Zaawansowane algorytmy i struktury danych/Wykład 5

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania

Abstrakt

Pierwsza część tego wykładu poświęcona będzie problemowi obliczania najkrótszych ścieżek w grafie z jednego źródła w przypadku, w którym wagi krawędzi mogą być ujemne. Zaprezentujemy algorytm Bellmana-Forda, który rozwiązuje ten problem w czasie . W drugiej części zajmiemy się problemem obliczania odległości między wszystkimi parami wierzchołków. Pokażemy związki tego problemu z mnożeniem macierzy.

Definicja problemu

W wykładzie tym zajmiemy się problemem obliczania najkrótszych ścieżek w grafie wychodzących z jednego wierzchołka. Załóżmy, że mamy dany graf , funkcję przypisującą wagi krawędziom oraz jeden wybrany wierzchołek . Wagę ścieżki definiujemy jako wagę tworzących ją krawędzi:



Odległość z wierzchołka do wierzchołka definiujemy jako

Najkrótszą ścieżką z wierzchołka do wierzchołka jest każda ścieżka z do , której waga jest równa odległości z do .

W problemie najkrótszych ścieżek z jednego wierzchołka chcemy obliczyć odległości dla wszystkich wierzchołków wraz z drzewem najkrótszych ścieżek z . Drzewem najkrótszych ścieżek o korzeniu w nazywamy podgraf skierowany , w którym , taki, że:

  • jest zbiorem wierzchołków w do których istnieje ścieżka z ,
  • jest drzewem którego korzeniem jest ,
  • dla każdego wierzchołka jedyna ścieżka z do w grafie jest najkrótszą ścieżką z do w grafie .

W naszych algorytmach drzewo najkrótszych ścieżek będziemy reprezentować jako funkcję poprzedników określającą poprzednika wierzchołka w drzewie najkrótszych ścieżek. Drzewo najkrótszych ścieżek możemy uzyskać z w następujący sposób:

Algorytm Bellmana-Forda

Algorytm Bellmana-Forda służy do rozwiązania problemu znalezienia najkrótszych ścieżek w grafie, w którym wagi krawędzi mogą być ujemne. W problemie tym mamy dany graf i funkcję wagową . Algorytm Bellmana-Forda wylicza dla zadanego wierzchołka , czy istnieje w grafie cykl o ujemnej wadze osiągalny z . Jeżeli taki cykl nie istnieje to algorytm oblicza najkrótsze ścieżki z do wszystkich pozostałych wierzchołków wraz z ich wagami.

Relaksacja

Podobnie ja to było w Algorytmie Dijkstry użyjemy metody relaksacji. W metodzie tej utrzymujemy dla każdego wierzchołka wartość będącą górnym ograniczeniem wagi najkrótszej ścieżki z do . W algorytmie utrzymywać będziemy także dla każdego wierzchołka wskaźnik wskazujący na poprzedni wierzchołek przez który prowadzi dotychczas znaleziona najkrótsza ścieżka. Na początku, wielkości te inicjujemy przy pomocy następującej procedury:


Algorytm Inicjacja algorytmu najkrótszych ścieżek


 INICJACJA
 1  for każdy wierzchołek  do
 2  begin
 3    
 4    
 5  end
 6  
 7  return 


Ustalone przez tą procedurę wartości są dobrymi ograniczeniami górnymi na odległości w grafie.

Relaksacja krawędzi polega na sprawdzeniu, czy przechodząc krawędzią z do , nie otrzymamy krótszej ścieżki z do niż ta dotychczas znaleziona. Jeżeli tak, to aktualizowane są także wartości i . W celu relaksacji krawędzi używamy następującej procedury nazwanej tutaj RELAKSUJ.

Algorytm Relaksacja krawędzi


 RELAKSUJ
 1  if  then
 3  begin
 4    
 5    
 6  end

Algorytm

Po przypomnieniu czym była relaksacja gotowi jesteśmy na zapisanie algorytmu Bellmana-Forda, a następnie udowodnienie jego poprawności.

Algorytm Bellmana-Forda


 BELLMAN-FORD
 1  INICJUJ
 2  for  to  do
 3    for każda krawędź  do
 4      RELAKSUJ
 5  for każda krawędź  do
 6    if ' then
 7      return 
 8  return 

Poniższa animacja przedstawia działanie algorytmu dla grafu o pięciu wierzchołkach.

<flash>file=Zasd_animacja_bellman_ford1.swf|width=660|height=250</flash>

Algorytm ten działa w czasie , co łatwo pokazać gdyż:

  • proces inicjacji w linii 1 zajmuje czas ,
  • w każdym z przebiegów głównej pętli w linii 2 algorytmu przeglądane są wszystkie krawędzie grafu w linii 3 , co zajmuje czas ,
  • końcowa pętla algorytmu w liniach 5-7 działa w czasie .

Poprawność

Dowód poprawności algorytmu Bellmana-Forda zaczniemy od pokazania, że algorytm działa poprawnie przy założeniu, że w grafie nie ma cykli o ujemnych wagach.

Lemat 1

Niech będzie grafem skierowanym i niech funkcja zadaje wagi krawędzi. Niech będzie wierzchołkiem z którego liczymy odległości algorytmem Bellmana-Forda. Jeżeli w grafie nie ma cykli o ujemnej wadze osiągalnych z , to algorytm poprawnie oblicza odległości, tzn. na koniec działania algorytmu dla każdego wartość jest odległością w z do .

Dowód

Oznaczmy przez odległość z wierzchołka do w grafie . Niech będzie wierzchołkiem osiągalnym ze źródła i niech oznacza najkrótszą ścieżkę z do , gdzie oraz . Ścieżka ta jest ścieżką prostą, bo najkrótsze ścieżki muszą być proste, więc . Pokażemy teraz indukcyjnie, że poczynając od -tego przebiegu zachodzi dla . W algorytmie wykonujemy obrotów pętli oraz , co oznacza, że z tej tezy indukcyjnej wynika poprawność algorytmu.

Zauważmy, że teza indukcyjna zachodzi po inicjacji algorytmu, gdyż i . Załóżmy, że teza indukcyjna zachodzi dla kroku 'tego. Ponieważ ścieżki dla są najkrótsze jako podścieżki ścieżki , to po 'wszym wykonaniu pętli wartości dla się nie zmienią. Pozostaje nam więc do pokazania to, że wartość będzie dobrze policzona. W 'wszym przebiegu wykonujemy między innymi relaksację krawędzi . Ponieważ jest dobrze policzone, to po tej relaksacji wyznaczona będzie także poprawnie wartość , bo założyliśmy, że najkrótsza ścieżka do przechodzi przez .

Pozostaje nam jedynie zastanowić się, co się dzieje, gdy wierzchołek nie jest osiągalny z . Musi wtedy zachodzić pod koniec działania algorytmu. Gdyby tak nie było to oznaczałoby, z właściwości procedury RELAKSUJ, że istnieje ścieżka od do . Sprzeczność. End of proof.gif


Dowód

Dowód ten można przeprowadzić w podobny sposób do dowodu Lematu 1.

End of proof.gif

Twierdzenie 3

Niech będzie grafem skierowanym i niech funkcja zadaje wagi krawędzi. Załóżmy, że algorytm Bellmana-Forda został wykonany dla wierzchołka . Jeżeli graf zawiera cyklu o ujemnej wadze osiągalny ze źródła to algorytm zwraca wartość NIL, w przeciwnym wypadku jest odległością z do , a wyznacza drzewo najkrótszych ścieżek o korzeniu w .


{{dowod|||3=Załóżmy najpierw, że graf nie zawiera cykli o ujemnej wadze, które byłyby osiągalne z . Wtedy z Lematu 1 wiemy, że są poprawnie policzonymi odległościami. Jeżeli odległości zostały poprawnie policzone przez funkcję RELAKSUJ to koduje najkrótsze ścieżki w grafie. Wynika to z właściwości [[#algorytm_relaksacja_krawędzi|funkcji RELAKSUJ], która wyliczając odległość wyznaczą jednocześnie przez jaki wierzchołek prowadzi ta najkrótsza ścieżka.

Musimy teraz pokazać, że algorytm poprawnie wykrywa, czy w grafie istnieje cykl ujemnej długości osiągalny z . Jeżeli nie ma takiego cyklu to wtedy są poprawnie policzone przed wykonaniem testu w liniach 5-8 algorytmu Bellmana-Forda. W takim razie zachodzi:



Powyższa nierówność zachodzi ponieważ jest ścieżką w grafie, a więc jest nie krótsza niż najkrótsza ścieżka . Widzimy więc, że w tym przypadku żaden z testów w linijce 6 algorytmu nie będzie spełniony i algorytm nie zwróci NIL.

Załóżmy teraz, że w grafie istnieje cykl o ujemnej wadze osiągalny z . Oznaczmy ten cykl jako , gdzie . Dla cyklu tego mamy:

     (1)

Gdyby w tej sytuacji algorytm Bellmana-Forda nie zwrócił wartości NIL to dla każdej krawędzi musiałaby zachodzić nierówność . Sumując tą nierówność stronami po wszystkich otrzymujemy.



ponieważ to



Wiemy, że cykl jest osiągalny a zatem dla każdego mamy . Możemy więc skrócić po obydwu stronach równania i otrzymujemy:



co stoi w sprzeczności z nierównością (1). Jeżeli więc w grafie istnieje cykl o ujemnej wadze osiągalny z , to algorytm zwróci NIL. }}