Tekst źródłowy strony Wstęp do programowania/Reprezentacja liczb/Ćwiczenia

To są zadania na reprezentację liczb rzeczywistych.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
Oglądaj wskazówki i rozwiązania __SHOWALL__<br>
Ukryj wskazówki i rozwiązania __HIDEALL__
</div>

W poniższych zadaniach należy korzystać z 3-bitowej cechy  i 4-bitowej mantysy. Przyjmujemy uzupełnieniową reprezentację cechy i mantysy.


== Zadanie 1 ==
Podaj reprezentację liczb <math>\frac{2}{7}</math> i <math>\frac{4}{5}</math>, a potem policz ich sumę i błąd względny.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
<span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie 1</span>
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
# Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:<br> <math>\frac{2}{7}=0.(010)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{4}{5}=0.(1100)</math>.
# Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 111 0101 i 000 0110. Warto zauważyć, że reprezentowane wartości to w istocie<br> <math>2^{-1}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{16}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>2^0\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}</math>.
# Aby zsumować te liczby, należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00101 + 01100 = 10001. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go do 4 bitów, gubiąc ostatnie 2 bity 01.
# Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 001 0100, której dokładna wartość to <math>2^1\cdot\frac{1}{2}=1</math>.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio<br> <math>\frac{|\frac{2}{7}-\frac{5}{16}|}{\frac{2}{7}}=\frac{\frac{3}{112}}{\frac{2}{7}}=\frac{3}{32}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{|\frac{4}{5}-\frac{3}{4}|}{\frac{4}{5}}=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}</math>,<br> a w wyniku dodawania<br> <math>\frac{|\frac{38}{35}-1|}{\frac{38}{35}}=\frac{\frac{3}{35}}{\frac{38}{35}}=\frac{3}{38}</math>.

W tym obliczeniu mieliśmy szczęście: błąd względny wyniku jest pomiędzy błędami względnymi reprezentacji składników.
</div>
</div>

== Zadanie 2 ==
Podaj reprezentację liczb <math>\frac{5}{7}</math> i <math>\frac{3}{7}</math>, a potem policz ich sumę i błąd względny.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
<span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie 1</span>
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
# Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:<br> <math>\frac{5}{7}=0.(101)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{3}{7}=0.(011)</math>.
# Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 000 0110 i 111 0111. Reprezentowane wartości to w istocie<br> <math>2^0\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{4}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>2^{-1}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{16}</math>.
# Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę drugiej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 01100 + 00111 = 10011. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo i zaokrąglić go (w górę) do 4 bitów.
# Otrzymujemy zatem nową cechę równą 1 i nową mantysę równą 0101, czyli w sumie reprezentację 001 0101, której dokładna wartość to  <math>2^1\cdot\frac{5}{8}=\frac{10}{8}</math>.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio<br> <math>\frac{|\frac{5}{7}-\frac{3}{4}|}{\frac{5}{7}}=\frac{\frac{1}{28}}{\frac{5}{7}}=\frac{1}{20}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{|\frac{3}{7}-\frac{7}{16}|}{\frac{3}{7}}=\frac{\frac{1}{112}}{\frac{3}{7}}=\frac{1}{48}</math>,<br> a w wyniku dodawania<br> <math>\frac{|\frac{8}{7}-\frac{10}{8}|}{\frac{8}{7}}=\frac{\frac{6}{56}}{\frac{8}{7}}=\frac{3}{32}</math>.

W tym obliczeniu błąd względny wyniku jest większy niż błędy reprezentacji składników.
</div>
</div>

== Zadanie 3 ==
Podaj reprezentację liczb <math>\frac{2}{10}</math> i <math>\frac{3}{10}</math>, a potem policz ich sumę i błąd względny.

<div class="mw-collapsible mw-made=collapsible mw-collapsed">
<span class="mw-collapsible-toogle mw-collapsible-toogle-default style="font-variant:small-caps">Rozwiązanie 1</span>
<div class="mw-collapsible-content" style="display:none"> 
# Wyliczamy zapis binarny każdej z liczb:<br> <math>\frac{2}{10}=0.0(0011)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{3}{10}=0.0(1001)</math>.
# Ich reprezentacje wynoszą odpowienio 110 0110 i 111 0101. Reprezentowane wartości to w istocie<br> <math>2^{-2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>2^{-1}\cdot\frac{5}{8}=\frac{5}{16}</math>.
# Aby zsumować te liczby należy przesunąć mantysę pierwszej z nich o 1 miejsce w prawo, otrzymując 00110 + 01010 = 10000. Aby zmieścić się z powrotem w ustalonej reprezentacji, należy przesunąć wynik o 1 miejsce w prawo.
# Otrzymujemy zatem nową cechę równą 0 i nową mantysę równą 0100, czyli w sumie reprezentację 000 0100, której dokładna wartość to <math>2^0\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}</math>.

Błędy względne w naszym rozwiązaniu wynoszą: przy reprezentacji danych odpowiednio<br> <math>\frac{|\frac{2}{10}-\frac{3}{16}|}{\frac{2}{10}}=\frac{\frac{1}{80}}{\frac{2}{10}}=\frac{1}{16}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;i&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\frac{|\frac{3}{10}-\frac{5}{16}|}{\frac{3}{10}}=\frac{\frac{1}{80}}{\frac{3}{10}}=\frac{1}{24}</math>,<br> a w wyniku dodawania<br> <math>\frac{|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|}{\frac{1}{2}}=0</math>.

W tym obliczeniu mieliśmy naprawdę szczęście. Błędy reprezentacji zniosły się, dając dokładny wynik.
</div>
</div>