Test b

\titleLogika dla informatyków\author{Jerzy Tiuryn\and Jerzy Tyszkiewicz\and Paweł Urzyczyn}\date{Sierpień 2006}\maketitle

Wnioskowanie o prawdziwości rozmaitych stwierdzeń jest powszednimzajęciem matematyków i nie tylko matematyków. Dlategofilozofowie i matematycy od dawna zajmowali się systematyzacją metodwnioskowania i kryteriów ich poprawności. Oczywiście ostatecznymkryterium poprawności rozumowania pozostaje zawsze zdrowy rozsądek iprzekonanie o słuszności wywodu. Logika, która narodziła się jakonauka o rozumowaniu, jest jednak ważnym i potrzebnym narzędziem, które to przekonanie\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Błatwia.

Szczególną rolę wśród rozmaitych działów logiki zajmuje logikamatematyczna, poświęcona opisowi i analizie języka matematyki orazpoprawności wnioskowań matematycznych. Jest to dyscyplina w pewnymsensie paradoksalna: będąc sama częścią matematyki, traktuje matematykę jako swój przedmiot zainteresowania. Dla\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bniknięcia,,błędnego koła musimy więc tutaj zauważyć, że logika formalna nie opisuje rzeczywistych wywodów matematyka, ale ich\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bproszczone modele, które bez zastrzeżeń można\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bważać za zwykłe obiektymatematyczne. Mimo tego ograniczenia, logika matematyczna dostarczaniezwykle ważnych wniosków o charakterze filozoficznymi metamatematycznym.

Logika formalna była kiedyś\Delta\vdashzoteryczną nauką z pogranicza filozofii imatematyki, potem stała się pełnoprawnym działem czystej matematyki.Jeszcze później, wraz z narodzinami informatyki, zaczęła być corazbardziej postrzegana jako dziedzina matematyki stosowanej, a zwłaszcza podstaw informatyki.

Logika matematyczna stosowana jest dziś szeroko w informatyce. Semantyka i weryfikacja programów, teoria złożoności i teoria automatów,programowanie funkcyjne i programowanie w logice --- to tylko niektórez działów informatyki, w których metody logiki formalnej stały się standardowym narzędziem zarówno badacza jak i praktyka.

Rachunek zdań

Jak powiedzieliśmy wyżej, logika matematyczna zajmuje się badaniemrozmaitych systemów formalnych, modelujących rzeczywiste sposobywnioskowania matematycznego. Do najprostszych takich systemów należą różne warianty logiki zdaniowej zwanej też rachunkiem zdań. Język rachunku zdań jest bardzo prosty. Nie ma w nim wyrażeń stwierdzających jakiś stan rzeczy, zajście jakichś faktów, czy też wyrażeń orzekających o własnościach obiektów.Przedmiotem naszego zainteresowania są tu tylko możliwe zależności pomiędzy stwierdzeniami \begin{eqnarray*}zdaniami orzekającymi\end{eqnarray*}, oraz tow jaki sposób prawdziwość zdań złożonych zależy od prawdziwości ichskładowych. Sens samych składowych pozostaje tu całkowicie dowolny i nieistotny. Dlatego w rachunku zdań odpowiadają im po prostu zmienne zdaniowe. Zdania złożone budujemy ze zmiennych za pomocą spójników logicznych takich jak alternatywa\/ $\vee$, koniunkcja $\wedge$, negacja $\neg$, czy \rightarrowlikacja $\to$. Wygodne są też stałe logiczne $\bot$ \begin{eqnarray*}fałsz\end{eqnarray*} i $\top$ \begin{eqnarray*}prawda\end{eqnarray*}, które można\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bważać za zeroargumentowe spójniki logiczne.Dlatego nasza pierwsza definicja jest taka:

Definicja

Ustalamy pewien przeliczalnie nieskończony zbiór Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \\mbox{\small ZZ}} symboli, które będziemy nazywać zmiennymi zdaniowymi i zwykle oznaczać literami $p$, $q$, itp. Pojęcie formuły zdaniowej definiujemy przez indukcję:

• item Zmienne zdaniowe oraz $\bot$ i $\top$ są formułami zdaniowymi;
• tem Jeśli napis Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest formułą zdaniową, to także napis Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi} jest formułą zdaniową;
• \item Jeśli napisy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} i $\psi$ są formułami zdaniowymi to napisy Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\var\varphi\to\psi\end{eqnarray*}} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\var\varphi\vee\psi\end{eqnarray*}} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\var\varphi\wedge\psi\end{eqnarray*}} też są formułami zdaniowymi.

Inaczej mówiąc, formuły zdaniowe to\Delta\vdashlementy najmniejszego zbioru napisów Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \\F_{{\sc Z}}} , zawierającego Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \\mbox{\small ZZ}\cup\{\bot,\top\}} i takiego, że dla dowolnych </math>\var\varphi,\psi\in\\F_Szablon:\sc ZParser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle także } \neg\var\varphi,\begin{eqnarray*}\var\varphi\to\psi\end{eqnarray*}, \begin{eqnarray*}\var\varphi\vee\psi\end{eqnarray*}, \begin{eqnarray*}\var\varphi\wedge\psi\end{eqnarray*}</math> należą do Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \\F_{{\sc Z}}} .

Konwencje notacyjne: Dla pełnej jednoznaczności składni nasze formuły są w pełni nawiasowane. W praktyce wiele nawiasów pomijamy, stosując przy tym następujące priorytety:

1. Negacja;

1. Koniunkcja i alternatywa;

1. Implikacja.

Zatem na przykład wyrażenie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi\vee\psi\to\vartheta} oznacza Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}\neg\var\varphi\vee\psi\end{eqnarray*}\to\vartheta\end{eqnarray*}} , ale napis Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\vee\psi\wedge \vartheta} jest niepoprawny.

===Znaczenie formuł=== formuły jest wartość logiczna tj. ,,prawda \begin{eqnarray*}1\end{eqnarray*} lub ,,fałsz \begin{eqnarray*}0\end{eqnarray*}. Aby określić wartość formuły zdaniowej trzeba jednak najpierw\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bstalić wartości zmiennych.

Definicja

Przez wartościowanie zdaniowe rozumiemy dowolną funkcję $\varrho$,która zmiennym zdaniowym przypisuje wartości logiczne 0 lub 1. Wartość formuły zdaniowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} przy wartościowaniu $\varrho$ oznaczamy przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\var\varphi\varrho} i określamyprzez indukcję:

• item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\bot\varrho=0} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\top\varrho=1} ;
• \item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wf”): {\displaystyle \wf\prooftree p \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=\varrho\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}} , gdy $p$ jest symbolem zdaniowym;
• item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\neg\var\varphi}\varrho=1-\wfz{\var\varphi}\varrho} ;
• \item </math>\wf\prooftree \var\varphi\vee\psi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*

\endprooftree=\max\{\wf\prooftree \var\varphi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree, \wf\prooftree \psi \justifies \varrho}\ \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree</math>;

\item </math>\wf\prooftree \var\varphi\wedge\psi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=\min\{\wf\prooftree \var\varphi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree, \wf\prooftree \psi \justifies \varrho}\ \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree</math>;

\item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wf”): {\displaystyle \wf\prooftree \var\varphi\to\psi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=0} , gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\var\varphi\varrho=1} i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\psi\varrho=0} ;

tem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\var\varphi\to\psi}\varrho=1} , \wpp.

}}

Łatwo można zauważyć, że </math>\wf\prooftree \var\varphi\to\psi \justifies \varrho \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree = \max\{\wfz\psi\varrho,1-\wfz\var\varphi\varrho\}</math>, czyli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\var\varphi\to\psi}\varrho=\wfz{\neg\var\varphi\vee\psi}\varrho} , dla dowolnego $\varrho$. A zatem zamiast formuły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\to\psi} moglibyśmy z równym powodzeniem\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bżywać wyrażenia Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi\vee\psi} , lub też odwrotnie: zamiast alternatywy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\vee\psi} pisać Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi\to\psi} .Nasz wybór spójników nie jest więc ,,najoszczędniejszy, w istocie w logice klasycznej wystarczy\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bżywać np. \rightarrowlikacji i fałszu \begin{eqnarray*}Ćwiczenie #udacczleka\end{eqnarray*}. Czasem i my będziemy korzystać z tego wygodnego\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bproszczenia, przyjmując, że ,,oficjalnymi spójnikami są tylko \rightarrowlikacja i fałsz, a pozostałe to skróty notacyjne, tj. że napisy\begin{tabbing} \hspace{3.0cm}\quad \= Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi} \qquad \= oznaczają odpowiednio \quad \=Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\to\bot} ;\\ \hspace{2.0cm}\ \ \ \> $\top$\> \ \ \ \ \> $\neg \bot$;\\ \hspace{2.0cm}\ \ \ \> Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\vee\psi} \> \ \ \ \ \> Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi\to\psi} ;\\ \hspace{2.0cm}\ \ \ \> Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\wedge\psi} \> \ \ \ \ \> Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \neg\begin{eqnarray*}\var\varphi\to\neg\psi\end{eqnarray*}} .\end{tabbing} Będziemy też czasem pisać Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\\leftrightarrow\psi} zamiast Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\var\varphi\to\psi\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}\psi\to\var\varphi\end{eqnarray*}} . Zauważmy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\var\varphi\\leftrightarrow\psi}\varrho=1} \wtw, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\var\varphi\to\psi}\varrho=\wfz{\psi\to\var\varphi}\varrho} .

Często stosowanym skrótem jest notacja Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \bigvee_{i\in I}\var\varphi_i} oznaczająca alternatywę wszystkich formuł Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi_i} , gdzie $i$ przebiega skończony zbiór $I$. Analogicznie stosuje się zapis Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \bigwedge_{i\in I}\var\varphi_i} .

Notacja i terminologia: Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\kl”): {\displaystyle \kl\var\varphi_\varrho=1} to piszemy też Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \varrho\models\var\varphi} lub Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \models\var\varphi[\varrho]} i mówimy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest spełniona przez wartościowanie $\varrho$. Jeśli $\Gamma$ jest zbiorem formuł zdaniowych, oraz $\varrho \models \gamma$ dla wszystkich $\gamma \in \Gamma$, to piszemy $\varrho \models \Gamma$. Wreszcie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Gamma\models\var\varphi} oznacza, że każde wartościowanie spełniające wszystkie formuły z $\Gamma$ spełnia także formułę Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} . Mówimy wtedy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest semantyczną konsekwencją zbioru $\Gamma$. Jeśli $\Gamma =\emptyset$ to zamiast Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Gamma\models\var\varphi} piszemy po prostu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \models\var\varphi} . Oznacza to, że formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest spełnionaprzez każde wartościowanie. Na koniec powiedzmy jeszcze, że formułami równoważnymi nazywamy takie formuły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} i $\psi$, których wartości przy każdym wartościowaniu są takie same \begin{eqnarray*}tj. takie, że równoważność Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\\leftrightarrow\psi} jest tautologią --- patrz niżej\end{eqnarray*}.

Definicja

Formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest spełnialna, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \varrho\models\var\varphi} zachodzi dla pewnego wartościowania $\rho$. Jeśli zaś Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \models\var\varphi} to mówimy, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest tautologią \begin{eqnarray*}klasycznego\end{eqnarray*} rachunku zdań. Oczywiście Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi} jest spełnialna \wtw, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} nie jest tautologią.

Tautologie rachunku zdań

Niech $S$ będzie funkcją przypisujacą symbolom zdaniowym pewne formuły. Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest formułą zdaniową, to przez Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}\var\varphi\end{eqnarray*}} oznaczymy formu\lę otrzymaną z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} przez jednoczesną zamianę każdego wystąpienia zmiennej zdaniowej $p$ na formu\lę Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}} . Mówimy, że formuła Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}\var\varphi\end{eqnarray*}} jest instancją schematu zdaniowego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} . Używamy oznaczenia Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}\Gamma\end{eqnarray*} = \{S\begin{eqnarray*}\psi\end{eqnarray*}\ |\ \psi\in\Gamma\}} .

Fakt

Jeżeli $\Gamma$ jest zbiorem formu\l\ rachunku zdań i Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \Gamma\models\var\varphi} , to także Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}\Gamma\end{eqnarray*}\models S\begin{eqnarray*}\var\varphi\end{eqnarray*}} . W szczególności, jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest tautologią to Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle S\begin{eqnarray*}\var\varphi\end{eqnarray*}} jest też tautologią.

Dowód

{{{3}}}

Przykład

Następujące formuły \begin{eqnarray*}i wszystkie ich instancje\end{eqnarray*} są tautologiami rachunku zdań:%

     Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\neg q\to\neg p\end{eqnarray*}\to \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}}
;

         Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to r\end{eqnarray*}\to\begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}q\to r\end{eqnarray*}\to\begin{eqnarray*}p\vee q \to r\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}}
;

           Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}r\to p\end{eqnarray*}\to\begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}r\to q\end{eqnarray*}\to\begin{eqnarray*}r\to\begin{eqnarray*}p\wedge q\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}}
;

    \begin{eqnarray*}p\leftrightarrow\begin{eqnarray*}q\leftrightarrow r\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}</math>;

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\wedge\top\\leftrightarrow p} .

Dowód

{{{3}}}

Niektóre z powyższych formu\l\ wskazują na analogię pomiędzy \rightarrowlikacją i\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bporządkowaniem \begin{eqnarray*}np. zawieraniem zbiorów\end{eqnarray*}. Implikację $p\to q$ można odczytać tak: ,,warunek $p$ jest silniejszy \begin{eqnarray*}mniejszy lub równy\end{eqnarray*} od $q$. Formu\lę \begin{eqnarray*}#1\end{eqnarray*} czytamy wtedy: ,,fałsz jest najsilniejszym warunkiem \begin{eqnarray*}najmniejszym\Delta\vdashlementem\end{eqnarray*}. Formuły \begin{eqnarray*}#8\end{eqnarray*} stwierdzają, że alternatywa $p\vee q$ jest najsilniejszym warunkiem, który wynika zarówno z $p$ jak i z $q$ \begin{eqnarray*}czyli jest kresem górnym pary $\{p,q\}$, jak suma zbiorów\end{eqnarray*}. Formuły \begin{eqnarray*}#9\end{eqnarray*} wyrażają dualną własność koniunkcji: to jest kres dolny, czyli najsłabszy warunek \rightarrowlikujący oba argumenty. Prawa de Morgana \begin{eqnarray*}#11,#12\end{eqnarray*} wskazują też na analogie koniunkcja -- iloczyn, alternatywa -- suma, negacja -- dopełnienie. Ta ostatnia widoczna jest też w prawach wyłączonego środka \begin{eqnarray*}#5\end{eqnarray*}, podwójnej negacji \begin{eqnarray*}#6\end{eqnarray*} i kontrapozycji \begin{eqnarray*}#7\end{eqnarray*}.

O ile \begin{eqnarray*}#9\end{eqnarray*} wskazuje na analogię pomiędzy koniunkcją i iloczynemmnogościowym, o tyle warto zauważyć, że koniunkcja ma teżwłasności podobne do iloczynu kartezjańskiego. Jeśli zbiór funkcji z $A$ do $B$ oznaczymy przez $[A\to B]$, to mamy \begin{eqnarray*}bardzo naturalną\end{eqnarray*} równoliczność $[A\times B\to C]\sim [A\to [B\to C]]$. Podobieństwo tego związku do formuły \begin{eqnarray*}#10\end{eqnarray*} nie jest wcale przypadkowe. Wrócimy do tego w Rozdziale #logint.

Formuła \begin{eqnarray*}#12a\end{eqnarray*} wyraża \rightarrowlikację z pomocą negacji i alternatywyi jest często bardzo przydatna, gdy np. chcemy przekształcić jakąśformułę do prostszej postaci. Formuła \begin{eqnarray*}#2\end{eqnarray*} mówi, że dodatkowe założenie można zawsze zignorować. Formuła \begin{eqnarray*}#3\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*}prawo Frege\end{eqnarray*} wyraża dystrybutywność \rightarrowlikacji względem siebie samej i może być odczytywana tak: jeśli $r$ wynika z $q$ w kontekście $p$, to ten kontekst może być włączony do założenia i konkluzji. Formuła \begin{eqnarray*}#4\end{eqnarray*} \begin{eqnarray*}prawo Peirce'a\end{eqnarray*} wyraża przy pomocy samej \rightarrowlikacji zasadniczą własnośćlogiki klasycznej: możliwość rozumowania przez zaprzeczenie. Sens prawa Peirce'a widać najlepiej gdy $q$ jest fałszem, otrzymujemy wtedy prawo Claviusa: Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\neg p\to p\end{eqnarray*}\to p} .

Warto zauważyć, że formuły w parach \begin{eqnarray*}#6\end{eqnarray*} i \begin{eqnarray*}#7\end{eqnarray*} nie są wcale tak symetryczne jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Na przykład, pierwsza z formu\l \begin{eqnarray*}#6\end{eqnarray*} to w istocie Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p \to \begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}p\to\bot\end{eqnarray*}\to\bot\end{eqnarray*}} . Wiedząc, że $p$ i $p\to \bot$, natychmiast zgadzamy się na $\bot$. Intuicyjne\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bzasadnienie drugiej formuły jest zaś w istocie związane z prawem \begin{eqnarray*}#5\end{eqnarray*}.

Własnością, która często\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bchodzi naszej\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bwagi, jest łączność równoważności \begin{eqnarray*}#13\end{eqnarray*}. W zwiazku z tym, wyrażenie Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi \\leftrightarrow \psi \\leftrightarrow \vartheta} można z czystym sumieniem pisać bez nawiasów. Zwróćmy jednak\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bwagę na to, że oznacza ono zupełnie co innego niż stwierdzenie że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} , $\psi$ i $\vartheta$ są sobie nawzajem równoważne!

Ostatnie na liście są dwie równoważności wyrażające taką myśl: fałsz jest,,elementem neutralnym dla alternatywy, a prawda dla koniunkcji. Dlatego $\bot$ możemy\boldsymbol{s}}\def\blank{\hbox{\sf Bważać za ,,pustą alternatywę a $\top$ za ,,pustą koniunkcję. Powyżej pominięto dobrze znane prawa: łączność i przemienność koniunkcji i alternatywy, ich wzajemną dystrybutywność, przechodniość, zwrotność \rightarrowlikacji itp.

Postać normalna formuł

Definicja

{{{3}}}

\def\blank{\hbox{\sf Btożsamiamy w myśl Przykładu #taut-rz\begin{eqnarray*}#14\end{eqnarray*} ze stałą $\top$, a stała $\bot$ totyle co koniunkcja z jednym pustym składnikiem.}}

Fakt

Dla każdej formuły zdaniowej istnieje równoważna jej formuław koniunkcyjnej postaci normalnej.

<span id="

Dowód jest przez indukcję \zwn długość formuły. Symbole zdaniowe są oczywiście w postaci normalnej. Zgodnie z naszą definicją, także stałe logiczne są postaciami normalnymi. Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jest w postaci \begin{eqnarray*}*\end{eqnarray*}, to Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\var\varphi} można przekształcić w koniunkcyjną postać normalną stosując prawa De Morgana i prawa dystrybutywności:

\hfil </math>\psi\vee\begin{eqnarray*}\vartheta\wedge\zeta\end{eqnarray*}\\leftrightarrow \begin{eqnarray*}\psi\vee\vartheta\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}\psi\vee\zeta\end{eqnarray*}</math>\hfil </math>\psi\vee\begin{eqnarray*}\vartheta\vee\zeta\end{eqnarray*}\\leftrightarrow \begin{eqnarray*}\psi\vee\vartheta\end{eqnarray*}\vee\begin{eqnarray*}\psi\vee\zeta\end{eqnarray*}</math>.

Podobnie postępujemy z alternatywą dwóch formuł w postaci normalnej.\footnote{Ta procedura jest niestety wykładnicza \begin{eqnarray*}Ćwiczenie [[#wziawszy}\end{eqnarray*}.]] Przypadek koniunkcji jest oczywisty, a \rightarrowlikację \Delta\vdashliminujemy z pomocą prawa #taut-rz\begin{eqnarray*}#12a\end{eqnarray*}. Szczegóły pozostawiamy Czytelnikowi." style="font-variant:small-caps">Dowód

{{{3}}}

\subsection*{Ćwiczenia}\begin{small}

1. 1. Zbadać, czy następujące formuły są tautologiami rachunku zdańi czy są spełnialne:
      1. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to r\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}q\to s\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}\neg p\vee \neg s\end{eqnarray*}\to \begin{eqnarray*}\neg p\vee \neg q\end{eqnarray*}} ;
      2. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\vee\begin{eqnarray*}q\to r\end{eqnarray*}} ;
      3. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\to r\end{eqnarray*}\wedge\neg\begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}q\to r\end{eqnarray*}\to r\end{eqnarray*}\to r\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}} ;
      4. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}\neg p\to r\end{eqnarray*}\to \begin{eqnarray*}r\to\neg q\end{eqnarray*}} ;
      5. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}\begin{eqnarray*}\neg p\to q\end{eqnarray*}\to r\end{eqnarray*}\to \neg\begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}} ;
      6. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\vee\begin{eqnarray*}\neg p\wedge q\end{eqnarray*}\vee\begin{eqnarray*}\neg p\wedge\neg q\end{eqnarray*}} ;
      7. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\vee \begin{eqnarray*}p\to \neg q\end{eqnarray*}} ;
      8. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle q\vee r\to \begin{eqnarray*}p\vee q\to p\vee r\end{eqnarray*}} ;
      9. \item </math>\begin{eqnarray*}p\vee q\vee r\end{eqnarray*}\wedge\begin{eqnarray*}q\vee\begin{eqnarray*}\neg p\wedge s\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}\wedge \begin{eqnarray*}\neg s\vee q\vee r\end{eqnarray*} \to q</math>.
2. Czy następujące zbiory formuł są spełnialne?
   1. em $\{p\to \neg q,q\to \neg r,r\to \neg p\}$;
   2. em $\{p\to q,q\to r,r\vee s\leftrightarrow \neg q\}$;
   3. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \{\neg\begin{eqnarray*}\neg q\vee p\end{eqnarray*}, p\vee\neg r, q\to\neg r\}} ;
   4. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \{s\to q, p\vee\neg q, \neg\begin{eqnarray*}s\wedge p\end{eqnarray*}, s\}} .

\item Czy zachodzą następujące konsekwencje?

1. em $p\wedge q\to \neg r,p\models r\to \neg q$;
2. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\to q, p\to\begin{eqnarray*}q\to r\end{eqnarray*}\models p\to r} ;
3. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle p\to\begin{eqnarray*}q\to r\end{eqnarray*}, p\to q\models q\to r} ;
4. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\to r, \neg p\models r} ;
5. item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \begin{eqnarray*}p\to q\end{eqnarray*}\to r, \neg r\models p} ;
6. em $p\to q,r\to \neg q\models r\to \neg p$.

     \item Dla dowolnej formuły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
 niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \hat{\var\varphi}}
 oznacza      dualizację formuły Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
, tzn. formułę powstającą z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi }
    przez zastąpienie każdego wystąpienia $\wedge$ symbolem $\vee$ oraz    każdego wystąpienia $\vee$ symbolem $\wedge$. \begin{renumerate}      \item Dowieść,że  Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
 jest tautologią wtw, gdy Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \neg\hat{\var\varphi}}
jest tautologią.    \item Dowieść, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\\leftrightarrow\psi}
 jest tautologią wtw, gdy     Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \hat{\var\varphi}\\leftrightarrow\hat{\psi}}
 jest tautologią.\end{renumerate}

  \item Znależć formułę zdaniową Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
, która jest spełniona dokładnie  przy wartościowaniach $\varrho$ spełniających warunki:

1. \item Dokładnie dwie spośród wartości Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varrho\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}} , Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varrho\begin{eqnarray*}q\end{eqnarray*}} i Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varrho\begin{eqnarray*}r\end{eqnarray*}} są równe 1.
2. \item Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle \varrho\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*} = \varrho\begin{eqnarray*}q\end{eqnarray*} \not= \varrho\begin{eqnarray*}r\end{eqnarray*}} .

Rozwiązanie: Można to robić na różne sposoby, ale najprościej    po prostu wypisać alternatywę koniunkcji, np. </math>\begin{eqnarray*}p\wedge q\wedge \neg r\end{eqnarray*}   \vee\begin{eqnarray*}p \wedge\neg q \wedge r\end{eqnarray*}</math>. 

\item    Udowodnić, że dla dowolnej funkcji $f:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}$       istnieje formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
, w której występują tylko spójniki $\to$ i $\bot$  oraz zmienne zdaniowe ze zbioru $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$, o tej własności, że dla  dowolnego wartościowania zdaniowego $\varrho$ zachodzi równość         Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\var\varphi\varrho = f\begin{eqnarray*}\varrho\begin{eqnarray*}p_1\end{eqnarray*},\ldots, \varrho\begin{eqnarray*}p_k\end{eqnarray*}\end{eqnarray*}}
.        \begin{eqnarray*}Inaczej mówiąc, formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
 definiuje funkcję zerojedynkową $f$.\end{eqnarray*} 

  Wskazówka: Indukcja \zwn $k$.

\item    Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem niepustym. Dowolną funkcję     Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\warpi”): {\displaystyle \warpi:\\mbox{\small ZZ}\to\pot X}
 nazwijmy wartościowaniem      w zbiorze Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\pot”): {\displaystyle \pot X}
. Każdej formule zdaniowej Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
 przypiszemy teraz      pewien podzbiór Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\var\varphi\warpi}
 zbioru $X$, który nazwiemy jej    wartością przy wartościowaniu Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\warpi”): {\displaystyle \warpi}
.

• item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\bot\warpi=\emptyset} oraz Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz\top\warpi=X} ;
• \item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wf”): {\displaystyle \wf\prooftree p \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=\warpi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}} , gdy $p$ jest symbolem zdaniowym;
• item Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\wfz”): {\displaystyle \wfz{\neg\var\varphi}\warpi= X-\wfz{\var\varphi}\warpi} ;
• \item </math>\wf\prooftree \var\varphi\vee\psi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=\wf\prooftree \var\varphi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree\cup \wf\prooftree \psi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree</math>;
• \item </math>\wf\prooftree \var\varphi\wedge\psi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree=\wf\prooftree \var\varphi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree\cap \wf\prooftree \psi \justifies \warpi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree</math>;
• \item </math>\wf\prooftree \var\varphi\to\psi \justifies \warpi}= \begin{eqnarray*}X-\wfz{\var\varphi \using \textrm{\begin{eqnarray*}W\end{eqnarray*}}\endprooftree\warpi\end{eqnarray*} \cup\wfz\psi\warpi</math>.

  Udowodnić, że formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi}
 jest tautologią rachunku zdań \wtw, gdy      jest prawdziwa w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\pot”): {\displaystyle \pot X}
, tj. gdy dla dowolnego Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\warpi”): {\displaystyle \warpi}
  jej wartością jest cały zbiór $X$.%%Rozwiazanie

\item   Uzupełnić szczegóły dowodu Faktu #pania.Pokazać, że długość postaci normalnej może wzrosnąć wykładniczo w stosunku do rozmiaru formuły początkowej.

  \item Niech formuła Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\to\psi}
 będzie tautologią   rachunku zdań. Znaleźć taką formułę $\vartheta$, że:

• \item Zarówno Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\to\vartheta} jak i $\vartheta \to \psi$ sątautologiami rachunku zdań.
• em W formule $\vartheta$ występują tylko te zmienne zdaniowe, które występują zarówno w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi} jak i w $\psi$.

    \item Niech Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}}
 będzie pewną formułą, w której    występuje zmienna zdaniowa $p$ i niech $q$ będzie zmienną zdaniową nie          występującą w Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}}
. Przez Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}q\end{eqnarray*}}
 oznaczmy formułę powstałą          z Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}}
 przez zamianę wszystkich $p$ na $q$. Udowodnić, że jeśli

       \hfil Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}, \var\varphi\begin{eqnarray*}q\end{eqnarray*} \models p\leftrightarrow q}
\hfil

     to istnieje formuła $\psi$, nie zawierająca zmiennych $p$ ani $q$,taka że 

    \hfil Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\var”): {\displaystyle \var\varphi\begin{eqnarray*}p\end{eqnarray*}\models p\leftrightarrow\psi}
.\hfil

\end{small}