Analiza matematyczna 2/Test 9: Twierdzenie o funkcjach uwikłanych. Ekstrema warunkowe

Rozważmy funkcję $F(x,y)=x^y=y^x$ i jej $P(a,b)$. Wtedy

$a=1$ i $b=1$ Źle

poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $y=y(x)$ Źle

jeśli $(a,b)\ne (e,e)$, to w otoczeniu punktu $P$ poziomica $\{F=0\}$ jest wykresem pewnej funkcji $y=y(x)$. Dobrze

Funkcja $y=y(x)$ uwikłana równaniem $xy-\ln y-1=0$ i taka, że $y(\frac{2}{e})=e$, ma pochodną w punkcie $\frac{2}{e}$ równą

$e$ Źle

$-e^2$ Dobrze

$e^2$. Źle

Równanie $x^2+y^2=e^{x^2+y^2-1}$

przedstawia okrąg $x^2+y^2=1$ Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję $y=y(x)$ poza punktami $(-1,0)$ i $(1,0)$ Dobrze

określa jednoznacznie pewną funkcję $x=x(y)$ poza punktami $(0,-1)$ i $(0,1)$. Dobrze

Równanie $z^3-3xyz-20=0$ określa jednoznacznie pewną funkcję

$z=z(x,y)$ w otoczeniu punktu $(-1,2,2)$ Dobrze

$x=x(y,z)$ w otoczeniu punktu $(0,1,1)$ Źle

$y=y(x,z)$ w otoczeniu punktu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle (0,1,\root 3 \of {20})} . Źle

Układ równań

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \displaystyle \left \{\begin{array} {ll} xy+yz+zx-11=0, \\ xyz-6=0\\ \end{array} }

określa jednoznacznie parę funkcji $y=y(x),z=z(x)$ w otoczeniu punku $(1,2,3)$, których pochodne w punkcie $1$ są równe

$y^{\prime }(1)=-8,z^{\prime }(1)=9$ Dobrze

$y^{\prime }(1)=9,z^{\prime }(1)=-8$ Źle

$y^{\prime }(1)=8,z^{\prime }(1)=-9$. Źle

Równanie $F(x,y)=0$

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie
$F(x,y(x))=0$ Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie pewną funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie
$F(x(y),y)=0$ Źle

w otoczeniu każdego punktu określa jednoznacznie funkcję $y=y(x)$ spełniającą równanie $F(x,y(x))=0$ lub funkcję $x=x(y)$ spełniającą równanie $F(x(y),y)=0$. Źle

Funkcja $z=z(x,y)$ określona równaniem $x^6+y^6+z^6-6xyz=0$

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,\root 9 \of 2)} maksimum lokalne Dobrze

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(-\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne Źle

ma w punkcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \displaystyle \displaystyle (x,y)=(\root 9 \of 2,-\root 9 \of 2)} minimum lokalne. Dobrze

Niech $g(x,y)=x^2+y^2-1$. Wtedy funkcja $f(x,y)=x^3+y^3$

ma minimum warunkowe pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$ Źle

ma maksimum warunkowe pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$ Dobrze

nie ma ekstremum warunkowego pod warunkiem $g(x,y)=0$ w punkcie $(x,y)=(0,1)$. Źle

Funkcja $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ ma ekstremum warunkowe w punkcie $(0,0,1)$ pod warunkiem

$g(x,y,z)=x+y+z-1=0$ Źle

$g(x,y,z)=xy+yz+zx-1=0$ Źle

$g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0$. Dobrze