Algebra liniowa z geometrią analityczną/Wykład 6: Macierze a odwzorowania liniowe

W niniejszym wykładzie wszystkie rozważane przestrzenie są skończenie wymiarowe a bazy są uporządkowane.

Macierz odwzorowania liniowego

Niech dane będą przestrzenie wektorowe $V$ i $W$ nad ciałem $\mathbb{𝕂}$ oraz odwzorowanie liniowe $f:V⟶W$.

Niech $e_1,...,e_n$ będzie bazą przestrzeni wektorowej $V$, zaś $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$ bazą przestrzeni $W$. Dla odwzorowania liniowego $f$ mamy

$\begin{array}{rcl}& & f(e_1)=a_{11}e{\text{'}}_1+...+a_{m1}e{\text{'}}_m,\\ & & .\\ & & .\\ & & .\\ & & f(e_n)=a_{1n}e{\text{'}}_1+...+a_{mn}e{\text{'}}_m.\end{array}$      (1.1)

dla pewnych skalarów $a_{ij}$, $i=1,...,m$, $j=1,...,n$. Inaczej zapisując

$f(e_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}e{\text{'}}_i$

dla każdego $j=1,...,n$.

<flashwrap>file=ag6_1a.swf|size=small</flashwrap>

<div.thumbcaption>Macierz odwzorowania liniowego

Otrzymaliśmy więc macierz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} }} , która całkowicie opisuje odwzorowanie liniowe $f$. Istotnie, jeśli znamy wartości odwzorowania liniowego na bazie, to znamy to odwzorowanie. Macierz tę nazywamy macierzą odwzorowania $f$ przy bazach $e_1,...,e_n$ i $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$.

Jeśli mamy daną macierz $A$, ustalone bazy w przestrzeniach $V$, $W$, to macierz ta jest macierzą odwzorowania liniowego $f:V⟶W$. Odwzorowanie to jest dane formułą (1.1).

Wygodnie jest myśleć o macierzach jako o odwzorowaniach liniowych. Jeśli żadne szczególne przestrzenie nie są wyróżnione, to macierz $A=A_{m\times n}$ możemy traktować jako odwzorowanie liniowe $f:{\mathbb{𝕂}}^n⟶{\mathbb{𝕂}}^m$ dane przepisem (1.1), gdzie $e_1,...,e_n$ jest bazą kanoniczną przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^n$, zaś $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$ jest bazą kanoniczną przestrzeni ${\mathbb{𝕂}}^m$.

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V⟶W$ i przez $A_1,...,A_n$ oznaczymy kolumny macierzy $A$, to każda kolumna $A_j$ jest ciągiem współrzędnych wektora $f(e_j)$ w bazie $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$. Oznacza to, że układ kolumn macierzy $A$ można uważać za wektory (wyrażone we współrzędnych w bazie $e_1,...,e_n$) $f(e_1),...,f(e_n)$. Rząd odwzorowania $f$ jest więc rzędem układu wektorów $A_1,...,A_n$ macierzy $A$.

Mamy więc

Twierdzenie 1.1

Jeśli $A$ jest macierzą odwzorowania $f:V⟶W$ przy pewnych bazach przestrzeni $V$ i $W$, to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk A=\textnormal rk f} .

Niech $f,h:V⟶W$ będą dwoma odwzorowaniami liniowymi. Wiemy, że suma tych odwzorowań jest odwzorowaniem liniowym. Przy danych bazach $e_1,...,e_n$, $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$ przestrzeni $V$ i $W$ odpowiednio, macierz odwzorowania $f+h$ jest sumą macierzy $A_f+A_h$, gdzie $A_f$ jest macierzą odwzorowania $f$ a $A_h$ macierzą odwzorowania $h$. A zatem dodawanie macierzy odpowiada dodawaniu odwzorowań liniowych. Podobnie mnożeniu macierzy przez skalar odpowiada mnożenie odwzorowania liniowego przez skalar.

Załóżmy teraz, że mamy trzy przestrzenie wektorowe $V$, $W$, $U$. Załóżmy ponadto, że $e_1,...,e_n$ jest bazą $V$, $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_k$ jest bazą $W$ i $e^{\prime }{\text{'}}_1,...,e^{\prime }{\text{'}}_m$ jest bazą $U$. Niech $f:V⟶W$ i $h:W⟶U$ będą odwzorowaniami liniowymi. Oznaczmy przez

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle A= [a_{lj}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le l\le k\\ 1\le j\le n \end{array} },\ \ \ B= [b_{il}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le l\le k \end{array} }, \ \ \ \ C= [c_{ij}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le i\le m\\ 1\le j\le n \end{array} },}

macierze odwzorowania $f$, $h$ i $h\circ f$ odpowiednio, przy danych bazach. Zachodzą następujące równości

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle f(e_j)=\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l,\ \ \ \ h(e'_l)=\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i,\ \ \ \ \ (h\circ f)(e_j)= \sum _{i=1}^m c_{ij}e''_i.}

Z drugiej strony

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned(h \circ f)(e_j)= h(f(e_j))&=h(\sum _{l=1}^k a_{lj}e'_l)=\sum _{l=1}^k a_{lj}h(e'_l) \\ &=\sum _{l=1}^k a_{lj}\left(\sum _{i=1}^m b_{il}e''_i\right)\\ &=\sum _{i=1}^m \left(\sum _{l=1}^kb_{il}a_{lj}\right )e''_i . \endaligned}

Zatem

$c_{ij}=\sum _{l=1}^k{b}_{il}{a}_{lj}.$

Oznacza to, że

$C=BA.$

Krótko mówiąc, mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań liniowych. Ponieważ składanie odwzorowań jest łączne, więc mnożenie macierzy jest łączne. Wspomnieliśmy już tę własność w poprzednim wykładzie. Teraz uzasadniliśmy jej prawdziwość.

Zauważmy także, że jeśli $h_1,h_2:W⟶U$, to $(h_1+h_2)\circ f=h_1\circ f+h_2\circ f$. Jeśli $f_1,f_2:V⟶W$, to $h\circ (f_1+f_2)=h\circ f_1+h\circ f_2$. W języku macierzy oznacza to, że $(B_1+B_2)A=B_{1}A+B_{2}A$ oraz $B(A_1+A_2)=B{A}_1+B{A}_2$ (jeśli występujące tu dodawania i mnożenia macierzy można wykonać). Te własności rachunku macierzy również wymieniliśmy w poprzednim wykładzie.

Macierz dualna i odwzorowanie dualne

Niech $e_1^{*},...,e_n^{*}$ będzie bazą dualną do bazy $e_1,...,e_n$ przestrzeni $V$ i $e{\text{'}}_1^{*},...,e{\text{'}}_m^{*}$ bazą dualną do bazy $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_m$ przestrzeni $W$. Rozważmy odwzorowanie dualne $f^{*}:W^{*}⟶V^{*}$. Chcemy znaleźć macierz $f^{*}$ przy wyróżnionych właśnie bazach dualnych. Oznaczmy poszukiwaną macierz przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tiny”): {\displaystyle B=[b_{ji}]_ {\tiny\begin{array} {l} 1\le j\le n\\ 1\le i\le m \end{array} }} , czyli

$f^{*}(e{\text{'}}_i^{*})=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}{e}_j^{*}.$

Po obydwu stronach powyższej równości mamy wektory z $V^{*}$, czyli odwzorowania liniowe określone na $V$ i o wartościach w $\mathbb{𝕂}$. Obliczymy wartość tych odwzorowań na wektorach bazy $e_1,...,e_n$. Otrzymujemy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned\left( f^*(e'^*_i)\right)(e_s)&=\left((e'^*_i)\circ f\right)(e_s) =e'^*_i\left(\sum _{l=1}^m a_{ls}e'_l\right) \\ &=\sum _{l=1}^m a_{ls}\left(e'^*_i(e'_l) \right)\\ &=\sum _{l=1}^m a_{ls}\delta _{il} =a_{is}. \endaligned}

Z drugiej strony

$\left(\sum _{j=1}^n{b}_{ji}{e}_j^{*}\right)(e_s)=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}(e_j^{*}(e_s))=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}{\delta }_{js}=b_{si}.$

A zatem $a_{is}=b_{si}$, co oznacza, że macierz $B$ jest macierzą dualna do macierzy $A$.

Macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego, jeśli w przestrzeniach dualnych wybierzemy bazy dualne.

Stąd, że dla odwzorowań liniowych zachodzi formuła $(f\circ h{)}^{*}=h^{*}\circ f^{*}$, otrzymujemy analogiczną formułą dla macierzy.

Twierdzenie 2.1

Jeśli iloczyn $AB$ jest wykonalny, to wykonalny jest iloczyn $B^{*}{A}^{*}$ oraz

$(AB{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}.$

Udowodnimy teraz następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.2

Rząd odwzorowania dualnego do $f$ jest równy rzędowi odwzorowania $f$.

Dowód

Wiemy, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk f^*=\dim W^*-\dim\textnormal ker f^*=\dim W-\dim\ker f^*. }      (2.2)

Przyjrzyjmy się więc przestrzeni $\ker f^{*}$. Mamy

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \ker f^*=\{\beta \in W^*|\ \beta\circ f=0\}=\{\beta \in W^*|\ \beta _{|\textnormal im f}=0\}.}

Weźmy bazę $w_1,...,w_k$ przestrzeni Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal im f} . Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal im f= W} , to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk f=\dim W} i $\ker f^{*}=\{0\}$. Twierdzenie w tym przypadku jest prawdziwe..

Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal im f\ne W} , to układ $w_1,...,w_k$ rozszerzmy do bazy

$w_1,...,w_k,w_{k+1},...,w_m$

przestrzeni $W$. Przestrzeń $U$ rozpięta na wektorach $w_{k+1},...,w_m$ jest dopełnienieniem algebraicznym do Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal im f} w $W$, czyli Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle W=U\oplus\textnormal im f} . Zauważmy, że odwzorowanie

$\varphi :\ker f^{*}\ni \beta ⟶{\beta }_{|U}\in U^{*}$

jest izomorfizmem. Oczywiście odwzorowanie $\varphi$ jest liniowe. Jeśli $\varphi (\beta )=0$, to ${\beta }_{|U}$ i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \beta _{|\textnormal im f} } są odwzorowaniami zerowymi. A zatem, $\beta$ jest odwzorowaniem zerowym na całym $W$. Odwzorowanie $\varphi$ jest więc monomorfizmem.

Jest też epimorfizmem. Jeśli bowiem $\gamma :U⟶\mathbb{𝕂}$ jest liniowe, to odwzorowanie liniowe $\beta :W⟶\mathbb{𝕂}$ zdefiniowane na bazie przestrzeni $W$ następująco: $\beta (w_i)=0$ dla $i=1,...,k$,$\beta (w_i)=\gamma (w_i)$ dla $i=k+1,...,m$, jest takie, że $\varphi (\beta )=\gamma$.

Ponieważ $\varphi$ jest izomorfizmem, więc Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \dim\ker f^* = \dim U ^* =\dim U =m-k =\dim W-\textnormal rk f} . Porównując tę równość z równością z pierwszego zdania tego dowodu otrzymujemy żądaną tezę.

Z powyższego twierdzenia i stąd, że macierz odwzorowania dualnego jest macierzą dualną do macierzy odwzorowania danego wynika następujący wniosek

Wniosek 2.3

Dla dowolnej macierzy $A$ zachodzi równość Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk A=\textnormal rk A^*} .

Przypomnijmy sobie teraz operacje dopuszczalne na macierzy (ze względu na rząd macierzy). Korzystając z równości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal{rk} A=\textnormal{rk} A^*} dostajemy natychmiast kilka kolejnych operacji dopuszczalnych, tzn. nie zmieniających rzędu macierzy. Mianowicie, dodając do danego wiersza macierzy $A$ kombinację liniową pozostałych wierszy tej macierzy, nie zmieniamy jej rzędu. Mnożąc dowolny wiersz przez niezerowy skalar nie zmieniamy rzędu macierzy. I wreszczcie, permutując wiersze macierzy nie zmieniamy jej rzędu.

Tak jak w dowodzie twierdzenia o istnieniu bazy z Wykładu 2. możemy stwierdzić, że rząd skończonego układu wektorów jest równy maksymalnej liczbie wektorów liniowo niezależnych, które można wybrać z danego układu wektorów.

A zatem mamy następujące twierdzenie

Twierdzenie 2.4 [Rząd macierzy]

Niech $A\in M(m,n;\mathbb{𝕂})$.

1. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie kolumn liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.
2. Rząd macierzy A jest równy maksymalnej liczbie wierszy liniowo niezależnych, które można wybrać z macierzy $A$.

Macierz odwrotna, ogólna grupa liniowa

Załóżmy teraz, że $V=W$ i $f:V⟶V$ jest endomorfizmem. Wybieramy jedną bazę, tzn. bazę $e_1,...,e_n$ przestrzeni $V$, i definiujemy macierz kwadratową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\small”): {\displaystyle A=[a_{ij}]_ {\small 1\le i,j\le n}} formułą

$\begin{array}{rcl}& & f(e_1)=a_{11}{e}_1+...+a_{n1}{e}_n,\\ & & .\\ & & .\\ & & .\\ & & f(e_n)=a_{1n}{e}_1+...+a_{nn}{e}_n.\end{array}$      (3.3)

Ponieważ mnożenie macierzy odpowiada składaniu odwzorowań, więc odwracalność macierzy $A$ jest równoważna izomorficzności odwzorowania $f$. Ponadto macierz odwrotna $A^{-1}$ do macierzy $A$ jest macierzą odwzorowania odwrotnego $f^{-1}$.

Ogólną grupę liniową $GL(n;\mathbb{𝕂})$ możemy traktować jako grupę wszystkich izomorfizmów liniowych $f:{\mathbb{𝕂}}^n⟶{\mathbb{𝕂}}^n$, z działaniem będącym składaniem odwzorowań. Pamiętamy, że grupa ta dla $n>1$ jest nieprzemienna. Zauważyliśmy już, że macierz kwadratowa $A$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą izomorfizmu. Odwzorowanie liniowe $f:{\mathbb{𝕂}}^n⟶{\mathbb{𝕂}}^n$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk f=n} . Oznacza to, że prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 3.1

Macierz kwadratowa $A=A_{n\times n}$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \textnormal rk A=n} .

Macierz przejścia

Niech $e_1,...,e_n$ będzie bazą przestrzeni $V$ i niech $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$ będzie inną bazą tej samej przestrzeni. Istnieją jednoznacznie określone skalary $p_{ij}$, $1\le i,j\le n$, takie, że

$e{\text{'}}_j=\sum _{i=1}^n{p}_{ij}{e}_i,$      (4.4)

dla $j=1,...n$. Macierz $P=[p_{ij}{]}_{1\le i,j\le }$ nazywa się macierzą przejścia od bazy $e_1,...,e_n$ do bazy $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$. Macierz przejścia jest macierzą izomorfizmu przestrzeni $V$, który przekształca bazę $e_1,...,e_n$ na bazę $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$ i macierz ta jest utworzona przy bazie $e_1,...,e_n$. W szczególności, macierz przejścia jest macierzą odwracalną.

Zamieńmy rolami dane bazy. Istnieją jednoznacznie wyznaczone skalary $q_{ij}$, $1\le i,j\le n$, takie, że

$e_i=\sum _{j=1}^n{q}_{ji}e{\text{'}}_j.$

Macierz $[q_{ij}]$ oznaczmy przez $Q$.

Otrzymujemy więc następujące równości

$e_i=\sum _{j=1}^n{q}_{ji}e{\text{'}}_j=\sum _{j=1}^n{q}_{ji}\sum _{l=1}^n{p}_{lj}{e}_l=\sum _{l=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{p}_{lj}{q}_{ji}\right)e_l$

dla każdego $i=1,...,n$. Oznacza to, że $\sum _{j=1}^n{p}_{lj}{q}_{ji}={\delta }_{li}$ i, w konsekwencji, macierze $P$ i $Q$ są wzajemnie odwrotne.

Niech teraz $f:V⟶V$ będzie odwzorowaniem liniowym. Niech $A$ będzie macierzą tego odwzorowania przy bazie $e_1,...,e_n$ i $B$ będzie macierzą tego samego odwzorowania $f$ przy bazie $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$. Chcemy ustalić związek między macierzami $A$ i $B$.

Mamy następujące równości

$f(e{\text{'}}_i)=\sum _{j=1}^n{b}_{ji}e{\text{'}}_j=\sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n{p}_{lj}{b}_{ji}{e}_l=\sum _{l=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{p}_{lj}{b}_{ji}\right)e_l.$

Z drugiej strony

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\aligned”): {\displaystyle \aligned f(e'_i ) = f\left (\sum _{j=1} ^n p_{ji}e_j\right )= \sum _{j=1} ^np_{ji} f(e_j)&= \sum _{j=1} ^n p_{ji}\left (\sum _{l=1}^n a_{lj} e_l \right )\\&= \sum _{j=1}^n\sum _{l=1}^n a_{lj} p_{ji}e_l =\sum _{l=1}^n\left (\sum _{j=1}^n a_{lj} p_{ji}\right )e_l. \endaligned}

Otrzymaliśmy równość $AP=PB$. A zatem udowodniliśmy następujące twierdzenie

Twierdzenie 4.1

Jeżeli $A$ jest macierzą endomorfizmu $f$ przy bazie $e_1,...,e_n$ i $B$ jest macierzą tego samego endomorfizmu przy bazie $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$, to

$B=P^{-1}AP,$

gdzie $P$ jest macierzą przejścia od bazy $e_1,...,e_n$ do bazy $e{\text{'}}_1,...,e{\text{'}}_n$.