GW: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Gracja (dyskusja | edycje)
4759 edycji
Gracja (dyskusja | edycje)
4759 edycji
Nie podano opisu zmian
 
(Nie pokazano 64 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
==Przestrzenie metryczne==
<img src="http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg" alt="nazwa alternatywna">


Ten wykład poświęcony jest pojęciu przestrzeni metrycznej.
<a href="http://osilek.mimuw.edu.pl">http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg</a>
Prezentujemy definicję metryki, przykłady przestrzeni
metrycznych.
Definiujemy zbiory otwarte, domknięte, punkty skupienia i
średnicę zbioru.
Następnie wprowadzamy pojęcia zwartości i spójności w
przestrzeniach metrycznych.
Dowodzimy, że przedział domknięty i ograniczony jest zbiorem
zwartym w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> oraz charakteryzujemy zbiory spójne w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math>


Jedną z najistotniejszych idei matematyki jest idea
http://osilek.mimuw.edu.pl/images/d/d8/Wykres.gif
aproksymacji. Z aproksymacją mamy do czynienia wtedy, gdy pewien
obiekt <math>\displaystyle T</math> (liczbę, funkcję, zbiór) przedstawiamy jako granicę (w
odpowiednim sensie) ciągu obiektów <math>\displaystyle T_n</math>. Możemy wtedy wnioskować
o własnościach "mniej znanego" obiektu <math>\displaystyle T</math> z własności
"bardziej znanych" obiektów <math>\displaystyle T_n</math>. Każdy z nas zetknął się z
aproksymacją, chociażby w stwierdzeniu "<math>\displaystyle \pi</math> wynosi mniej więcej
<math>\displaystyle 3.14</math>" (tu przybliżamy liczbę niewymierną ciągiem liczb
wymiernych). Na wykładzie poświęconym ciągom funkcyjnym dowiemy
się, że jeśli funkcja jest granicą (w specjalnym sensie) ciągu
funkcji ciągłych to jest funkcją ciągłą. Ponieważ mamy wiele
różnych rodzajów zbieżności - czyli przejść granicznych -
potrzebna jest w matematyce w miarę ogólna a zarazem prosta teoria
przechodzenia do granicy. O podstawach tej teorii opowiemy na
dwóch pierwszych wykładach poświęconych przestrzeniom metrycznym i
ciągom w przestrzeniach metrycznych. Na trzecim wykładzie zajmiemy
się działem teorii przestrzeni metrycznych, przestrzeniami
unormowanymi. Teoria ta pozwala dodatkowo "przenieść" do teorii
granic ważne idee geometryczne związane z działaniami na
wektorach.
 
==Metryka==
 
Przypomnijmy, że różne sposoby mierzenia odległości
w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math> poznaliśmy na wykładzie
z [[Analiza matematyczna 1|Analizy matematycznej 1]].
Tam też zapoznaliśmy się z pojęciem metryki.
Okazuje się, że funkcję zwaną metryką można zdefiniować dla
dowolnego (niepustego) zbioru <math>\displaystyle X</math>
(a nie tylko dla <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>).
W ten sposób będziemy mogli mierzyć odległości miedzy elementami
dowolnego zbioru <math>\displaystyle X</math>.
 
{{definicja|1.1.||
 
Niech
<math>\displaystyle X</math> będzie zbiorem niepustym.
'''''Metryką''''' w zbiorze <math>\displaystyle X</math> nazywamy dowolną
funkcję
<math>\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+=[0,+\infty)</math>
spełniającą następujące warunki:<br>
'''(i)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x\in X:\ d(x,y)=0\ \Longleftrightarrow\ x=y</math>;<br>
'''(ii)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y\in X:\ d(x,y)=d(y,x)</math>
(symetria);<br>
'''(iii)'''
<math>\displaystyle \displaystyle\forall x,y,z\in X:\
d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)</math>
(warunek trójkąta).<br>
Parę <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> nazywamy
'''''przestrzenią metryczną'''''.<br>
Dla dowolnych <math>\displaystyle x,y\in X,</math>
liczbę <math>\displaystyle d(x,y)</math> nazywamy
'''''odległością'''''
punktów <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>
oraz mówimy, że punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są
'''''oddalone''''' od siebie o <math>\displaystyle d(x,y).</math>
}}===============
 
Definicja kuli w dowolnej przestrzeni metrycznej jest
analogiczna do poznanej na wykładzie
z Analizy Matematycznej 1 definicji kuli w <math>\displaystyle \mathbb{R}^N</math>.
 
{{definicja|1.2.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną.
'''''Kulą''''' o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0\in X</math> i promieniu <math>\displaystyle r\ge 0</math>
nazywamy zbiór:
 
<center><math>\displaystyle K(x_0,r)
\ \stackrel{df}{=}\
\big\{x\in X:\
d(x_0,x)<r\big\}.
</math></center>
 
'''''Kulą domkniętą''''' o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0\in X</math> i promieniu
<math>\displaystyle r\ge 0</math> nazywamy zbiór:
 
<center><math>\displaystyle \overline{K}(x_0,r)
\ \stackrel{df}{=}\
\big\{x\in X:\
d(x_0,x)\le r\big\}.
</math></center>
 
}}===============
 
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni metrycznych oraz
opiszemy jak wyglądają kule w tych przestrzeniach.
 
{{przyklad|1.3. [Metryka dyskretna]||
Niech <math>\displaystyle X\ne\emptyset</math> będzie dowolnym zbiorem oraz niech
 
<center><math>\displaystyle
d_d(x,y)
\ \stackrel{df}{=}\
\left\{
\begin{array} {lll}
1 &  \textrm{gdy} \displaystyle  & x\ne y,\\
0 &  \textrm{gdy} \displaystyle  & x= y.
\end{array}
\right.
\qquad\forall\  x,y\in X.
</math></center>
 
Zauważmy, iż wartość funkcji <math>\displaystyle d</math> dla dwóch dowolnych punktów
wynosi <math>\displaystyle 1,</math> gdy są one różne oraz wynosi <math>\displaystyle 0,</math> gdy jest to ten sam
punkt.<br>}}===============
 
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R01.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R01.swf</div>
</div></div>
 
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką,
zatem
para <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> jest przestrzenią metryczną.
Metrykę tę będziemy nazywali
'''''metryczną dyskretną'''''.
 
Faktycznie z definicji wynika, że dla dowolnych
<math>\displaystyle x,y\in X</math> mamy
 
<center>
<math>\displaystyle d(x,y)=0
\ \Longleftrightarrow\
x=y
</math>
</center>
 
oraz
 
<center>
<math>\displaystyle d(x,y)
\ =\
d(y,x).
</math>
</center>
 
Dla sprawdzenia warunku trójkąta weźmy
<math>\displaystyle x,y,z\in X.</math>
Rozważymy następujące przypadki.
 
Jeśli <math>\displaystyle x=z,</math> to <math>\displaystyle d(x,z)=0</math> zatem
zawsze zachodzi
<math>\displaystyle d(x,z)=0\le d(x,y)+d(y,z).</math>
 
Jeśli <math>\displaystyle x\ne z,</math> to
<math>\displaystyle x\ne y</math> lub <math>\displaystyle y\ne z.</math>
Wtedy również
<math>\displaystyle d(x,z)=1\le d(x,y)+d(y,z).</math>
 
Łatwo także zauważyć, jak będą wyglądały kule w tej przestrzeni
metrycznej.
Jeśli <math>\displaystyle r\in(0,1],</math> to kula o promieniu <math>\displaystyle r</math> składa się z samego
środka, ale jeśli <math>\displaystyle r>1,</math> to kulą jest cała przestrzeń <math>\displaystyle X.</math>
Mamy zatem
 
<center>
<math>\displaystyle
K(x_0,r)
\ =\
\left\{
\begin{array} {lll}
\emptyset &  \textrm{gdy} \displaystyle  & r=0,\\
\{x_0\}  &  \textrm{gdy} \displaystyle  & r\in(0,1],\\
X        &  \textrm{gdy} \displaystyle  & r>1,
\end{array}
\right.
</math>
</center><br>
<center>
<math>
\overline{K}(x_0,r)
\ =\
\left\{
\begin{array} {lll}
\{x_0\}  &  \textrm{gdy} \displaystyle  & r\in[0,1),\\
X        &  \textrm{gdy} \displaystyle  & r\ge 1.
\end{array}
\right.
</math></center>
 
Zatem w przestrzeni metrycznej dyskretnej kulami
i kulami domkniętymi są jedynie:
<math>\displaystyle \displaystyle\emptyset,</math> zbiory jednopunktowe oraz cała przestrzeń.
 
 
Przypomnijmy teraz standardowe metryki w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math>
Były one wprowadzone na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
 
{{przyklad|1.4. [Metryka maksimowa, taksówkowa i euklidesowa]||
Niech <math>\displaystyle X=\mathbb{R}^N</math> oraz niech
 
<center><math>\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{R}^N:\quad
d_{\infty}(x,y)
\ \stackrel{df}{=}\
\max_{i=1,\ldots, N}|x_i-y_i|,
</math></center><br>
<center><math>
d_1(x,y)
\ \stackrel{df}{=}\
\sum_{i=1}^{N}|x_i-y_i|
</math></center><br>
<center><math>
d_2(x,y)
\ \stackrel{df}{=}\
\sqrt{\sum_{i=1}^N\left(x_i-y_i\right)^2},
</math></center>
 
gdzie <math>\displaystyle x=(x_1,\ldots,x_N)</math> oraz <math>\displaystyle y=(y_1,\ldots,y_N).</math><br>
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_{\infty})</math> jest przestrzenią metryczną.
Funkcję <math>\displaystyle d_{\infty}</math> nazywamy
'''''metryka maksimową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_1)</math> jest przestrzenią metryczną.
Funkcję <math>\displaystyle d_1</math> nazywamy
'''''metryka taksówkową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N.</math><br>
Para <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2)</math> jest przestrzenią metryczną.
Funkcję <math>\displaystyle d_2</math> nazywamy
'''''metryką euklidesową''''' w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N,</math>
zaś parę <math>\displaystyle \displaystyle (\mathbb{R}^N,d_2)</math> nazywamy
'''''przestrzenią metryczną euklidesową'''''.<br>
<br>
Przypomnijmy jak wyglądają kule w tych metrykach.<br>
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce maksimowej.<br>}}===============
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R05</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R06.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R06</div>
</div></div>
|}
 
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce taksówkowej.<br>
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R09.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R09</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R10.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R10</div>
</div></div>
|}
 
Poniższe rysunki przedstawiają kule w metryce euklidesowej.<br>
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R14.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R14</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R15.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R15</div>
</div></div>
|}
 
 
Dwa kolejne przykłady podają  mniej typowe metryki
na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R02.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R02</div>
</div></div>
|<div class="thumb"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R03.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R03</div>
</div></div>
|}
 
 
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R05.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R05.swf</div>
</div></div>
{{przyklad|1.5. [Metryka rzeka]||
Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> jest gęstym lasem oraz
pewna prosta <math>\displaystyle l</math> jest rzeką.
Aby zmierzyć odległość dwóch punktów
<math>\displaystyle x,y\in\mathbb{R}^2</math> musimy wyciąć ścieżkę od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle y,</math>
przy czym możemy to robić tylko prostopadle do rzeki.
 
Mamy dwa przypadki:<br><br>
'''(1)'''
Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> są końcami odcinka prostopadłego do
rzeki <math>\displaystyle l,</math> to ich odległość jest równa zwykłej odległości
euklidesowej na płaszczyźnie.<br>
 
'''(2)'''
Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na prostej prostopadłej do
rzeki <math>\displaystyle l,</math> to musimy utworzyć dwie ścieżki jedną od punktu <math>\displaystyle x</math>
do rzeki,
a drugą od rzeki do punktu <math>\displaystyle y,</math>
zawsze prostopadle do rzeki.
Teraz odległość od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle y</math> będzie równa długości
(euklidesowej) obu ścieżek oraz odległości tych ścieżek na
rzece.<br>
Nietrudno sprawdzić, że tak utworzona funkcja <math>\displaystyle d</math> jest metryką w
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2.</math>
Nazywamy ją '''''metryką rzeką'''''.<br>}}===============
{{przyklad|1.6. [Metryka kolejowa]||
Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie wyróżniony jest jeden punkt
<math>\displaystyle O,</math> węzeł kolejowy od którego odchodzą półproste,
szyny, we wszystkich kierunkach.
Aby zmierzyć odległość miedzy dwoma punktami <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math>
musimy przebyć drogę między nimi poruszając się po
szynach. Rozważmy dwa przypadki:<br>
'''(1)''' Jeśli punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> znajdują się na wspólnej
półprostej wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O,</math> to ich odległość jest
zwykła odległością euklidesową.<br>
'''(2)''' Jeśli zaś punkty <math>\displaystyle x</math> i <math>\displaystyle y</math> nie leżą na wspólnej półprostej
wychodzącej z punktu <math>\displaystyle O</math> to ich odległość jest równa sumie
odległości euklidesowych od <math>\displaystyle x</math> do <math>\displaystyle O</math>
oraz od <math>\displaystyle O</math> do <math>\displaystyle y.</math><br>
Tak wprowadzona funkcja odległości jest metryką,
zwaną '''''metryką kolejową'''''.}}===============<br>
 
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R04.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R04</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R06.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R06</div></div>
</div>
|}
 
Zdefiniujemy teraz pewne pojęcia związane z przestrzeniami
metrycznymi. Część z nich była zdefiniowana na
Analizie Matematycznej 1.
 
 
 
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM1.M03.W.R16.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM1.M03.W.R16.swf</div>
</div></div>
{{definicja|1.7.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną,
<math>\displaystyle x_0\in X</math> oraz <math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
'''(1)'''
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> nazywamy '''''otwartym''''', jeśli
 
<center>
<math>\displaystyle \forall x\in U\ \exists r>0:\
K(x,r)\subseteq U.
</math>
</center>
 
'''(2)'''
Punkt <math>\displaystyle x_0</math> nazywamy
'''''punktem wewnętrznym''''' zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X,</math> jeśli istnieje
kula o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0</math> (i dodatnim promieniu)
taka, że zawiera się w <math>\displaystyle A.</math>
'''''Wnętrzem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór jego punktów wewnętrznych
i oznaczamy <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{int}\, A.</math><br>
'''(3)'''
'''''Domknięciem''''' zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X</math> nazywamy zbiór
wszystkich punktów <math>\displaystyle A</math> oraz wszystkich punktów skupienia zbioru <math>\displaystyle A</math>
i oznaczamy <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}.</math><br>
'''(4)''' '''''Brzegiem''''' zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy zbiór
<math>\displaystyle \displaystyle\partial A:=\overline{A}\setminus \mathrm{int}\, A.</math>
}}===============
 
{{przyklad|1.8.||
 
W przestrzeni metrycznej dyskretnej
każdy zbiór jest otwarty, bo wraz z każdym punktem
<math>\displaystyle x</math> zawiera kulę
<math>\displaystyle K(x,1)=\{x\}.</math>
}}===============
 
{{przyklad|1.9.||
 
W przestrzeni <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> rozważmy zbiór
<math>\displaystyle A=\{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2\le 4\}.</math>
Wówczas
 
<center>
<math>\displaystyle \aligned
\mathrm{int}\, A    &= \{(x_1,x_2):\ 2<x_1^2+x_2^2<4\},\\
\overline{A}    &= \{(x_1,x_2):\ 2\le x_1^2+x_2^2\le 4\},\\
\partial A &= \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=2\}\cup \{(x_1,x_2):\ x_1^2+x_2^2=4\}.
\endaligned</math>
</center>
 
}}===============
 
Podobnie jak w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> tak i w dowolnej przestrzeni metrycznej
zachodzą następujące własności.
 
<span id="tw_1_10">{{twierdzenie|1.10. [Zbiory w przestrzeniach metrycznych]||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
to<br>
'''(1)'''
Każda kula jest zbiorem otwartym w <math>\displaystyle X.</math><br>
'''(4)'''
Zbiór <math>\displaystyle U\subseteq X</math> jest otwarty, wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle U^c</math> (dopełnienie zbioru <math>\displaystyle U</math>) jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(5)'''
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(6)'''
Jeśli <math>\displaystyle x_0</math> jest punktem skupienia zbioru <math>\displaystyle A\subseteq X,</math>
to dowolna kula o środku w punkcie <math>\displaystyle x_0</math>
(i dodatnim promieniu) zawiera nieskończenie wiele
punktów zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
'''(7)''' Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest
zbiorem otwartym.<br>
'''(8)''' Przecięcie (część wspólna) skończonej rodziny
zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.<br>
'''(9)''' Przecięcie (część wspólna) dowolnej rodziny
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(10)''' Suma skończonej rodziny
zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.<br>
'''(11)''' Dla dowolnego zbioru
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math> zbiór <math>\displaystyle \displaystyle\overline{A}</math> (domknięcie zbioru <math>\displaystyle A</math>) jest zbiorem
domkniętym.
}}===============</span>
 
Omówienie i przykłady powyższych własności mieliśmy na wykładzie
z Analizy Matematycznej 1
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#prz_3_15|Analiza matematyczna 1 przykład 3.15.]]).
 
Kolejne pojęcia związane z przestrzeniami metrycznymi podane są
w poniższej definicji.
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R07.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R07</div></div>
</div>
{{definicja|1.11.||
 
'''(1)'''
'''''Srednicą zbioru''''' <math>\displaystyle A</math> nazywamy liczbę:
 
<center>
<math>\displaystyle \mathrm{diam}\, A
\ \stackrel{df}{=}\
\sup_{x,y\in A}d(x,y);
</math>
</center>
 
'''(2)'''
'''''Odległością punktu''''' <math>\displaystyle x_0</math> od zbioru <math>\displaystyle A</math>
nazywamy liczbę:
 
<center>
<math>\displaystyle \mathrm{dist}\,(x_0,A)
\ \stackrel{df}{=}\
\inf_{x\in A}d(x_0,x).
</math>
</center>
 
 
'''(3)'''
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A\subseteq X</math> jest
'''''ograniczony''''', jeśli  jest zawarty w pewnej kuli,
to znaczy
 
<center>
<math>\displaystyle \exists r>0\ \exists x_0\in X:\
A\subseteq K(x_0,r).
</math>
</center>}}===============
[[AM1.M03.C.R01]]
 
[[AM1.M03.W.R17]]
 
{{przyklad|1.12.||
 
Na płaszczyźnie <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^2</math> z metryką euklidesową
rozważmy zbiór
 
<center><math>\displaystyle A
\ =\
\bigg\{
(x,y):\ 2\le x\le 6,\ 1<y\le 5
\bigg\}
\cup
\big(\{4\}\times [5,9]\big)
</math></center>
 
oraz punkt <math>\displaystyle z=(8,8).</math>
Wyznaczyć średnicę zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz odległość punktu
<math>\displaystyle z</math> od zbioru <math>\displaystyle A.</math>
}}===============
 
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie </span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
Z poniższego rysunku widzimy, że
<math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A=\sqrt{2^2+8^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}</math>
oraz <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{dist}\,(z,A)=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.</math><br>
{ [[Rysunek AM2.M01.W.R08 (stary numer AM1.3.26)]]}
</div></div>
 
<span id="prz_1_13">{{przyklad|1.13.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d_d)</math> będzie przestrzenią metryczną dyskretną.
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle\#X\le 1,</math> to  <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=0,</math>
a jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle\#X\ge 2,</math> to  <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1.</math>
Zatem każdy zbiór w metryce dyskretnej jest ograniczony.
}}===============</span>
 
Następujące oczywiste twierdzenie podaje związek między
ograniczonością zbioru oraz jego średnicą.
 
{{twierdzenie|1.14.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math>
to
zbiór <math>\displaystyle A</math> jest ograniczony
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, A<+\infty.</math>
}}===============
 
W iloczynie kartezjańskim przestrzeni metrycznych można także
zadać metrykę
(tak zwaną metrykę produktową) na kilka naturalnych
sposobów.
Poniższe twierdzenie podaje jeden z takich sposobów.
 
{{twierdzenie|1.15. [Iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych]||
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X_i,d_i)</math> są przestrzeniami metrycznymi dla
<math>\displaystyle i=1,\ldots,k,\displaystyle X\ \stackrel{df}{=}\  X_1\times\ldots \times X_k,\displaystyle d\colon X\times X\longrightarrow\mathbb{R}_+</math> jest funkcją zdefiniowaną
przez
 
<center><math>\displaystyle d(x,y)
\ \stackrel{df}{=}\
\sqrt{\sum_{i=1}^{k}d_i(x_i,y_i)^2}
\qquad\forall\  x,y\in X
</math></center>
 
to
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną.<br>
Wówczas <math>\displaystyle d</math> nazywamy
'''''metryką produktową''''' lub
'''''metryką standardową''''' w iloczynie kartezjańskim
<math>\displaystyle X_1\times\ldots\times X_k.</math>
}}===============
 
{{dowod|twierdzenia 1.15.||
 
Dowód oparty na nierówności Cauchy'ego
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lemat_3_8|Analiza matematyczna 1 lemat 3.8.]])
jest analogiczny do dowodu, że <math>\displaystyle d_2</math> jest
metryką w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math>
(porównaj [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#prz_3_7|Analiza matematyczna 1 przykład 3.7.]]
i [[Analiza matematyczna 1/Wykład 3: Odległość i ciągi#lm_3_9|lemat 3.9.]]).
}}===============
 
{{uwaga|1.16.||
 
Metryka euklidesowa w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> jest metryką standardową w
<math>\displaystyle \displaystyle\displaystyle\mathbb{R}^N=\underbrace{\mathbb{R}\times\ldots\times\mathbb{R}}===============_{N}.</math>
Wynika to wprost z definicji obu metryk.
}}===============
 
{{uwaga|1.17.||
 
Jeśli <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną oraz
<math>\displaystyle A\subseteq X,</math> to zbiór <math>\displaystyle A</math> jest także przestrzenią metryczną z
metryką <math>\displaystyle d|_{A\times A}.</math>
Kule w przestrzeni <math>\displaystyle A</math> są równe przecięciom kul z przestrzeni
<math>\displaystyle X</math> ze zbiorem <math>\displaystyle A.</math>
Metrykę na <math>\displaystyle A</math> nazywamy
'''''metryką indukowaną'''''.
W przyszłości o podzbiorach przestrzeni metrycznej będziemy
także mówili "przestrzeń metryczna".
}}===============
 
==Zwartość==
 
Wprowadzimy teraz ogólniejsze pojęcie zwartości
niż to, z którym spotkaliśmy się na wykładzie z Analizy
Matematycznej 1
(patrz [[Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji#def_8_21|Analiza matematyczna 1 definicja 8.21.]]).
 
<div class="thumb tright"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R09.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R09</div></div>
</div>
{{definicja|1.18.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną oraz
<math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
'''(1)'''
'''''Pokryciem otwartym'''''
zbioru <math>\displaystyle A</math> nazywamy dowolną rodzinę
<math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}\subseteq 2^X</math>
zbiorów otwartych taką, że
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{s\in S}U_s\supseteq A.</math><br>
Pokrycie to nazywamy '''''skończonym''''',
jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle\# S<+\infty.</math><br>
'''(2)'''
Mówimy, że <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in T}</math> jest
'''''podpokryciem'''''
pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> zbioru <math>\displaystyle A,</math> jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in T}</math> jest pokryciem zbioru <math>\displaystyle A</math> oraz
<math>\displaystyle T\subset S.</math><br>
'''(3)'''
Mówimy, że zbiór <math>\displaystyle A</math> jest '''''zwarty''''', jeśli z każdego
pokrycia otwartego zbioru <math>\displaystyle A</math> można wybrać pokrycie
skończone.
}}===============
 
Kolejne twierdzenie zbiera pewne informacje dotyczące zbiorów
zwartych w przestrzeniach metrycznych.
 
<span id="tw_1_19">{{twierdzenie|1.19.||
 
W dowolnej przestrzeni metrycznej <math>\displaystyle X</math> mamy<br>
'''(1)'''
Zbiór skończony jest zwarty.<br>
'''(2)'''
Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest domknięty.<br>
'''(3)'''
Podzbiór zwarty przestrzeni metrycznej jest ograniczony.<br>
'''(4)'''
Podzbiór domknięty zbioru zwartego jest zwarty.<br>
'''(5)'''
Część wspólna zbioru zwartego i domkniętego jest zbiorem
zwartym.
}}===============</span>
 
{{dowod|twierdzenia 1.19.||
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
'''(Ad (1))'''
Niech <math>\displaystyle A=\{a_1,\ldots,a_k\}</math> będzie zbiorem skończonym w <math>\displaystyle X</math>
i niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie pokryciem otwartym
zbioru <math>\displaystyle A.</math> Z definicji pokrycia mamy w szczególności
 
<center><math>\displaystyle \forall i\in\{1,\ldots,k\}\ \exists s_i\in S:\
a_i\in U_{s_i}.
</math></center>
 
Zatem
<math>\displaystyle A\subseteq\bigcup_{i=1}^k U_{s_i}.</math>
Pokazaliśmy zatem, że
<math>\displaystyle \displaystyle\{U_{s_i}\}_{i=1}^k</math> jest podpokryciem (skończonym)
pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
'''(Ad (2))'''
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zwartym podzbiorem  w <math>\displaystyle X.</math>
Wystarczy pokazać, że <math>\displaystyle A^c</math> jest zbiorem otwartym
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (6)).
W tym celu niech <math>\displaystyle x\in A^c.</math>
Dla dowolnego <math>\displaystyle y\in A</math> niech
<math>\displaystyle \displaystyle 0<r_y<\frac{1}{2}d(x,y).</math>
Wówczas <math>\displaystyle x\not\in K(y,r_y)</math> oraz
<math>\displaystyle K(y,r_y)\cap K(x,r_y)=\emptyset.</math><br>
Rodzina <math>\displaystyle \displaystyle\{K(y,r_y)\}_{y\in A}</math> jest pokryciem otwartym zbioru
<math>\displaystyle A.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle A</math> jest zbiorem zwartym, więc możemy z tego pokrycia
wybrać podpokrycie skończone,
powiedzmy
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{K(y_i,r_{y_i})\big\}_{i=1}^k,</math>
zatem
 
<center><math>\displaystyle W
\ \stackrel{df}{=}\
K(y_1,r_{y_1})\cup\ldots\cup K(y_k,r_{y_k})
\ \supseteq\
A.
</math></center>
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle V\ \stackrel{df}{=}\ \bigcap_{i=1}^k K(x,r_{y_k}).</math>
Wówczas <math>\displaystyle V</math> jest kulą o środku w punkcie <math>\displaystyle x</math> taką,
że <math>\displaystyle V\subseteq A^c,</math>
czyli <math>\displaystyle x</math> jest punktem wewnętrznym zbioru <math>\displaystyle A^c.</math>
Pokazaliśmy więc, że zbiór <math>\displaystyle A^c</math> jest otwarty,
a zatem zbiór <math>\displaystyle A</math> jest domknięty.<br>
'''(Ad (3))'''
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zwartym podzbiorem  w <math>\displaystyle X.</math>
Należy pokazać, że zbiór <math>\displaystyle A</math> jest ograniczony.
Niech <math>\displaystyle x_0\in X</math> będzie dowolnym punktem.
Zauważmy, że
 
<center><math>\displaystyle A
\ \subseteq\
X
\ =\
\bigcup_{n=1}^{\infty}K(x_0,n),
</math></center>
 
to znaczy rodzina kul
<math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_n,n)\}_{n\in\mathbb{N}}===============</math> jest pokryciem otwartym zbioru <math>\displaystyle A.</math>
Ze zwartości zbioru <math>\displaystyle A</math> wynika, iż z tego pokrycia można wybrać
podpokrycie skończone, to znaczy
 
<center><math>\displaystyle \exists k\in\mathbb{N}:\
A
\ \subseteq\
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n).
</math></center>
Ale ciąg kul <math>\displaystyle \displaystyle\{K(x_0,n)\}_{n\in\mathbb{N}}===============</math>
jest wstępujący, zatem
 
<center><math>\displaystyle A
\ \subseteq\
\bigcup_{n=1}^{k}K(x_0,n)
\ =\
K(x_0,k),
</math></center>
 
zatem zbiór <math>\displaystyle A</math> jest ograniczony.<br>
'''(Ad (4))''' Niech <math>\displaystyle A</math> będzie domkniętym podzbiorem zbioru
zwartego <math>\displaystyle B.</math>
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem zbioru <math>\displaystyle A.</math>
Ponieważ <math>\displaystyle A</math> jest domknięty więc <math>\displaystyle A^c=X\setminus A</math>
jest zbiorem otwartym
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (6)).
Niech <math>\displaystyle t\not\in S,</math> będzie nowym indeksem
oraz zdefiniujmy <math>\displaystyle U_t=A^c.</math>
Niech <math>\displaystyle T=S\cup\{t\}.</math>
Wówczas
 
<center><math>\displaystyle U_t\cup
\bigcup_{s\in S}U_s
\ =\
\bigcup_{s\in T}U_s
\ =\
X
\ \supseteq\
B,
</math></center>
 
zatem <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in T}</math> jest pokryciem zbioru <math>\displaystyle B.</math>
Ponieważ zbiór <math>\displaystyle B</math> jest zwarty więc można z niego wybrać
podpokrycie skończone, powiedzmy
<math>\displaystyle U_{s_1},\ldots, U_{s_k}.</math>
Oczywiście jest to także pokrycie zbioru <math>\displaystyle A.</math>
Jeśli wśród zbiorów
<math>\displaystyle U_{s_1},\ldots, U_{s_k}</math> znajduje się zbiór <math>\displaystyle U_t</math> to można go
usunąć (gdyż <math>\displaystyle U_t\cap A=\emptyset</math>) i nadal będzie to skończone
pokrycie zbioru <math>\displaystyle A</math> będące podpokryciem pokrycia
<math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}.</math>
Pokazaliśmy zatem, że zbiór <math>\displaystyle A</math> jest zwarty.<br>
'''(5)''' Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem zwartym oraz
<math>\displaystyle B</math> zbiorem domkniętym.
Z (1) wiemy, że <math>\displaystyle A</math> jest także domknięty,
zatem <math>\displaystyle A\cap B</math> jest zbiorem domkniętym
(patrz [[#tw_1_10|twierdzenie 1.10.]] (9)).
Ponieważ <math>\displaystyle A\cap B</math> jest domkniętym podzbiorem zbioru zwartego
<math>\displaystyle A,</math> więc z (3) wiemy, że jest on zbiorem zwartym,
co należało dowieść.
}}===============
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R10.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R10</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R11.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R11</div></div>
</div>
|}
 
{{uwaga|1.20.||
 
'''(1)''' Z [[#tw_1_19|twierdzenia 1.19.]] wynika w szczególności, że dowolny
zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i
ograniczony.
 
Implikacja odwrotna nie
jest prawdziwa.
Jako przykład weźmy zbiór nieskończony <math>\displaystyle X</math> z metryką dyskretną.
Cały zbiór <math>\displaystyle X</math> jest domknięty
(jako uzupełnienie zbioru otwartego <math>\displaystyle \displaystyle\emptyset</math>) oraz
ograniczony (ponieważ <math>\displaystyle \displaystyle\mathrm{diam}\, X=1</math> patrz [[#prz_1_13|przykład 1.13.]]).
Ale nie jest to zbiór zwarty, ponieważ z pokrycia otwartego
<math>\displaystyle \displaystyle\bigcup\limits_{x\in X}K\big(x,\frac{1}{2}\big)\supseteq X</math>
nie można wybrać pokrycia skończonego
(zauważmy, że
<math>\displaystyle \displaystyle K\big(x,\frac{1}{2}\big)=\{x\}</math>
i usunięcie jakiegokolwiek zbioru z rodziny zbiorów otwartych
<math>\displaystyle \displaystyle\big\{K\big(x,\frac{1}{2}\big)\big\}_{x\in X}</math> powoduje, że rodzina ta przestaje być pokryciem
<math>\displaystyle X</math>).<br>
'''(2)'''
Okazuje się jednak, że w
przestrzeni euklidesowej <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}^N</math> twierdzenie odwrotne jest
prawdziwe. Twierdzenie to bez dowodu poznaliśmy i
wykorzystywaliśmy na wykładzie z Analizy Matematycznej 1.
Będzie to udowodnione na następnym wykładzie
(patrz [[Analiza matematyczna 2/Wykład 2: Ciągi w przestrzeniach metrycznych#wn_2_26|wniosek 2.26.]]).
}}===============
 
Poniższe twierdzenie daje pełną odpowiedź na pytanie jakie
przedziały w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> są zwarte.
 
{{twierdzenie|1.21.||
 
Przedział domknięty i ograniczony <math>\displaystyle \displaystyle [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math>
(<math>\displaystyle -\infty<a<b<\infty</math>) jest zbiorem zwartym.
}}===============
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R12.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R12.swf</div>
</div></div>
{{dowod|twierdzenia 1.21.||
(Dowód nadobowiązkowy.)<br>
Dowód oparty jest na tak zwanych przekrojach Dedekinda.<br>
Niech <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math> będzie dowolnym pokryciem
przedziału <math>\displaystyle P=[a,b]</math> (gdzie <math>\displaystyle a<b</math>).
Skonstruujemy dwa zbiory <math>\displaystyle D_1,D_2\subseteq \mathbb{R}</math>
(tak zwane przekroje Dedekinda),
w następujący sposób:<br>
"<math>\displaystyle x\in D_1</math> wtedy i tylko wtedy, gdy<br>
(1) <math>\displaystyle x<a</math>; lub<br>
(2) <math>\displaystyle a\le x<b</math> oraz przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,x]</math> jest pokryty skończoną
liczbą zbiorów otwartych z rodziny <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}.</math>"<br>
Natomiast:<br>
"<math>\displaystyle x\in D_2</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\displaystyle x\not\in D_1.</math>"<br>
Oczywiście <math>\displaystyle a\in D_1</math>
(bo przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,a]=\{a\}</math> jest pokryty przez
jeden ze zbiorów pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S}</math>).<br>
Zdefiniujmy
<math>\displaystyle z\ \stackrel{df}{=}\ \sup D_1.</math> Oczywiście <math>\displaystyle z\in[a,b].</math><br>
Pokażemy, że
<math>\displaystyle z=b.</math>
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
<math>\displaystyle z<b.</math>
Z definicji pokrycia wiemy, że
 
<center>
<math>\displaystyle \exists s_0\in S:\ z\in U_{s_0}.
</math>
</center>
 
Z definicji zbioru otwartego w
metryce euklidesowej w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> wiemy, że
 
<center>
<math>\displaystyle \exists u,v:\ u<z<v
\  </math> i <math>\displaystyle  \ [u,v]\subseteq U_{s_0}.
</math>
</center>
 
Z kolei z definicji liczby <math>\displaystyle z</math> wynika, że
 
<center>
<math>\displaystyle \exists w\in(u,z):\ w\in D_1,
</math>
</center>
 
to znaczy przedział <math>\displaystyle \displaystyle [a,w]</math> jest pokryty skończoną ilością zbiorów z
pokrycia <math>\displaystyle \displaystyle\{U_s\}_{s\in S},</math>
powiedzmy
 
<center>
<math>\displaystyle [a,w]
\ \subseteq\
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}.
</math>
</center>
 
Wówczas
 
<center><math>\displaystyle [a,v]
\ \subseteq\
U_{s_1}\cup U_{s_2}\cup\ldots\cup U_{s_k}
\cup U_{s_0},
</math></center>
 
czyli <math>\displaystyle v\in D_1,</math>
ale to jest sprzeczne z definicją <math>\displaystyle z.</math>
Zatem wykazaliśmy, że <math>\displaystyle z=b.</math>
 
Teraz w analogiczny sposób jak wyżej pokazujemy, że <math>\displaystyle z\in D_1,</math>
skąd wynika teraz naszego twierdzenia.
}}===============
 
{{twierdzenie|1.22.||
 
Przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są zwarte w
<math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}.</math>
}}===============
 
{{dowod|twierdzenia 1.22.||
 
Aby pokazać, że przedziały otwarte i otwarto-domknięte nie są
zwarte, wskażemy pokrycia otwarte tych przedziałów, z których
nie można wybrać podpokryć skończonych.
Niech <math>\displaystyle a<b.</math>
 
<center><math>\begin{array}{rll}\displaystyle
(a,b)
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
\left.\left(a,b\right.\right]
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a+\frac{1}{n},b+1\bigg),\\
\left[\left.a,b\right)\right.
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigg(a-1,b-\frac{1}{n}\bigg)\\
(-\infty,b)
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b\big),\\
\left.\left(-\infty,b\right.\right]
&\displaystyle  \subseteq  &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,b+1\big),\\
(a,+\infty)
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a,n\big),\\
\left[\left.a,+\infty\right)\right.
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(a-1,n\big)\\
\left(-\infty,+\infty\right)
&\displaystyle  \subseteq &\displaystyle
\bigcup_{n=1}^{\infty}\big(-n,n\big).
\end{array}</math></center>
 
Uzasadnienie, iż z powyższych pokryć nie można wybrać pokryć
skończonych pozostawiamy jako proste ćwiczenie.
}}===============
 
==Spójność==
 
Ostatnim pojęciem jakie wprowadzimy na tym wykładzie jest
spójność zbioru w przestrzeni metrycznej.
Intuicyjnie spójność zbioru <math>\displaystyle A</math> oznacza, że składa się on
z "jednego kawałka".
Jednak aby formalnie zdefiniować to pojęcie potrzebujemy nieco
bardziej skomplikowanej definicji.
 
{{definicja|1.23.||
 
Niech <math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> będzie przestrzenią metryczną
<math>\displaystyle A\subseteq X.</math><br>
Zbiór <math>\displaystyle A</math> nazywamy '''''spójnym''''',
jeśli nie jest zawarty w sumie dwóch zbiorów otwartych,
rozłącznych, z którymi ma niepuste przecięcie,
to znaczy nie istnieją dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> takie, że
 
<center><math>\displaystyle
\left\{
\begin{array} {l}
A\subseteq U\cup V\\
A\cap U\ne\emptyset,\ A\cap V\ne\emptyset\\
U\cap V=\emptyset\\
U,V\  \textrm{ -- są otwarte } \displaystyle 
\end{array}
\right.
</math></center>
 
}}===============
 
{{przyklad|1.24.||
 
Pierwszy z poniższych rysunków przedstawia zbiór spójny <math>\displaystyle A.</math>
Jeśli dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są otwarte, rozłączne i mają niepuste
przecięcie z <math>\displaystyle A,</math> to nie mogą w sumie zawierać całego <math>\displaystyle A</math>
(to znaczy <math>\displaystyle \displaystyle\exists x\in A:\ x\not\in U\cap V</math>).<br>
Zbiór <math>\displaystyle B</math> na kolejnym rysunku nie jest spójny,
gdyż istnieją dwa zbiory <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> spełniające wszystkie cztery
warunki z definicji spójności zbioru.<br>
}}===============
{| border="0" align="center" cellspacing="10"
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R13.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R13</div></div>
</div>
|<div class="thumb"><div style="width:253px;">
<flashwrap>file=AM2.M01.W.R14.swf|size=small</flashwrap>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R14</div></div>
</div>
|}
{{twierdzenie|1.25.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle A\subseteq\mathbb{R}</math>
to
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem spójnym
wtedy i tylko wtedy, gdy
<math>\displaystyle A</math> jest przedziałem.
}}===============
 
<div class="thumb tright"><div style="width:375px;">
<flash>file=AM2.M01.W.R15.swf|width=375|height=375</flash>
<div.thumbcaption>AM2.M01.W.R15.swf</div>
</div></div>
{{dowod|1.25. [nadobowiązkowy]||
[Szkic]
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longrightarrow</math>"<br>
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie zbiorem spójnym.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że <math>\displaystyle A</math> nie jest przedziałem,
to znaczy
 
<center>
<math>\displaystyle \exists d\in A^c,\ \exists a,b\in A:\
a<d<b.
</math>
</center>
 
Zdefiniujmy
 
<center>
<math>\displaystyle U\ \stackrel{df}{=}\  (-\infty,d),\quad
V\ \stackrel{df}{=}\  (d,+\infty).
</math>
</center>
 
Wówczas <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math> są zbiorami otwartymi (dlaczego?),
<math>\displaystyle U\cap A\ne\emptyset</math> i  <math>\displaystyle V\cap A\ne\emptyset</math>
(bo <math>\displaystyle a\in U\cap A</math> i <math>\displaystyle b\in V\cap A</math>),
<math>\displaystyle A\subseteq U\cup V</math> oraz <math>\displaystyle U\cap V=\emptyset.</math>
Jest to sprzeczne ze spójnością zbioru <math>\displaystyle A.</math><br>
<br>
"<math>\displaystyle \displaystyle\Longleftarrow</math>" (Będziemy korzystali z faktu, że supremum zbioru otwartego
w <math>\displaystyle \displaystyle\mathbb{R}</math> nie jest elementem tego zbioru).<br>
Niech <math>\displaystyle A</math> będzie przedziałem.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że <math>\displaystyle A</math> nie jest zbiorem
spójnym.
Zatem istnieją dwa niepuste zbiory otwarte <math>\displaystyle U</math> i <math>\displaystyle V</math>
takie, że
 
<center>
<math>\displaystyle U\cap V=\emptyset,\quad
A\subseteq U\cup V.
</math>
</center>
 
oraz
 
<center>
<math>\displaystyle \exists a,b\in A:\ a\in U,\  b\in V.
</math>
</center>
 
Bez straty ogólności możemy założyć, że
<math>\displaystyle a<b.</math><br>
Zdefiniujmy <math>\displaystyle z=\sup (U\cap [a,b]).</math>
Ponieważ <math>\displaystyle b\in V</math> i <math>\displaystyle V</math> jest otwarty, więc <math>\displaystyle z<b.</math>
Gdyby <math>\displaystyle z\in U,</math> to z faktu, że <math>\displaystyle U</math> jest zbiorem otwartym
wynikałoby, że <math>\displaystyle z</math> nie jest kresem górnym zbioru <math>\displaystyle U\cap
[a,b].</math>
Zatem <math>\displaystyle z\not\in U.</math><br>
Ponieważ <math>\displaystyle a\in U</math> i <math>\displaystyle U</math> jest otwarty, więc <math>\displaystyle a<z.</math>
Gdyby <math>\displaystyle z\in V,</math> to z faktu, że <math>\displaystyle V</math> jest otwarty wynikałoby, że
<math>\displaystyle z</math> nie jest kresem górnym zbioru <math>\displaystyle U\cap [a,b].</math>
Zatem <math>\displaystyle z\not\in V.</math><br>
Pokazaliśmy, że <math>\displaystyle z\not\in U\cap V.</math> Ale <math>\displaystyle z\in A,</math>
więc doszliśmy do sprzeczności z faktem, że
<math>\displaystyle A\subseteq U\cap V.</math><br>
Pokazaliśmy zatem, że
<math>\displaystyle A</math> jest zbiorem spójnym.
}}===============
 
Kolejne twierdzenie (które podajemy bez dowodu) mówi,
że suma dowolnej rodziny zbiorów spójnych jest zbiorem spójnym,
pod warunkiem, że mają one niepuste przecięcie.
 
{{twierdzenie|1.26.||
 
Jeśli
<math>\displaystyle \displaystyle (X,d)</math> jest przestrzenią metryczną,
<math>\displaystyle \displaystyle\{X_s\}_{s\in S}</math> jest rodziną podzbiorów spójnych w <math>\displaystyle X</math>
takich, że
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcap_{s\in S}X_s\ne\emptyset,</math>
to
zbiór
<math>\displaystyle \displaystyle \bigcup_{s\in S}X_s</math>
jest spójny.
}}===============

Aktualna wersja na dzień 16:20, 15 wrz 2006

<img src="http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg" alt="nazwa alternatywna">

<a href="http://osilek.mimuw.edu.pl">http://osilek.mimuw.edu.pl/images/b/b1/Wykres.jpg</a>

http://osilek.mimuw.edu.pl/images/d/d8/Wykres.gif

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=GW&oldid=51276”