CWGI Ćwiczenie 3: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 12:04, 5 wrz 2023

Ćwiczenia 3. Przekroje i przenikanie wielościanów o brył obrotowych

Zadanie 3.1.

Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego

Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami $A B C D W$ ,. Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu $m k l n$ ,. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem.

W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni $π_{1}$ , i $π_{2}$ , rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią $π_{1}$ , a rzutnią $π_{3}$ ,. Po obrocie osi $y$ , do pokrycia się z osią $x$ , wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy $A^{‴}, B^{‴}, C^{‴}, D^{‴}$ . Podobnie czynimy z wierzchołkiem $W$ ,. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka $W^{‴}$ .

Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup $m k l n$ ,, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi $y$ , po obrocie.

Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio $x$ , i $y$ ,.

Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia $1^{'}, 2^{'}, 3^{'}, 5^{'}$ . Rzut krawędzi graniastosłupa $k^{'}$ , będzie pokrywał się z rzutem punku $4^{'}$ , przebicia tej krawędzi ze ścianą $C D W$ ,, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej $W V$ ,, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek $W$ , ostrosłupa. Punkt $6^{'}$ , będący rzutem punktu przebicia boku $C B^{'}$ ostrosłupa ze ścianą $k^{'} l^{'}$ , będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy $6^{″}$ będzie znajdował się na osi $x$ ,. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie.

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania $1^{'}, 2^{'}, 3^{'}, 4^{'}, 5^{'}, 6^{'}$ oraz $1^{‴}, 2^{‴}, 3^{‴}, 4^{‴}, 5^{‴}, 6^{‴}$ . Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji.

Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę

α

, tworzy również prosta pozioma

a

, oś transformacji

x_{1 / 3}

obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej

a^{'}

.

Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej $α^{‴} (a x c)$ . Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu $P^{‴} Q^{‴}$ oraz $R^{‴} T^{‴}$ , które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów $P^{'}$ i $Q^{'}$ wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli i równoległym do osi transformacji $x_{1 / 3}$ , w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów $T^{'}$ , i $R^{'}$ , wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów $R^{‴}$ i $T^{‴}$ płaszczyznę $ε^{‴}$ równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu $r$ , wyznaczonym z trzeciego rzutu. Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu $r$ , wyznaczymy $T^{'}$ , i $R^{'}$ ,. Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy. Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna $δ^{‴}$ , dla rzutu poziomego i $β^{'}$ , dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny $α^{‴}$ , przetnie nam płaszczyznę $δ^{‴}$ , otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając $C^{'}$ , i $D^{'}$ ,. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna $β^{'}$ , i należąca do płaszczyzny $α$ , prosta $c$ ,. Rzut pionowy prostej $c^{″}$ , określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności $A^{″}$ , i $B^{″}$ , . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne.

Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki.

@@ Linia 8: / Linia 8: @@
 Narysować trzy rzuty ostrosłupa prostego o podstawie czworokąta z wyciętym otworem w postaci graniastosłupa prostego
-Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami '''''ABCDW'''''. ''Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu'' '''''mkln'''''. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem.
+Niech będzie dany ostrosłup o podstawie trójkąta, którego poszczególne wierzchołki opisano literami <math>ABCDW\ </math>,. ''Należy wyznaczyć trzy rzuty ostrosłupa z wyciętym otworem, przy pomocy graniastosłupa o podstawie kwadratu'' <math>mkln\ </math>,. Rozwiązanie zadania związane jest z wyznaczaniem linii przenikania między ostrosłupem i graniastosłupem.
-W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni <math>\pi_1\,</math> i <math>\pi_2\,</math> rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią <math>\pi_1\,</math> a rzutnią <math>\pi_3\,</math>. Po obrocie osi '''''y''''' do pokrycia się z osią '''''x''''' wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy <math>A''' ,B''' ,C''' , D'''</math>. Podobnie czynimy z wierzchołkiem '''''W'''''. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka <math>W'''</math>.
+W pierwszej kolejności uzupełniamy założenia o wyznaczenie trzecich rzutów ostrosłupa i graniastosłupa wycinającego (rys.C.1_1b). Rzutowanie ostrosłupa na trzecia, prostopadłą do rzutni <math>\pi_1\ </math>, i <math>\pi_2\ </math>, rozpoczynamy od przeniesienia rzutu podstawy na oś y między rzutnią <math>\pi_1\ </math>, a rzutnią <math>\pi_3\ </math>,. Po obrocie osi <math>y\ </math>, do pokrycia się z osią <math>x\ </math>, wyznaczymy (po rozwinięciu układu trzech rzutni) trzeci rzut podstawy <math>A''' ,B''' ,C''' , D'''</math>. Podobnie czynimy z wierzchołkiem <math>W\ </math>,. Po obrocie i przeniesieniu rzutu poziomego do trzeciej rzutni, odmierzamy wysokość ostrosłupa, która oczywiście wyznaczy nam trzeci rzut wierzchołka <math>W'''</math>.
-Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup '''''mkln''''', którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi '''''y''''' po obrocie.
+Podobnie przenosimy do trzeciej rzutni graniastosłup <math>mkln\ </math>,, którego krawędzie w trzecim rzucie będą prostopadłe do osi <math>y\ </math>, po obrocie.
-Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio '''''x''''' i '''''y'''''.
+Zarówno w rzutach pionowym i poziomym, jak również w rzucie trzecim ustalamy widoczność krawędzi analizując każdy rzut z kierunku prostopadłego do określonej rzutni. Widoczność krawędzi w rzutach pionowym i bocznym analizujemy poprzez obserwacje rzutu poziomego z kierunku prostopadłego do osi odpowiednio <math>x\ </math>, i <math>y\ </math>,.
-Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia <math>1' ,2' ,3' , 5'</math>. Rzut krawędzi graniastosłupa <math>k'</math>, będzie pokrywał się z rzutem punku <math>4'</math>, przebicia tej krawędzi ze ścianą '''''CDW''''', który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej '''''WV''''', przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek '''''W''''' ostrosłupa. Punkt <math>6'</math>, będący rzutem punktu przebicia boku <math>CB'</math> ostrosłupa ze ścianą <math>k'l'</math>, będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy <math>6''</math> będzie znajdował się na osi '''''x'''''. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie.
+Wyznaczenie linii przenikania rozpoczynamy od rzutu poziomego obu wielościanów. Wyznaczamy w rzucie poziomym punkty przebicia krawędzi ostrosłupa ze ścianami graniastosłupa. Rzutujący charakter ścian graniastosłupa ułatwia nam wyznaczenie rzutów poziomych punktów przebicia. Możemy, zatem określić rzuty poziome punktów przebicia <math>1' ,2' ,3' , 5'</math>. Rzut krawędzi graniastosłupa <math>k'</math>, będzie pokrywał się z rzutem punku <math>4'</math>, przebicia tej krawędzi ze ścianą <math>CDW\ </math>,, który wyznaczymy, w rzucie pionowym, korzystając z pośrednictwa tworzącej <math>WV\ </math>,, przechodzącej przez ten punkt oraz wierzchołek <math>W\ </math>, ostrosłupa. Punkt <math>6'</math>, będący rzutem punktu przebicia boku <math>CB'</math> ostrosłupa ze ścianą <math>k'l'</math>, będzie leżał na rzutni poziomej, więc jego rzut pionowy <math>6''</math> będzie znajdował się na osi <math>x\ </math>,. Wyznaczono, zatem wszystkie rzuty poziome punktów przebicia krawędzi jednego wielościanu ze ścianami drugiego wielościanu i odwrotnie.
 Kolejnym krokiem jest wyznaczenie pozostałych rzutów punktów przebicia, będących wierzchołkami odcinków linii przenikania wielościanów. Za pomocą odnoszących linii rzutowania ustalone zostają rzuty pionowe linii przenikania <math>1', 2', 3', 4', 5', 6'</math> oraz <math>1''', 2''', 3''', 4''', 5''', 6'''</math>. Ustalenie widoczności w przypadku usunięcia wykrojnika trójkątnego, nie powinno słuchaczom sprawić większego kłopotu, a wiec zagadnienie to pominiemy w rozwiązaniu tego zadania. Powstałe, w wyniku wycięcia, figury przekroju kreskujemy, zgodnie z zasadami stosowanymi w zapisie konstrukcji.
@@ Linia 26: / Linia 26: @@
 {| border="0" cellpadding="4" width="100%"
 |valign="top" width="500px"|[[Grafika:CWGI_CW3_Slajd3.png]][[Grafika:CWGI_CW3_Slajd4.png]]
-|valign="top"|Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę <math>\alpha\,</math> tworzy również prosta pozioma '''''a''''', oś transformacji <math>x_{1/3}</math> obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej <math>a'</math>.
+|valign="top"|Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od zmiany układu odniesienia za pomocą transformacji tak, aby płaszczyzna krojąca była prostopadła do rzutni. Ponieważ płaszczyznę <math>\alpha\ </math>, tworzy również prosta pozioma <math>a\ </math>, oś transformacji <math>x_{1/3}</math> obieramy prostopadle do rzutu poziomego prostej <math>a'</math>.
 Po dokonaniu transformacji otrzymamy trzeci rzut kuli oraz trzeci rzut płaszczyzny krojącej
 <math>\alpha'''(a x c)</math>. Przekrojem kuli, w każdym przypadku jest okrąg, natomiast rzutem tego okręgu zwykle jest elipsa (jeżeli okrąg nie jest równoległy do rzutni). W trzecim rzucie wyznaczymy dwie osie prostopadłe okręgu <math>P'''Q'''</math> oraz  <math>R'''T'''</math>, które po powrocie do układu dwu rzutni będą średnicami sprzężonymi elipsy. Rzuty poziome punktów <math>P'</math> i <math>Q'</math> wyznaczymy na rzucie poziomym zarysu zewnętrznego kuli (w trzecim rzucie), który będzie odcinkiem przechodzącym przez środek kuli
-i równoległym do osi transformacji <math>x_{1/3}\,</math> w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów <math>T'</math> i <math>R'</math> wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów <math>R'''</math> i <math>T'''</math> płaszczyznę <math>\varepsilon'''</math> równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu '''''r''''' wyznaczonym z trzeciego rzutu.  Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu '''''r''''' wyznaczymy <math>T'\,</math> i <math>R'</math>.  Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy.  Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna <math>\delta'''\,</math> dla rzutu poziomego i <math>\beta'\,</math> dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny <math>\alpha'''\,</math> przetnie nam płaszczyznę <math>\delta'''\,</math> otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając <math>C'\,</math> i <math>D'\,</math>. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna <math>\beta'\,</math> i należąca do płaszczyzny <math>\alpha'\,</math> prosta '''''c'''''. Rzut pionowy prostej <math>c''\,</math> określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności <math>A''\,</math> i <math>B''\,</math> . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne.
+i równoległym do osi transformacji <math>x_{1/3}\ </math>, w rzucie poziomym. Rzuty poziome punktów <math>T'\ </math>, i <math>R'\ </math>, wyznaczymy metodą przekroju. Poprowadzimy przez rzuty punktów <math>R'''</math> i <math>T'''</math> płaszczyznę <math>\varepsilon'''</math> równoległą do trzeciej rzutni tak, aby w rzucie poziomym otrzymać w przekroju okrąg o znanym promieniu <math>r\ </math>, wyznaczonym z trzeciego rzutu.  Wracając do układu rzutni poziomej, na okręgu o promieniu <math>r\ </math>, wyznaczymy <math>T'\ </math>, i <math>R'\ </math>,.  Następnie, zgodnie z zasadami transformacji, wyznaczymy rzuty pionowe średnic sprzężonych elipsy.  Kolejnym zagadnieniem do rozwiązania jest ustalenie punktów styczności elipsy w rzucie poziomym i pionowym, odpowiednio z rzutami głównego południka i równoleżnika kuli. W tym celu ustalamy granice zmiany widoczności dla rzutu poziomego, a następnie pionowego kuli. Będą to odpowiednio płaszczyzna <math>\delta'''\ </math>, dla rzutu poziomego i <math>\beta'\ </math>, dla rzutu pionowego. W miejscu, gdzie trzeci rzut płaszczyzny <math>\alpha'''\ </math>, przetnie nam płaszczyznę <math>\delta'''\ </math>, otrzymamy trzecie rzuty punktów zmiany widoczności, które następnie przenosimy na rzut poziomy głównego równoleżnika (rzut poziomy kuli), wyznaczając <math>C'\ </math>, i <math>D'\ </math>,. Punkty zmiany widoczności w rzucie pionowym wyznaczy nam płaszczyzna <math>\beta'\ </math>, i należąca do płaszczyzny <math>\alpha\ </math>, prosta <math>c\ </math>,. Rzut pionowy prostej <math>c''\ </math>, określi w przecięciu z rzutem pionowym głównego południka (rzut pionowy kuli) rzuty pionowe punków zmiany widoczności <math>A''\ </math>, i <math>B''\ </math>, . Punkty znajdujące się na powierzchni kuli w kierunku strzałek są widoczne, w przeciwnym kierunku są niewidoczne.
+Przedstawione zadanie jest dość trudne dla słuchaczy, zawierają, bowiem kompleksowy zbiór zagadnień omówionych w poprzednich wykładach. Może stanowić pewną trudność, jednak samodzielne rozwiązanie zadań stanowi podstawę do pozytywnej oceny z opanowanego materiału i satysfakcji ze skutecznej nauki.

CWGI Ćwiczenie 3: Różnice pomiędzy wersjami

Aktualna wersja na dzień 12:04, 5 wrz 2023

Menu nawigacyjne

Działania na stronie

Opcje strony

Narzędzia osobiste

Nawigacja

Szukaj

Narzędzia