Test HB3

AM2 - moduł 9

9. Twierdzenie o funkcjach uwikłanych.

Rozważamy funkcje zadane niejawnie. Formułujemy twierdzenie o funkcji uwikłanej i przedstawiamy metody badania takiej funkcji. Podajemy metodę mnożników Lagrange'a badania ekstremów warunkowych funkcji wielu zmiennych.

9.1 Punkty regularne poziomicy

Niech $X,Y,Z$ będą przestrzeniami Banacha i niech $U\subset X\times Y$ będzie zbiorem otwartym. Rozważmy funkcję

$F:X\times Y\supset U\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in Z$

oraz jej poziomicę zerową tj. zbiór

$\{F=0\}=\{(x,y)\in U:F(x,y)=0\}.$

Ustalmy pewien punkt $P=(a,b)\in \{F=0\}$, $a\in X$, $b\in Y$, na tej poziomicy.

Definicja 9.1.

Mówimy, że punkt $P\in \{F=0\}$ jest punktem regularnym zbioru $\{F=0\}$, jeśli różniczka $d_{P}F$ jest suriekcją przestrzeni $X\times Y$ na przestrzeń $Z$. Punkt poziomicy $\{F=0\}$, który nie jest regularny, będziemy nazywać punktem nieregularnym tej poziomicy.

Przypomnijmy fakt z algebry liniowej:

Uwaga 9.2.

W przypadku przestrzeni o skończonym wymiarze $X=\mathbb {R} ^{n}$, $Y=\mathbb {R} ^{m}$ odwzorowanie liniowe $L:X\times Y\mapsto Y$ jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy rząd (macierzy) odwzorowania $L$ jest maksymalny, tj. równy $m$.

Przykład 9.3.

Niech $X=Y=\mathbb {R}$. Rozważmy $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ i poziomicę zerową tej funkcji

$\{F=0\}=\{x^{2}+y^{2}=1\},$

czyli okrąg o środku w punkcie $(0,0)$ i promieniu jednostkowym. Różniczka

${\begin{aligned}d_{(x_{0},y_{0})}F&={\frac {\partial F}{\partial x}}(x_{0},y)dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y)dy\\&=2x_{0}dx+2y_{0}dy\end{aligned}}$

w dowolnym punkcie $(x_{0},y_{0})\in \{F=0\}$ ma rząd maksymalny. Rząd różniczki $d_{(x_{0},y_{0})}F$ nie jest maksymalny tylko w punkcie, w którym obie pochodne cząstkowe ${\frac {\partial F}{\partial x}}$, ${\frac {\partial F}{\partial y}}$ zerują się, czyli gdy

$\left\{{\begin{aligned}2x_{0}=0\\2y_{0}=0,\end{aligned}}\right.$

ale punkt $(0,0)$ nie leży na okręgu $\{F=0\}$.

Przykład 9.4.

Niech $X=Y=\mathbb {R}$ i niech $F(x,y)=x^{3}+y^{3}-3xy$. Pamiętamy, że poziomicą zerową tej funkcji

$\{F=0\}=\{x^{3}+y^{3}=3xy\}$

jest krzywa, którą nazywamy liściem Kartezjusza. Zauważmy, że różniczka

$d_{(x_{0},y_{0})}F=3(x_{0}^{2}-y_{0})dx+3(y_{0}^{2}-x_{0})dy$ nie ma maksymalnego rzędu, gdy $\left\{{\begin{aligned}x_{0}^{2}-y_{0}=0\\y_{0}^{2}-x_{0}=0,\end{aligned}}\right.$

czyli w punktach $(0,0)$ i $(1,1)$. Stąd punkt $(0,0)$ jest punktem nieregularnym

liścia Kartezjusza. Drugi punkt $(1,1)$ nie leży na poziomicy $\{F=0\}$.

Przykład 9.5.

Niech $X=Y=\mathbb {R}$ i niech $F(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})$. Poziomicę zerową tej funkcji już także poznaliśmy. Krzywą

$\{F=0\}=\left\{(x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\right\}$

nazywamy lemniskatą Bernoullego. Różniczka

${\begin{aligned}d_{(x_{0},y_{0})}F&=\left(2(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})2x_{0}-4x_{0}\right)dx+\left(2(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})2y_{0}+4y_{0}\right)dy\\&=4x_{0}(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-1)dx+4y_{0}(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+1)dy\end{aligned}}$

nie ma maksymalnego rzędu tylko wtedy, gdy

$\left\{{\begin{aligned}x_{0}(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-1)=0\\y_{0}(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+1)=0,\end{aligned}}\right.$

czyli w trzech punktach $(0,0)$, $(-1,0)$ i $(1,0)$, spośród których tylko pierwszy $(0,0)$ leży na lemniskacie Bernoullego. Nie jest więc jej punktem regularnym.

Przykład 9.6.

Poziomicą zerową funkcji

$F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\in \mathbb {R}$

jest sfera o środku w początku układu współrzędnych $(0,0,0)$ i promieniu jednostkowym:

$\{F=0\}=\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.$

Różniczka odwzorowania $F$ dana wzorem

${\begin{aligned}d_{(x,y,z)}F&={\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y,z)dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y,z)dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)dz\\&=2xdx+2ydy+2zdz\end{aligned}}$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R}$ i ma rząd maksymalny (równy 1) we wszystkich punktach $\mathbb {R} ^{3}$ poza początkiem układu współrzędnych $(0,0,0)$, w którym rząd ten wynosi zero. Punkt $(0,0,0)$ nie należy jednak do sfery $\{F=0\}$, stąd każdy jej punkt jest regularny.

Rysunek am2w09.0040 a, b, c - przecięcie dwóch walców

Przykład 9.7.

Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^{2}+z^{2}-1,y^{2}+z^{2}-1)\in \mathbb {R} ^{2}$. Wówczas poziomicą zerową funkcji $F$ jest zbiór

$\{F=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x^{2}+z^{2}=1,y^{2}+z^{2}=1\},$

który powstaje z przecięcia walca $x^{2}+z^{2}=1$ o osi obrotu $OY$ z walcem $y^{2}+z^{2}=1$ o osi obrotu $OX$. Zauważmy, że różniczka

$d_{(x,y,z)}F=(2xdx+0dy+2zdz,0dx+2ydy+2zdz)$

jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R} ^{2}$. Jest więc maksymalnego rzędu, gdy rząd macierzy jej współczynników

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle A=\left[\beginmatrix &2x &0 &2z\\ &0 &2y &2z \endmatrix \right] }

wynosi 2. Zauważmy, że rząd macierzy $A$ wynosi zero, gdy $x=y=z=0$ (punkt $(0,0,0)$ nie należy do poziomicy zerowej $\{F=0\}$). Z kolei, rząd tej macierzy wynosi jeden, gdy

${\begin{aligned}&&x=y=0,z\neq 0,\\&{\text{lub}}&\\&&x=z=0,y\neq 0,\\&{\text{lub}}&\\&&y=z=0,x\neq 0,\end{aligned}}$

co ma miejsce w dwóch punktach poziomicy $\{F=0\}$, a mianowicie w punktach $(0,0,1)$ oraz $(0,0,-1)$. Są to jedyne punkty poziomicy, które nie są regularne, gdyż rząd różniczki $d_{(x,y,z)}F$ w pozostałych punktach poziomicy jest

maksymalny (tj. wynosi $2$).

Rysunek am2w09.0010

Przykład 9.8.

Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x,y,z)\mapsto F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz\in \mathbb {R} .$ Poziomicą zerową tej funkcji jest powierzchnia o równaniu

$\{(x,y,z)=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=3xyz\}.$

Różniczka $d_{(x,y,z)}F={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz$ jest odwzorowaniem liniowym i ciągłym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R}$, nie ma więc rzędu maksymalnego w punktach $(x,y,z)$, w których rząd różniczki jest niższy niż jeden, czyli w punktach, w których zerują się wszystkie trzy pochodne cząstkowe ${\frac {\partial F}{\partial x}}=0,{\frac {\partial F}{\partial y}}=0,{\frac {\partial F}{\partial z}}=0$, tzn. gdy

$\left\{{\begin{aligned}4x(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3yz\\4y(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3xz\\4z(x^{2}+y^{2}+z^{2})=3xy\end{aligned}}\right.$

Układ ten spełnia punkt o współrzędnych $(0,0,0)$ a także punkty o współrzędnych $(x,y,z)$, które spełniają układ

$\left\{{\begin{aligned}x^{2}&=y^{2}\\y^{2}&=z^{2}\\z^{2}&=x^{2},\end{aligned}}\right.$

czyli $|x|=|y|=|z|$. Spośród punktów poziomicy $\{F=0\}$ warunek ten spełniają poza punktem $(0,0,0)$ także punkty $(a,a,a)$, $(-a,-a,a)$, $(-a,a,-a)$, $(a,-a,-a)$, gdzie $a={\frac {1}{3}}$. Poza wskazanymi pięcioma punktami poziomicy $\{F=0\}$ pozostałe punkty są regularne, gdyż różniczka odwzorowania $F$ ma w nich rząd maksymalny (równy $1$).

9.2 Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Niech $X$, $Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną w zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in \{F=0\}$ będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$, gdzie $a\in X,b\in Y$. Powstaje naturalne pytanie o warunki, przy których poziomicę $\{F=0\}$ w otoczeniu punktu $(a,b)$ można przedstawić jako wykres pewnej funkcji $f:X\mapsto Y$ takiej, że $F(x,f(x))=0$ w pewnym otoczeniu otwartym punktu $a\in X$.

Rozważmy dwa proste przykłady.

Przykład 9.9.

Niech $(a,b)$ będzie punktem okręgu $x^{2}+y^{2}=1$, który stanowi poziomicę zerową funkcji

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1\in \mathbb {R} .$

Jeśli $b>0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1)$ można określić funkcję

$f_{1}:x\mapsto f_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

taką, że

$F(x,f_{1}(x))=x^{2}+({\sqrt {1-x^{2}}})^{2}-1=0\ {\text{ oraz }}\ f_{1}(a)=b.$

Z kolei, jeśli $b<0$, to w otoczeniu punktu $a\in (-1,1)$ znajdziemy funkcję

$f_{2}:x\mapsto f_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\f”): {\displaystyle F(x, f_2(x))=x^2+(-\sqrt{1-x^2})^2-1=0 \ \text{ oraz } \f_2(a)=b. }

Jedynymi punktami $(a,b)$ okręgu $x^{2}+y^{2}=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f:x\mapsto f(x)$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x,f(x))=0$, są punkty $(-1,0)$ oraz

$(1,0)$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial y}}$.

Przykład 9.10.

Niech $a=(a_{1},a_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$, $b\in \mathbb {R}$. Niech $(a,b)\in \mathbb {R} ^{3}$ będzie punktem sfery $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}=1$, która stanowi poziomicę zerową funkcji $F(x_{1},x_{2},z)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}-1$. Jeśli $b>0$, to w otoczeniu punktu $a=(a_{1},a_{2})$ wewnątrz okręgu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<1$ można określić funkcję

$f_{1}:(x_{1},x_{2})\mapsto f_{1}(x_{1},x_{2})={\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}$

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F(x_1, x_2, f_1(x_1,x_2))=x_1^2+x_2^2 +\big(\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0 \ \text{ oraz } \ f_1(a)=b. }

Z kolei, jeśli $b<0$ znajdziemy funkcję

$f_{2}:(x_{1},x_{2})\mapsto f_{1}(x_{1},x_{2})=-{\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}$

taką, że

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\f”): {\displaystyle F(x_1, x_2, f_2(x_1, x_2))=x_1^2+x_2^2+\big(-\sqrt{1-x_1^2-x_2^2}\big)^2-1=0\ \text{ oraz } \f_2(a)=b. }

Jedynymi punktami $(a,b)$ sfery $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+z^{2}=1$, w otoczeniu których nie znajdziemy funkcji $f:(x_{1},x_{2})\mapsto f(x_{1},x_{2})$ takiej, że $f(a)=b$ i $F(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}))=0$, są punkty okręgu $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1$ zawartego w płaszczyźnie $z=0$. Zauważmy, że w punktach tych zeruje się pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial z}}=2z$.

Uogólnijmy to spostrzeżenie formułując

Twierdzenie 9.11.[twierdzenie o funkcji uwikłanej]

Niech $F:U\mapsto Y$ będzie funkcją różniczkowalną o ciągłej różniczce na zbiorze otwartym $U\subset X\times Y$. Niech $(a,b)\in \{F=0\}$ (gdzie $a\in X,b\in Y$) będzie punktem poziomicy zerowej funkcji $F$ takim, że zacieśnienie różniczki $d_{(a,b)}F_{|Y}$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ jest izomorfizmem. Wówczas

1) istnieje pewne otoczenie otwarte $V\subset X$ punktu $a$ oraz istnieje dokładnie jedna funkcja określona w tym otoczeniu $f:V\mapsto Y$ taka, że $f(a)=b$ oraz $F(x,f(x))=0$ dla dowolnego $x\in V$. Ponadto

2) funkcja $f$ jest różniczkowalna i ma ciągłą różniczkę w zbiorze

$V$ daną wzorem $d_{x}f=-{\big (}d_{(x,y)}F_{|Y}{\big )}^{-1}\circ {\big (}d_{(x,y)}F_{|X}{\big )},$ gdzie $y=f(x)$, natomiast

$d_{(x,y)}F_{|X}$ oznacza zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$ a $(d_{(x,y)}F_{|Y})^{-1}$ jest izomorfizmem odwrotnym do zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$.

Dowód [szkic]

(szkic) Pominiemy dowód istnienia funkcji $f$. Wyprowadzimy jednak wzór, który określa jej różniczkę, w trzech przypadkach najczęściej spotykanych w konkretnych zastosowaniach. Przypomnijmy wpierw jednak, że

Uwaga 9.12.

Jeśli $Y=\mathbb {R} ^{n}$, to odwzorowanie liniowe $L:Y\mapsto Y$ jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tego odwzorowania jest różny od zera, tj. $\det L\neq 0$.

Przypadek I. Niech $X=Y=\mathbb {R}$ i niech $F:\mathbb {R} ^{2}\ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb {R} .$ Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ spełnia równanie $F(x,f(x))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość

$0={\frac {d}{dx}}F(x,f(x))={\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y){\frac {df}{dx}}(x),{\text{ gdzie }}y=f(x).$

Stąd

$-{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial ,F}{\partial y}}(x,y){\frac {df}{dx}}(x).$

Z założenia zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F_{|Y}$ jest izomorfizmem przestrzeni $\mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$, co oznacza w tym przypadku, że pochodna cząstkowa ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$. Stąd pochodna funkcji uwikłanej wyraża się wzorem

${\frac {df}{dx}}(x)=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y),{\text{gdzie}}y=f(x).$

Przypadek II. Niech $F:\mathbb {R} ^{3}\ni (x_{1},x_{2},y)\mapsto F(x_{1},x_{2},y)\in \mathbb {R} .$ Jeśli funkcja $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ spełnia równanie $F(x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}))=0$, to przy założeniu, że jest różniczkowalna, na mocy twierdzenia o różniczce złożenia funkcji otrzymamy równość prawdziwą w punktach $(x_{1},x_{2},y)$ poziomicy $\{F=0\}$

$0={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F{\big (}x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}){\big )}={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}+0+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}$

oraz

$0={\frac {\partial }{\partial x_{2}}}F{\big (}x_{1},x_{2},f(x_{1},x_{2}){\big )}={\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}{\frac {\partial x_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}{\frac {\partial x_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}=0+{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}$

Izomorficzność zawężenia różniczki $d_{(x_{1},x_{2},y)}F_{|Y}$ również w tym przypadku oznacza po prostu, że pochodna cząstkowa ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\neq 0$. Wówczas z powyższych równości dostajemy

${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{1},x_{2})=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(x_{1},x_{2},y)$

oraz

${\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(x_{1},x_{2})=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{1},x_{2},y)\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}(x_{1},x_{2},y),$

gdzie $y=f(x_{1},x_{2})$. Pomijając argument w zapisie pochodnych cząstkowych można te wzory podać w skróconej formie (łatwiejszej do zapamiętania):

${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}$ oraz ${\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}.$

Przypadek III. Niech $X=\mathbb {R}$, $Y=\mathbb {R} ^{2}$ i niech

$F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\ni (x,y_{1},y_{2})\mapsto F(x,y_{1},y_{2})=\left(F_{1}(x,y_{1},y_{2}),F_{2}(x,y_{1},y_{2})\right)\in \mathbb {R} ^{2}.$

Załóżmy, że istnieje funkcja różniczkowalna

$f:\mathbb {R} \ni x\mapsto (f_{1}(x),f_{2}(x))\in \mathbb {R} ^{2}$

taka, że 

$0=F(x,f(x))={\bigg (}F_{1}{\big (}x,f_{1}(x),f_{2}(x){\big )},\ F_{2}{\big (}x,f_{1}(x),f_{2}(x){\big )}{\bigg )},$

to znaczy

$\left\{{\begin{aligned}0&=F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))\\0&=F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x)).\end{aligned}}\right.$

Stąd - korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu złożenia funkcji - dostajemy

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}F_{1}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))&={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}{\frac {df_{1}}{dx}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}{\frac {df_{2}}{dx}}\\&={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}f_{2}'\end{aligned}}$

oraz

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}F_{2}(x,f_{1}(x),f_{2}(x))&={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}{\frac {df_{1}}{dx}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}{\frac {df_{2}}{dx}}\\&={\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}f_{2}'.\end{aligned}}$

Otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi $f_{1}'$, $f_{2}'$, które są pochodnymi składowych funkcji uwikłanej $f=(f_{1},f_{2})$:

$\left\{{\begin{aligned}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}={\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{1}}{\partial y_{2}}}f_{2}'\\-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{1}}}f_{1}'+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y_{2}}}f_{2}'.\end{aligned}}\right.$

Zapiszmy ten układ w formie macierzowej

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle-\left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\endmatrix \right] =\left[ \beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\endmatrix \right] \, \left[\beginmatrix f_1' \\ \\f_2 '\endmatrix \right]. }

W rozważanym przypadku założenie o izomorficzności zacieśnienia różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $Y\subset X\times Y$ oznacza po prostu fakt, że macierz pochodnych cząstkowych, która reprezentuje $d_{(x,y)F_{|Y}}$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\endmatrix \right] }

jest nieosobliwa, tj. jej wyznacznik jest różny od zera. Z kolei macierz kolumnowa

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\endmatrix \right] }

reprezentuje zacieśnienie różniczki $d_{(x,y)}F$ do podprzestrzeni $X\subset X\times Y$. Macierz niewiadomych $f_{1}'$, $f_{2}'$:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \left[\beginmatrix f_1' \\ \\f_2'\endmatrix \right] }

reprezentuje różniczkę $d_{x}f$ funkcji uwikłanej $f=(f_{1},f_{2})$. Stąd układ równań z niewiadomymi $f_{1}'$, $f_{2}'$ przedstawia równanie

$-d_{(x,y)}F_{|X}=d_{(x,y)}F_{|Y}\circ d_{x}f,\ \ \ \ \ {\text{ gdzie }}y=f(x),$

w którym niewiadomą jest różniczka $d_{x}f$. Izomorficzność zacieśnienia $d_{(x,y)}F_{|Y}$ gwarantuje istnienie odwzorowania odwrotnego $\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}$, dzięki czemu otrzymujemy

$d_{x}f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$

W języku algebry nieosobliwość macierzy

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\endmatrix \right] }

gwarantuje istnienie macierzy do niej odwrotnej. Stąd rozwiązaniem równania

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle-\left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\endmatrix \right] =\left[ \beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&\\ \frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\endmatrix \right] \, \left[\beginmatrix &f_1' \\ &\\&f_2 '\endmatrix \right] }

jest

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\beginmatrix”): {\displaystyle \displaystyle\left[\beginmatrix f_1' \\ \\f_2 '\endmatrix \right] =-\left(\left[ \beginmatrix &\frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\frac{\partial F_1}{\partial y_2}\\&&\\ &\frac{\partial F_2}{\partial y_1} &\frac{\partial F_2}{\partial y_2}\endmatrix \right]\right)^{-1} \left[\beginmatrix \frac{\partial F_1}{\partial x}\\ \\ \frac{\partial F_2}{\partial x}\endmatrix \right] }

lub równoważnie:

$d_{x}f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circ d_{(x,y)}F_{|X}.$

9.3 Ekstrema funkcji uwikłanej

Niech $X=\mathbb {R} ^{n},Y=\mathbb {R}$ i niech

$F:X\times \mathbb {R} \ni (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y)\mapsto F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y)\in \mathbb {R}$

będzie funkcją określoną w pewnym zbiorze otwartym $U\subset X\times \mathbb {R}$.

Zauważmy, że do wyznaczenia różniczki funkcji $f$ uwikłanej równaniem $F(x,f(x))=0$ nie potrzebujemy znać jawnej postaci funkcji $f$. Co więcej, potrafimy wyznaczyć punkty, w których funkcja $f$ może osiągać ekstrema, korzystając ze znanego warunku koniecznego istnienia ekstremum.

Twierdzenie 9.13.[warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji uwikłanej]

Jeśli funkcja $f$ uwikłana równaniem $F(x,f(x))=0$ osiąga ekstremum w pewnym punkcie $a\in X$ takim, że pochodna cząstkowa ${\frac {\partial F}{\partial y}}(a,f(a))\neq 0$, to w punkcie $(a,f(a))$ zerują się pochodne cząstkowe funkcji $F$ po zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, tzn.

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\foralli”): {\displaystyle \foralli\in\{1,2,\dots, n\} \ \ \frac{\partial F}{\partial x_i}(a,f(a))=0. }

Dowód

Warunek ten jest konsekwencją wzoru na różniczkę funkcji $f$, który stanowi tezę twierdzenia o funkcji uwikłanej. Ponieważ zachodzi równość

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\circd”): {\displaystyle d_x f=-\left(d_{(x,y)}F_{|Y}\right)^{-1}\circd_{(x,y)}F_{|X}, }

to wobec izomorficzności $d_{(x,y)}F_{|Y}$ która w tym przypadku jest równoważna stwierdzeniu, że ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)\neq 0$) różniczka $d_{a}f$ zeruje się wtedy i tylko wtedy, gdy $d_{(a,f(a))}F_{|X}=0$. Warunek ten jest z kolei równoważny zerowaniu się w punkcie $(a,f(a))$ pochodnych cząstkowych funkcji $F$ po zmiennych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, czyli

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial F}{\partial x_{1}}}(a,f(a))=0\\&{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}}(a,f(a))=0\\&\vdots \\&{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}}(a,f(a))=0.\end{aligned}}\right.$

Wyznaczymy również drugą różniczkę funkcji uwikłanej $f$, aby z jej określoności wywnioskować, czy funkcja $f$ osiąga maksimum, minimum, czy też w ogólne nie osiąga ekstremum w punktach, które spełniają warunek konieczny istnienia ekstremum.

Rozważmy dwa najczęściej spotykane przypadki:

Przypadek I. Niech $F:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Rozważmy funkcję $f$ uwikłaną równaniem $F(x,f(x))=0$. Różniczkując tę równość po zmiennej $x$ otrzymamy (na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu złożenia) równość

$0={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}f'$

Różniczkując względem zmiennej $x$ powtórnie obie strony powyższej nierówności, otrzymamy

${\begin{aligned}0={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}f'{\bigg )}&={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}f'{\bigg )}\\&={\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {d}{dx}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}{\bigg )}f'+{\frac {\partial F}{\partial y}}f''\\&={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}f'+{\bigg (}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}f'{\bigg )}f'+{\frac {\partial F}{\partial y}}f''.\end{aligned}}$

Otrzymane wyrażenie znacznie upraszcza się w punkcie $x_{0}$, w którym $f'(x_{0})=0$. Otrzymamy wówczas równość

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})f''(x_{0}),$

z której - wobec założenia, że ${\dfrac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\neq 0$ - otrzymamy

$f''(x_{0})=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0}){\bigg )}^{-1}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0}),$

gdzie $y_{0}=f(x_{0})$.

Przypadek II. Niech $f:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x,y,f(x,y))=0$, gdzie $F:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas w punktach poziomicy $\{F=0\}$ otrzymamy równości zawierające pochodne cząstkowe ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}$ oraz ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}$:

$0={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}$ $0={\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.$

Policzymy pochodną cząstkową ${\frac {\partial }{\partial x}}$ po zmiennej $x$ obu stron pierwszej z tych równości. Ze wzorów na pochodną złożenia funkcji wyznaczymy wpierw:

${\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}$

oraz

${\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigg )}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Wobec tego

${\begin{aligned}0={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}&={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\bigg )}+{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial z}}{\bigg )}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\bigg (}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg )}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}.\end{aligned}}$

W punkcie $(x_{0},y_{0})$, w którym zeruje się różniczka funkcji uwikłanej, mamy ${\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})=0$, ${\dfrac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=0$, a powyższy wzór upraszcza się i przyjmuje postać:

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0}),$

gdzie $z_{0}=f(x_{0},y_{0})$. W podobny sposób dostajemy równości zawierające pozostałe pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji uwikłanej $f$, które przy założeniu zerowania się różniczki funkcji uwikłanej w punkcie $(x_{0},y_{0})$ przyjmują postać:

$0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0}),$ $0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0}),$ $0={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0},z_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0}){\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0}).$

Stąd - wobec założenia, że ${\frac {\partial F}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq 0$ - otrzymujemy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \left[\begin{align} &\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x_0, y_0)\\ &\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x_0, y_0) \ & \ &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0)\end{align}\right]=-\bigg(\frac{\partial F}{\partial z}(x_0, y_0, z_0)\bigg)^{-1} \left[\begin{align} &\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x_0, y_0, z_0) & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}(x_0, y_0, z_0)\\ &\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}(x_0, y_0, z_0) \ & \ &\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(x_0, y_0, z_0)\end{align}\right] }

W podobny sposób (szczegółowe rachunki pomijamy) można wykazać ogólny wzór wyrażający drugą różniczkę funkcji uwikłanej.

Wniosek 9.14.

Niech $f:x\mapsto f(x)$, $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ będzie funkcją uwikłaną równaniem $F(x,f(x))=0$, gdzie $F:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \ni (x,y)\mapsto F(x,y)\in \mathbb {R}$ jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w pewnym otoczeniu punktu $(a,b)$, gdzie $b=f(a)$. Niech ${\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b)\neq 0$ i niech różniczka $d_{a}f=0$. Wówczas druga

różniczka funkcji uwikłanej $f$ w punkcie $a$ wynosi $d_{a}^{2}f=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b){\bigg )}^{-1}d_{(a,b)}F_{|X},$ czyli ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a)=-{\bigg (}{\frac {\partial F}{\partial y}}(a,b){\bigg )}^{-1}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(a,b),$ dla dowolnych $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$.

Przykład 9.15.

Wyznaczmy ekstrema funkcji $f$ danej w postaci uwikłanej $F(x,y,f(x,y))=0$, gdzie

$F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz.$

Obserwacja poziomicy zerowej $\{F=0\}$ każe przypuszczać, że w otoczeniu czterech punktów tej poziomicy da się wskazać otoczenia ich rzutów na płaszczyznę zmiennych $(x,y)$ oraz jednoznacznie określone funkcje w tych otoczeniach takie, że dwie z nich będą osiągać maksima a pozostałe dwie - minima.

Zgodnie z wykazanymi uwagami, aby wyznaczyć punkty ekstremalne funkcji uwikłanej $f$ szukamy punktów $(x,y)$, których współrzędne spełniają układ równań:

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y,z)=0\\{\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y,z)=0\\(x,y,z)\in \{F=0\}\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}4x(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3yz=0\\4y(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3xz=0\\(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}-3xyz=0.\end{aligned}}\right.$

Możliwość skorzystania z twierdzenia o funkcji uwikłanej (aby mieć gwarancję istnienia funkcji uwikłanej $f$) wymaga sprawdzenia założenia:

${\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)=4z(x^{2}+y^{2}+z^{2})-3xy\neq 0.$

Nietrudno zauważyć, że początek układu współrzędnych $(0,0,0)$ spełnia układ równań, ale nie spełnia założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej, gdyż ${\frac {\partial F}{\partial z}}(0,0,0)=0$. Obserwacja poziomicy $\{F=0\}$ wyraźnie pokazuje, że nie ma możliwości jednoznacznego odwikłania funkcji $(x,y)\mapsto f(x,y)$ z równania $F(x,y,f(x,y))=0$ w żadnym otoczeniu punktu $(0,0,0)$. Ponadto układ spełniają cztery punkty o współrzędnych

${\begin{aligned}&x=y={\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z={\frac {3}{8}},\\&x=y=-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z={\frac {3}{8}},\\&x=-y={\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z=-{\frac {3}{8}},\\&x=-y=-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},\ &&z=-{\frac {3}{8}},\end{aligned}}$

w których spełniony jest warunek ${\frac {\partial F}{\partial z}}(x,y,z)\neq 0$. Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w pewnych otoczeniach $U_{1},U_{2},U_{3},U_{4}\subset \mathbb {R} ^{2}$ odpowiednio punktów

${\begin{aligned}&A_{1}={\big (}{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{2}={\big (}-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{3}={\big (}-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\\&A_{4}={\big (}{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}},-{\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}{\big )},\end{aligned}}$

istnieją jedyne funkcje $f_{1}:U_{1}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{2}:U_{2}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{3}:U_{3}\mapsto \mathbb {R}$, $f_{4}:U_{4}\mapsto \mathbb {R}$, które spełniają warunek

$F{\big (}x,y,f_{i}(x,y){\big )}=0,{\text{ gdy }}(x,y)\in U_{i},\ i\in \{1,2,3,4\}$

oraz odpowiednio $f_{1}(A_{1})=f_{2}(A_{2})={\frac {3}{8}}$, $f_{3}(A_{3})=f_{4}(A_{4})=-{\frac {3}{8}}$. Analiza poziomicy $\{F=0\}$ (lub określoności drugiej różniczki $d_{A_{i}}^{2}f,\ i\in \{1,2,3,4\}$) pozwala stwierdzić, że funkcje $f_{1}$ i $f_{2}$ osiągają w punktach $A_{1}$, $A_{2}$ maksimum, zaś $f_{3}$ i $f_{4}$ osiągają w punktach $A_{3}$, $A_{4}$ minimum.

Dalsze przykłady wyznaczania ekstremów funkcji uwikłanej analizujemy w ramach ćwiczeń.

9.4 Ekstrema warunkowe. Metoda mnożników Lagrange'a

Dotychczas wyznaczaliśmy ekstrema funkcji określonej w pewnym otwartym podzbiorze $U$ przestrzeni unormowanej $X$ (przy czym w praktycznych przykładach zajmowaliśmy się przykładami, gdy $X=\mathbb {R} ^{n}$, $n=1,2,3,\dots$). Równie ważne z praktycznego punktu widzenia są także rozważania polegające na wyznaczaniu ekstremów funkcji $F:X\mapsto \mathbb {R}$ zacieśnionej do zbioru, który nie jest otwarty w $X$.

Przykład 9.16.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

$F(x,y,z)=x-2y+2z$

na sferze

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.$

Sfera ta jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, jest więc zwarta. Stąd na na mocy twierdzenia Weierstassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą wnioskujemy, że wielomian $F(x,y,z)=x-2y+2z$ osiąga na tej sferze zarówno wartość najmniejszą jak i największą. Nasze dotychczasowe doświadczenie podpowiada nam, że zadanie można by sprowadzić do badania funkcji dwóch zmiennych np. poprzez odwikłanie zmiennej

$z(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}{\text{ lub }}z(x,y)=-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}$

z równania sfery i zbadania funkcji dwóch zmiennych $(x,y)$ danych w kole $x^{2}+y^{2}<1$ wzorami:

$f_{1}:(x,y)\mapsto F{\big (}x,y,{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}{\big )}=x-2y+2{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$ $f_{2}:(x,y)\mapsto F{\big (}x,y,-{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}{\big )}=x-2y-2{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}.$

Niezbyt skomplikowane (choć nieco żmudne rachunki) prowadzą do wyznaczenia ekstremów tych funkcji, a co za tym idzie: wartości ekstremalnych funkcji $F$ na danej sferze.

Podamy jednak pewną metodę, która pozwala wyznaczać ekstremum funkcji $F:X\mapsto \mathbb {R}$ zacieśnionej do poziomicy zerowej $\{G=0\}$ pewnej funkcji $G:X\mapsto Y$ również w przypadku, gdy odwikłanie zmiennej z równania $G=0$ nie jest tak proste jak w podanym przykładzie.

Sprecyzujmy jednak wpierw problem.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha i niech $G:X\mapsto Y$, $F:X\mapsto \mathbb {R}$ będą funkcjami.

Definicja 9.17.

Mówimy, że funkcja $F$ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie $a$ przy warunku $a\in \{G=0\}$, jeśli zacieśnienie funkcji $F$ do poziomicy $\{G=0\}$ osiąga ekstremum w tym punkcie.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie, które stanowi podstawę metody mnożników Lagrange'a.

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami Banacha.

Twierdzenie 9.18.

Niech $F:X\mapsto \mathbb {R}$, $G:X\mapsto Y$ będą funkcjami różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $a$ poziomicy $\{G=0\}$ (co - przypomnijmy - oznacza, że różniczka $d_{a}G$ jest suriekcją przestrzeni $X$ na $Y$). Jeśli funkcja $F$ osiąga ekstremum warunkowe w punkcie regularnym $a$ poziomicy zerowej funkcji $G$, to istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\Lambda :Y\mapsto \mathbb {R}$ taki, że zachodzi równość $d_{a}F=\Lambda \circ d_{a}G$.

Prawdziwe jest również twierdzenie, które na podstawie określoności drugiej różniczki pozwala stwierdzić czy funkcja $F$ osiąga minimum, czy maksimum warunkowe w punkcie $a\in \{G=0\}$.

Twierdzenie 9.19.

Niech $F:X\mapsto \mathbb {R}$, $G:X\mapsto Y$ będą funkcjami dwukrotnie różniczkowalnymi w otoczeniu punktu regularnego $a$ poziomicy $\{G=0\}$. Jeśli istnieje funkcjonał liniowy i ciągły $\Lambda :Y\mapsto \mathbb {R}$ taki, że zachodzi równość $d_{a}F=\Lambda \circ d_{a}G$ oraz forma kwadratowa

$X\ni h\mapsto {\big (}d_{a}^{2}F-\Lambda \circ d_{a}^{2}G{\big )}(h,h)\in \mathbb {R}$

jest dodatnio określona (odpowiednio: ujemnie określona) na podprzestrzeni $X_{1}:=\{h\in X,d_{a}G(h)=0\}$ przestrzeni $X$, to funkcja $F$ osiąga w punkcie $a$ minimum (odpowiednio: maksimum) warunkowe.

Definicja 9.20.

Funkcjonał $\Lambda$, który występuje w wypowiedzi obu powyższych twierdzeń, nazywamy funkcjonałem Lagrange'a.

Dowody obu twierdzeń pomijamy (można je znaleźć np. w podręczniku Krzysztofa Maurina, Analiza. Część I. Elementy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977). Podamy jednak interpretację tego twierdzenia w kilku najczęściej spotykanych sytuacjach.

Uwaga 9.21.

Jeśli $f,g:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$ są funkcjami różniczkowalymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $f$ przy warunku $\{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktu $a$ na poziomicy $\{g=0\}$ oraz stałej $\lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy $\Lambda :\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ dany wzorem $\Lambda (x)=\lambda x$ taki, że różniczka $d_{a}f=\lambda d_{a}g$, o ile punkt $a$ jest punktem regularnym poziomicy $\{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $g:\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$, punkt $a$ jest regularny, jeśli rząd różniczki

$d_{a}g={\frac {\partial g(a)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g(a)}{\partial y}}dy$

wynosi 1. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $a$ różniczka $d_{a}g\neq 0$, czyli czy którakolwiek pochodna cząstkowa ${\frac {\partial g(a)}{\partial x}}$ lub ${\frac {\partial g(a)}{\partial y}}$ jest różna od zera. Zagadnienie sprowadza się do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

$\Phi (x,y):=f(x,y)-\lambda g(x,y),$

gdzie stałą $\lambda$ (nazywaną tradycyjnie mnożnikiem Lagrange'a) wyznaczamy z układu równań

$\left\{{\begin{aligned}d_{(x,y)}\Phi =0\\g(x,y)=0\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial y}}\\g(x,y)=0.\end{aligned}}\right.$

Uwaga 9.22.

Jeśli $f,g:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R}$ są funkcjami różniczkowalnymi, problem znalezienia ekstremum warunkowego funkcji $f$ przy warunku $\{g=0\}$ sprowadza się do znalezienia - podobnie jak w poprzednim przypadku - punktu $a$ na poziomicy $\{g=0\}$ oraz stałej $\lambda$, która reprezentuje funkcjonał Lagrange'a. Jeśli bowiem ekstremum to jest realizowane to - zgodnie z podanym twierdzeniem - istnieje funkcjonał liniowy $\Lambda :\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ dany wzorem $\Lambda (x)=\lambda x$, taki, że różniczka $d_{a}f=\lambda d_{a}g$, o ile punkt $a$ jest punktem regularnym poziomicy $\{g=0\}$. Przypomnijmy, że w przypadku, gdy $g:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R}$ punkt $a$ jest regularny, jeśli rząd $d_{a}g$ (odwzorowania liniowego z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R}$) jest maksymalny, czyli wynosi $1$. Wystarczy więc sprawdzić, czy w punkcie $a$ różniczka

$d_{a}g={\frac {\partial g(a)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial g(a)}{\partial y}}dy+{\frac {\partial g(a)}{\partial z}}dz$

nie zeruje się, czyli czy któraś z pochodnych cząstkowych ${\frac {\partial g(a)}{\partial x}}$, ${\frac {\partial g(a)}{\partial y}}$, ${\frac {\partial g(a)}{\partial z}}$ jest różna od zera. Zagadnienie można sprowadzić do znalezienia punktów, w których zeruje się różniczka funkcji pomocniczej

$\Phi (x,y,z):=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z),$

gdzie stałą $\lambda$ wyznaczamy z układu równań

$\left\{{\begin{aligned}d_{(x,y,z)}\Phi =0\\g(x,y,z)=0\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial y}}\\{\frac {\partial f}{\partial z}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial z}}\\g(x,y,z)=0.\end{aligned}}\right.$

Przykład 9.23.

Powróćmy do zadania polegającego na wyznaczeniu najmniejszej i największej wartości funkcji $f(x,y,z)=x-2y+2z$ na sferze $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Rozwiążemy je metodą mnożników Lagrange'a opisaną w poprzednich uwagach. Dana sfera jest poziomicą zerową funkcji $g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1$. Wykazaliśmy już, że każdy punkt sfery jest regularny. Niech $\Phi (x,y,z)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z)$. Rozwiązujemy układ równań

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial y}}\\{\frac {\partial f}{\partial z}}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial z}}\\g(x,y,z)=0\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}1=2\lambda x\\-2=2\lambda y\\2=2\lambda z\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.\end{aligned}}\right.$

Układ ten spełniają liczby

$x=-{\frac {1}{3}},y={\frac {2}{3}},z=-{\frac {2}{3}},\lambda =-{\frac {3}{2}}$

oraz

$x={\frac {1}{3}},y=-{\frac {2}{3}},z={\frac {2}{3}},\lambda ={\frac {3}{2}}.$

Ponieważ sfera jest zbiorem zwartym, wystarczy wyznaczyć wartości funkcji w obu punktach i porównać je, gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa o osiąganiu kresów przez funkcję ciągłą na zbiorze zwartym, w jednym z tych dwóch punktów funkcja $f$ musi osiągać kres dolny, a w drugim kres górny wartości na sferze $\{g=0\}$. Mamy

$f{\big (}-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}{\big )}=-3,\ \ f{\big (}{\frac {1}{3}},-{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}}{\big )}=3,$

czyli $f$ osiąga w pierwszym z tych punktów wartość najmniejszą równą $-3$, a w drugim punkcie - wartość największą na sferze równą $3$.

Uwaga 9.24.

Jeśli funkcja $F:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R}$, zaś $G:\mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} ^{2}$, zagadnienie znalezienia ekstremów warunkowych funkcji $F$ przy warunku $\{G=0\}$ sprowadza się do znalezienia punktów zbioru $\{G=0\}$, w których zeruje się różniczka funkcji $\Phi (x,y,z):=F(x,y,z)-\Lambda \circ G(x,y,z)$. Funkcjonał Lagrange'a $\Lambda$ w tym przypadku jest odwzorowaniem liniowym z $\mathbb {R} ^{2}\mapsto \mathbb {R}$, jest więc reprezentowany przez macierz złożoną z dwóch liczb: $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$. Funkcja $G=(g_{1},g_{2})$ jest zestawieniem dwóch funkcji $g_{1},g_{2}$ o wartościach rzeczywistych, stąd

$\Phi (x,y,z)=F(x,y,z)-\Lambda G(x,y,z)=F(x,y,z)-\lambda _{1}g_{1}(x,y,z)-\lambda _{2}g_{2}(x,y,z).$

Metoda mnożników Lagrange'a sprowadza się więc do znalezienia rozwiązań układu równań

$\left\{{\begin{aligned}d_{(x,y,z)}\Phi =0\\G(x,y,z)=0\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}}\\{\frac {\partial F}{\partial y}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}}\\{\frac {\partial F}{\partial z}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial z}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial z}}\\g_{1}(x,y,z)=0\\g_{2}(x,y,z)=0\end{aligned}}\right.$

w punktach regularnych poziomicy $\{G=0\}$, czyli tych, w których rząd różniczki $d_{(x,y,z)}G$ jest maksymalny (tj. równy $2$, gdyż różniczka $d_{(x,y,z)}G$ jest odwzorowaniem liniowym z $\mathbb {R} ^{3}$ do $\mathbb {R} ^{2}$). Zwróćmy uwagę, że funkcja $F$ może osiągać ekstremum w punktach, które należą do poziomicy $\{G=0\}$ a nie są regularne. Metoda mnożników Lagrange'a nie rozstrzyga w tym przypadku o istnieniu ekstremum.

Przykład 9.25.

Wyznaczmy najmniejszą i największą wartość funkcji

$F(x,y,z)=x-y-2z$

na przecięciu się dwóch walców

$x^{2}+z^{2}=1,\ \ y^{2}+z^{2}=1.$

Zauważmy, że każdy z walców z osobna nie jest zbiorem zwartym, gdyż nie jest ograniczony, lecz ich przecięcie jest zbiorem zwartym (gdyż jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, zawartym między innymi w sześcianie $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$). Podany warunek można opisać za pomocą poziomicy zerowej funkcji $G(x,y,z)=(x^{2}+z^{2}-1,y^{2}+z^{2}-1)$. Zbadaliśmy już, że spośród punktów poziomicy $\{G=0\}$ tylko dwa nie są regularne: $(0,0,1)$ oraz $(0,0,-1)$. Poza tymi dwoma punktami możemy zastosować metodę mnożników Lagrange'a, która sprowadza się do wyznaczenia rozwiązań układu równań:

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial x}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial x}}\\{\frac {\partial F}{\partial y}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial y}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f}{\partial z}}=\lambda _{1}{\frac {\partial g_{1}}{\partial z}}+\lambda _{2}{\frac {\partial g_{2}}{\partial z}}\\g_{1}(x,y,z)=0\\g_{2}(x,y,z)=0\end{aligned}}\right.{\text{ czyli }}\left\{{\begin{aligned}1=2\lambda _{1}x\\-1=2\lambda _{2}y\\-2=2(\lambda _{1}+\lambda _{2})z\\x^{2}+z^{2}-1=0\\y^{2}+z^{2}-1=0.\end{aligned}}\right.$

Układ ten ma dwa rozwiązania

$-x=y=z={\frac {\sqrt {2}}{2}},{\text{ przy czym }}\lambda _{1}=\lambda _{2}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$

oraz

$x=-y=-z={\frac {\sqrt {2}}{2}},{\text{ przy czym }}\lambda _{1}=\lambda _{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}.$

Wartość funkcji $F$ w tych punktach wynosi

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle F\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\big)=-2\sqrt{2} \text{ oraz } F\big(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\big)=2\sqrt{2}. }

W obu punktach nieregularnych poziomicy $\{G=0\}$ mamy

$F(0,0,-1)=2{\text{ oraz }}F(0,0,1)=-2.$

Po porównaniu tych wartości: $-2{\sqrt {2}}<-2<2<2{\sqrt {2}}$ stwierdzamy, że największą wartość na na poziomicy $\{G=0\}$ równą $2{\sqrt {2}}$ funkcja $F$ osiąga w punkcie $({\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}})$, a najmniejszą, równą $-2{\sqrt {2}}$, w punkcie $(-{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}).$