Układy elektroniczne i technika pomiarowa/Moduł 4

Wykład 4. Liniowe i nieliniowe układy analogowe ze wzmacniaczami operacyjnymi

Wstęp

Przetwarzanie i obróbka danych w przyrządach pomiarowych oraz układach regulacji automatycznej odbywa się dzisiaj wyłącznie w technice cyfrowej. Jedyne sygnały, na których wykonujemy operacje matematyczne to najczęściej sygnały analogowe, których źródłem są przetworniki pomiarowe.

Zatem, aby zrealizować komunikację między światem zewnętrznym i maszyną cyfrową trzeba zastosować przetworniki analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe. Częścią tych obwodów są układy analogowe realizujące najważniejsze operacje matematyczne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, różniczkowanie i całkowanie oraz tworzenie specjalnych funkcji, np. logarytmicznej, wykładniczej. W niniejszy wykładzie omówiono zasady działania podstawowych układów analogowych liniowych z ujemnym sprzężeniem zwrotnym oraz układów nielinowych, w których zastosowano zarówno ujemne jaki i dodatnie sprzężenie zwrotne, realizujących wyżej wymienione funkcje.

Układy analogowe liniowe z ujemnym sprzężeniem zwrotnym stanowią liczną grupę układów realizowanych w technice dyskretnej i scalonej. Do tej grupy zalicza się między innymi:

Sumatory
Układy odejmujące
Układy ze zmiennym znakiem współczynnika wzmocnienia
Integratory
Układy różniczkujące
Sterowane źródła napięcia
Sterowne źródła prądu

Sumator. Do sumowania sygnałów napięciowych można zastosować wzmacniacz operacyjny pracujący w układzie odwracającym fazę. Ponieważ wzmacniacz, który można potraktować jako idealny element pracuje w stanie aktywnym to napięcie różnicowe i potencjał węzła na wejściu odwracającym są praktycznie równe zeru. Ponieważ także wzmacniacz idealny ma zerowe prądy sterujące to korzystając z praw Kirchhoffa można napisać:

\displaystyle I_{11}+I_{12}+...+I_{1n}=I_{2}

4.1

\displaystyle I_{2}=-{\frac {U_{2}}{R_{2}}}

4.2

\displaystyle I_{11}=-{\frac {U_{11}}{R_{11}}},\,I_{12}=-{\frac {U_{12}}{R_{12}}},\,...,\,I_{1n}=-{\frac {U_{1n}}{R_{1n}}}

4.3

\displaystyle U_{2}=-{\frac {R_{2}}{R_{11}}}U_{11}-{\frac {R_{2}}{R_{12}}}U_{12}+...-{\frac {R_{2}}{R_{1n}}}U_{1n}

4.4

Układ odejmujący z wykorzystaniem dodawania. Operacja odejmowania to inaczej dodawanie z przeciwnym znakiem. Układ działający na tej zasadzie przedstawiono na slajdzie 5. Wzmacniacz WO1 realizuje operacje zmiany znaku. Wzmacniacz WO2 sumuje sygnał

U_{11}\,

i

U_{21}=-U_{12}

. Napięcie wyjściowe jest zatem równe:

\displaystyle U_{22}=-{\frac {R_{22}}{R_{21}^{'}}}U_{11}-{\frac {R_{22}}{R_{21}^{''}}}U_{21}=-{\frac {R_{22}}{R_{21}^{'}}}U_{11}-{\frac {R_{22}}{R_{21}^{''}}}U_{12}={\frac {R_{22}}{R_{21}}}(U_{12}-U_{11})

4.5

Dokładność wykonania operacji odejmowania zależy od dokładności doboru rezystorów $R_{21}^{'}\,$ oraz $R_{21}^{''}\,$ .

Układ odejmujący z jednym wzmacniaczem operacyjnym. W układzie odejmującym dwa napięcia można napisać

\displaystyle U_{2}=k_{u1}\cdot U_{11}+k_{u2}\cdot U_{12}

4.6

gdzie

\displaystyle k_{u1}=-{\frac {R_{21}}{R_{11}}}

4.7

\displaystyle k_{u2}=-{\frac {R_{22}}{R_{12}+R_{22}}}\left(1+{\frac {R_{21}}{R_{11}}}\right)

4.8

Układ będzie realizował operację odejmowania, gdy $k_{u1}=k_{u2}=1$ , co oznacza, że musi być spełniony warunek $R_{11}=R_{12}=R_{21}=R_{22}$ .

Kiedy różnica powinna być wzmocniona ku razy rezystory spełniają zależność

\displaystyle {\frac {R_{21}}{R_{11}}}={\frac {R_{22}}{R_{12}}}

4.9

Jeżeli we wzmacniaczu operacyjnym na wejściu odwracającym fazę będzie m, a na wejściu powtarzającym n sygnałów to powstanie układ o wielu wejściach dodających i odejmujących. Układ pracuje poprawnie kiedy rezystory spełniają zależność:

\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{\frac {R_{31}}{R_{1i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{32}}{R_{2i}}}

lub przyjmując, że

\displaystyle {\frac {R_{31}}{R_{1i}}}=\alpha _{i}

oraz

\displaystyle {\frac {R_{32}}{R_{2i}}}=\beta _{i}

4.10

\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}

4.11

Napięcie wyjściowe jest równe

\displaystyle U_{2}=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\cdot U_{2i}-\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}\cdot U_{1i}

4.12

Dla n = m = 1ukłąd sprowadza się do postaci którą omówiono poprzednio.

W układzie z jednym wzmacniaczem operacyjnym dokładność zastosowanych rezystorów w znacznie mniejszym stopniu wpływa na jakość wykonanej operacji odejmowania niż to ma miejsce w układzie z dwoma wzmacniaczami przedstawionego na slajdzie 5.

Układ ze zmiennym znakiem współczynnika wzmocnienia umożliwia mnożenie napięcia wejściowego

U_{1}\,

przez stały współczynnik, który można regulować potencjometrem

R_{13}\,

. Jeżeli suwak potencjometru jest w prawy skrajnym położeniu to

q=0

i wzmacniacz operacyjny pracuje w układzie odwracającym fazę o wzmocnieniu

\displaystyle k_{u}=-{\frac {R_{2}}{R_{11}}}

4.13

Rezystor $R_{12}\,$ należy dobrać tak aby była spełniona zależność

\displaystyle R_{12}={\frac {R_{2}}{k_{u}-1}}

4.14

Gdy suwak jest w lewym skrajnym położeniu $q=1$ i całe napięcie sterujące jest podawane na wejście powtarzające. Ponieważ napięcie różnicowe jest praktycznie równe zeru przez rezystor $R_{11}\,$ nie płynie prąd i w tym przypadku wzmacniacz operacyjny pracuje w układzie powtarzającym fazę i ma wzmocnienie

\displaystyle k_{u}={\frac {R_{12}+R_{2}}{R_{12}}}={\frac {R_{2}}{R_{11}}}

4.15

W położeniach pośrednich wzmocnienie układu można opisać zależnością

\displaystyle k_{u}={\frac {R_{2}}{R_{11}}}(2q-1)

4.16

Jak wynika z zależności 4.14 minimalne wzmocnienie jakie można w tym układzie uzyskać jest równe 1. W tym wypadku rezystor $R_{12}\,$ stanowi rozwarcie i nie należy go stosować.

Integrator odwracający fazę ma w pętli sprzężenia zwrotnego kondensator. Napięcie wyjściowe jest w tym wypadku opisane wzorem

\displaystyle u_{2}(t)=-{\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}u_{1}(t)d\tau +U_{0}

Stała $U_{0}\,$ stanowi warunek początkowy i równa się $\displaystyle U_{0}|_{t=0}=u_{2}(0)$

Szczególnym przypadkiem jest wymuszenie stałe. Napięcie wyjściowe zmienia się w tym wypadku liniowo, a zatem układ może być stosowany do wytwarzania przebiegów napięć trójkątnych i piłokształtnych.

W przypadku rzeczywistego wzmacniacza operacyjnego nawet przy zerowym sygnale wejściowy kondensator w pętli sprzężenia zwrotnego będzie się przeładowywał wejściowym prądem polaryzacji i wejściowym napięciem niezrównoważenia. W układach ze wzmacniaczami operacyjnymi, w których w stopniach wejściowych zastosowano tranzystory bipolarne prądy polaryzacji są znaczne i dlatego zamiast zwierać bezpośrednio wejście powtarzające do masy stosuje się dodatkowy rezystor $R\,$ kompensujący wejściowy prąd polaryzacji. Aby zmniejszyć szumy na wejściu powtarzającym dodatkowo bocznikuje się go kondensatorem $C_{1}\,$ .

W wielu zastosowaniach należy w układzie integratora ustalić warunki początkowe tzn. wartość napięcia wyjściowego dla

t=0

. Umożliwia to układ przedstawiony na slajdzie 9. Jeżeli wyłącznik

K_{1}\,

jest zamknięty, a

K_{2}\,

otwarty układ całkuje napięcie wejściowe. Jeżeli rozewrzemy łącznik

K_{1}\,

, w przypadku idealnego integratora prąd ładowania jest równy zeru i napięcie wyjściowe będzie utrzymywało stałą wartość, którą miało w chwili przełączenia. Jeżeli chcemy ustawić warunki początkowe pozostawiamy otwarty łącznik

K_{1}\,

i zamykamy Łącznik

K_{2}\,

. Układ pracuje tym razem w konfiguracji wzmacniacza odwracającego fazę. Na wyjściu układu ustala się ze stałą czasową

R_{F}C

napięcie równe

\displaystyle U_{2}=-{\frac {R_{F}}{R_{12}}}U_{12}

Integrator sumujący. Funkcja jaką realizuje opisuje zależność

\displaystyle u_{2}(t)=-\int _{0}^{t}\left({\frac {U_{11}}{R_{11}}}+{\frac {U_{12}}{R_{12}}}+...+{\frac {U_{1n}}{R_{1n}}}\right)d\tau +U_{0}

Układy różniczkujące. Układ podstawowy realizuje funkcję

\displaystyle u_{2}=-RC{\frac {du_{1}}{dt}}

Układ ma tendencje do wzbudzania się. Dlatego w praktyce stosuje się układ w który szeregowo z kondensatorem wejściowym włącza się rezystor $R_{1}\,$ . Dla częstotliwości napięć wejściowych spełniających zależność

\displaystyle f<<={\frac {1}{2\pi \cdot R_{1}C}}

układ działa poprawnie.

Sterowane źródła napięcia. Wzmacniacz operacyjny w układzie odwracającym

rys. a lub powtarzającym fazę rys. b jest źródłem napięcia sterowanym napięciem. Przykład źródła napięcia sterowanego prądem przedstawiono na rys c. W tym wypadku napięcie wyjściowe jest równe

\displaystyle u_{2}=-i_{1}R

Sterowane napięciem źródła prądu z nieuziemionym odbiornikiem. Prąd wyjściowy jest równy

\displaystyle i_{2}={\frac {u_{1}}{R_{1}}}

W przypadku uziemionego odbiornika stosuje się sterowane napięciem źródło prądu

z uziemionym odbiornikiem. Prąd wyjściowy, jeżeli spełniony jest warunek $R_{3}=R_{2}$ jest w tym przypadku równy

\displaystyle i_{2}={\frac {u_{1}}{R_{1}}}

Ważną rolę w obróbce sygnałów pomiarowych i sterowania pełnią układy nieliniowe ze wzmacniaczami operacyjnymi objętymi pętlą ujemnego sprzężenia zwrotnego.

Do grupy tych układów zalicza się między innymi:

Ogranicznik napięcia
Prostownik liniowy jednopołówkowy
Układ modułu
Prostownik liniowy z mostkiem Gretza
Układ logarytmujący
Układ realizujący funkcję wykładniczą
Generatory funkcji nieliniowych

Ogranicznik napięcia.

Napięcie wyjściowe jest ograniczone wartościami napięć progowych $U_{F1}\,$ oraz $U_{F2}\,$ diod. Często w tego typu układach stosuje się stabilistor (diody Zenera).

Prostownik liniowy jednopołówkowy. Na obu wyjściach układu jest wyprostowany jednopołówkowego sygnał wejściowy. Na wyjściu zaznaczonym na rysunku jest zawsze albo napięcie dodatnie, gdy sygnał spełnia zależność

U_{1}<0

, albo zero, gdy sygnał wejściowy

U_{1}>0

.

Układ modułu.

Prostownik liniowy z mostkiem Gretza. Układ pełni rolę podobną do układu modułu sygnału sterującego. Często jest stosowany w układach pomiarowych.

Układ logarytmujący. W układzie wykorzystano wykładniczą zależność prądu kolektora tranzystora od napięcia sterującego baza-emiter.

Na podobnej zasadzie co układ logarytmujący działa układ realizujący funkcję wykładniczą.

Generatory funkcji nieliniowych.

Układy nieliniowe, w których zastosowano dodatnie sprzężenie zwrotne działają dwustanowo. Można wśród nich wyróżnić:

Komparatory napięcia
Przerzutniki

Przerzutnik Schmitta
przerzutnik bistabilny
przerzutnik astabilny (multiwibrator)
przerzutnik monostabilny (uniwibrator)

Komparatory napięcia. Komparatorami nazywamy układy porównujące napięcia

i generujące na wyjściu odpowiedni sygnał mówiący o znaku różnicy porównywanych napięć. Najprostszy komparator napięcia przedstawiony na slajdzie 24 nie ma praktycznie histerezy i wykorzystuje właściwości wzmacniacza operacyjnego. Znacznie lepszym i częściej stosowanym jest układ z histerezą.

Przerzutniki Schmitta. Wyróżnia się dwa typy przerzutników: przerzutnik sterowany wejście odwracającym i przerzutnik sterowany wejściem powtarzającym. Na rysunkach przedstawiono kierunek obiegu pętli histerezy w obu typach układów.