GKIW Moduł 5 - Reprezentacja przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyźnie

Wykład

---

---

Rzutowanie jest przekształceniem przestrzeni trójwymiarowej na przestrzeń dwuwymiarową. Rzutowanie polega na poprowadzeniu prostej przez dany punkt obiektu i znalezieniu punktu wspólnego tej prostej z rzutnią. Wyznaczony punkt nazywany jest rzutem a prosta promieniem rzutującym. Powszechna definicja rzutu jako przekształcenia na płaszczyznę jest pewnym uproszczeniem gdyż rozpatruje się też np. rzuty na powierzchnię walca lub na wycinek sfery. Jednak rzeczywiście z rzutowaniem na płaszczyznę mamy najczęściej do czynienia (grafika komputerowa, fotografia).

---

Rzutowanie równoległe, gdy promienie rzutujące są prostymi równoległymi. Dodatkowo mówimy o rzutowaniu równoległym prostokątnym, jeśli rzutnia jest prostopadła do kierunku rzutowania oraz o rzutowaniu równoległym ukośnym w każdym innym przypadku. Rzutowanie perspektywiczne, gdy promienie rzutujące tworzą pęk prostych. Oczywiście, mówienie w tym przypadku o prostopadłości (lub nie) rzutni nie ma sensu, gdyż w rzutowaniu perspektywicznym dokładnie jeden promień może być prostopadły do płaszczyzny rzutni, a wszystkie pozostałe tworzą z nią kąty mniejsze od kąta prostego. Rzutowanie perspektywiczne jest często nazywane rzutowaniem środkowym lub centralnym.

---

Z rzutowaniem równoległym mamy najczęściej do czynienia w różnego typu zastosowaniach technicznych np. rzuty prostokątne na 3 lub 6 płaszczyzn – tradycyjny rysunek techniczny. Rzutowanie równoległe nie pozwala przedstawić obiektu zgodnie z naszym wyobrażeniem – zgodnie z widzeniem człowieka. Pozwala natomiast zdefiniować wymiary przedmiotu i parametry technologiczne. Rzutowanie równoległe zachowuje równoległość prostych oraz proporcje długości odcinków równoległych Rzutowanie perspektywiczne pozwala uzyskać obraz zbliżony do postrzeganego przez człowieka. Trzeba jednak pamiętać o tym, że obraz na siatkówce oka powstaje w wyniku rzutu środkowego na wycinek sfery (w przybliżeniu). Zatem wszystkie promienie rzutujące będą w tym przypadku prostopadle padały na rzutnię. Oznacza to, że rzut na płaszczyznę będzie tylko przybliżeniem obrazu powstającego na siatkówce oka. Oczywiście dobór warunków rzutowania ma decydujący wpływ na późniejszy, mniej lub bardziej realistyczny odbiór obrazu. Jest to szczególnie istotne w przypadku zastosowania grafiki do generacji efektów specjalnych (lub całych ujęć) w kinematografii, a także w produkcji gier komputerowych, gdzie realistyczność odbieranego świata decyduje często o jakości gry. Naturalnym i najczęściej stosowanym układem współrzędnych związanym z rzutowaniem i obserwatorem jest lewoskrętny kartezjański układ współrzędnych. Kierunki osi 0X i 0Y są zgodne ze współrzędnymi definiującymi położenie na płaszczyźnie rzutni natomiast współrzędna Z określa odległość od obserwatora. Ponieważ położenie przedmiotów wyimaginowanego świata jest opisywane w układzie prawoskrętnym, to zachodzi konieczność nie tylko związania położenia obserwatora i kierunku rzutowania z układem świata, ale także zapewnienia zmiany skrętności układu. Trzeba o tym pamiętać definiując macierze opisujące odpowiednie operacje. Mówimy o układzie współrzędnych obiektu (sceny lub świata) i przestrzeni obiektu oraz układzie obserwatora (lub rzutu) i przestrzeni obserwatora. Takie rozdzielenie funkcjonalne znacznie ułatwia manipulację i definiowanie odpowiednich parametrów. Dodatkowo mówimy o układzie współrzędnych rzutni opisującym położenie elementów rzutu.

---

O rzutowaniu równoległym mówimy, że jest prostokątne wtedy, gdy promienie rzutujące są prostopadłe do płaszczyzny rzutni. W przeciwnym przypadku rzutowanie równoległe jest ukośne. Rzutowanie prostokątne jest powszechnie stosowane w mechanice. Podstawową zaletą takiego rozwiązania jest fakt, że wymiary rysunku odpowiadają wymiarom obiektu to znaczy długość odcinka równoległego do płaszczyzny rzutni jest równa długości rzutu tego odcinka. Aby na podstawie rzutu można było określić wymiary przedmiotu stosuje się zestaw trzech rzutów danego przedmiotu na rzutnie, które są wzajemnie prostopadłe. Ze względu na konieczność jednoznacznego przedstawienia widoków obiektu czasami (w przypadku bardzo złożonych elementów) stosuje się sześć rzutów. Tzn. są to rzuty na trzy płaszczyzny wzajemnie prostopadłe, ale dla każdej z nich wykonuje się po dwa rzuty dla wzajemnie przeciwnych kierunków. Można wykazać, że rzutowanie ukośne pozwala praktycznie dowolnie zmieniać proporcje wymiarów obiektu. To znaczy jeśli rozpatrzymy wzajemnie prostopadłe odcinki o takiej samej długości to można uzyskać dowolne proporcje ich rzutów dobierając odpowiednio kierunek rzutowania i położenie płaszczyzny rzutni. Z tego względu, w praktycznych zastosowaniach rzutowania równoległego ukośnego w mechanice najczęściej definiuje się rzut przez podanie zmian proporcji odległości wzdłuż każdej z osi układu współrzędnych, a nie przez podanie położenia rzutni i promieni rzutujących. Na przykład perspektywa kawalerska, perspektywa gabinetowa i perspektywa wojskowa są rodzajami rzutowania równoległego ukośnego zdefiniowanymi na tej zasadzie. Uzyskanie dowolnej zmiany proporcji wymiarów oznacza, że możliwe jest uzyskanie rzutu sześcianu jak na rysunku. Jest to całkowicie poprawny rzut równoległy ukośny sześcianu. Tylko że całkowicie niezgodny z naszym sposobem widzenia.

---

W każdym rzucie perspektywicznym istnieje przynajmniej jedna rodzina prostych równoległych i nie równoległych do rzutni, taka, że rzuty tych prostych przecinają się w jednym punkcie zwanym punktem zbiegu. W zależności od położenia rzutni względem obiektu mówimy o rzutowaniu perspektywicznym jednozbiegowym, dwuzbiegowym lub trójzbiegowym. Skrót perspektywiczny jest efektem wizualnym polegającym na tym, że wielkość rzutu perspektywicznego jest odwrotnie proporcjonalna do odległości obiektu od środka rzutowania. Z tego względu nie ma praktycznie możliwości uzyskania informacji o wymiarach obiektu na podstawie jego rzutu perspektywicznego. Z drugiej strony efekty wizualne uzyskane w rzutowaniu perspektywicznym są zbliżone do wrażeń wzrokowych oraz do efektów fotograficznych.

---

Rzutowanie jest realizowane w układzie obserwatora (lewoskrętnym). Przekształcenia i definiowanie obiektów w układzie sceny (prawoskrętnym). Jeśli przekształcenie punktu z jednego układu do drugiego opiszemy odpowiednią macierzą takiego przekształcenia, to funkcjonowanie obu układów współrzędnych ułatwi realizację tworzenie obrazu. Położenie punktów rzutu opisuje układ rzutni. Natomiast dodatkowo wyróżnia się układ urządzenia (fizyczny) związany bezpośrednio z urządzeniem wyświetlającym (drukującym) obraz

---

Rzutowanie może być opisane macierzowo, analogicznie do opisu operacji geometrycznych zaprezentowanych wcześniej. Rozpatrzmy rzutowanie perspektywiczne w przestrzeni obserwatora. Współrzędne opisują położenie w lewoskrętnym układzie współrzędnych obserwatora 0XYZ. Niech obserwator (środek rzutowania) znajduje się w punkcie $(0,0,-d)$ dla $d>0$ a płaszczyzna rzutni ma równanie $z=0$ - jak na rysunku. Macierz rzutowania będzie wtedy miała postać: $M_{RP1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1/d& 1\end{array}\right]$

---

Warto zwrócić uwagę na to, że macierz $M_{RP1}$ definiuje operację wymagającą normalizacji.

---

Rzutowanie perspektywiczne można również prosto zdefiniować w nieco inny sposób. Niech w analogicznym układzie współrzędnych obserwator (środek rzutowania) znajduje się w początku układu współrzędnych, a rzut jest dokonywany na płaszczyznę $z=d$ dla $d>0$ (rysunek). Rzutem punktu P o współrzędnych $(x_P,y_P,z_P)$ będzie punkt $P^{\prime }$ o współrzędnych $(x{\text{'}}_P,y{\text{'}}_P,z{\text{'}}_P)$ , który zgodnie z definicją rzutu perspektywicznego będzie należał do płaszczyzny rzutni i jednocześnie do prostej przechodzącej przez środek rzutowania i punkt . Uwzględniając proste zależności geometryczne można pokazać, że macierz opisująca tak zdefiniowane rzutowanie perspektywiczne ma następującą postać: $M_{RP2}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1/d& 0\end{array}\right]$

---

W tym wariancie opisu rzutowania perspektywicznego macierz wynikowa również wymaga normalizacji. Oba warianty definicji rzutowania perspektywicznego mogą być stosowane zamiennie zależnie od sytuacji.

---

Jeżeli w pierwszym przypadku rzutowania perspektywicznego (środek rzutowania w punkcie $(0,0,-d)$ dla $d>0$) przyjmiemy, że $d\to \mathrm{\infty }$ to promienie rzutujące zamiast pęku prostych utworzą proste równoległe i uzyskamy rzutowanie równoległe prostokątne. O rzutowaniu równoległym można powiedzieć, że jest szczególnym przypadkiem rzutowania perspektywicznego, gdy środek rzutowania znajduje się w nieskończoności.

---

Macierz opisująca rzutowanie równoległe będzie miała następującą postać: $M_{RR1}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ Operacja w tym przypadku nie wymaga normalizacji.

---

W dotychczasowych rozważaniach o rzutowaniu nie zwróciliśmy w ogóle uwagi na to, które obiekty (lub ich fragmenty) – które punkty przestrzeni zostaną zrzutowane. A przecież każdy użytkownik aparatu fotograficznego wie, że tylko wybrany przez niego fragment przestrzeni zostanie utrwalony na zdjęciu. To znaczy, że operacje matematyczne wynikające z rzutowania powinny zostać zrealizowane tylko w odniesieniu do określonego zbioru punktów (określonych obiektów). Jeżeli przyjmiemy, że dokonujemy rzutowania perspektywicznego na płaszczyznę i interesuje nas prostokąt obrazu jako część rzutni, to środek rzutowania i prostokąt obrazu wyznaczą pewien fragment przestrzeni, który może zostać „utrwalony”. Jeżeli do tego dodamy dwie płaszczyzny równoległe do rzutni, które ograniczą wybrany fragment z przodu i z tyłu, to powstanie figura będąca ostrosłupem ściętym o podstawie prostokątnej nazywana ostrosłupem widzenia lub piramidą widzenia. Zatem po zdefiniowaniu położenia obserwatora (środka rzutowania), rzutni i ostrosłupa widzenia, należy wydzielić te obiekty i punkty przestrzeni, które będą rzutowane. Powstaje problem obcinania w przestrzeni trójwymiarowej. Algorytmy Cohena-Sutherlanda i Cyrusa-Becka można rozszerzyć o możliwość obcinania trójwymiarowego. Dla rzutowania równoległego odpowiednia bryła widzenia zdefiniowana analogicznymi parametrami będzie prostopadłościanem. Możliwe jest przekształcenie ostrosłupa widzenia (ostrosłupa ściętego !) w odpowiadający mu prostopadłościan. Przekształcenie takie nazywa się przekształceniem perspektywicznym (a nie rzutowaniem).

---

Patrząc na rzutowanie poprzez analogię do aparatu fotograficznego warto zwrócić uwagę na parametry decydujące o obrazie, który powstanie. Fotograf, wybierając temat do zdjęcia, określa położenie aparatu i kierunek fotografowania. Określa także ogniskową obiektywu (funkcja zoom) czyli kąt „widzenia” aparatu. Warto przy tym pamiętać, że zdjęcie wykonane obiektywem szerokokątnym z bliskiej odległości jest inne niż obiektywem wąskokątnym (teleobiektywem) z dużej odległości, pomimo pozornego podobieństwa wybranych fragmentów. Dobranie właściwego ostrosłupa widzenia jest szczególnie istotne w grach komputerowych i zastosowaniach filmowych grafiki komputerowej. Przekładając parametry ruchu aparatu (fotografa) na parametry rzutowania definiujemy wirtualną kamerę. Jaki jest minimalny zestaw operacji, zapewniający pełną swobodę manipulacji taką kamerą?

---

Realizacja rzutowania perspektywicznego wymaga definicji parametrów tak, aby jednoznacznie określić bryłę widzenia. Najczęściej używa się do definicji trójki wektorów $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{VPN}$. Wektor $\overrightarrow{VPN}$ definiuje oś widzenia (kierunek patrzenia prostopadły do płaszczyzny rzutni). Jednocześnie długość tego wektora określa wysokość ostrosłupa widzenia. Stosowane są dwa podejścia do określenia zwrotu tego wektora. Przyjęty wariant na rysunku powoduje, że kierunek patrzenia wzdłuż osi optycznej jest przeciwny do wektora $\overrightarrow{VPN}$ . Wektory $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ definiują płaszczyznę rzutni, a także prostokąt rzutni gdzie będzie powstawał obraz (poprzez długości tych wektorów). Jednocześnie kierunki wektorów określają obrót rzutni wokół osi optycznej. Zestaw wektorów $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{VPN}$ definiuje jednoznacznie ostrosłup prawidłowy o podstawie prostokąta. Daje to możliwość określenia kąta patrzenia w rzutowaniu perspektywicznym. Komplet parametrów rzutowania wymaga definicji: środka rzutowania (punkt VPR) oraz trzech odległości wzdłuż osi optycznej względem środka rzutowania. Pierwszą jest odległość do płaszczyzny rzutni (VPD). Dwie pozostałe (FPD i BPD) definiują położenie dwóch płaszczyzn (przedniej $S_1$ i tylnej $S_2$), które określają ostrosłup ścięty - wyznaczają fragment przestrzeni, która będzie rzutowana.

---

Zaproponowane macierze rzutowania, zarówno perspektywicznego jak równoległego mają jedną zerową kolumnę lub wiersz. Oznacza to że nie jest możliwe wyznaczenie macierzy odwrotnej. Czyli nie jest możliwe odtworzenie trzeciego wymiaru tylko i wyłącznie na podstawie rzutu obiektu. Oczywiście jest to zgodne definicją rzutowania: rzutem całej prostej rzutującej jest dokładnie jeden punkt. Często do następnych operacji (na przykład do eliminacji elementów zasłoniętych) niezbędna jest informacja o trzecim wymiarze (odległości od obserwatora - głębokości). Rozwiązanie tego problemu przynosi przekształcenie perspektywiczne. Jest to operacja, która pozwala wyznaczyć rzut perspektywiczny i jednocześni daje informację o odległości. Jeśli rozpatrzymy znormalizowaną bryłę widzenia perspektywicznego – ostrosłup ścięty, to promienie rzutujące tworzą pęk prostych w wierzchołku tego ostrosłupa. Można dokonać przekształcenia, które przekształci ostrosłup ścięty na prostopadłościan. Wtedy pęk prostych (promieni rzutujących) stanie się zbiorem prostych równoległych. A to oznacza, że po takim zniekształceniu przestrzeni wszystkie punkty leżące na prostej rzutującej będą miały jednakowe współrzędne odpowiadające współrzędnym rzutu.

---

Macierz przekształcenia perspektywicznego wymaga normalizacji operacji. Wynik na rysunku jest podany z uwzględnieniem normalizacji. Jak widać współrzędne x i y obrazu punktu odpowiadają współrzędnym rzutu perspektywicznego przy założeniu, że środek rzutowania jest w początku układu współrzędnych. Jednocześnie współrzędna z obrazu daje informację o położeniu względem osi OZ. Warto zwrócić uwagę na fakt, że przekształcenie wartości głębokości jest operacją nieliniową, ale zachowującą porządek na prostej, co w zupełności wystarcza do oceny głębokości.

---

Translacja obiektu kamery w układzie współrzędnych świata, odpowiadająca przesuwaniu aparatu w dowolnym kierunku (przemieszczanie się fotografa). Obroty wokół osi własnego układu współrzędnych kamery, pozwalające symulować skierowanie aparatu w dowolnie wybranym kierunku. Zmiany kątów ostrosłupa widzenia np. poprzez definicję odległości rzutni o zadanym prostokącie obrazu od środka rzutowania (obserwatora). Odpowiada to zmianie ogniskowej (kąta „widzenia”) obiektywu. Związanie definicji kształtu ostrosłupa widzenia i obrotów z własnym układem współrzędnych wirtualnej kamery zapewnia wygodę manipulacji oraz zgodność symulacji z rzeczywistością.

---

Parametrem aparatu fotograficznego, o którym nie było dotychczas mowy, jest ostrość. Parametr ten nie daje się w prosty sposób przenieść na opis rzutowania. Ostrość zdjęcia jest wynikiem zależności między właściwościami optycznymi obiektywu, a odległością obiektu od obiektywu. Rzutowanie natomiast odwzorowuje wszystkie obiekty w sposób ostry. Niestety, nie jest to zaletą wirtualnej kamery, jeśli obraz ma być zgodny z naszym widzeniem, gdyż akomodacja oka powoduje powstanie widocznych stref ostrości. Szczególnie jest to niekorzystne w sytuacji wykorzystywania grafiki komputerowej w kinematografii, gdzie nieostrość danego obiektu może być zamierzonym efektem reżysera. Rzeczywisty obiektyw aparatu daje ostry obraz punktu w dokładnie określonym miejscu – na płaszczyźnie powstawania obrazu. Zarówno bliżej jak i dalej obrazem punktu jest plamka rozproszenia (rozmyte koło) – stąd nieostry obraz. Analizę zjawiska przeprowadził Lommel w końcu XIX wieku. Zaproponował on pewne uproszczenia stosowane w opisie ostrości do dzisiaj.: Plamka rozproszenia ma średnicę wprost proporcjonalną do odległości między płaszczyzną, na której powstała, a płaszczyzną ostrego obrazu. Wewnątrz plamki rozproszenia jasność jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do odległości od środka plamki. W przybliżeniu, gdyż w środku plamki jasność ma pewną skończoną wartość, natomiast na brzegu plami (w skończonej odległości równej promieniowi plamki) maleje do zera. Zmiana ostrości nie powoduje zmian jasności całego obrazu, tylko zmianę rozkładu jasności. Stosowanym rozwiązaniem jest sztuczne rozmycie symulujące nieostrość w wybranych fragmentach obrazu. Dokonuje się tego albo stosując bufor akumulacji albo odpowiednie filtrowanie. Więcej na ten temat zainteresowani mogą przeczytać w pracy: Rokita P.: Problemy łączenia obrazów generowanych metodami grafiki komputerowej z obrazami rzeczywistymi. Prace naukowe. Elektronika. Politechnika Warszawska 2001.

---

Umieszczenie w wyimaginowanym świecie wirtualnej kamery, która daje możliwość manipulacji zgodnie ze znanymi realiami pozwala łączyć obrazy rzeczywiste z wirtualnymi. Przykładem takiego „graficznego świata” jest wirtualne studio, coraz częściej wykorzystywane przez stacje telewizyjne. Zamiast budować dekoracje do nowego programu, tworzy się je za pomocą grafiki komputerowej. Program powstaje w ten sposób, że niezależnie prowadzi się dwie rejestracje. Rejestrację prezenterów (lub innych osób występujących) rzeczywistą kamerą oraz „rejestrację” wirtualnej dekoracji wirtualną kamerą. Oba obrazy składa się następnie techniką blue boxu, tworząc to, co potem oglądamy na ekranie. Oczywiście możliwe są dowolne warianty łączenia elementów rzeczywistych i wirtualnych łącznie z dowolnym zasłanianiem jednych przez drugie. Technika ta pozwala zaoszczędzić nie tylko pieniądze, czas i materiały przy tworzeniu dekoracji, pozwala też „zaoszczędzić” powierzchnię studia telewizyjnego, gdzie odbywa się realizacja programu. Oglądając program wierzymy w masywne dekoracje rozstawione na olbrzymiej przestrzeni, a w rzeczywistości prezenter może siedzieć w ciasnym wnętrzu.

---

Warto zwrócić uwagę na problem powstawania obrazu przy okazji budowania wirtualnych dekoracji. Na zdjęciu obok prezenterki oraz część obiektów są rzeczywiste, część obiektów jest wirtualna. Aby zapewnić poprawność odbioru, wszystkie obiekty muszą być rzutowane w taki sam sposób. Rzutowanie obiektów rzeczywistych realizuje rzeczywista kamera. Na tej podstawie zostają wyznaczone parametry definiujące rzut dla obiektów wirtualnych, których obraz powstaje po wykonaniu odpowiednich procedur. Zmiana położenia kamery, jej kąta patrzenia (ogniskowej obiektywu) jest przeliczana na parametry kamery wirtualnej. Obie kamery (rzeczywista i wirtualna) muszą mieć odpowiednio zgodne parametry funkcjonalne oraz w pełni zsynchronizowane ruchy. Brak zgodności między nimi byłby natychmiast zauważony przez odbiorcę, mimo wysiłków włożonych w wygląd wirtualnej dekoracji.

---

Zainteresowanych tematem wirtualnego studia zachęcamy do przeczytania pracy: Wojdała A., Gruszewski M., Olech R.: Real-Time Shadow Casting in Virtual Studio. Machine Graphics & Vision IPI PAN vol. 9, nos.1/2, 2000, ss.315-329.

---

Literatura

---