jest przestrzenią zwartą,
więc z pokrycia tego można wybrać podpokrycie skończone, to znaczy
 
<center><math>\displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\
\bigcup_{n=1}^{k}V_n= X.
</math></center>
 
Ale ciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{V_n\}</math> był wstępujący, zatem
<math>\displaystyle \displaystyle V_k=\bigcup_{n=1}^{k}V_n= X,</math>
czyli
<math>\displaystyle A_k=X\setminus V_k=\emptyset,</math> sprzeczność.<br>
Pokazaliśmy zatem, że
 
<center><math>\displaystyle X
\ \ne\
\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}V_n
\ =\
X\setminus \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n.
</math></center>
 
To oznacza, że
 
<center><math>\displaystyle \exists x\in\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n,
</math></center>
 
czyli
 
<center><math>\displaystyle \exists x\ \forall n\in\mathbb{N}:\
x\in A_n.
</math></center>
 
Konstruujemy podciąg <math>\displaystyle \displaystyle\{x_{n_k}\}</math>
ciągu <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math> w następujący sposób.
Ponieważ <math>\displaystyle x\in A_1,</math> więc (z definicji domknięcia zbioru)
istnieje <math>\displaystyle n_1\in\mathbb{N}</math> takie, że
<math>\displaystyle d(x,x_{n_1})<1.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle x\in A_{n_1},</math> zatem istnieje <math>\displaystyle n_2>n_1</math> takie, że
<math>\displaystyle \displaystyle d(x,x_{n_2})<\frac{1}{2}.</math>
Postępując w ten sposób skonstruowaliśmy podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_{n_k}\}</math>
ciągu <math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}</math>
o tej własności, że
 
<center><math>\displaystyle \forall k\in\mathbb{N}:\
d(x_{n_k},x)<\frac{1}{k}.
</math></center>
 
Zatem <math>\displaystyle \displaystyle\lim\limits_{k\rightarrow +\infty} x_{n_k}=x</math>
(patrz [[#tw_2_6|twierdzenie 2.6.]]).<br>
<br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>" Pomijamy dowód tej implikacji.
}}
 
<span id="tw_2_24">{{twierdzenie|2.24.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle X_1,\ldots,X_k</math> są przestrzeniami metrycznymi zwartymi,
to
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k</math>
(z metryką standardową) jest przestrzenią metryczną zwartą.
}}</span>
 
{{dowod|2.24. [nadobowiązkowy]||
Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ilość przestrzeni
<math>\displaystyle k.</math>
Dla <math>\displaystyle k=1</math> twierdzenie jest prawdziwe.<br>
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej ilości <math>\displaystyle k</math>
przestrzeni metrycznych.
Pokażemy jego prawdziwość dla liczby następnej, <math>\displaystyle k+1</math> przestrzeni
metrycznych.
Zakładamy, że przestrzenie metryczne <math>\displaystyle X_1,\ldots,X_k,X_{k+1}</math> są
zwarte. Aby pokazać zwartość iloczynu kartezjańskiego
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1},</math>
wystarczy pokazać ciągową zwartość tego iloczynu kartezjańskiego
(porównaj [[#tw_2_23|twierdzenie 2.23.]]).
W tym celu niech
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1}</math>
będzie dowolnym ciągiem, gdzie
<math>\displaystyle x_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k,x_n^{k+1})</math> dla <math>\displaystyle n\in\mathbb{N}.</math>
Z założenia indukcyjnego wiemy, że iloczyn kartezjański
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k</math> jest zwarty, a zatem także
ciągowo zwarty.
Zatem z ciągu <math>\displaystyle \displaystyle\{y_n\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k,</math>
gdzie <math>\displaystyle y_n=(x_n^1,\ldots,x_n^k)</math> można wybrać podciąg zbieżny
<math>\displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\}.</math>
Ponieważ przestrzeń <math>\displaystyle X_{k+1}</math> jest zwarta, więc
z ciągu
<math>\displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_l}\}</math> można wybrać podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x^{k+1}_{n_{l_m}}\}</math> zbieżny w <math>\displaystyle X_{k+1}.</math>
Oczywiście podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{y_{n_{l_m}}\}\subseteq X_1\times\ldots\times X_k</math> jest
zbieżny
w <math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k</math>
(jako podciąg ciągu zbieżnego <math>\displaystyle \displaystyle\{y_{n_l}\}</math>).
Zatem podciąg
<math>\displaystyle \displaystyle\{x_{n_{l_m}}\}</math> jest zbieżny w
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k\times X_{k+1}</math>
(patrz [[#tw_2_19|twierdzenie 2.19.]]).
}}
 
<span id="wn_2_25">{{wniosek|2.25.||
 
Kostka
<math>\displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N</math>
jest zwarta w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
}}</span>
 
{{dowod|2.25.||
 
Twierdzenie jest natychmiastową konsekwencją
tego, że przedział domknięty i ograniczony w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> jest zbiorem
zwartym
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_21|twierdzenie 1.21.]]) oraz
powyższego [[#tw_2_24|twierdzenie 2.24.]]
}}
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M02.W.R08.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R08</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M02.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R09</div>
</div></div>
|}
[[grafika:Borel.jpg|thumb|right||Félix Édouard Justin Émile Borel (1871-1956)<br>[[Biografia Borel|Zobacz biografię]]]]
Kolejny wniosek podaje pełną charakteryzację zbiorów zwartych w przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br><br><br>
<span id="wn_2_26">{{wniosek|2.26. [Heinego-Borela]||
Jeśli <math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N,</math>
to
zbiór <math>\displaystyle A</math> jest zwarty
wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.<br>}}</span>
{{dowod|2.26.||
 
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>"<br>
Implikacja ta jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej,
co było udowodnione na poprzednim wykładzie
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_19|twierdzenie 1.19.]] i [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne|uwaga 1.20.]]
<br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>"<br>
Jeśli zbiór <math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}^N</math> jest ograniczony to możemy go zawrzeć w pewnej
kostce <math>\displaystyle \displaystyle [a_1,b_1]\times\ldots[a_N,b_N]\subseteq\mathbb{R}^N</math>
(dlaczego?).
Jeśli ponadto jest domknięty to ze zwartości kostki
(patrz [[#wn_2_25|wiosek 2.25.]])
wynika jego zwartość,
bo podzbiór domknięty jest zbiorem zwartym
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_19|twierdzenie 1.19.]] (4)).
}}
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R10.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R10</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M02.W.R11.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R11</div></div>
</div>
|}
Zachodzi następujący związek między przestrzeniami zwartymi a zupełnymi
(dowód wymagający pojęcia <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon</math>-sieci zostaje pominięty).
 
{{twierdzenie|2.27.||
 
Przestrzeń metryczna metryczna zwarta jest zupełna.
}}
 
{{dowod|2.27. [nadobowiązkowy]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną zwartą.
Należy pokazać, że przestrzeń metryczna <math>\displaystyle X</math> jest zupełna.
W tym celu weźmy dowolny ciąg
<math>\displaystyle \{x_n\}</math> spełniający warunek Cauchy'ego.
Z [[#tw_2_23|twierdzenia 2.23.]] wiemy, że przestrzeń <math>\displaystyle X</math> jest ciągowo zwarta, zatem
z ciągu <math>\displaystyle \{x_n\}</math> możemy wybrać podciąg
<math>\displaystyle \{x_{n_k}\}</math> zbieżny w <math>\displaystyle X</math>,
to znaczy
 
<center><math>\displaystyle \exists x_0\in X:\
\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_{n_k}
\ =\
x_0.
</math></center>
 
Wykażemy, że
<math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0</math>.
Ustalmy dowolne <math>\displaystyle \varepsilon>0</math>.
Z definicji granicy wiemy, że
istnieje <math>\displaystyle k_0\in\mathbb{N}</math> takie, że
 
<center><math>\displaystyle \forall k\ge k_0:
d(x_{n_k},x_0)
\ <\
\frac{\varepsilon}{2}.
</math></center>
 
Z warunku Cauchy'ego wiemy, że
istnieje <math>\displaystyle N_1\in\mathbb{N}</math> takie, że dla dowolnych
<math>\displaystyle m,n\ge N_1</math> zachodzi
 
<center><math>\displaystyle d(x_n,x_m)
\ <\
\frac{\varepsilon}{2}.
</math></center>
 
Niech
<math>\displaystyle k_1\ge k_0</math> będzie takie, że <math>\displaystyle n_{k_1}\ge N_1</math>
oraz niech
<math>\displaystyle N=n_{k_1}</math>.
Wówczas dla dowolnego
<math>\displaystyle n\ge N</math>, mamy
 
<center><math>\displaystyle d(x_n,x_0)
\ \le\
d(x_n,x_{n_{k_1}})+d(x_{n_{k_1}},x_0)
\ <\
\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}
\ =\
\varepsilon.
</math></center>
 
Pokazaliśmy zatem, że <math>\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} x_n=x_0</math>,
co kończy dowód zupełności przestrzeni <math>\displaystyle X</math>.
}}
 
{{uwaga|2.28.||
 
Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe.
Wiemy na przykład, że przestrzeń metryczna
<math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R},d_2)</math> jest zupełna, ale nie zwarta
(patrz [[#prz_2_11|przykład 2.11.]] oraz
[[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_22|twierdzenie 1.22.]]).
}}
 
==Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych  [rozdział nadobowiązkowy]==
 
Jeśli <math>\displaystyle f</math> jest funkcją między dwoma przestrzeniami metrycznymi
(np z <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> do <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^3</math>), to ponieważ możemy mierzyć odległości
w tych przestrzeniach, to możemy także mówić o granicy i
ciągłości funkcji. Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych,
podamy dwie równoważne definicje granicy i ciągłości funkcji w
punkcie.
 
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=Am2.M02.W.R13.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>Am2.M02.W.R13</div></div>
</div>
{{definicja|2.29. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> będą dwiema przestrzeniami
metrycznymi,
niech <math>\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,</math>
niech <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> będzie funkcją oraz niech
<math>\displaystyle x_0\in X</math> będzie punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma
'''''granicę''''' <math>\displaystyle g</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0\in X,</math> jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \
\forall x\in A\cap\big(K(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}\big):\ \
f(x)\in K(g,\varepsilon)
</math>
</center>
 
lub innymi słowy
 
<center>
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \
\forall x\in A\setminus\{x_0\}:\ \
\bigg[d_X(x_0,x)<\delta
\ \Longrightarrow\
d_Y\big(f(x),g\big)<\varepsilon\bigg].
</math>
</center>
 
Piszemy wówczas
 
<center>
 
<math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)
\ =\
g
\quad </math> lub <math>\displaystyle  \quad
f(x)\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{} g.
</math>
 
</center>}}
 
{{definicja|2.30. [Heinego granicy funkcji w punkcie]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> będą dwiema przestrzeniami
metrycznymi,
<math>\displaystyle A\subseteq X,\displaystyle g\in Y,</math>
niech <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> będzie funkcją oraz
niech <math>\displaystyle x_0\in X</math> będzie punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> ma
'''''granicę''''' <math>\displaystyle g</math> w punkcie <math>\displaystyle x_0\in X,</math> jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle
\forall \{x_n\}\subseteq A\setminus\{x_0\}:\ \
\bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0
\ \Longrightarrow\
f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}g\bigg].
</math>
</center>
 
Piszemy wówczas
 
<center>
<math>\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)
\ =\
g
\quad </math> lub <math>\displaystyle  \quad
f(x)\xrightarrow[x\rightarrow x_0]{} g.
</math>
</center>}}
 
Tak samo jak dla funkcji rzeczywistych, funkcje między
przestrzeniami metrycznymi są ciągłe, gdy mają
granicę równą wartości.
 
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=Am2.M02.W.R15.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R15</div></div>
</div>
 
{{definicja|2.31. [Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> będą dwiema przestrzeniami
metrycznymi,
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math>
niech <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> będzie funkcją oraz
niech <math>\displaystyle x_0\in A</math> (<math>\displaystyle x_0</math> nie musi być punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math>).<br>
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest
'''''ciągła w punkcie''''' <math>\displaystyle x_0\in X,</math> jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \ \exists \delta>0\ \
\forall x\in A:\ \
\bigg[d_X(x,x_0)<\delta
\ \Longrightarrow\
d_Y\big(f(x),f(x_0)\big)<\varepsilon\bigg].
</math>
</center>}}
 
 
{{definicja|2.32. [Heinego ciągłości funkcji w punkcie]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X)</math> oraz <math>\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> będą dwiema przestrzeniami
metrycznymi,
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math><br>
niech <math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> będzie funkcją oraz niech
<math>\displaystyle x_0\in A</math> (<math>\displaystyle x_0</math> nie musi być punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math>).<br>
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest
'''''ciągła w punkcie''''' <math>\displaystyle x_0\in X,</math> jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle
\forall \{x_n\}\subseteq A:\ \
\bigg[x_n\stackrel{d_X}{\longrightarrow}x_0
\ \Longrightarrow\
f(x_n)\stackrel{d_Y}{\longrightarrow}f(x_0)\bigg].
</math>
</center>
 
Mówimy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest
'''''ciągła''''', jeśli jest ciągła w każdym
punkcie <math>\displaystyle x\in A.</math>
}}
 
Udowodnimy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny ciągłości funkcji
między przestrzeniami metrycznymi.
Zauważmy, że warunek na ciągłość podany w twierdzeniu,
wymaga jedynie pojęcia zbiorów otwartych.
 
{{twierdzenie|2.33.||
 
Jeśli <math>\displaystyle X</math> i <math>\displaystyle Y</math> są przestrzeniami metrycznymi, to funkcja
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnego zbioru otwartego <math>\displaystyle V</math> w <math>\displaystyle Y,</math> przeciwobraz
<math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> jest otwarty w <math>\displaystyle X.</math>
}}
 
{{dowod|2.33. [nadobowiązkowy]||
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>":<br>
Niech <math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> będzie funkcją ciągła.
Niech <math>\displaystyle V</math> będzie zbiorem otwartym w <math>\displaystyle Y.</math>
Należy pokazać, że zbiór <math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> jest otwarty w <math>\displaystyle X.</math>
W tym celu ustalmy dowolny punkt <math>\displaystyle x\in f^{-1}(V)</math> i mamy
wykazać, że jest on zawarty w <math>\displaystyle f^{-1}(V)</math>
wraz z pewną kulą o środku <math>\displaystyle x.</math>
Ponieważ zbiór <math>\displaystyle V</math> jest otwarty oraz <math>\displaystyle f(x)\in V</math> więc
 
<center><math>\displaystyle \exists \varepsilon>0:\ K_{Y}(f(x),\varepsilon)\subseteq V.
</math></center>
 
Z drugiej strony, ponieważ funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ciągła w punkcie
<math>\displaystyle x\in V,</math> więc
 
<center><math>\displaystyle \exists \delta>0\ \forall z\in X:\
\big[
d_X(z,x)<\delta
\Longrightarrow
d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\big].
</math></center>
 
Zatem, jeśli <math>\displaystyle z\in K(x,\delta),</math>
to <math>\displaystyle z\in f^{-1}(V),</math> czyli
<math>\displaystyle K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V),</math>
co dowodzi otwartości zbioru <math>\displaystyle f^{-1}(V).</math><br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>":<br>
Załóżmy teraz, że dla dowolnego zbioru otwartego <math>\displaystyle V</math> w <math>\displaystyle Y,</math>
zbiór <math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> jest otwarty w <math>\displaystyle X.</math>
Ustalmy dowolny <math>\displaystyle x\in X.</math> Pokażemy, że funkcja <math>\displaystyle f</math> jest ciągła w
punkcie <math>\displaystyle x.</math>
W tym celu ustalmy dowolne <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> i zdefiniujmy
 
<center><math>\displaystyle V=\{y\in Y:\ d_Y(y,f(x))<\varepsilon\}.
</math></center>
 
Wówczas zbiór <math>\displaystyle V</math> jest otwarty w <math>\displaystyle Y</math>
(gdyż jest to kula; patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (1)),
a zatem z założenia także zbiór
<math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> jest otwarty w <math>\displaystyle X.</math>
A zatem, z otwartości <math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> wynika, że
 
<center><math>\displaystyle \exists \delta>0:\
K(x,\delta)\subseteq f^{-1}(V),
</math></center>
 
co oznacza, że
 
<center><math>\displaystyle \exists \delta>0:
\big[z\in K_X(x,\delta)
\ \Longrightarrow\
z\in f^{-1}(V)\big].
</math></center>
 
Ale jeśli <math>\displaystyle z\in f^{-1}(V),</math>
to <math>\displaystyle f(z)\in V.</math>
Zatem
 
<center><math>\displaystyle \exists \delta>0:\
\bigg[ z\in K(x,\delta)
\ \Longrightarrow\
f(z)\in V\bigg],
</math></center>
 
czyli z definicji <math>\displaystyle V,</math> także
 
<center><math>\displaystyle \exists \delta>0:\
\bigg[ d_X(z,x)<\delta
\ \Longrightarrow\
d_Y(f(z),f(x))<\varepsilon\bigg].
</math></center>
 
Pokazaliśmy, że <math>\displaystyle f</math> jest ciągła w punkcie <math>\displaystyle x.</math>
}}
 
{{przyklad|2.34.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> będzie przestrzenią metryczną dyskretną
oraz <math>\displaystyle \displaystyle (Y,d)</math> dowolną przestrzenią metryczną.
Wówczas dowolna funkcja
<math>\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> jest ciągła.
Faktycznie, przeciwobraz dowolnego zbioru
<math>\displaystyle V\subseteq Y</math> (także otwartego) jest zbiorem otwartym w <math>\displaystyle X</math>
(bo w przestrzeni metrycznej dyskretnej wszystkie zbiory są
otwarte; patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 1: Przestrzenie metryczne#prz_1_8|przykład 1.8.]]).
}}
 
{{twierdzenie|2.35. [Darboux]||
Jeśli <math>\displaystyle X</math> i <math>\displaystyle Y</math> są przestrzeniami metrycznymi,
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem spójnym w <math>\displaystyle X</math> oraz
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> jest funkcją ciągłą,
to <math>\displaystyle f(A)</math> jest zbiorem spójnym w <math>\displaystyle Y.</math><br>}}
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=Am2.M02.W.R16.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R16</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=Am2.M02.W.R17.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R17</div>
</div></div>
|}
 
{{dowod|2.35.||
 
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
<math>\displaystyle f(A)</math> nie jest zbiorem spójnym.
Zatem istnieją dwa otwarte i rozłączne zbiory
<math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> mające niepuste przecięcie z <math>\displaystyle f(A)</math> i takie, że
<math>\displaystyle f(A)\subseteq U\cup V.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle f</math> jest funkcją ciągłą, więc
zbiory
<math>\displaystyle f^{-1}(U)</math> i <math>\displaystyle f^{-1}(V)</math> są otwarte w <math>\displaystyle X</math>
(patrz [[#tw_2_33|twierdzenie 2.33.]]),
są one oczywiście niepuste, rozłączne,
a ich sumą jest <math>\displaystyle A.</math>
Ale jest to sprzeczne ze spójnością zbioru <math>\displaystyle A.</math>
}}
 
==Ciągłość jednostajna  [rozdział nadobowiązkowy]==
 
Materiał tego rozdziału jest nadobowiązkowy, ale na twirdzenie 2.39. powołamy się w przyszłości, przy dowodzie twierdzenia Fubiniego.
 
Na zakończenie wykładu wprowadzimy jeszcze jeden ważny rodzaj
ciągłości, a mianowicie ciągłość jednostajną.
 
{{definicja|2.36. [Ciągłość jednostajna]||
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> będą przestrzeniami metrycznymi
oraz niech
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> będzie funkcją.<br>
 
Mówimy, że <math>\displaystyle f</math> jest
'''''jednostajnie ciągła''''', jeśli<br>
 
<center><math>\displaystyle \forall \varepsilon>0\ \
\exists \delta>0\ \
\forall x_1,x_2\in X\ \
\bigg[
d_X(x_1,x_2)<\delta
\ \ \Longrightarrow\ \
d_Y\big(f(x_1),f(x_2)\big)<\varepsilon
\bigg].
</math></center>
 
}}
 
Zauważmy, że ta definicja różni się od definicji ciągłości
tylko kolejnością kwantyfikatorów. W definicji ciągłości <math>\displaystyle \displaystyle\delta</math>
dobrane do <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon</math> może się zmieniać w zależności od punktu
<math>\displaystyle x_0</math> w którym badamy ciągłość. W definicji jednostajnej ciągłości
<math>\displaystyle \displaystyle\delta</math> dobrane do <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon</math> jest już "dobre" dla
wszystkich <math>\displaystyle x_0</math> z dziedziny funkcji.
 
Nic dziwnego, że zachodzi następujące twierdzenie.
 
{{twierdzenie|2.37.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> są przestrzeniami metrycznymi,
<math>\displaystyle \displaystyle f\colon X\longrightarrow Y</math> jest funkcją,
to
jeśli funkcja
<math>\displaystyle f</math> jest jednostajnie ciągła, to jest także
ciągła.
}}
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=Am2.M02.W.R18.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M02.W.R18</div></div>
</div>
{{przyklad|2.38.||
 
Implikacja odwrotna do implikacji w powyższym twierdzeniu nie jest prawdziwa.<br>
Np. funkcja <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}_+\ni x\longmapsto x^2\in\mathbb{R}</math> jest ciągła,
ale nie jednostajnie ciągła.<br>
 
Sprawdzimy, że faktycznie funkcja <math>\displaystyle f(x)=x^2</math> nie jest jednostajnie
ciągła. Dla dowolnych dwóch punktów <math>\displaystyle x_1, x_2\in\mathbb{R}_+</math> mamy
<math>\displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))= |x_1^2-x_2|^2=|x_1-x_2|(x_1+x_2).</math> Zatem,
jeśli weźmiemy ustalone  <math>\displaystyle \displaystyle\delta>0</math> (dla jakiegoś <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math>), to
dla <math>\displaystyle x_2=x_1+\frac{\delta}{2}</math> odległość
<math>\displaystyle d_2(f(x_1),f(x_2))=\frac{\delta}{2}(x_1+x_2),</math> co rośnie do
nieskończoności gdy zwiększamy <math>\displaystyle x_1.</math> A zatem nie możemy dobrać
<math>\displaystyle \displaystyle\delta</math> niezależnego od wyboru punktu <math>\displaystyle x_1.</math>
}}
 
Czasami jednak implikacja odwrotna do tej w [[#tw_2_37|twierdzeniu 2.37.]] zachodzi. Mówi o tym kolejne twierdzenie.
 
<span id="tw_2_39">{{twierdzenie|2.39.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d_X),\displaystyle \displaystyle (Y,d_Y)</math> są przestrzeniami metrycznymi,
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem zwartym w
<math>\displaystyle X</math> oraz
<math>\displaystyle f\colon A\longrightarrow Y</math> jest funkcją,
to
<math>\displaystyle f</math> jest jednostajnie ciągła
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle f</math> jest ciągła.
}}</span>
 
Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że jeśli mamy funkcję
ciągłą na zbiorze zwartym (na przykład na przedziale domkniętym
lub na iloczynie kartezjańskim przedziałów domkniętych) to dla
danego <math>\displaystyle \displaystyle\varepsilon>0</math> możemy dobrać
<math>\displaystyle \displaystyle\delta>0,</math> które jest "dobre" dla wszystkich <math>\displaystyle x_0</math>
z naszego zbioru zwartego, czyli mamy
 
<center><math>\displaystyle d_X(x_0,x)
\ <\
\delta \Longrightarrow d_Y(f(x_0), f(x))
\ <\
\varepsilon,
</math></center>
 
niezależnie od tego, jakie <math>\displaystyle x_0\in X</math> weźmiemy.

Aktualna wersja na dzień 16:20, 15 wrz 2006

<img src="http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg" alt="nazwa alternatywna">

<a href="http://osilek.mimuw.edu.pl">http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg</a>

http://osilek.mimuw.edu.pl/images/d/d8/Wykres.gif

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=GW&oldid=51276”