Jk: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
← poprzednia edycja
WizualnieWikikod
Nie podano opisu zmian
m Zastępowanie tekstu – „,↵</math>” na „</math>,”
 
(Nie pokazano 25 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
===Reprezentacja===
[[wykres funkcji]]


{{przyklad|2 [Maszyna dodająca dwie liczby w systemie unarnym]||
[[porównania]]


[[grafika:ZO-1.1.gif|thumb|right||Diagram maszyny dodającej dwie liczby]]<br>Możemy teraz przedstawić pierwszą maszynę Turinga. Będzie ona dodawać dwie liczby zapisane w systemie ''unarnym''. Liczba naturalna <math>n</math> jest reprezentowana w systemie unarnym przez <math>n+1</math> jedynek zapisanych na taśmie obok siebie.
[[tescik]]
 
[[tescik2]]
<center>
<table>
<tr><td>
<flashthumb>file=ZO-1.2.swf|width=253|height=300|subtitle=Raz dwa śęł</flashthumb>
</td></tr>
</table>
</center>
 
}}
 
 
==Ciała==
 
Rozważymy teraz zbiory wyposażone w dwa działania - dodawanie i mnożenie. Przyjmiemy następującą definicję.
 
{{definicja|2.1 [Ciało]|def 2.1|
''Ciałem'' (dokładniej mówiąc - ''ciałem przemiennym'') nazywamy zbiór <math>\mathbb K</math> wyposażony w dwa działania wewnętrzne - dodawanie i mnożenie, które spełniają następujące warunki:
 
C1) <math>\mathbb K</math> z dodawaniem jest grupą przemienną,
 
C2) mnożenie w <math>\mathbb K</math> jest przemienne i  zbiór <math>\mathbb K\setminus \{0\}</math> z mnożeniem jest grupą,
 
C3) <math>a(b+c)=ab+ac</math>  dla każdych elementów <math>a,\, b,\, c\in \mathbb K</math>  (prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania).
 
}}
 
Udowodnimy najbardziej podstawowe własności ciał.
 
{{twierdzenie|2.2 [Własności Ciała]|tw 2.2|
 
W ciele zachodzą następujące warunki:
 
# <math>1\ne 0</math>,
# <math> 0\cdot a= a\cdot 0=0,</math>
# <math> (-1)\cdot a =-a,</math>
# jeżeli <math> ab=0</math>, to <math>a=0</math> lub <math>b=0</math>,
# jeżeli <math>a\ne 0</math> i <math>b\ne 0</math>, to <math>(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}</math>
 
dla każdych  <math>a,\, b \in \mathbb K</math>.
 
}}
 
{{dowod|||
Wiemy, że zbiór <math>\mathbb K \setminus \{0\}</math> jest grupą ze względu na mnożenie, a więc <math>1\in \mathbb K\setminus \{0\}</math>. Stąd mamy pierwszą własność.
 
Dla udowodnienia drugiej własności zauważmy, że
 
 
<center><math>0\cdot a +0\cdot a =(0+0)a=0\cdot a.</math></center>
 
 
Dodając do obydwu stron <math>-(0\cdot a)</math> dostajemy żądaną równość. Korzystając z przemienności mnożenia w całym <math>\mathbb K</math> dostajemy równość <math>a\cdot 0=0</math> dla każdego <math>a\in \mathbb K</math>. Stąd i założonej łączności mnożenia w <math>\mathbb K\setminus\{0\}</math> wynika już łączność mnożenia w całym zbiorze <math>\mathbb K</math>.
 
Korzystając z  drugiej własności dostajemy teraz
 
 
<center><math> 0=0\cdot a=(1+(-1))a=a +(-1)a.</math></center>
 
 
Ponieważ dodawanie w <math>\mathbb K</math> jest przemienne, dostajemy równość <math>(-1)a +a=0</math>. Oznacza to, że <math>(-1)a</math> jest elementem przeciwnym do <math>a</math>, co dowodzi trzeciej własności.
 
Dla dowodu czwartej własności przypuśćmy, że <math>a\ne 0</math>. Wtedy, wykorzystując już udowodnioną własność (2) dostajemy


===Reprezentacja===


<center><math>b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}0=0.</math></center>
{{twierdzenie|6.10|tw 6.10|
Jeżeli <math>P</math> jest rozkładem prawdopodobieństwa, to funkcja <math>F</math> zdefiniowana wzorem:




Własność ta wynika też z aksjomatu  C2), bo w aksjomacie tym implicite założono, że <math>\mathbb K\setminus \{0\}</math> jest zamknięty ze względu na mnożenie.
{{wzor|dystr|6.3|
<math>F(x) = P(-\infty,x]=P((-\infty,x])</math>,}}


Własność ostatnia wynika z następujących równości


jest dystrybuantą. Mówimy wtedy, że rozkład <math>P</math> ma dystrybuantę <math>F</math>, co często zaznaczamy pisząc <math>F_P</math> zamiast <math>F</math>.


<center><math>(b^{-1}a^{-1})(ab)= b^{-1}(a^{-1}a)b= b^{-1}b=1.</math></center>}}
Konsekwencją trzeciej własności i wcześniejszej umowy ([[#oznacz|1.1]])
jest równość następująca:
<center><math>a(b-c)=ab-ac</math></center>
dla każdych <math>a,\, b,\, c\in \mathbb K</math>.
Wprowadzimy teraz pojęcie charakterystyki ciała.
{{definicja|2.3 [Charakterystyka ciała]|def 2.3|
Niech <math>\mathbb K</math> będzie ciałem. Jeżeli istnieje liczba naturalna <math>n</math> taka, że
<center><math>1+...+1 =0,</math></center>
gdzie jedynka w powyższej sumie występuje <math>n</math> razy, to najmniejszą taką liczbę <math>n</math> nazywamy ''charakterystyką ciała''. Jeśli taka liczba naturalna nie istnieje, mówimy, że charakterystyka ciała równa jest <math>0</math>.
}}
}}


Ponieważ <math>1\ne 0</math>, więc charakterystyka ciała, jeśli nie jest równa <math>0</math>, musi być większa lub równa <math>2</math>. Ciałem o charakterystyce 2 jest tzw. ciało zero-jedynkowe, które można wprowadzić tak. W zbiorze <math>\{0,\, 1\}</math> wprowadzamy działania
<div class="thumb tleft" id="Grafy planarne"><div style="width:250px;">  
 
<flashwrap>file=Grafy liczba stopniowa animacja.swf|size=small</flashwrap>  
<div.thumbcaption>Graf nieplanarny (a) oraz graf planarny (b) wraz z jego prezentacją w postaci grafu płaskiego (c)</div></div>  
</div>


<center><math>0+0=0,\ \ \ 0+1=1+0=1,\ \ \ 1+1=0,</math></center>


<center><math>0\cdot 0=0,\ \ \ 0\cdot 1=1\cdot 0=0,\ \ \ 1\cdot 1=1.</math></center>
[[Template:Slajdy]]


[[Template:Prezentacja o RMI]] - to tworzymy dla każdej swojej prezentacji,


Łatwo widać, że spełnione są wszystkie warunki definiujące ciało i ciało to ma  charakterystykę równą 2.
Tak wygląda lista wszystkich slajdów prezentacji:
{{Prezentacja_o_RMI}}


Ciałami są zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb rzeczywistych ze zwykłymi działaniami. Są to oczywiście ciała o charakterystyce <math>0</math>. Ciała te oznaczamy symbolami <math>\mathbb Q</math> i <math>\mathbb R</math> odpowiednio.
A tak dajemy link do pierwszego slajdu
[[Prezentacja_o_RMI_-_Slajd1]]

Aktualna wersja na dzień 21:43, 11 wrz 2023

wykres funkcji

porównania

tescik tescik2

Reprezentacja

Twierdzenie 6.10

Jeżeli P jest rozkładem prawdopodobieństwa, to funkcja F zdefiniowana wzorem:


F(x)=P(−∞,x]=P((−∞,x]),      (6.3)


jest dystrybuantą. Mówimy wtedy, że rozkład P ma dystrybuantę F, co często zaznaczamy pisząc FP zamiast F.

<flashwrap>file=Grafy liczba stopniowa animacja.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Graf nieplanarny (a) oraz graf planarny (b) wraz z jego prezentacją w postaci grafu płaskiego (c)


Template:Slajdy

Template:Prezentacja o RMI - to tworzymy dla każdej swojej prezentacji,

Tak wygląda lista wszystkich slajdów prezentacji:

<slides> name=Prezentacja o RMI fontsize=120% menuItemsNumber=4 showButtons=true hideMenu=false Slajd1 Slajd2

  • Option: foo

A tak dajemy link do pierwszego slajdu Prezentacja_o_RMI_-_Slajd1

Źródło: „https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Jk&oldid=82238”