Wstęp do programowania/Reprezentacja liczb/Ćwiczenia

To są zadania na reprezentację liczb rzeczywistych.

Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__

W poniższych zadaniach należy korzystać z 3-bitowej cechy i 4-bitowej mantysy. Przyjmujemy uzupełnieniową reprezentację cechy i mantysy.

Zadanie 1

Podaj reprezentację liczb ${\frac {2}{7}}$ i ${\frac {4}{5}}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   ${\frac {2}{7}}=0.(010)$    i    ${\frac {4}{5}}=0.(1100)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 111 0101 i 000 0110. Warto zauważyć, że reprezentowane wartości to w istocie
   $2^{-1}\cdot {\frac {5}{8}}={\frac {5}{16}}$    i    $2^{0}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}$.
3. Aby zsumować te liczby, należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00101 + 01100 = 10001. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go do 4 bitów, gubiąc ostatnie 2 bity 01.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 001 0100, której dokładna wartość to $2^{1}\cdot {\frac {1}{2}}=1$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
${\frac {|{\frac {2}{7}}-{\frac {5}{16}}|}{\frac {2}{7}}}={\frac {\frac {3}{112}}{\frac {2}{7}}}={\frac {3}{32}}$    i    ${\frac {|{\frac {4}{5}}-{\frac {3}{4}}|}{\frac {4}{5}}}={\frac {\frac {1}{20}}{\frac {4}{5}}}={\frac {1}{16}}$,
a w wyniku dodawania
${\frac {|{\frac {38}{35}}-1|}{\frac {38}{35}}}={\frac {\frac {3}{35}}{\frac {38}{35}}}={\frac {3}{38}}$.

W tym obliczeniu mieliśmy szczęście: błąd względny wyniku jest pomiędzy błędami względnymi reprezentacji składników.

Zadanie 2

Podaj reprezentację liczb ${\frac {5}{7}}$ i ${\frac {3}{7}}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   ${\frac {5}{7}}=0.(101)$    i    ${\frac {3}{7}}=0.(011)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 000 0110 i 111 0111. Reprezentowane wartości to w istocie
   $2^{0}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{4}}$    i    $2^{-1}\cdot {\frac {7}{8}}={\frac {7}{16}}$.
3. Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę drugiej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 01100 + 00111 = 10011. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go (w górę) do 4 bitów.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0101, czyli w sumie reprezentację 001 0101, której dokładna wartość to $2^{1}\cdot {\frac {5}{8}}={\frac {10}{8}}$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
${\frac {|{\frac {5}{7}}-{\frac {3}{4}}|}{\frac {5}{7}}}={\frac {\frac {1}{28}}{\frac {5}{7}}}={\frac {1}{20}}$    i    ${\frac {|{\frac {3}{7}}-{\frac {7}{16}}|}{\frac {3}{7}}}={\frac {\frac {1}{112}}{\frac {3}{7}}}={\frac {1}{48}}$,
a w wyniku dodawania
${\frac {|{\frac {8}{7}}-{\frac {10}{8}}|}{\frac {8}{7}}}={\frac {\frac {6}{56}}{\frac {8}{7}}}={\frac {3}{32}}$.

W tym obliczeniu błąd względny wyniku jest większy niż błędy reprezentacji składników.

Zadanie 3

Podaj reprezentację liczb ${\frac {2}{10}}$ i ${\frac {3}{10}}$, a potem policz ich sumę i błąd względny.

Rozwiązanie 1

1. Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:
   ${\frac {2}{10}}=0.0(0011)$    i    ${\frac {3}{10}}=0.0(1001)$.
2. Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 110 0110 i 111 0101. Reprezentowane wartości to w istocie
   $2^{-2}\cdot {\frac {3}{4}}={\frac {3}{16}}$    i    $2^{-1}\cdot {\frac {5}{8}}={\frac {5}{16}}$.
3. Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00110 + 01010 = 10000. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo.
4. Otrzymujemy zatem nową cechę równą 0 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 000 0100, której dokładna wartość to $2^{0}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio
${\frac {|{\frac {2}{10}}-{\frac {3}{16}}|}{\frac {2}{10}}}={\frac {\frac {1}{80}}{\frac {2}{10}}}={\frac {1}{16}}$    i    ${\frac {|{\frac {3}{10}}-{\frac {5}{16}}|}{\frac {3}{10}}}={\frac {\frac {1}{80}}{\frac {3}{10}}}={\frac {1}{24}}$,
a w wyniku dodawania
${\frac {|{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}|}{\frac {1}{2}}}=0$.

W tym obliczeniu mieliśmy naprawdę szczęście. Błędy reprezentacji zniosły się, dając dokładny wynik.