Języki, automaty i obliczenia/Ćwiczenia 10: Lemat o pompowaniu dla języków bezkontekstowych. Własności języków bezkontekstowych. Problemy rozstrzygalne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:58, 15 wrz 2023

Ćwiczenia 10

Ćwiczenie 1

Wykorzystując lemat o pompowaniu, udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:

$L = {a^{n} b^{m} c^{k} : k = \max {n, m}}$
$L = {a^{k} b^{n} c^{m} : k < n < m}$
$L = {w \overset{\leftarrow}{w} a^{| w |} : w \in {a, b}^{*}}$

Rozwiązanie

We wszystkich przypadkach dowód przeprowadzimy nie wprost zakładając, że język $L$ jest bezkontekstowy, a więc spełnia tezę lematu o pompowaniu.

Punkt 1.
Rozważmy słowo $a^{n} b^{n} c^{n} \in L$ , dla $3 n ⩾ N$ , gdzie $N$ jest stałą z lematu o pompowaniu. Podobnie jak w przykładzie 1.1 pokazujemy, że jedyną możliwością rozłożenia słowa $a^{n} b^{n} c^{n} = u_{1} w_{1} u w_{2} u_{2}$ zgodnym z lematem o pompowaniu jest przyjęcie jako $w_{1}$ i $w_{2}$ potęgi jednej z liter $a, b, c$ . To wyklucza dla pewnych $i$ przynależność do języka $L$ słów $u_{1} w_{1}^{i} u w_{2}^{i} u_{2}$ .

Punkt 2.
Podobnie jak w punkcie 1 rozważmy szczególne dostatecznie długie słowo z języka $L$ , a mianowicie $a^{n} b^{n + 1} c^{n + 2} \in L$ i niech $3 n + 3 ⩾ N$ , gdzie $N$ jest stałą z lematu o pompowaniu. Dalsze rozumowanie jest analogicze jak w punkcie 1.

Punkt 3.
Dostatecznie długie słowo $w \overset{\leftarrow}{w} a^{| w |} \in L$ możemy rozłożyć na katenację pięciu słów tak, by był spełniony warunek pompowania z lematu. Jeśli $w = a_{1} . . . a_{n}$ , to

w \overset{\leftarrow}{w} a^{| w |} = \underset{u_{1}}{\underset{⏟}{a_{1} . . . a_{k}}} \underset{w_{1}}{\underset{⏟}{a_{k + 1} . . . a_{n} a_{n} . . . . a_{k + 1}}} \underset{u}{\underset{⏟}{a_{k} . . . a_{1}}} \underset{w_{2}}{\underset{⏟}{a^{2 (n - k)}}} \underset{u_{2}}{\underset{⏟}{a^{2 k - n}}}

dla dowolnego $k$ takiego, że $k < n ⩽ 2 k$ . Dla $n > M$ ( $M$ jest stałą z lematu o pompowaniu) $| w_{1} u w_{2} | > M$ . Innej możliwości rozkładu słowa z języka $L$ już nie ma. Dalej postępujemy standardowo.

Wprowadzimy uogólnienie lematu o pompowaniu dla języków bezkontekstowych. Dla słowa $w \in A^{*}$ o długości $n$ dowolną liczbę ze zbioru ${1, . . . . ., n}$ nazywamy pozycją w słowie $w$ . Ustalając dowolny podzbiór $P \subset {1, . . . . ., n}$ , będziemy mówić, że w słowie $w$ wyróżniono pozycje ze zbioru $P$ .

Lemat 1 (Ogden)

Dla dowolnego języka bezkontekstowego $L \subset A^{*}$ istnieje liczba naturalna $M ⩾ 1$ taka, że każde słowo $w \in L$ , w którym wyróżniono $M$ lub więcej pozycji, można przedstawić w formie $w = u_{1} w_{1} u w_{2} u_{2}$ , gdzie $w_{1,} w_{2}, v_{1}, v_{2}, u \in A^{*}$ oraz

$w_{1} w_{2}$ zawiera przynajmniej jedną wyróżnioną pozycję,
$w_{1} u w_{2}$ zawiera co najwyżej $M$ wyróżnionych pozycji,
$u_{1} w_{1}^{i} u w_{2}^{i} u_{2} \in L$ dla $i = 0, 1, .$ .

Lemat o pompowaniu jest szczególnym przypadkiem lematu Ogdena. Lemat Ogdena można próbować stosować w tych przypadkach, w których lemat o pompowaniu nie działa.

Ćwiczenie 2

Stosując lemat Ogdena pokaż, że język $L = {a^{i} b^{j} c^{k} : i = j, j = k, k = i}$ nie jest bezkontekstowy.

Rozwiązanie

Nie wprost, załóżmy, że $L$ jest bezkontekstowy i niech $M$ będzie stałą z lematu Ogdena. Rozważmy słowo $w = a^{M} b^{M! + M} c^{2 M! + M}$ . Wyróżnijmy wszystkie pozycje, na których znajdują się litery $a$ .

Weźmy rozkład $w = u_{1} w_{1} u w_{2} u_{2}$ . Zauważmy, że jeśli w $w_{1}$ lub $w_{2}$ występują co najmniej dwie różne litery, to $w \in̸ L$ (np. jeśli $w_{1}$ składa się z liter $a$ i $b$ to w słowie $w_{1}^{2}$ przynajmniej jedna litera $a$ znajdzie się za jakąś literą $b$ ). Ponieważ zaznaczyliśmy pozycje liter $a$ , to z założenia lematu musi być $w_{1} \in a^{+}$ lub $w_{2} \in a^{+}$ .

Jeśli $w_{2} \in b^{*}$ lub $w_{2} \in a^{*}$ to $w_{1} \in a^{+}$ . Jeśli natomiast $w_{2} \in a^{+}$ , to $w_{1} \in a^{*}$ (dlaczego?). Rozważmy przypadek, gdy $w_{1} \in a^{+}$ oraz $w_{2} \in b^{*}$ (pozostałe przypadki traktowane są analogicznie). Niech $p = | w_{1} |$ . Ponieważ $1 ⩽ p ⩽ M$ , to $p$ dzieli $M!$ . Niech $q = \frac{M!}{p}$ . Słowo $z = u_{1} w_{1}^{2 q + 1} u w_{2}^{2 q + 1} u_{2}$ należy do $L$ , ale $w_{1}^{2 q + 1} = a^{p (2 q + 1)} = a^{2 p q + p} = a^{2 M! + p}$ . Ponieważ $♯_{a} u_{1} u u_{2} = M - p$ , to mamy $♯_{a} z = 2 M! + p + (M - p) = 2 M! + M$ , ale jednocześnie $♯_{c} z = 2 M! + M = ♯_{a} z$ . Otrzymaliśmy sprzeczność.

W pozostałych przypadkach w analogiczny sposób dochodzimy do takiej sprzeczności. Zatem $L$ nie jest bezkontekstowy.

Ćwiczenie 3

Udowodnij, że dla dowolnego języka $L$ nad alfabetem jednoelementowym

L \in ℒ_{3} \Leftrightarrow L \in ℒ_{2}

.

Rozwiązanie

Wystarczy udowodnić, że każdy język bezkontekstowy jest regularny. Niech $L \subset {a}^{*}$ będzie językiem bezkontekstowym. Z lematu o pompowaniu wynika, że $\exists N, M ⩾ 1$ takie, że każde słowo $w \in L$ o długości $| w | > N$ można przedstawić w formie $w = u_{1} w_{1} u w_{2} u_{2}$ , gdzie $w_{1,} w_{2}, v_{1}, v_{2}, u \in A^{*}$ oraz $| w_{1} u w_{2} | ⩽ M$ , $w_{1} w_{2} \neq 1$ , $u_{1} w_{1}^{i} u w_{2}^{i} u_{2} \in L$ dla $i = 0, 1, .$ .
Stąd, że $L \subset {a}^{*}$ wynika, że $w = a^{p} a^{k}$ dla pewnego $k ⩽ M$ oraz $a^{p} (a^{k})^{i} \in L$ dla $i = 0, 1, .$ ..
Przyjmijmy $n = M!$ . Wówczas dla każdego słowa $w \in L$ o długości $| w | > N$ mamy $w (a^{n})^{*} = w (a^{k})^{\frac{n}{k}} \subset L \subset {a}^{*}$ .
Dla $i = 1, \dots, n$ oznaczmy przez

L_{i} = a^{p + i} (a^{n})^{*} \cap L

.

Jeśli $L_{i} \neq \emptyset$ , to niech $w_{i} \in L_{i}$ będzie słowem o najmniejszej długości. Wówczas

\forall w \in L : | w | > N w \in ⋃_{i = 1}^{n} w_{i} (a^{n})^{*}

. Zatem

L = {w \in L : | w | ⩽ p} \cup ⋃_{i = 1}^{n} w_{i} (a^{n})^{*}

Ćwiczenie 4

Udowodnij, że język $L = {a^{n} b^{n} : n nie jest wielokrotnością liczby 5}$ jest bezkontekstowy.

Rozwiązanie

Język $L = L_{1} \cap {\overline{L}}_{2}$ , gdzie
$L_{1} = {a^{n} b^{n} : n ⩾ 0}$ jest językiem bezkontekstowym,
$L_{2} = {w \in {a, b}^{*} : | w | = 5 k dla pewnego k ⩾ 0}$ jest językiem regularnym.
Języki regularne są domknięte ze względu na uzupełnienie, a przecięcie języka bezkontekstowego z regularnym jest językiem bezkontekstowym.

Ćwiczenie 5

Czy gramatyka poprawnych nawiasów

({v_{0}}, {(,)}, v_{0}, P)

gdzie

P : v_{0} \to v_{0} v_{0} | (v_{0}) | 1

jest jednoznaczna?

Rozwiązanie

Gramatyka nie jest jednoznaczna. Oto dwie pochodne lewostronne słowa $(()) ()$ :
$v_{0} \mapsto v_{0} v_{0} \mapsto (v_{0}) v_{0} \mapsto ((v_{0})) v_{0} \mapsto (()) v_{0} \mapsto (()) (v_{0}) \mapsto (()) ()$
$v_{0} \mapsto v_{0} v_{0} \mapsto v_{0} v_{0} v_{0} \mapsto (v_{0}) v_{0} v_{0} \mapsto ((v_{0})) v_{0} v_{0} \mapsto (()) v_{0} v_{0} \mapsto (()) (v_{0}) v_{0} \mapsto (()) () v_{0} \mapsto (()) ()$

Ćwiczenie 6

Określ gramatyki generujące języki:

$L_{1} = {a^{n} b^{m} c^{m} : m, n ⩾ 0} \cup {a^{n} b^{n} c^{m} : m, n ⩾ 0}$ ,
$L_{2} = {a^{n} b^{n} a^{p} b^{q} : n, p, q ⩾ 1} \cup {a^{n} b^{m} a^{p} b^{p} : n, m, p ⩾ 1}$ .

Czy gramatyki te są jednoznaczne?

Rozwiązanie

Język $L_{1}$ jest generowany przez gramatykę $G_{1}$ o zbiorze praw
$\begin{aligned} P_{1} : v_{0} \to v_{1} c | a w_{1} | a v_{2} b | 1, v_{1} \to v_{1} c | a v_{2} b | 1, v_{2} \to a v_{2} b | 1, \\ w_{1} \to a w_{1} | b w_{2} c | 1, w_{2} \to b w_{2} c | 1 . \end{aligned}$
Gramatyka ta nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci $a^{n} b^{n} c^{n}$ ma dwa różne wyprowadzenia. Na przykład dla słowa $a b c$ mamy:

v_{0} \mapsto v_{1} c \mapsto a v_{2} b c \mapsto a b c

v_{0} \mapsto a w_{1} \mapsto a b w_{2} c \mapsto a b c

Język $L_{2}$ jest generowany przez gramatykę $G_{2}$ o zbiorze praw
$\begin{aligned} P_{2} : v_{0} \to v_{1} | v_{2}, v_{1} \to a v_{1} | a v_{3}, v_{2} \to v_{2} b | v_{4} b, v_{3} \to b v_{3} | b v_{5}, \\ v_{4} \to v_{4} a | v_{6} a, v_{5} \to a v_{5} b | a b, v_{6} \to a v_{6} b | a b . \end{aligned}$
Gramatyka $G_{2}$ też nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci $a^{n} b^{n} a^{p} b^{p}$ ma dwa różne wyprowadzenia. Natomiast język $L_{2}$ jest również generowany przez gramatykę $G_{3}$ o zbiorze praw
$\begin{aligned} P_{3} : v_{0} \to v_{1} v_{1} | v_{1} v_{2} | v_{2} v_{1}, v_{1} \to a v_{1} b | a b, v_{2} \to a v_{3} | v_{4} b, v_{3} \to a v_{3}, \\ v_{4} \to v_{4} b | v_{1} b \end{aligned}$
i ta gramatyka jest jednoznaczna, co oznacza, że język $L_{2}$ jest jednoznaczny.
Uwaga. Język $L_{2}$ można rozłożyć na sumę trzech rozłącznych i bezkontekstowych języków.
$L_{2} = {a^{n} b^{n} a^{p} b^{p} : n, p ⩾ 1} \cup {a^{n} b^{n} a^{p} b^{q} : n, p, q ⩾ 1, p \neq q} \cup {a^{n} b^{m} a^{p} b^{p} : m, n, p ⩾ 1, n \neq m}$ .
Gramatyka $G_{3}$ generuje niezależnie od siebie te trzy zbiory. Rozkładając analogicznie język $L_{1}$ , otrzymujemy:
$L_{1} = {a^{n} b^{n} c^{n} : n ⩾ 0} \cup {a^{n} b^{n} c^{m} : k, m, n ⩾ 0, n \neq m} \cup {a^{n} b^{m} c^{m} : m, n ⩾ 0, n \neq m}$ .
Tym razem nie jest to rozkład na sumę języków bezkontekstowych.

Ćwiczenie 7

Dana niech będzie gramatyka ( $v_{0}$ jest symbolem początkowym):

\begin{aligned} v_{0} & \to & v_{0} v_{1} | v_{3} v_{1} \\ v_{1} & \to & v_{1} v_{2} | v_{2} v_{3} \\ v_{2} & \to & v_{4} v_{1} | v_{3} v_{3} | a \\ v_{3} & \to & v_{1} v_{2} | v_{4} v_{2} | b \\ v_{4} & \to & v_{3} v_{4} | v_{0} v_{1} | c \end{aligned}

Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego, sprawdź, czy poniższe słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę:

$w_{1} = b a c$ ,
$w_{2} = b a b c a b$ ,
$w_{3} = b c a a c a$ .

Rozwiązanie

$w_{1} \in̸ L (G)$ , $w_{2}, w_{3} \in L (G)$ .

ZADANIA DOMOWE

Ćwiczenie 8

Wykorzystując lemat o pompowaniu, udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:

$L = {a^{n} b^{m} c^{k} : k = m i n {m, n}}$
$L = {a^{n} b^{m} c^{k} : k = m n}$
$L = {a^{n} b^{n^{2}}}$

Ćwiczenie 9

Stosując lemat Ogdena, pokaż, że język $L = {a^{i} b^{j} c^{k} : i, j, k > 1, k = i r, k = j s$ gdzie $r, s \in {2, 3, . . .}}$ nie jest bezkontekstowy.

Wskazówka

Rozważ słowo $a^{P} b^{P} c^{(P - 1)!}$ , gdzie $P$ jest liczbą pierwszą większą niż $M + 1$ i większą niż 3, gdzie $M$ jest stałą z lematu. Jako pozycje oznaczone wybierz wszystkie pozycje liter $c$ .

Ćwiczenie 10

Udowodnij, że język $L = {w \overset{\leftarrow}{w} : w \in {a, b}^{*} ∖ {a b^{2} a}}$ jest bezkontekstowy.

Ćwiczenie 11

Czy gramatyka poprawnych nawiasów

({v_{0}, v_{1}}, {(,)}, v_{0}, P)

gdzie

P : v_{0} \to v_{1} v_{0} | 1, v_{1} \to (v_{0})

rozważana w przykładzie 1.2 jest jednoznaczna?

Ćwiczenie 12

Określ gramatyki generujące języki:

$L_{3} = {a^{n} b^{m} c^{n} d^{p} : m, n, p ⩾ 0} \cup {a^{n} b^{m} c^{p} d^{m} : m, n, p ⩾ 0}$ ,
$L_{4} = {a^{n} b^{2 n} : n ⩾ 1} \cup {a^{n} b^{3 n} : n ⩾ 1}$ .

Czy gramatyki te są jednoznaczne? Wykaż, że język $L_{4}$ jest jednoznaczny.

Ćwiczenie 13

Napisz algorytmy rozstrzygające, czy dany język bezkontekstowy jest:

nieskończny,
niepusty.

Ćwiczenie 14

Dana niech będzie gramatyka ( $v_{0}$ jest symbolem początkowym):

\begin{aligned} v_{0} & \to & v_{0} v_{1} | v_{3} v_{1} \\ v_{1} & \to & v_{2} v_{1} | v_{3} v_{2} \\ v_{2} & \to & v_{1} v_{4} | v_{3} v_{3} | a \\ v_{3} & \to & v_{2} v_{2} | v_{4} v_{2} | b \\ v_{4} & \to & v_{1} v_{4} | v_{0} v_{1} | c . \end{aligned}

Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego, sprawdź, czy poniższe słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę:

$w_{1} = c a b b a$ ,
$w_{2} = b a c c a b$ ,
$w_{3} = a a b b c c$ .

Języki, automaty i obliczenia/Ćwiczenia 10: Lemat o pompowaniu dla języków bezkontekstowych. Własności języków bezkontekstowych. Problemy rozstrzygalne: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 21:58, 15 wrz 2023

Ćwiczenia 10

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia

@@ Linia 2: / Linia 2: @@
 {{cwiczenie|1||
-Wykorzystując lemat o pompowaniu udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:
+Wykorzystując lemat o pompowaniu, udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=\max \left\{ n,m\right\} \right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=\max \left\{ n,m\right\} \right\}</math>
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ a^{k}b^{n}c^{m}:k<n<m\right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ a^{k}b^{n}c^{m}:k<n<m\right\}</math>
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ w\overleftarrow{w}a^{|w|}:w\in \left\{ a,b\right\} ^{*}\right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ w\overleftarrow{w}a^{|w|}:w\in \left\{ a,b\right\} ^{*}\right\}</math>
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-We wszystkich przypadkach dowód przeprowadzimy nie wprost zakładając, że język <math>\displaystyle L</math> jest
+We wszystkich przypadkach dowód przeprowadzimy nie wprost zakładając, że język <math>L</math> jest
 bezkontekstowy, a więc spełnia tezę lematu o pompowaniu.<br>
 Punkt 1.<br>
-Rozważmy słowo <math>\displaystyle  a^{n}b^{n}c^n \in L</math>, dla  <math>\displaystyle 3n \geqslant N</math>, gdzie <math>\displaystyle N</math> jest stałą z lematu o pompowaniu.
+Rozważmy słowo <math>a^{n}b^{n}c^n \in L</math>, dla  <math>3n \geqslant N</math>, gdzie <math>N</math> jest stałą z lematu o pompowaniu.
-Podobnie jak w przykładzie [[##lekcja11-w -ex1.1|Uzupelnic lekcja11-w -ex1.1|]]  pokazujemy, że jedyną możliwością rozłożenia
+Podobnie jak w przykładzie [http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=J%C4%99zyki%2C_automaty_i_obliczenia/Wyk%C5%82ad_10:_Lemat_o_pompowaniu_dla_j%C4%99zyk%C3%B3w_bezkontekstowych._W%C5%82asno%C5%9Bci_j%C4%99zyk%C3%B3w_bezkontekstowych._Problemy_rozstrzygalne#prz.1 1.1]  pokazujemy, że jedyną możliwością rozłożenia
-słowa <math>\displaystyle  a^{n}b^{n}c^n = u_1w_1uw_2u_2</math> zgodnym z lematem o pompowaniu jest przyjęcie jako   <math>\displaystyle w_1</math> i <math>\displaystyle w_2</math> potęgi
+słowa <math>a^{n}b^{n}c^n = u_1w_1uw_2u_2</math> zgodnym z lematem o pompowaniu jest przyjęcie jako   <math>w_1</math> i <math>w_2</math> potęgi
-jednej z liter <math>\displaystyle a,b,c</math>. To wyklucza dla pewnych <math>\displaystyle i</math> przynależność do języka <math>\displaystyle L</math> słów <math>\displaystyle   u_1w_1^i uw_2^iu_2</math>.<br>
+jednej z liter <math>a,b,c</math>. To wyklucza dla pewnych <math>i</math> przynależność do języka <math>L</math> słów <math>u_1w_1^i uw_2^iu_2</math>.<br>
 Punkt 2.<br>
-Podobnie jak w punkcie 1 rozważmy szczególne dostatecznie długie słowo z języka <math>\displaystyle L</math>, a mianowicie
+Podobnie jak w punkcie 1 rozważmy szczególne dostatecznie długie słowo z języka <math>L</math>, a mianowicie
-<math>\displaystyle a^{n}b^{n+1}c^{n+2} \in L</math> i niech <math>\displaystyle 3n+3 \geqslant N</math>, gdzie <math>\displaystyle N</math> jest stałą z lematu o pompowaniu. Dalsze rozumowanie
+<math>a^{n}b^{n+1}c^{n+2} \in L</math> i niech <math>3n+3 \geqslant N</math>, gdzie <math>N</math> jest stałą z lematu o pompowaniu. Dalsze rozumowanie
 jest analogicze jak w punkcie 1.<br>
 Punkt 3.<br>
-Dostatecznie długie słowo <math>\displaystyle  w\overleftarrow{w}a^{|w|}\in L</math> możemy rozłożyć na katenację pięciu słów
+Dostatecznie długie słowo <math>w\overleftarrow{w}a^{|w|}\in L</math> możemy rozłożyć na katenację pięciu słów
-tak by był spełniony  warunek pompowania z lematu. Jeśli <math>\displaystyle w=a_1...a_n</math>, to
+tak, by był spełniony  warunek pompowania z lematu. Jeśli <math>w=a_1...a_n</math>, to
-<center><math>\displaystyle w\overleftarrow{w}a^{|w|}=\underbrace {a_1...a_k}_{u_1} \underbrace{a_{k+1}...a_n a_n....a_{k+1}}_{w_1 }
+<center><math>w\overleftarrow{w}a^{|w|}=\underbrace {a_1...a_k}_{u_1} \underbrace{a_{k+1}...a_n a_n....a_{k+1}}_{w_1 }
 \underbrace{a_k ...a_1}_u \underbrace{a^{2(n-k)}}_{w_2} \underbrace{a^{2k-n}} _{u_2}</math></center>
-dla dowolnego <math>\displaystyle k</math> takiego, że <math>\displaystyle k<n\leqslant 2k</math>. Dla <math>\displaystyle n> M</math> (<math>\displaystyle M</math> jest stałą z lematu o pompowaniu) <math>\displaystyle |w_1 uw_2|>M</math>.
+dla dowolnego <math>k</math> takiego, że <math>k<n\leqslant 2k</math>. Dla <math>n> M</math> (<math>M</math> jest stałą z lematu o pompowaniu) <math>|w_1 uw_2|>M</math>.
-Innej możliwości rozkładu słowa z języka <math>\displaystyle L</math> już nie ma. Dalej postępujemy standardowo.
+Innej możliwości rozkładu słowa z języka <math>L</math> już nie ma. Dalej postępujemy standardowo.
-Wprowadzimy uogólnienie lematu o pompowaniu dla języków bezkontekstowych. Dla słowa <math>\displaystyle w \in A^*</math>
+Wprowadzimy uogólnienie lematu o pompowaniu dla języków bezkontekstowych. Dla słowa <math>w \in A^*</math>
-o długości <math>\displaystyle n</math> dowolną liczbę ze zbioru <math>\displaystyle \{1,.....,n\}</math> nazywamy pozycją w słowie <math>\displaystyle w</math>. Ustalając
+o długości <math>n</math> dowolną liczbę ze zbioru <math>\{1,.....,n\}</math> nazywamy pozycją w słowie <math>w</math>. Ustalając
-dowolny podzbiór <math>\displaystyle P \subset \{1,.....,n\}</math> będziemy mówić, że w słowie <math>\displaystyle w</math> wyróżniono pozycje ze zbioru <math>\displaystyle P</math>.
+dowolny podzbiór <math>P \subset \{1,.....,n\}</math>, będziemy mówić, że w słowie <math>w</math> wyróżniono pozycje ze zbioru <math>P</math>.
 </div></div>
 {{lemat|1 (Ogden)||
-Dla dowolnego języka bezkontekstowego <math>\displaystyle L \subset A^*</math> istnieje
+Dla dowolnego języka bezkontekstowego <math>L \subset A^*</math> istnieje
-liczba naturalna <math>\displaystyle M \geqslant 1</math> taka, że każde słowo <math>\displaystyle w \in L</math>, w którym
+liczba naturalna <math>M \geqslant 1</math> taka, że każde słowo <math>w \in L</math>, w którym
-wyróżniono <math>\displaystyle M</math> lub więcej pozycji, można przedstawić w formie
+wyróżniono <math>M</math> lub więcej pozycji, można przedstawić w formie
-<math>\displaystyle w=u_1w_1uw_2u_2</math>, gdzie  <math>\displaystyle w_{1,}w_{2},v_{1},v_{2},u\in A^{*}  </math>
+<math>w=u_1w_1uw_2u_2</math>, gdzie  <math>w_{1,}w_{2},v_{1},v_{2},u\in A^{*}</math>
 oraz
-# <math>\displaystyle w_1w_2</math> zawiera przynajmniej jedną wyróżnioną pozycję,
+# <math>w_1w_2</math> zawiera przynajmniej jedną wyróżnioną pozycję,
-# <math>\displaystyle w_1uw_2</math> zawiera co najwyżej <math>\displaystyle M</math> wyróżnionych pozycji,
+# <math>w_1uw_2</math> zawiera co najwyżej <math>M</math> wyróżnionych pozycji,
-# <math>\displaystyle u_1w_1^iuw_2^iu_2 \in L</math> dla <math>\displaystyle i=0,1,...</math>
+# <math>u_1w_1^iuw_2^iu_2 \in L</math> dla <math>i=0,1,.</math>.
 }}
@@ Linia 56: / Linia 56: @@
 {{cwiczenie|2||
-Stosując lemat Ogdena pokaż, że język <math>\displaystyle L=\{a^ib^jc^k: i \not = j, j
+Stosując lemat Ogdena pokaż, że język <math>L=\{a^ib^jc^k: i \not = j, j
 \not = k, k \not = i\}</math> nie jest bezkontekstowy.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Nie wprost, załóżmy, że <math>\displaystyle L</math> jest bezkontekstowy i niech
+Nie wprost, załóżmy, że <math>L</math> jest bezkontekstowy i niech
-<math>\displaystyle M</math> będzie stałą z lematu Ogdena. Rozważmy słowo
+<math>M</math> będzie stałą z lematu Ogdena. Rozważmy słowo
-<math>\displaystyle w=a^Mb^{M!+M}c^{2M!+M}</math>. Wyróżnijmy wszystkie pozycje, na których
+<math>w=a^Mb^{M!+M}c^{2M!+M}</math>. Wyróżnijmy wszystkie pozycje, na których
-znajdują się litery <math>\displaystyle a</math>.
+znajdują się litery <math>a</math>.
-Weźmy rozkład <math>\displaystyle w=u_1w_1uw_2u_2</math>. Zauważmy, że jeśli w <math>\displaystyle w_1</math> lub
+Weźmy rozkład <math>w=u_1w_1uw_2u_2</math>. Zauważmy, że jeśli w <math>w_1</math> lub <math>w_2</math> występują co najmniej dwie różne litery, to <math>w \not \in L</math> (np. jeśli <math>w_1</math> składa się z liter <math>a</math> i <math>b</math> to w słowie <math>w_1^2</math> przynajmniej jedna litera <math>a</math> znajdzie się za jakąś literą <math>b</math>). Ponieważ zaznaczyliśmy pozycje liter <math>a</math>, to z założenia lematu musi
-<math>\displaystyle w_2</math> występują co najmniej dwie różne litery, to <math>\displaystyle w \not \in L</math>
+być <math>w_1 \in a^+</math> lub <math>w_2 \in a^+</math>.
-(np. jeśli <math>\displaystyle w_1</math> składa się z liter <math>\displaystyle a</math> i <math>\displaystyle b</math> to w słowie <math>\displaystyle w_1^2</math>
-przynajmniej jedna litera <math>\displaystyle a</math> znajdzie się za jakąś literą <math>\displaystyle b</math>).
-Ponieważ zaznaczyliśmy pozycje liter <math>\displaystyle a</math>, to z założenia lematu musi
-być <math>\displaystyle w_1 \in a^+</math> lub <math>\displaystyle w_2 \in a^+</math>.
-Jeśli <math>\displaystyle w_2 \in b^*</math> lub <math>\displaystyle w_2 \in a^*</math> to <math>\displaystyle w_1 \in a^+</math>. Jeśli
+Jeśli <math>w_2 \in b^*</math> lub <math>w_2 \in a^*</math> to <math>w_1 \in a^+</math>. Jeśli natomiast <math>w_2 \in a^+</math>, to <math>w_1 \in a^*</math> (dlaczego?).
-natomiast <math>\displaystyle w_2 \in a^+</math>, to <math>\displaystyle w_1 \in a^*</math> (dlaczego?). Rozważmy
+Rozważmy przypadek, gdy <math>w_1 \in a^+</math> oraz <math>w_2 \in b^*</math> (pozostałe przypadki
-przypadek, gdy <math>\displaystyle w_1 \in a^+</math> oraz <math>\displaystyle w_2 \in b^*</math> (pozostałe przypadki
+traktowane są analogicznie). Niech <math>p=|w_1|</math>. Ponieważ <math>1 \leqslant p
-traktowane są analogicznie). Niech <math>\displaystyle p=|w_1|</math>. Ponieważ <math>\displaystyle 1 \leqslant p
+\leqslant M</math>, to <math>p</math> dzieli <math>M!</math>. Niech <math>q=\frac{M!}{p}</math>. Słowo <math>z=u_1w_1^{2q+1}uw_2^{2q+1}u_2</math> należy do <math>L</math>, ale <math>w_1^{2q+1}=a^{p(2q+1)}=a^{2pq+p}=a^{2M!+p}</math>. Ponieważ <math>\sharp_a
-\leqslant M</math>, to <math>\displaystyle p</math> dzieli <math>\displaystyle M!</math>. Niech <math>\displaystyle q=\frac{M!}{p}</math>. Słowo
+u_1uu_2=M-p</math>, to mamy <math>\sharp_a z = 2M!+p+(M-p)=2M!+M</math>, ale jednocześnie <math>\sharp_c z = 2M!+M = \sharp_a z</math>. Otrzymaliśmy sprzeczność.
-<math>\displaystyle z=u_1w_1^{2q+1}uw_2^{2q+1}u_2</math> należy do <math>\displaystyle L</math>, ale
-<math>\displaystyle w_1^{2q+1}=a^{p(2q+1)}=a^{2pq+p}=a^{2M!+p}</math>. Ponieważ <math>\displaystyle \sharp_a
-u_1uu_2=M-p</math>, to mamy <math>\displaystyle \sharp_a z = 2M!+p+(M-p)=2M!+M</math>, ale
-jednocześnie <math>\displaystyle \sharp_c z = 2M!+M = \sharp_a z</math>. Otrzymaliśmy
-sprzeczność.
-W pozostałych przypadkach w analogiczny sposób dochodzimy do takiej
+W pozostałych przypadkach w analogiczny sposób dochodzimy do takiej sprzeczności. Zatem <math>L</math> nie jest bezkontekstowy.
-sprzeczności. Zatem <math>\displaystyle L</math> nie jest bezkontekstowy.
 </div></div>
 {{cwiczenie|3||
-Udowodnij, że dla dowolnego języka <math>\displaystyle L</math> nad alfabetem jednoelementowym
+Udowodnij, że dla dowolnego języka <math>L</math> nad alfabetem jednoelementowym
-<center><math>\displaystyle L \in \mathcal{L}_3 \Leftrightarrow L \in \mathcal{L}_2</math></center>
+<center><math>L \in \mathcal{L}_3 \Leftrightarrow L \in \mathcal{L}_2</math>.</center>
 }}
@@ Linia 96: / Linia 86: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 Wystarczy  udowodnić, że każdy język bezkontekstowy jest regularny. Niech
-<math>\displaystyle  L \subset \{a\}^*</math> będzie językiem bezkontekstowym. Z lematu o pompowaniu wynika, że
+<math>L \subset \{a\}^*</math> będzie językiem bezkontekstowym. Z lematu o pompowaniu wynika, że
-<math>\displaystyle \exists N,M \geqslant 1</math> takie, że każde słowo <math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| > N</math> można
+<math>\exists N,M \geqslant 1</math> takie, że każde słowo <math>w \in L</math> o długości <math>|w| > N</math> można
-przedstawić w formie <math>\displaystyle w=u_1w_1uw_2u_2</math>, gdzie  <math>\displaystyle w_{1,}w_{2},v_{1},v_{2},u\in A^{*}  </math>  oraz
+przedstawić w formie <math>w=u_1w_1uw_2u_2</math>, gdzie  <math>w_{1,}w_{2},v_{1},v_{2},u\in A^{*}</math>  oraz
-<math>\displaystyle |w_1uw_2 |\leqslant M</math>, <math>\displaystyle w_1w_2 \neq 1</math>,  <math>\displaystyle u_1w_1^iuw_2^iu_2 \in L</math> dla <math>\displaystyle i=0,1,...</math><br>
+<math>|w_1uw_2 |\leqslant M</math>, <math>w_1w_2 \neq 1</math>,  <math>u_1w_1^iuw_2^iu_2 \in L</math> dla <math>i=0,1,.</math>.<br>
-Stąd, że <math>\displaystyle  L \subset \{a\}^*</math> wynika, że <math>\displaystyle w=a^pa^k</math> dla pewnego <math>\displaystyle k\leqslant M</math> oraz <math>\displaystyle a^p(a^k)^i \in L</math> dla <math>\displaystyle i=0,1,...</math>.<br>
+Stąd, że <math>L \subset \{a\}^*</math> wynika, że <math>w=a^pa^k</math> dla pewnego <math>k\leqslant M</math> oraz <math>a^p(a^k)^i \in L</math> dla <math>i=0,1,.</math>..<br>
-Przyjmijmy <math>\displaystyle n=M!</math>. Wówczas dla każdego słowa <math>\displaystyle w \in L</math> o długości <math>\displaystyle |w| > N</math> mamy
+Przyjmijmy <math>n=M!</math>. Wówczas dla każdego słowa <math>w \in L</math> o długości <math>|w| > N</math> mamy
-<math>\displaystyle w(a^n)^*=w(a^k)^{\frac{n}{k}}\subset L \subset \{a\}^*</math>. <br>
+<math>w(a^n)^*=w(a^k)^{\frac{n}{k}}\subset L \subset \{a\}^*</math>. <br>
-Dla <math>\displaystyle i=1,...,n</math> oznaczmy przez
+Dla <math>i=1,\ldots,n</math> oznaczmy przez
-<center><math>\displaystyle L_i = a^{p+i}(a^n)^* \cap L</math></center>
+<center><math>L_i = a^{p+i}(a^n)^* \cap L</math>.</center>
-Jeśli <math>\displaystyle L_i \neq \emptyset</math>, to niech <math>\displaystyle w_i \in L_i</math> będzie słowem o najmniejszej długości. Wówczas
+Jeśli <math>L_i \neq \emptyset</math>, to niech <math>w_i \in L_i</math> będzie słowem o najmniejszej długości. Wówczas
-<center><math>\displaystyle \forall w \in L:|w|>N \;\;w \in \bigcup_{i=1}^n w_i(a^n)^*.</math></center>
+<center><math>\forall w \in L:|w|>N \;\;w \in \bigcup_{i=1}^n w_i(a^n)^*</math>.</center>
-Zatem <center><math>\displaystyle L=\{w \in L : |w|\leqslant p\} \cup \bigcup_{i=1}^n w_i(a^n)^*.  </math></center>
+Zatem <center><math>L=\{w \in L : |w|\leqslant p\} \cup \bigcup_{i=1}^n w_i(a^n)^*</math></center>
 </div></div>
 {{cwiczenie|4||
-Udowodnij, że język    <math>\displaystyle L=\left\{ a^{n}b^{n}:n \;</math> nie jest wielokrotnością liczby <math> 5 \right}</math>
+Udowodnij, że język    <math>L=\{ a^{n}b^{n}:n \text{ nie jest wielokrotnością liczby } 5 \}</math>
 jest bezkontekstowy.
@@ Linia 119: / Linia 109: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Język <math>\displaystyle L=L_1 \cap \overline{L}_2</math>, gdzie<br>
+Język <math>L=L_1 \cap \overline{L}_2</math>, gdzie<br>
-<math>\displaystyle L_1=\left\{ a^{n}b^{n}:n\geqslant 0\right\}   </math>     jest językiem bezkontekstowym,<br>
+<math>L_1=\{ a^{n}b^{n}:n\geqslant 0\}</math>     jest językiem bezkontekstowym,<br>
-<math>\displaystyle L_2=\left\{ w \in \{a,b\}^* : |w|=5k \; \text{dla pewnego}\; k\geqslant 0 \right\}   </math>  jest językiem regularnym.<br>
+<math>L_2=\left\{ w \in \{a,b\}^* : |w|=5k \text{ dla pewnego } k\geqslant 0 \right\}</math>  jest językiem regularnym.<br>
-Języki regularne są domknięte ze względu na uzupełnienie, a przecięcie języka bezkontekstowego z regularnm jest
+Języki regularne są domknięte ze względu na uzupełnienie, a przecięcie języka bezkontekstowego z regularnym jest
 językiem bezkontekstowym.
 </div></div>
 {{cwiczenie|5||
-Czy gramatyka poprawnych nawiasów  <center><math>\displaystyle (\{v_0\},\{(,)\},v_0, P ),\; \text{ gdzie} \;
+Czy gramatyka poprawnych nawiasów  <center><math>(\{v_0\},\{(,)\},v_0, P )</math> gdzie <math>P: v_0 \rightarrow v_0 v_0\;|\;(v_0)\;|\;1</math></center>
-P: v_0 \rightarrow v_0 v_0\;|\;(v_0)\;|\;1</math></center>
 jest jednoznaczna?
@@ Linia 134: / Linia 123: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Gramatyka nie jest jednoznaczna. Oto dwie pochodne lewostronne słowa <math>\displaystyle (())()</math>:<br>
+Gramatyka nie jest jednoznaczna. Oto dwie pochodne lewostronne słowa <math>(())()</math>:<br>
-<math>\displaystyle v_0\mapsto v_0v_0 \mapsto (v_0)v_0 \mapsto ((v_0))v_0\mapsto (())v_0 \mapsto (())(v_0) \mapsto
+<math>v_0\mapsto v_0v_0 \mapsto (v_0)v_0 \mapsto ((v_0))v_0\mapsto (())v_0 \mapsto (())(v_0) \mapsto
 (())()</math><br>
-<math>\displaystyle v_0\mapsto v_0v_0 \mapsto v_0v_0 v_0 \mapsto (v_0)v_0v_0 \mapsto ((v_0))v_0v_0
+<math>v_0\mapsto v_0v_0 \mapsto v_0v_0 v_0 \mapsto (v_0)v_0v_0 \mapsto ((v_0))v_0v_0
 \mapsto (())v_0v_0  \mapsto (())(v_0) v_0 \mapsto
-(())()v_0 \mapsto (())() </math>
+(())()v_0 \mapsto (())()</math>
 </div></div>
 {{cwiczenie|6||
-Określ gramatyki generujące języki
+Określ gramatyki generujące języki:
-# <math>\displaystyle L_1 =\{a^n b^m c^m : m,n \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^n c^m : m,n \geqslant 0 \} </math>,
+# <math>L_1 =\{a^n b^m c^m : m,n \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^n c^m : m,n \geqslant 0 \}</math>,
-# <math>\displaystyle L_2 =\{a^n b^n a^p b^q : n,p,q \geqslant 1 \}\cup \{a^n b^m a^p b^p : n,m,p \geqslant 1 \}</math>.
+# <math>L_2 =\{a^n b^n a^p b^q : n,p,q \geqslant 1 \}\cup \{a^n b^m a^p b^p : n,m,p \geqslant 1 \}</math>.
 Czy gramatyki te są jednoznaczne?
@@ Linia 151: / Linia 140: @@
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Język <math>\displaystyle L_1</math> jest  generowany przez  gramatykę <math>\displaystyle G_1</math>  o zbiorze praw<br>
+Język <math>L_1</math> jest  generowany przez  gramatykę <math>G_1</math>  o zbiorze praw<br>
-<math>\displaystyle  P_1 : v_0 \rightarrow v_1c \; |\; a w_1 \; |\;av_2 b\; |\; 1  ,\;\;  v_1 \rightarrow v_1c \; |\;av_2 b \; |\;1 , \;\;
+<math>
-v_2 \rightarrow a v_2 b \; |\;1 ,\\
+\begin{align}
-w_1 \rightarrow aw_1 \; |\; bw_2 c \; |\;1,\;\; w_2 \rightarrow  bw_2 c \; |\;1</math><br>
+& P_1 : v_0 \rightarrow v_1c \ |\ a w_1 \ |\ av_2 b\ |\ 1  ,\ \   v_1 \rightarrow v_1c \  |\ av_2 b \  |\ 1 , \ \ v_2 \rightarrow a v_2 b \  |\ 1 ,\\
-Gramatyka ta nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci <math>\displaystyle a^nb^nc^n</math> ma dwa różne wyprowadzenia.
+& w_1 \rightarrow aw_1 \; |\; bw_2 c \; |\;1,\;\; w_2 \rightarrow  bw_2 c \; |\;1.
-Na przykład dla słowa <math>\displaystyle abc</math> mamy
+\end{align}
-<center><math>\displaystyle v_0 \mapsto v_1c \mapsto av_2bc \mapsto abc  </math></center>
+</math><br>
+Gramatyka ta nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci <math>a^nb^nc^n</math> ma dwa różne wyprowadzenia.
+Na przykład dla słowa <math>abc</math> mamy:
+<center><math>v_0 \mapsto v_1c \mapsto av_2bc \mapsto abc</math></center>
-<center><math>\displaystyle v_0 \mapsto aw_1 \mapsto abw_2c \mapsto abc  </math></center>
+<center><math>v_0 \mapsto aw_1 \mapsto abw_2c \mapsto abc</math></center>
-Język <math>\displaystyle L_2</math> jest  generowany przez  gramatykę <math>\displaystyle G_2</math>  o zbiorze praw<br>
+Język <math>L_2</math> jest  generowany przez  gramatykę <math>G_2</math>  o zbiorze praw<br>
-<math>\displaystyle  P_2 : v_0 \rightarrow v_1 \; |\; v_2 ,    \;\;   v_1 \rightarrow av_1 \; |\;av_3    , \;\;
+<math>
-v_2 \rightarrow  v_2 b \; |\;v_4 b , \;\;  v_3 \rightarrow bv_3    \; |\; bv_5, \\
+\begin{align}
-v_4  \rightarrow   v_4 a  \; |\;v_6 a,        \;\;
+& P_2 : v_0 \rightarrow v_1 \; |\; v_2 ,    \;\;   v_1 \rightarrow av_1 \; |\;av_3    , \;\; v_2 \rightarrow  v_2 b \; |\;v_4 b , \;\;  v_3 \rightarrow bv_3    \; |\; bv_5, \\
-v_5 \rightarrow av_5 b \; |\; ab ,\;\; v_6 \rightarrow  a v_6 b \; |\;ab</math><br>
+& v_4  \rightarrow   v_4 a  \; |\;v_6 a,        \;\; v_5 \rightarrow av_5 b \; |\; ab ,\;\; v_6 \rightarrow  a v_6 b \; |\;ab.
-Gramatyka <math>\displaystyle G_2</math> też nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci <math>\displaystyle a^n b^n a^p b^p</math> ma dwa różne wyprowadzenia.
+\end{align}
-Natomiast język <math>\displaystyle L_2</math> jest również generowany przez gramatykę  <math>\displaystyle G_3</math>
+</math><br>
+Gramatyka <math>G_2</math> też nie jest jednoznaczna. Każde słowo w postaci <math>a^n b^n a^p b^p</math> ma dwa różne wyprowadzenia.
+Natomiast język <math>L_2</math> jest również generowany przez gramatykę  <math>G_3</math>
 o zbiorze praw<br>
-<math>\displaystyle  P_3 : v_0 \rightarrow v_1 v_1\; |\; v_1 v_2 \; |\; v_2 v_1,    \;\;   v_1 \rightarrow av_1b \; |\;ab    , \;\;
+<math>
+\begin{align}
+& P_3 : v_0 \rightarrow v_1 v_1\; |\; v_1 v_2 \; |\; v_2 v_1,    \;\;   v_1 \rightarrow av_1b \; |\;ab    , \;\;
 v_2 \rightarrow  av_3 \; |\;v_4 b , \;\;  v_3 \rightarrow av_3    , \\
-v_4  \rightarrow   v_4 b  \; |\;v_1 b,        \;\;
+& v_4  \rightarrow   v_4 b  \; |\;v_1 b        \;\;
+\end{align}
 </math><br>
-i ta gramatyka jest jednoznaczna, co oznacza, że język <math>\displaystyle L_2</math> jest jednoznaczny.<br>
+i ta gramatyka jest jednoznaczna, co oznacza, że język <math>L_2</math> jest jednoznaczny.<br>
-Uwaga. Język <math>\displaystyle L_2</math> można rozłożyć na sumę trzech rozłącznych  i bezkontekstowych języków.<br>
+Uwaga. Język <math>L_2</math> można rozłożyć na sumę trzech rozłącznych  i bezkontekstowych języków.<br>
-<math>\displaystyle L_2 = \{a^n b^n a^p b^p : n,p \geqslant 1\}\cup \{a^n b^n a^p b^q : n,p,q \geqslant 1,  \;p\neq q \}\cup
+<math>L_2 = \{a^n b^n a^p b^p : n,p \geqslant 1\}\cup \{a^n b^n a^p b^q : n,p,q \geqslant 1,  \;p\neq q \}\cup
 \{a^n b^m a^p b^p : m,n,p \geqslant 1, n\neq m  \}</math>.<br>
-Gramatyka <math>\displaystyle G_3</math> generuje niezależnie od siebie te trzy zbiory. Rozkładając analogicznie język <math>\displaystyle L_1</math> otrzymujemy<br>
+Gramatyka <math>G_3</math> generuje niezależnie od siebie te trzy zbiory. Rozkładając analogicznie język <math>L_1</math>, otrzymujemy:<br>
-<math>\displaystyle L_1 =\{a^n b^n c^n : n \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^n c^m : k,m,n \geqslant 0, n\neq m  \}\cup
+<math>L_1 =\{a^n b^n c^n : n \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^n c^m : k,m,n \geqslant 0, n\neq m  \}\cup
 \{a^n b^m c^m : m,n \geqslant 0, n\neq m  \}</math>.<br>
 Tym razem nie jest to rozkład na sumę języków bezkontekstowych.
@@ Linia 184: / Linia 181: @@
 {{cwiczenie|7||
-Dana niech będzie gramatyka (<math>\displaystyle v_0</math> jest symbolem początkowym):
+Dana niech będzie gramatyka (<math>v_0</math> jest symbolem początkowym):
-<center><math>\displaystyle \aligned v_0 & \rightarrow & v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
+<center><math>\begin{align} v_0 & \rightarrow & v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
 v_1 & \rightarrow & v_1v_2\ |\ v_2v_3 \\
 v_2 & \rightarrow & v_4v_1\ |\ v_3v_3\ |\ a \\
 v_3 & \rightarrow & v_1v_2\ |\ v_4v_2\ |\ b \\
-v_4 & \rightarrow & v_3v_4\ |\ v_0v_1\ |\ c.
+v_4 & \rightarrow & v_3v_4\ |\ v_0v_1\ |\ c
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego sprawdź, czy poniższe
+Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego, sprawdź, czy poniższe
-słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę.
+słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę:
-# <math>\displaystyle w_1=bac</math>,
+# <math>w_1=bac</math>,
-# <math>\displaystyle w_2=babcab</math>,
+# <math>w_2=babcab</math>,
-# <math>\displaystyle w_3=bcaaca</math>.
+# <math>w_3=bcaaca</math>.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-<math>\displaystyle w_1 \not \in L(G)</math>, <math>\displaystyle w_2, w_3 \in L(G)</math>.
+<math>w_1 \not \in L(G)</math>, <math>w_2, w_3 \in L(G)</math>.
 </div></div>
@@ Linia 208: / Linia 205: @@
 {{cwiczenie|8||
-Wykorzystując lemat o pompowaniu udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:
+Wykorzystując lemat o pompowaniu, udowodnij, że następujące języki nie są bezkontekstowe:
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=min\{m,n\}\right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=min\{m,n\}\right\}</math>
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=mn\right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ a^{n}b^{m}c^{k}:k=mn\right\}</math>
-#  <math>\displaystyle L=\left\{ a^{n}b^{n^{2}}\right\}   </math>
+#  <math>L=\left\{ a^{n}b^{n^{2}}\right\}</math>
 }}
 {{cwiczenie|9||
-Stosując lemat Ogdena pokaż, że język <math>\displaystyle L=\{a^ib^jc^k: i,j,k>1,\ k
+Stosując lemat Ogdena, pokaż, że język <math>L=\{a^ib^jc^k: i,j,k>1,\ k
-\not = ir,\ k \not = js, </math> gdzie <math>\displaystyle r,s \in \{2,3,...\}\}</math> nie jest
+\not = ir,\ k \not = js</math> gdzie <math>r,s \in \{2,3,...\}\}</math> nie jest
 bezkontekstowy.
 }}
 <div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed"><span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Wskazówka</span><div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
-Rozważ słowo <math>\displaystyle a^Pb^Pc^{(P-1)!}</math>, gdzie <math>\displaystyle P</math> jest liczbą
+Rozważ słowo <math>a^Pb^Pc^{(P-1)!}</math>, gdzie <math>P</math> jest liczbą
-pierwszą większą niż <math>\displaystyle M+1</math> i większą niż 3, gdzie <math>\displaystyle M</math> jest stałą z
+pierwszą większą niż <math>M+1</math> i większą niż 3, gdzie <math>M</math> jest stałą z
-lematu. Jako pozycje oznaczone wybierz wszystkie pozycje liter <math>\displaystyle c</math>.
+lematu. Jako pozycje oznaczone wybierz wszystkie pozycje liter <math>c</math>.
 </div></div>
 {{cwiczenie|10||
-Udowodnij, że język    <math>\displaystyle L=\left\{ w\overleftarrow{w } : w \in \{a,b\}^* \setminus \{ab^2a\} \right\}   </math>
+Udowodnij, że język    <math>L=\left\{ w\overleftarrow{w } : w \in \{a,b\}^* \setminus \{ab^2a\} \right\}</math>
 jest bezkontekstowy.
 }}
@@ Linia 234: / Linia 231: @@
 {{cwiczenie|11||}}
 Czy gramatyka poprawnych nawiasów
-<center><math>\displaystyle (\{v_0,v_1\},\{(,)\},v_0, P ),\; \text{ gdzie} \;
+<center><math>(\{v_0,v_1\},\{(,)\},v_0, P )</math> gdzie <math>
 P: v_0 \rightarrow v_1 v_0\;|\;1, \;\; v_1 \rightarrow (v_0)</math></center>
@@ Linia 240: / Linia 237: @@
 {{cwiczenie|12||
-Określ gramatyki generujące języki
+Określ gramatyki generujące języki:
-# <math>\displaystyle L_3 =\{a^n b^m c^nd^p : m,n,p \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^m c^p d^m : m,n,p \geqslant 0 \} </math>,
+# <math>L_3 =\{a^n b^m c^nd^p : m,n,p \geqslant 0 \} \cup \{a^n b^m c^p d^m : m,n,p \geqslant 0 \}</math>,
-# <math>\displaystyle L_4 =\{a^n b^{2n} : n \geqslant 1 \}\cup \{a^n b^{3n} : n \geqslant 1 \}</math>.
+# <math>L_4 =\{a^n b^{2n} : n \geqslant 1 \}\cup \{a^n b^{3n} : n \geqslant 1 \}</math>.
-Czy gramatyki te są jednoznaczne? Wykaż, że język <math>\displaystyle L_4</math> jest jednoznaczny.
+Czy gramatyki te są jednoznaczne? Wykaż, że język <math>L_4</math> jest jednoznaczny.
 }}
 {{cwiczenie|13||
-Napisz algorytmy rozstrzygające, czy dany język bezkontekstowy jest
+Napisz algorytmy rozstrzygające, czy dany język bezkontekstowy jest:
 # nieskończny,
 # niepusty.
@@ Linia 255: / Linia 252: @@
 {{cwiczenie|14||
-Dana niech będzie gramatyka (<math>\displaystyle v_0</math> jest symbolem początkowym):
+Dana niech będzie gramatyka (<math>v_0</math> jest symbolem początkowym):
-<center><math>\displaystyle \aligned v_0 & \rightarrow & v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
+<center><math>\begin{align} v_0 & \rightarrow & v_0v_1\ |\ v_3v_1 \\
 v_1 & \rightarrow & v_2v_1\ |\ v_3v_2 \\
 v_2 & \rightarrow & v_1v_4\ |\ v_3v_3\ |\ a \\
 v_3 & \rightarrow & v_2v_2\ |\ v_4v_2\ |\ b \\
 v_4 & \rightarrow & v_1v_4\ |\ v_0v_1\ |\ c.
-\endaligned</math></center>
+\end{align}</math></center>
-Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego sprawdź, czy poniższe
+Używając algorytmu Cocke'a-Youngera-Kasamiego, sprawdź, czy poniższe
-słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę.
+słowa należą do języka generowanego przez tę gramatykę:
-# <math>\displaystyle w_1=cabba</math>,
+# <math>w_1=cabba</math>,
-# <math>\displaystyle w_2=baccab</math>,
+# <math>w_2=baccab</math>,
-# <math>\displaystyle w_3=aabbcc</math>.
+# <math>w_3=aabbcc</math>.
 }}