Wstęp do programowania/Wstęp do algorytmów/Ćwiczenia

Zadanie 1

Podaj algorytm wyliczający część wspólną dwóch zadanych prostokątów o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Analiza specyfikacji

• Czy specyfikacja podana w zadaniu jest wystarczająca do zapisania algorytmu ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Co może być częścią wspólną ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Jaka może być postać danych ?

Odpowiedź

{{{2}}}

• Jaka może być postać wyniku ?

Odpowiedź

{{{2}}}

Znajdowanie algorytmu

Gdy zaczniemy analizować możliwe wzajemne położenia prostokątów okaże się, że przypadków jest co najmniej kilkanaście.

Wskazówka 1

Zauważ, że wynikowy prostokąt jest iloczynem kartezjańskim dwóch odcinków. Tego, który jest częścią wspólną rzutów obu prostokątów na oś X i tego, który jest częścią wspólną rzutów obu prostokątów na oś Y. W ten sposób zadanie dwuwymiarowe zostaje zredukowane do dwóch zadań jednowymiarowych.

Wskazówka 2

Dane są dwa odcinki na prostej. Zastanów się jaka może być wartość lewego końca części wspólnej tych odcinków.

Rozwiązanie

Załóżmy, że mamy operacje min i max. Przyjmijmy oznaczenia:

A, B, W - prostokąty dane i wynikowy (odpowiednio)
x1,x2,y1,y2 - współrzędne lewego-górnego, i prawego-dolnego wierzchołka (odpowiednio)
P.x1 - notacja kropkowa do odwoływania się do współrzędnych

Cały algorytm to cztery linijki:

W.x1 = max(A.x1, B,x1)
W.y1 = min(A.y1, B.y1)
W.x2 = min(A.x2, B.x2)
W.y2 = max(A.y2, B.y2)

(współrzędne y-owe rosną w górę, tak jak w matematyce, a nie w dól jak na ekranie komputera).

Testowanie

Mając algorytm/program powinniśmy go przetestować, czyli sprawdzić jakie daje wyniki dla przykładowych danych. Warto testować z jednej strony przypadki typowe, z drugiej zaś szczególne przypadki graniczne (np. prostokąty dotykające się jednym rogiem lub jeden prostokąt zawarty w drugim). Testowanie jest ważne i trzeba je robić, mimo że, w przypadku gdy nie wykryje błędów, nic nie daje (nawet nie mamy pewności, że dla przetestowanych danych zawsze dostaniemy poprawny wynik, bo np. mamy niezainicjalizowane zmienne).

Dowód poprawności

Skoro testowanie nie daje pewności, że mamy dobry program to potrzebujemy innego narzędzia, które pozwoli nam spać spokojnie - możemy (przynajmniej teoretycznie) dowieść formalnie poprawność programu. Powinniśmy ustalić co jest formalną specyfikacją naszego zadania (W = A ∩ B) i zrobić formalny dowód, że dla każdego punktu p zdanie p ε A ∩ B jest równoważne temu, że p ε W. Teraz już możemy spać spokojnie - nasz algorytm jest poprawny (o ile nie pomylilismy się w dowodzie)!

Dowód

Najpierw zauważmy, że

p ε A ∩ B   wtedy i tylko wtedy    p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B) i p.y ε rzutY(A) ∩ rzutY(B) 
   p ε W    wtedy i tylko wtedy               p.x ε rzutX(W) i p.y ε rzutY(W)

A więc wystarczy, że niezależnie pokażemy:

p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B)  wtedy i tylko wtedy p.x ε rzutX(W) i
p.y ε rzutY(A) ∩ rzutY(B)  wtedy i tylko wtedy p.y ε rzutY(W)

co tak naprawdę sprowadza się do zrobienia dowodu w przypadku jednowymiarowym.

Załóżmy więc że p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B). Ponieważ p.x ε rzutX(A) to

A.x1 ≤ p.x ≤ A.x2.

Podobnie dla B, czyli

B.x1 ≤ p.x ≤ B.x2. 

A więc

max(A.x1,B.x1) ≤ p.x ≤ min(A.x2,B.x2) 

Stąd W.x1 ≤ p.x ≤ W.x2, czyli p.x ε rzutX(W).

W drugą stronę dowód przebiega podobnie. Ponieważ p.x ε rzutX(W) to max(A.x1,B.x1) ≤ p.x ≤ min(A.x2,B.x2). Stąd A.x1 ≤ p.x ≤ A.x2 a więc p.x ε rzutX(A). I tak samo dla B. A więc p.x ε rzutX(A) ∩ rzutX(B).

Najważniejszy morał z tego zadania, to pochwała myślenia - trzeba wykonać dużo pracy (myślowej) zanim zacznie się pisać pierwszy wiersz programu/algorytmu.

Inna wersja zadania

A co by było gdyby prostokąty były otwarte (czyli bez brzegu) ?

Reprezentacja używana powyżej jest nadal dobra zarówno dla danych jak i dla wyniku. Tym razem możliwe są tylko dwie postacie wyniku: albo prostokąt (z wnętrzem) o bokach równoległych do osi układu, albo zbiór pusty. Algorytm który podaliśmy powyżej działa również dla prostokątów otwartych; w dowodzie poprawności trzeba by jedynie zamienić nierówności nieostre (≤, ≥) na ostre (<, >).

Zadanie 2

Podaj algorytm wyliczający najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych zawierający dwa zadane prostokąty o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Wskazówka

Jeśli zinterpretujemy niejasności w specyfikacji tak jak to zrobiliśmy w Zadaniu 1, to okaże się że jest to zadanie "dualne" do Zadania 1.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

A, B, W - prostokąty dane i wynikowy (odpowiednio)
x1,x2,y1,y2 - współrzędne lewego-górnego, i prawego-dolnego wierzchołka (odpowiednio)
P.x1 - notacja kropkowa do odwoływania się do współrzędnych

Wtedy algorytm jest następujący:

W.x1 = min(A.x1, B,x1)
W.y1 = max(A.y1, B.y1)
W.x2 = max(A.x2, B.x2)
W.y2 = min(A.y2, B.y2)

(w porównaniu z Zadaniem 1 zamieniliśmy miejscami max i min)

Dowód poprawności jest analogiczny do tego z Zadania 1.

Zadanie 3

Używając tylko czterech podstawowych działań arytmetycznych sprawdź czy dwa odcinki na płaszczyźnie, zadane porzez współrzędne końców, przecinają się.

Wskazówka 1

Tym razem nie wystarczy sprawdzić rzutów na oś X i Y.

Wskazówka 2

Oznaczmy końce odcinków jako p,q oraz r,s. Dwa odcinki pq i rs się przecinają wtedy i tylko wtedy, gdy punkty p i q leżą po przeciwnych stronach prostej rs, zaś punkty r i s po przeciwnych stronach prostej pq lub któryś z końców jednego z odcinków należy do drugiego odcinka.

Wskazówka 3

Najpierw rozwiążemy dwa podzadania:

Sprawdzanie czy punkty leżą po przeciwnych stronach prostej

Sprawdźmy, czy punkty r i s leżą po przeciwnych stronach prostej zawierającej odcinek pq.

Dla punktów p=(p.x,p.y), q=(q.x,q.y) i r=(r.x,r.y) niech M(p,q,r) oznacza wyznacznik macierzy

  p.x   p.y   1
  q.x   q.y   1
  r.x   r.y   1

Ma on ten sam znak, co sinus kąta nachylenia wektora pr do wektora pq (Banachowski, Diks, Rytter Algortmy i struktury danych, str 259.)

Wartość M(p,q,r) (z ogólnego wzoru na wyznacznik) wynosi p.x*q.y + p.y*r.x + r.y*q.x - (r.x*q.y + q.x*p.y + r.y*p.x).

Niech φ to kąt pomiędzy pq i pr. Wtedy:

M(p,q,r) > 0   wtw  0 < φ < π
M(p,q,r) = 0   wtw  (φ = 0 lub  φ = π)
M(p,q,r) < 0   wtw  π < φ < 2π

Zatem aby punkty r i s leżały po przeciwnych stronach prostej pq, potrzeba i wystarczy aby M(p,q,r) i M(p,q,s) były przeciwnych znaków, co można zapisać krócej jako:

M(p,q,r)*M(p,q,s) < 0

Sprawdzanie czy punkt należy do odcinka

Aby punkt p należał do odcinka qr to musi należeć do prostej zawierającej qr (czyli M(q,r,p) musi byc równy 0), oraz rzuty p na osie X i Y muszą zawierać się w rzutach odcinka (czyli min(q.x,r.x) ≤ p.x ≤ max(q.x,r.x) i min(q.y,r.y) ≤ p.y ≤ max(q.y,r.y)).

Sprawdzanie czy współliniowe odcinki przecinają się

Aby współliniowe odcinki pq i rs przecinały się potrzeba i wystarcza by r ∈ pq lub s ∈ pq. Dla osi X powinniśmy więc mieć

min(q.x,p.x) ≤ r.x ≤ max(q.x,p.x)   lub   min(q.x,p.x) ≤ s.x ≤ max(q.x,p.x) 

czyli

min(p.x,q.x) ≤ max(r.x,s.x)  i  min(r.x,s.x) ≤ max(p.x,q.x) 

To samo dla osi Y. Podsumowując:

jeśli max(p.x,q.x) ≥ min(r.x,s.x) i max(r.x,s.x) ≥ min(p.x,q.x) i 
    i max(p.y,q.y) ≥ min(r.y,s.y) i max(r.y,s.y) ≥ min(p.y,q.y) to PRZECINAJĄ SIĘ
wpp ROZŁĄCZNE

Rozwiązanie

Chcemy sprawdzić czy odcinki pq i rs się przecinają. Przyjmijmy oznaczenia:

Mp=M(r,s,p)
Mq=M(r,s,q)
Mr=M(p,q,r)
Ms=M(p,q,s)

Punkty r i s leżą po różnych stronach prostej pq wtedy i tylko wtedy gdy Mr*Ms < 0 zaś leżą po tej samej stronie, wtedy i tylko wtedy gdy Mr*Ms > 0. Jeśli Mr*Ms = 0 to co najmniej jeden z punktów s lub r leży na prostej pq.

A więc algorytm jest następujący:

jeśli Mp*Mq > 0 lub Mr*Ms > 0 to ROZŁĄCZNE
wpp 
  jeśli Mp*Mq < 0 lub Mr*Ms < 0 to PRZECINAJĄ SIĘ  
  wpp 
    Sprawdź_czy_wpółliniowe_się_przecinają(pq, rs)

Zadanie 4

Sprawdż czy dane dwa równolełoboki na płaszczyźnie przecinają się. Równoległoboki mają boki dowolnie nachylone do osi współrzędnych i zadane są porzez współrzędne czterech rogów podanych zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Wskazówka 1

I tym razem nie wystarczy sprawdzić rzutów na oś X i Y. Trzeba użyć zadania o przecinaniu się odcinków.

Rozwiązanie

Niech R=(r_1,r_2,r_3,r_4) i Q=(q_1,q_2,q_3,q_4) to dane równoległoboki. Żeby R i Q się przecinały to albo ich boki muszą się przecinać, albo jeden równoległobok musi być zawarty w drugim.

Wpierw mamy do sprawdzenia 16 (a tak naprawdę 15) przecięć odcinków:

wynik=ROZŁĄCZNE
dla i ∈ [1..4]
  dla j ∈ [1..4]
    jeśli PrzecinająSię(r_ir_(i+1 mod 4), q_jq_(j+1 mod 4) to wynik=PRZECINAJĄ SIĘ 

Jeśli po wykonaniu tych przecięć wynik nadal ma wartość ROZŁĄCZNE to powinniśmy jeszcze sprawdzić zawieranie równoległoboków. Żeby Q zawierało się w R potrzeba i wystarcza by q1 ∈ R. Do tego zaś trzeba by q_1 znajdowało się po przeciwnych stronach naprzeciwległych boków R, do czego użyjemy metody z wyznacznikiem z poprzedniego zadania.

M12=M(r_1,r_2,q_1)	N12=M(q_1,q_2,r_1)	     
M43=M(r_4,r_3,q_1)	N43=M(q_4,q_3,r_1)
M14=M(r_1,r_4,q_1)	N14=M(q_1,q_4,r_1)
M23=M(r_2,r_3,q_1)	N23=M(q_2,q_3,r_1)
 
jeśli (M12*M43 < 0 i M14*M23 <0) lub (N12*N43 < 0 i N14*N23 <0) to wynik=PRZECINAJĄ SIĘ