PS Moduł 11

Jeżeli w systemie modulacji impulsowej uzmienniany parametr fali nośnej przybiera wartości w zbiorze ciągłym, modulację nazywamy modulacją impulsową analogową, jeśli zaś w zbiorze dyskretnym – modulacją impulsową cyfrową. Modulacja PAM polega na uzmiennianiu amplitudy impulsów unipolarnej fali prostokątnej o okresie $T_s$ , czasie trwania impulsów $\tau$ i jednostkowej amplitudzie (rys. a) zgodnie z wartościami bieżących próbek sygnału informacyjnego $x(t)$ (rys. b) pobieranych w chwilach $n{T}_s$ . Sygnał PAM (rys. c) jest ciągiem impulsów prostokątnych powtarzanych z okresem $T_s$ o amplitudach równych wartościom próbek $xn(T_s)$ . Jego widmo (rys. d) jest ciągiem kopii widmowych widma sygnału informacyjnego zniekształconych obwiednią Sa.

---

Wzór (11.1) stanowi opis formalny ciągu impulsów tworzących sygnał PAM. Ponieważ sygnał ten powstaje w wyniku próbkowania chwilowego sygnału, omówionego na wykładzie 7, przy obliczaniu jego widma możemy skorzystać z wcześniejszych rezultatów. Widmo sygnału PAM jest ciągiem kopii widma $X(\omega )$ sygnału informacyjnego $x(t)$ , powtarzanych okresowo z okresem ${\omega }_s=2\pi /T_s$ i zniekształconych obwiednią typu Sa. Kopie te są odseparowane od siebie, jeśli ${\omega }_s>2{\omega }_m$, gdzie ${\omega }_m$ jest maksymalną pulsacją widma sygnału. Sygnał $x(t)$ można odzyskać z sygnału PAM drogą filtracji dolnoprzepustowej. Aby wyeliminować zniekształcenia aperturowe, należy zastosować filtr korekcyjny o charakterystyce amplitudowej będącej odwrotnością zniekształcającej obwiedni w przedziale pulsacji $|\omega |\le {\omega }_m$. Zniekształcenia aperturowe są tym mniejsze, im krótszy jest czas $\tau$ trwania impulsów próbkujących w porównaniu z okresem próbkowania $T_s$. Jeśli współczynnik wypełnienia fali nośnej $\tau /T_s=1$, efekt aperturowy jest pomijalny.

---

Jednoczesna transmisja w paśmie podstawowym wielu sygnałów PAM w systemie zwielokrotnienia częstotliwościowego FDM (ang. Frequency Division Multiplexing) jest niemożliwa z uwagi na nakładanie się widm tych sygnałów. Można ją natomiast zorganizować w systemie zwielokrotnienia czasowego TDM (ang. Time Division Multiplexing), w którym impulsy poszczególnych sygnałów są transmitowane w przeznaczonych na nie rozłącznych oknach (szczelinach) czasowych. W transmisji TDM chwile czasowe transmisji poszczególnych impulsów są ściśle kontrolowane przez układ zegara i synchronizacji. Umożliwia to wyodrębnienie po stronie odbiorczej tylko tych impulsów, które tworzą interesujący nas sygnał. Impulsy pochodzące od innych sygnałów, transmitowanych równocześnie w systemie TDM, są po stronie odbiorczej eliminowane, bądź kierowane na inny tor odbiorczy.

---

W demodulatorze sygnału PAM przemieszane w czasie impulsy zwielokrotnionego w czasie sygnału PAM, o tym samym okresie próbkowania $T_s$, są podawane na pierwsze wejścia wszystkich bramek. W chwilach $n{T}_s$ w generatorze szerokich impulsów jest wytwarzany impuls prostokątny o czasie trwania dłuższym w porównaniu z czasem trwania impulsów informacyjnych. Impuls ten, po kolejnych opóźnieniach o czasy $k\mathrm{\Delta }t$, jest podawany na drugie wejścia bramek. Na obu wejściach k-tej bramki (i tylko tej bramki) następuje koincydencja czasowa szerszego impulsu opóźnionego o $k\mathrm{\Delta }t$ oraz k-tego impulsu informacyjnego. Bramka przepuszcza ten impuls, nie przepuszczając jednocześnie impulsów pochodzących od pozostałych transmitowanych sygnałów. Tym samym następuje rozdzielenie sygnałów na poszczególne tory odbiorcze.

---

System PDM (ang. Pulse Duration Modulation) jest odpowiednikiem modulacji PM, zaś system PPM (ang. Pulse Position Modulation) jest odpowiednikiem modulacji FM wśród modulacji analogowych. Rysunek przedstawia sygnały PAM, PDM i PPM zmodulowane tym samym odcinkiem sygnału informacyjnego. Współczynniki $a_0$ i $a_1$ we wzorze (11.3) są dobierane tak, aby spełnione były nierówności $\tau (n{T}_s)>0$ oraz $\tau (n{T}_s)<T_s$, tj. aby w każdej chwili $n{T}_s$ szerokość generowanego impulsu PDM była dodatnia oraz aby nie przekraczała okresu próbkowania. Podobnie dobiera się zakres opóźnień impulsów w sygnale PPM, tak aby najmniejszej wartości próbki odpowiadało pewne minimalne opóźnienie i aby nie przekraczało ono czasu $T_s-\tau$ (tj. aby spełniony był warunek nie zachodzenia kolejnych impulsów na siebie). Podkreślmy, że w sygnale PPM wszystkie impulsy mają jednakową amplitudę i jednakowy czas trwania.

---

Układ generatora sygnału PDM (rys. a) składa się z generatora okresowego sygnału piłokształtnego $p(t)$ o okresie $T_s$ (rys. c), sumatora i układu progowego. Sygnał piłokształtny jest dodawany w sumatorze do sygnału informacyjnego $x(t)$. Sygnał z wyjścia sumatora jest następnie podawany na układ progowy. Na wyjściu układu progowego pojawia się sygnał o stałej wartości dodatniej jedynie w tych przedziałach czasu, w których sygnał na jego wyjściu przekracza ustaloną wartość progową. W pozostałych przedziałach czasu sygnał na wyjściu układu progowego jest równy zeru (rys. d). Układ formuje w ten sposób ciąg impulsów prostokątnych (rys. e), których czasy trwania są proporcjonalne do wartości próbek $x(n{T}_s)$. Amplitudę sygnału piłokształtnego i wysokość progu dobiera się tak, aby dla każdego $n$ spełniony był wspomniany wcześniej warunek $0<\tau (n{T}_s)<T_s$.

---

W metodzie generacji sygnału PPM na podstawie sygnału PDM impulsy PDM, po zmianie ich polaryzacji (rys. a), są podawane na układ różniczkujący o małej stałej czasu. Na wyjściu układu różniczkującego powstaje naprzemienny ciąg wąskich impulsów szpilkowych (wykładniczych). Impulsy dodatnie są wytwarzane w chwilach, w których występują tylne zbocza impulsów PDM (rys. b). Każdy dodatni impuls szpilkowy wyzwala generator wąskich impulsów prostokątnych o jednakowej amplitudzie i jednakowym czasie trwania (rys. c), tworzących sygnał PPM. Opóźnienia poszczególnych impulsów prostokątnych względem chwil $n{T}_s$ są proporcjonalne do szerokości impulsów PDM. Tym samym informacja o sygnale modulującym, zapamiętana w szerokości impulsów PDM, jest przekodowana w prosty sposób na informację zawartą w czasach przesunięcia impulsów PPM. Bezpośrednia demodulacja sygnałów PDM i PPM jest trudna do realizacji, dlatego sygnały te są zwykle zamieniane po stronie odbiorczej na sygnał PAM, który jest następnie demodulowany za pomocą odpowiedniego filtru dolnoprzepustowego. Podobnie jak sygnał PAM, sygnały PDM i PPM zawierają składową stałą i maja dużą gęstość widmową w zakresie małych częstotliwości. Dlatego są one transmitowane po dodatkowej modulacji AM.

---

Dyskretyzację w amplitudzie sygnału PAM uzyskuje się w wyniku skwantowania zakresu zmienności amplitudy na skończoną liczbę poziomów, co umożliwia zakodowanie transmitowanej informacji słowami binarnymi o skończonej długości. Podobnie można dokonać dyskretyzacji sygnałów PDM i PPM. W systemach modulacji impulsowo-kodowej wykonywane są trzy operacje charakterystyczne dla przetwarzania analogowo-cyfrowego sygnałów: próbkowanie, kwantowanie i kodowanie. W przypadku modulacji PCM (ang. Pulse Code Modulation) skwantowane wartości amplitudy impulsów PAM są kodowane binarnie. W przytoczonym przykładzie kodowania dla przypadku 16 poziomów kwantowania ponumerowanych od 0 do 15 zastosowano tzw. kod naturalny o stałej długości słowa, w którym poszczególnym poziomom przyporządkowane są słowa kodowe będące binarnym zapisem ich numerów. Fizyczną reprezentację znaków binarnych „1” oraz „0” stanowi tzw. kod sygnałowy (w omawianym przykładzie znak „1” jest reprezentowany krótkim impulsem dodatnim, zaś znak „0” – brakiem impulsu.

---

Rysunek ilustruje kolejne etapy przetwarzania napięciowego sygnału informacyjnego (rys. a) w sygnał PCM. Dla wygody przyjęto znormalizowaną skalę umownych wartości sygnału od 0 do 16 podzielonych na 16 poziomów kwantowania o kwancie równym 1. W pierwszym kroku przetwarzania sygnał informacyjny jest próbkowany chwilowo, tj. zmodulowany w systemie PAM przy założeniu prostokątnej unipolarnej fali nośnej (rys. b). Otrzymany sygnał PAM jest ciągły w amplitudzie (rys. c). Następnie próbki sygnału PAM są kwantowane, tj. ich dokładne wartości są przybliżane najbliższymi liczbami równymi połowie wartości między poziomami kwantyzacji. Na przykład, próbka o amplitudzie 11,3 jest przybliżana próbką o amplitudzie 11,5, a próbka o amplitudzie 14,9 – próbką o amplitudzie 14,5. Powstały w wyniku tego sygnał skwantowany jest pokazany na rys. d. Z kolei sygnał skwantowany jest kodowany binarnie i konwertowany na sygnał PCM przy założonym kodzie sygnałowym (rys. e).

---

W modulatorze PCM sygnał informacyjny $x(t)$ jest próbkowany chwilowo przez układ próbkujący, a następnie generowany jest sygnał PAM $y_{PAM}(t)$. Przetwarzanie impulsów sygnału PAM w impulsy sygnału PCM odbywa się w cyklach o czasie trwania $T_s$. Prześledzimy to na przykładzie próbki o amplitudzie 11,3 (trzeciego w kolejności na poprzednim rysunku). W chwili rozpoczęcia cyklu impuls ten jest podawany na układ podtrzymania i jednocześnie uruchomiony jest generator impulsów zegarowych generujący w cyklu maksymalnie 16 równoodległych impulsów. Są one zliczane przez licznik zawierający 4-pozycyjny rejestr. Układ podtrzymania zapamiętuje wartość amplitudy i steruje przetwornikiem PAM/PDM, który generuje impuls prostokątny o czasie trwania proporcjonalnym do wartości próbki. Tylne zbocze tego impulsu zamyka bramkę, która zatrzymuje zliczanie impulsów zegarowych. Liczba impulsów zliczonych jest proporcjonalna do czasu trwania impulsu PDM, a zarazem do amplitudy impulsu PAM. W naszym przykładzie jest ich 11. Liczba 11 jest zapamiętana w rejestrze licznika i poprzez układ odczytu jest formowany (w odwrotnej kolejności bitów!!) odpowiadający jej 4-bitowy ciąg impulsów kodowych. Przed rozpoczęciem kolejnego cyklu licznik jest zerowany.

---

Rozpatrzmy przetwarzanie przez układ RC (rys a) pojedynczego dodatniego impulsu kodowego (odpowiadającego znakowi binarnemu „1”). Zachodzi ono w czasie $\mathrm{\Delta }t\approx T_s/4$. Impuls ten jest podawany na układ RC z idealnego źródła prądowego. Przednie zbocze impulsu przełącza klucz w pozycję rozwartą, a tylne zbocze powoduje jego zamknięcie. Zatem w krótkim czasie trwania impulsu następuje ładowanie idealnego kondensatora przy otwartym kluczu K (rys. b). W tym czasie impuls można opisać skokiem jednostkowym $i(t)=I_{0}1(t)$. Podanie skoku $i(t)=I_{0}1(t)$ wywołuje w układzie stan nieustalony, a więc napięcie na kondensatorze można wyznaczyć metodą operatorową Laplace’a. Analiza pokazuje, że w czasie trwania impulsu kodowego $0<t\le \tau$ napięcie na kondensatorze rośnie liniowo począwszy od swojej wartości początkowej $u_0$. Jeżeli napięcie to będziemy mierzyć w skali znormalizowanej, to amplitudę impulsów dobiera się tak, aby każdy impuls powodował jego przyrost o $2^n$ jednostek, gdzie n jest długością słowa (w naszym przykładzie $2^4=16$ jednostek). W przedziale czasu $\tau <t\le T_s$ źródło jest odłączone (impuls skończył się), klucz K jest zwarty i następuje wykładnicze rozładowanie się kondensatora przez opór R (rys. c).

---

Stałą czasu $RC$ dobiera się tak, aby $RC=1,44\mathrm{\Delta }t$. Wtedy po czasie $\mathrm{\Delta }t$ napięcie $u_c(t)$ maleje do połowy swojej wartości początkowej w chwili wystąpienia tylnego zbocza impulsu kodowego (zakładamy tu, że $\tau =\mathrm{\Delta }t$). Jeżeli po czasie $\mathrm{\Delta }t$ w ciągu impulsów kodowych wystąpi kolejny impuls dodatni (transmitowany jest znak „1”), kondensator podładuje się o dalszych $2^n$ jednostek, po czym ponownie nastąpi jego rozładowanie z tą samą prędkością. Jeżeli zaś impuls kodowy nie wystąpi (transmitowany jest znak „0”), napięcie $u_c(t)$ będzie nadal maleć do połowy swojej połowy. Po czasie $T_s$, tj. na końcu cyklu przetwarzania, napięcie na kondensatorze jest rejestrowane i tworzony jest impuls PAM o amplitudzie $u_c(T_s)$. Przy założonej wartości stałej czasu $RC$ znormalizowane wartości próbek napięcia na kondensatorze w chwilach $n{T}_s$ będą zawsze równe numerowi poziomu kwantyzacji sygnału PCM odpowiadającemu przetwarzanej sekwencji impulsów kodowych. Na rysunku została zilustrowana procedura przetwarzania sygnału PCM w sygnał PAM w przypadku ciągu impulsów 1101 odpowiadającego poziomowi 11 (przypominamy o odwrotnej kolejności bitów).

---

Jeśli zmiany wartości sygnału miedzy dwoma kolejnymi próbkami są znaczne, to między dwoma słowami kodowymi kodującymi te próbki mogą wystąpić różnice na wielu pozycjach tych słów. Niedogodności tej można uniknąć stosując modulacje DM. Zasada działania modulatora DM polega na śledzeniu przyrostów sygnału informacyjnego $x(t)$ od próbki do próbki i wytworzeniu na tej podstawie schodkowej aproksymacji $\overline{x}(t)$ tego sygnału (rys. a). Sygnał binarny $\overline{e}(n{T}_s)=\mathrm{\Delta }sgn[e(n{T}_s)]$ przybiera wartość $+\mathrm{\Delta }$, jeśli wartość $e(n{T}_s)$ sygnału różnicowego jest dodatnia, i $-\mathrm{\Delta }$, jeśli wartość $e(n{T}_s)$ jest ujemna. Sygnał binarny $\overline{e}(n{T}_s)$ powstaje więc w wyniku skwantowania sygnału różnicowego $e(n{T}_s)$ na dwa poziomy $\pm \mathrm{\Delta }$. Jeśli sygnał $x(t)$ nie zmienia się zbyt szybko, to błąd aproksymacji $x(t)-\overline{x}(t)$ utrzymuje się w przedziale $[-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }]$. W końcowym etapie generowana jest sekwencja binarna (rys. b), która jest transmitowana. Do odbiornika jest zatem przesyłana informacja tylko o przyrostach sygnału od próbki do próbki.

---

Układy modulatora i demodulatora sygnału DM są bardzo proste. Modulator (rys. a) realizuje dokładnie opisane wcześniej operacje. Kolejne przyrosty $\overline{e}(n{T}_s)$ (równe $\pm \mathrm{\Delta }$) są kumulowane w układzie akumulatora (zaznaczonego linią przerywaną) i na tej podstawie jest tworzony aproksymujący sygnał schodkowy $\overline{x}(n{T}_s)$. Demodulator (rys. b) na podstawie przychodzącej do odbiornika sekwencji binarnej wytwarza ciąg dodatnich i ujemnych impulsów prostokątnych, które są akumulowane w pętli sprzężenia zwrotnego i w ten sposób jest odtwarzany po stronie odbiorczej sygnał schodkowy. Jest on jeszcze podawany na dolnoprzepustowy filtr wygładzający LP, który usuwa z sygnału składowe o wysokich częstotliwościach związane ze skokowymi zmianami sygnału. Ostatnio coraz częściej stosowane są adaptacyjne wersje modulacji DM, w których przyrosty $\mathrm{\Delta }n{T}_s$ są zmieniane od próbki do próbki w zależności od szybkości zmian sygnału informacyjnego.

---

Stosowane są różne reprezentacje znaków binarnych „1” i „0” (kody sygnałowe) za pomocą impulsów elektrycznych. Najczęściej spotykane są pokazane na rys. a)-h). Na rys. a) jest pokazany kod sygnałowy , w którym znak „1” jest reprezentowany krótkim impulsem dodatnim, a znak „0” – brakiem impulsu. Zbliżony kod sygnałowy jest pokazany na rys. b). Rys. c) przedstawia kod NRZ, w którym znaki „1” i „0” są reprezentowane impulsami o czasie trwania $\mathrm{\Delta }t$, jednakowych amplitudach i przeciwnych polaryzacjach. W kodzie RZ (rys. d) znak „1” jest reprezentowany impulsem dodatnim o czasie trwania $\mathrm{\Delta }t/2$, który w drugiej połowie przedziału $\mathrm{\Delta }t$ powraca do zera , a znak „0” – poziomem zerowym. Na rys. e) i f) są pokazane kody bifazowe, w których znaki binarne są reprezentowane przejściem między poziomami sygnału. Reprezentacja znaków binarnych przejściem między poziomami sygnału jest również stosowana w kodach ternarnych (rys. g i h), w których sygnał może przybierać trzy poziomy: dodatni, ujemny i zerowy.

---

Sygnały elektryczne transmitowane w systemach modulacji impulsowo-kodowych są oczywiście sygnałami losowymi. Rysunek przedstawia realizacje tych w przypadku sekwencji binarnej „011101001”. Poszczególne kody sygnałowe różnią się pod względem właściwości widmowych. W praktyce kody sygnałowe dobiera się tak, aby widma zakodowanych sygnałów były dopasowane do charakterystyki częstotliwościowej kanału transmisyjnego, a w szczególności, aby nie zawierały niekorzystnych składowych niskoczęstotliwościowych. Pod tym względem najkorzystniejszy jest kod Manchester (rys. f) i kod ternarny bipolarny (rys. h). Sygnały zakodowane tymi kodami nie zawierają składowej stałej, a ich gęstość widmowa dla małych częstotliwości jest niewielka.

---