Wstęp do programowania / Ćwiczenia 5: Różnice pomiędzy wersjami

Z Studia Informatyczne
Przejdź do nawigacjiPrzejdź do wyszukiwania
 
(Praktycznie wszystko)
Linia 1: Linia 1:
To są ćwiczenia z gramatyk.
+
To są ćwiczenia z gramatyk bezkontekstowych.
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
Ogladaj rozwiązania __SHOWALL__<br>
 +
Ukryj rozwiązania __HIDEALL__
 +
</div>
 +
 
 +
==Zadanie 1 (palindromy)==
 +
Napisz gramatykę generującą wszystkie poprawne palindromy nad alfabetem {0,1}.
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S → &epsilon; | 0 | 1 | 0S0 | 1S1
 +
 
 +
''Zgodność'': (każde wygenerowane słowo jest palindromem) Dowód przez indukcję po długości wyprowadzenia.
 +
 
 +
Przypadek bazowy: wyprowadzenie długości 1. Są 3 przypadki: S → &epsilon;, S → 0, S → 1. Wszystkie wygenerowane słowa są palindromami.
 +
 
 +
Krok indukcyjny: załóżmy że wszystkie wyprowadzenia długości < n (dla danego n>1) są zgodne. Weźmy dowolne wyprowadzenie S →...→ x długości n. Wyprowadzenie to może zaczynać się od produkcji S → 0S0 lub S → 1S1. W pierwszym przypadku x=0y0, a z jego wyprowadzenia łatwo odczytać wyprowadzenie S →...→ y o długości n-1. Z założenia indukcyjnego y jest palindromem, zatem jest nim również słowo x=0y0. Analogicznie dowodzimy zgodność wyprowadzenia zaczynającego się od produkcji S → 1S1.
 +
 
 +
''Pełność'': (każdy palindrom da się wygenerować) Dowód przez indukcję po długości słowa.
 +
 
 +
Przypadek bazowy: jeśli słowo ma długość 0 lub 1, to jest to &epsilon;,  0 lub 1. Wszystkie te słowa dają się wygenerować.
 +
 
 +
Krok indukcyjny: jeśli palindrom x ma długość > 1, to jest postaci 0y0 lub 1y1, gdzie y jest palindromem o mniejszej dlugości. Z założenia indukcyjnego S →...→ y. Zatem S → 0S0 →...→ 0y0 lub S → 1S1 →...→ 1y1 i otrzymaliśmy wyprowadzenie słowa x. 
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
==Zadanie 2 (wyrażenia nawiasowe)==
 +
Napisz gramatykę generującą wszystkie poprawne wyrażenia nawiasowe.
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S → SS | (S) | &epsilon;
 +
 
 +
''Zgodność'': (każde wygenerowane słowo jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym) Niech L oznacza język poprawnych wyrażeń nawiasowych. Dowód zgodności przez indukcję po długości wyprowadzenia.
 +
 
 +
Przypadek bazowy: poprzez wyprowadzenie długości 1 jest możliwe wygenerowanie tylko słowa &epsilon; i należy ono do L.
 +
 
 +
Krok indukcyjny: każde dłuższe wyprowadzenie zaczyna się od produkcji S → (S) lub S → SS. W pierwszym przypadku wygenerowane słowo będzie postaci (w), gdzie S →...→ w jest wyprowadzeniem o długości n-1, czyli w&isin;L z założenia indukcyjnego.
 +
 
 +
Podobnie w drugim przypadku, wygenerowane słowo będzie postaci uv, gdzie S →...→ u oraz S →...→ v są wyprowadzeniami o długości mniejszej niż n (suma długości tych wyprowadzeń wynosi n-1). Zatem u,v&isin;L, stąd uv&isin;L.
 +
 
 +
''Pełność'': (każde wyrażenie nawiasowe da się wyprowadzić) Dowód przez indukcję po długości wyrażenia. Wyrażenie o długości 0 (słowo puste &epsilon;) da się wyprowadzić.
 +
 
 +
Niech w będzie dowolnym wyrażeniem nawiasowym o długości n>0. Określmy funkcję <math>f_w(i)=\#_((w_1...w_i)-\#_)(w_1...w_i)</math>, czyli różnicę w liczbie wystąpień nawiasu otwierającego i zamykającego w prefiksie o długości i. Łatwo zauważyć, że:
 +
* <math>f_w(0)=0</math>
 +
* <math>f_w(n)=0</math>
 +
* <math>f_w(i)\ge0</math> dla <math>i=0\dots n</math>
 +
W przypadku gdy istnieje j takie, że <math>0<j<n</math> i <math>f_w(j)=0</math> słowa <math>w_1...w_j</math> oraz <math>w_{j+1}...w_n</math> są poprawnymi wyrażeniami nawiasowymi o długości mniejszej niż n. Zatem istnieją wyprowadzenia <math>S \rightarrow \cdots \rightarrow w_1...w_j</math> oraz <math>S \rightarrow \cdots \rightarrow w_{j+1}...w_n</math> i da się z nich złożyć wyprowadzenie <math>S \rightarrow SS \rightarrow \cdots \rightarrow w</math>.
 +
 
 +
W przypadku, gdy dla wszystkich j, <math>f_w(j)>0</math> słowo <math>w_2...w_{n-1}</math> jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym o długości n-2, zatem wyprowadzalnym z S. Stąd łatwo otrzymać wyprowadzenie słowa w <math>S \rightarrow (S) \rightarrow \cdots \rightarrow w</math>.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 2''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S → (S)S | &epsilon;
 +
 
 +
''Zgodność'': oczywista.
 +
 
 +
''Pełność'': podobnie jak w Rozwiązaniu 1. Dla uzyskania danego słowa w o długości > 0 należy posłużyć się funkcją <math>f_w</math>. Przyglądając się '''pierwszej''' pozycji j>0 dla której <math>f_w(j)=0</math>, zauważamy, że słowa <math>w_2...w_{j-1}</math> oraz <math>w_{j+1}...w_n</math> są poprawnymi wyrażeniami nawiasowymi o mniejszej długości. Zatem można uzyskać wyprowadzenie słowa w <math>S \rightarrow (S)S \rightarrow \cdots \rightarrow w</math>.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
==Zadanie 3==
 +
Podaj gramatykę języka słow w nad alfabetem {0,1} takich, że <math>\#_0(w)=\#_1(w)</math>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S → SS | 0S1 | 1S0 | &epsilon;
 +
 
 +
''Zgodność'': oczywista.
 +
 
 +
''Pełność'': podobnie jak w Zadaniu 2. Dla uzyskania słowa w o długości n należy przyjrzeć się wykresowi funkcji <math>f_w(i)=\#_0(w_1...w_i)-\#_1(w_1...w_i)</math>.
 +
Jeśli funkcja ta nie ma miejsc zerowych poza 0 i n, pierwszą produkcją jest S → 0S1 lub S → 1S0. W przeciwnym przypadku w rozkłada się na dwa krótsze słowa o równej liczbie zer i jedynek i pierwszą produkcją jest S → SS.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 2''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S → 0S1S | 1S0S | &epsilon;
 +
 
 +
''Zgodność'': oczywista
 +
 
 +
''Pełność'': podobnie jak w Rozwiązaniu 1 i w Rozwiązaniu 2 Zadania 2.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
==Zadanie 4==
 +
Podaj gramatykę języka słow w nad alfabetem {0,1} takich, że <math>\#_0(w)=\#_1(w)+1</math>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
R → 0R1 | 1R0 | RR | &epsilon;
 +
 
 +
N → 0N1 | 1N0 | RN | NR | 0
 +
 
 +
symbol startowy: N
 +
 
 +
''Zgodność'': wiedząc (z Zadania 3), że R generuje słowa o równej liczbie 0 i 1, łatwo pokazać przez indukcję, że N generuje słowa, w których liczba 0 jest o jeden większa niż liczba 1.
 +
 
 +
''Pełność'': mając dane słowo w o długości > 1 zaczynamy od wskazania (dowolnego) nadmiarowego 0. Następnie postępujemy jak w zadaniu 3, nie licząc wskazanego 0, pamiętając przy tym, żeby ta część słowa, która zawiera wskazane 0, była wyprowadzana z N, a nie z R.
 +
</div>
 +
</div>
 +
<!--
 +
R → 0R1R | 1R0R | &epsilon;
 +
 
 +
N → 0N1R | 0R1N | 1N0R | 1R0N | 0
 +
 
 +
symbol startowy: N
 +
-->
 +
 
 +
==Zadanie 5==
 +
Podaj gramatykę generującą liczby w zapisie binarnym, które są podzielne przez 3.
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S<sub>0</sub> → 0 | S<sub>0</sub>0 | S<sub>1</sub>1
 +
 
 +
S<sub>1</sub> → 1 | S<sub>0</sub>1 | S<sub>2</sub>0
 +
 
 +
S<sub>2</sub> → S<sub>1</sub>0 | S<sub>2</sub>1
 +
 
 +
symbol startowy: S<sub>0</sub>
 +
 
 +
''Zgodność'': Łatwo pokazać, że kolejne symbole generują liczby, które w dzieleniu przez 3 mają resztę odpowiednio 0, 1 i 2. Dwa przypadki bazowe są oczywiste, następnie weźmy na przykład produkcję S<sub>1</sub> → S<sub>2</sub>0. Jeśli (z założenia indukcyjnego)  S<sub>2</sub> wygeneruje liczbę w o reszcie 2, to wygenerowana przez S<sub>1</sub> liczba w0 będzie miała resztę 2×2 mod 3 = 1. Podobnie można sprawdzić wszystkie pozostałe produkcje.
 +
 
 +
''Pełność'': Przez indukcję po długości liczby pokażemy, że każdą liczbę o reszcie z dzielenia przez 3 wynoszącej i da się wygenerować z symbolu S<sub>i</sub>. Istotnie, dla liczb jednocyfrowych jest to oczywiste. Dla pozostałych, postaci wb, wystarczy popatrzeć na ostatnią cyfrę b. Reszta z dzielenia wb przez 3 oraz wartość b determinują resztę z dzielenia w przez 3. Dla wszystkich sześciu przypadków w naszej gramatyce istnieje odpowiednia produkcja. Następnie wystarczy użyć założenia indukcyjnego, aby wygenerować w.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Pytanko 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
Jak należy zmodyfikować tę gramatykę, aby generowane liczby binarne nie mogły zaczynać się od 0 ?
 +
</div>
 +
</div>
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Odpowiedź''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S<sub>0</sub> → S<sub>0</sub>0 | S<sub>1</sub>1
 +
 
 +
S<sub>1</sub> → 1 | S<sub>0</sub>1 | S<sub>2</sub>0
 +
 
 +
S<sub>2</sub> → S<sub>1</sub>0 | S<sub>2</sub>1
 +
 
 +
S → S<sub>0</sub> | 0
 +
 
 +
symbol startowy: S
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
==Zadanie 6==
 +
Podaj gramatykę generującą słowa nad alfabetem {0,1}, w których nie występuje podsłowo 000.
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 1''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S<sub>0</sub> → &epsilon; | S<sub>0</sub>1 | S<sub>1</sub>1 | S<sub>2</sub>1
 +
 
 +
S<sub>1</sub> → S<sub>0</sub>0
 +
 
 +
S<sub>2</sub> → S<sub>1</sub>0
 +
 
 +
S → S<sub>0</sub> | S<sub>1</sub> | S<sub>2</sub>
 +
 
 +
symbol startowy: S
 +
 
 +
Zgodność i pełność tej gramatyki wynika z faktu, że S<sub>j</sub> generuje wszystkie słowa w nie zawierające 000 i kończące się na j zer.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 2''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
S<sub>0</sub> → &epsilon; | S<sub>0</sub>1 | S<sub>0</sub>01 | S<sub>0</sub>001
 +
 
 +
S → S<sub>0</sub> | S<sub>0</sub>0 | S<sub>0</sub>00
 +
 
 +
symbol startowy: S
 +
 
 +
Ta gramatyka powstała z poprzedniej przez usunięcie symboli S<sub>1</sub> i S<sub>2</sub> i włączenie ich (pojedynczych) produkcji do produkcji pozostałych symboli.
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Rozwiązanie 3''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
Z → &epsilon; | 0 | 00
 +
 
 +
S → Z | S1Z
 +
 
 +
symbol startowy: S
 +
 
 +
Z - krotki ciąg zer (mniej niż 3)
 +
 
 +
S - ciąg krótkich ciągów zer poprzedzielanych jedynkami
 +
</div>
 +
</div>
 +
 
 +
<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
 +
'''Dla ciekawskich ''' 
 +
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none">
 +
Język opisany w tym zadaniu (i w Zadaniu 5) jest w istocie [[językiem regularnym]], czyli dającym się wygenerować bez rekurencji, a tylko poprzez iterację (czyli prostszym, niż ''zwykły'' język bezkontekstowy). Można to poznać po tym, że udało nam się stworzyć gramatykę, w której wszystkie produkcje są postaci X → Yz lub X → Y gdzie X i Y to symbole nieterminalne, a z to symbol terminalny.
 +
 
 +
Języki regularne mają wiele wspólnego z [[wyrażeniami regularnymi]] używanymi w prostych operacjach na tekstach, takich jak wyszukiwanie i zastępowanie (np przez programy Unixowe [[grep]], [[sed]] itp.)
 +
</div>
 +
</div>

Wersja z 23:07, 18 lip 2006

To są ćwiczenia z gramatyk bezkontekstowych.

Ogladaj rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj rozwiązania __HIDEALL__

Zadanie 1 (palindromy)

Napisz gramatykę generującą wszystkie poprawne palindromy nad alfabetem {0,1}.

Rozwiązanie 1

Zadanie 2 (wyrażenia nawiasowe)

Napisz gramatykę generującą wszystkie poprawne wyrażenia nawiasowe.

Rozwiązanie 1

Rozwiązanie 2

Zadanie 3

Podaj gramatykę języka słow w nad alfabetem {0,1} takich, że

Rozwiązanie 1

Rozwiązanie 2

Zadanie 4

Podaj gramatykę języka słow w nad alfabetem {0,1} takich, że

Rozwiązanie 1

Zadanie 5

Podaj gramatykę generującą liczby w zapisie binarnym, które są podzielne przez 3.

Rozwiązanie 1

Pytanko 1

Odpowiedź

Zadanie 6

Podaj gramatykę generującą słowa nad alfabetem {0,1}, w których nie występuje podsłowo 000.

Rozwiązanie 1

Rozwiązanie 2

Rozwiązanie 3

Dla ciekawskich