Test HB

AM1 - mod 2

2. Funkcje elementarne

Przypominamy własności funkcji znanych ze szkoły (funkcja liniowa, homograficzna, wielomianowa, wykładnicza, funkcje trygonometryczne). Definiujemy funkcje hiperboliczne. Rozważamy podstawowe własności funkcji odwrotnych.

2.1 Funkcje różnowartościowe. Funkcje monotoniczne

Z wykładu z teorii mnogości wiemy, że funkcja różnowartościowa jest bijekcją na swój zbiór wartości. Wiemy także, że relacja odwrotna do bijekcji $f:X\mapsto f(X)$ jest funkcją i to funkcją różnowartościową określoną na $f(X)$ o wartościach w zbiorze $X$.

Definicja 2.1.

Niech $A\subset X$ i niech $f:X\mapsto Y$. Zacieśnieniem (inaczej: zawężeniem lub restrykcją) funkcji $f$ do zbioru $A$ nazywamy funkcję $f_{|A}:A\mapsto Y$ równą funkcji $f$ na zbiorze $A$, tzn. $\forall x\in A:f_{|A}(x)=f(x)$.

Definicja 2.2.

Niech $f:X\mapsto Y$ będzie funkcją. Mówimy, że funkcja $g:Y\mapsto X$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f$, jeśli dla dowolnego elementu $x\in X$ zachodzi równość $g(f(x))=x$ i dla dowolnego elementu $y\in Y$ zachodzi równość $f(g(y))=y$.

Funkcję odwrotną do funkcji $f:X\mapsto Y$ będziemy oznaczać często symbolem $f^{-1}:Y\mapsto X$, o ile nie prowadzi to do nieporozumienia. Należy odróżniać pojęcie funkcji odwrotnej od odwrotności funkcji, gdzie przez odwrotność funkcji $f:X\mapsto \mathbb {R}$ rozumiemy funkcję $\displaystyle {\frac {1}{f}}:X\ni x\mapsto {\frac {1}{f(x)}}\in \mathbb {R}$.

Uwaga 2.3.

Niech $f,g:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ będą funkcjami jednej zmiennej. Jeśli $g$ jest funkcją odwrotną do $f$, to w prostokątnym układzie współrzędnych $XOY$ wykres funkcji $g$ jest obrazem wykresu funkcji $f$ w symetrii osiowej względem prostej $y=x$.

Definicja 2.4.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ jest rosnąca (odpowiednio: ściśle rosnąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\forall x,y\in (a,b)\ :\ x<y\implies f(x)\leq f(y)$

(odpowiednio: $\forall x,y\in (a,b)\ :\ x<y\implies f(x)<f(y).$)

Definicja 2.5.

Mówimy, że funkcja $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ jest malejąca (odpowiednio: ściśle malejąca) w przedziale $(a,b)$, jeśli

$\forall x,y\in (a,b)\ :\ x<y\implies f(x)\geq f(y)$

(odpowiednio: $\forall x,y\in (a,b)\ :\ x<y\implies f(x)>f(y).$)

Definicja 2.6.

Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym przedziale jest rosnąca albo malejąca.

Przykład 2.7.

Funkcja $x\mapsto \mathrm {tg} \,x$ rośnie w każdym z przedziałów postaci $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi {\bigg )}$ nie jest jednak rosnąca w sumie przedziałów $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}\cup {\bigg (}{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}{\bigg )}$. Weźmy bowiem np. argumenty $\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}$, $\displaystyle y={\frac {3\pi }{4}}$. Wówczas $x<y$, ale $\mathrm {tg} \,x=1>-1=\mathrm {tg} \,y$.

Uwaga 2.8

Jeśli $g:(c,d)\mapsto (a,b)$ jest funkcją odwrotną do funkcji $f:(a,b)\mapsto (c,d)$, to
a) jeśli $f$ jest rosnąca, to $g$ jest także rosnąca;
b) jeśli $f$ jest malejąca, to $g$ jest również malejąca.
Krótko: funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca, a odwrotna do malejącej - malejąca.

2.2 Przegląd funkcji jednej zmiennej rzeczywistej

Definicja 2.9.

Niech $a,b$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję $x\mapsto ax+b$ nazywamy funkcją afiniczną.

Rysunek am1w02.0010

Uwaga 2.10.

a) Wykresem funkcji afinicznej jest prosta.
b) Funkcja $f(x)=ax+b$ jest ściśle rosnąca, gdy $a>0$ i ściśle malejąca, gdy $a<0$. Jest bijekcją zbioru $\mathbb {R}$ na zbiór $\mathbb {R}$, gdy $a\neq 0$.
c) Funkcja odwrotna do funkcji afinicznej jest funkcją afiniczną.
d) Złożenie funkcji afinicznych jest funkcją afiniczną.

Definicja 2.11.

Niech $a,b,c,d$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi,że $ad-bc\neq 0$. Funkcję $\displaystyle x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ nazywamy funkcją homograficzną lub - krótko - homografią.
Rysunek am1w02.0030

Uwaga 2.12.

a) Funkcja afiniczna jest szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej.
b) Wykresem funkcji homograficznej $f$ jest prosta (jeśli $f$ jest afiniczna) lub hiperbola (jeśli $f$ nie jest afiniczna).
c) Funkcja odwrotna do homografii jest homografią.
d) Złożenie homografii jest homografią.

Definicja 2.13.

Niech $a$ będzie stałą, niech $n=0,1,2,3,...$ będzie liczbą całkowitą nieujemną, a $x$ - zmienną. Wyrażenie algebraiczne $ax^{n}$ nazywamy jednomianem zmiennej $x$. Jeśli $a\neq 0$,to liczbę $n$ nazywamy stopniem jednomianu $ax^{n}$. Sumę $w(x)=0_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x_{n}$ skończonej liczby jednomianów zmiennej $x$ nazywamy wielomianem zmiennej $x$. Największy ze stopni tych jednomianów, nazywamy stopniem wielomianu.

Rysunek am1w02.0050
Animacja am1w02.0060

Definicja 2.14.

Funkcję $x\mapsto w(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x_{n}$ nazywamy funkcją wielomianową lub - krótko - wielomianem.

Uwaga 2.15.

a) Suma oraz iloczyn wielomianów jest wielomianem.
b) Złożenie funkcji wielomianowych jest funkcją wielomianową.

Wykażmy użyteczne oszacowanie z dołu wielomianu $x\mapsto (1+x)^{n}$ za pomocą funkcji afinicznej $x\mapsto 1+nx$.

Uwaga 2.16[nierówność Bernoullego]

Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,1,2,3,...$ i dowolnej liczby rzeczywistej $x\geq -1$ zachodzi nierówność

Parser nie mógł rozpoznać (błąd składni): {\displaystyle (1+x)^n\ \geq\1+nx, }

przy czym dla $n>1$ równość w powyższej nierówności zachodzi wyłącznie dla $x=0$.

Animacja am1w02.0070

Dowód

Zauważmy, że nierówność zachodzi dla $n=0$ i $n=1$. Wykażemy, że dla dowolnej liczby naturalnej $k\geq 1$prawdziwa jest implikacja

${\bigg [}\forall x>-1:(1+x)^{k}\geq 1+kx{\bigg ]}\implies {\bigg [}\forall x>-1:(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x{\bigg ]}.$

Mamy bowiem:

${\begin{aligned}(1+x)^{k+1}&=(1+x)(1+x)^{k}\\&\geq (1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx^{2}\\&\geq 1+(1+k)x.\end{aligned}}$

Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność zachodzi więc dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ ...$. Zauważmy, że składnik $x\mapsto kx^{2}$ dla $k\geq 1$ zeruje się wyłącznie w punkcie $x=0$, stąd nierówność Bernoullego jest ostra poza tym punktem, a jedynie dla $x=0$ zachodzi równość w tej nierówności.

Definicja 2.17.

Niech $n\in \{2,3,4,...\}$ będzie liczbą naturalną większą od jedności. Liczbę nieujemną $y$ nazywamy pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby nieujemnej $x$, jeśli $x^{n}=y.$ Pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x\geq 0$ oznaczamy symbolem Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle \root{n}\of{x}} .
Rysunek am1w02.0080

Uwaga 2.18.

a) Funkcja $x\mapsto x^{n}$ jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.
b) Jeśli $n>0$ jest parzystą liczbą naturalną, to zacieśnienie funkcji $f(x)=x^{n}$ do przedziału $[0,\infty )$ jest funkcją różnowartościową. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja pierwiastek stopnia Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle n g(x)=\root{n}\of{x}} określona na przedziale $[0,\infty )$ o wartościach w $[0,\infty )$.
c) Jeśli $n>0$ jest nieparzystą liczbą naturalną, to funkcja $f(x)=x^{n}$ jest różnowartościowa na przedziale $(-\infty ,+\infty )$. Funkcją odwrotną do niej jest funkcja

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle g(x) = \left\{ \begin{align} \root{n}\of{x}, \text{ dla } x\geq 0\\ -\root{n}\of{-x}, \text{ dla } x< 0 \end{align} \right . }

Uwaga 2.19.

Jeśli $n$ jest liczbą naturalną nieparzystą,często używa się symbolu pierwiastka arytmetycznego do oznaczenia funkcji odwrotnej do funkcji $f(x)=x^{n}$ i oznacza się ją krótko Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\root”): {\displaystyle g(x)=\root{n}\of{x}} , przy czym sens tego symbolu dla liczb rzeczywistych ujemnych określa się jak powyżej.

2.3 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Definicja 2.20

Niech $a>0$ będzie dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą. Funkcję $x\mapsto a^{x}$ określoną na zbiorze liczb

rzeczywistych nazywamy funkcją wykładniczą o podstawie $a$.

Uwaga 2.21.

a) Jeśli $a>0,\ a\neq 1$, funkcja wykładnicza $x\mapsto a^{x}$ jest bijekcją zbioru $\mathbb {R}$ na przedział $(0,\infty )$. Nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny.

Rysunek am1w02.0090

b) Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto a^{x}$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

c) Jeśli $a=1$, funkcja $x\mapsto a^{x}$ jest stała.

Rysunek am1w02.0100

Definicja 2.22.

Niech $a\in (0,1)\cup (1,\infty )$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią, różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji $x\mapsto a^{x}$ nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie $a$ i oznaczamy $x\mapsto \log _{a}x$.

Na ogół pomija się indeks $a$ w oznaczeniu logarytmu liczby $x$ i pisze się krótko $\log x$. Zwróćmy jednak uwagę na fakt, że w zależności od dziedziny nauki, czy techniki, symbol ten może oznaczać logarytmy o różnych podstawach. I tak informatycy na ogół posługują się tym symbolem mając na myśli logarytm o podstawie 2, tzn. $\log x=\log _{2}x$. Z kolei w naukach technicznych symbol $\log x=\log _{10}x$ oznacza przeważnie logarytm dziesiętny. Natomiast matematycy posługują się najczęściej logarytmem o podstawie $e=2,71828182846...$ (do definicji i własności tej ważnej stałej powrócimy w następnych modułach). Stąd często w pracach matematycznych symbol $\log x=\log _{e}x$ oznacza właśnie logarytm o podstawie $e$. My jednak, aby uniknąć nieporozumień, logarytm o podstawie $e$ będziemy oznaczać osobnym symbolem $\ln x$.

Definicja 2.23.

Symbolem $\exp x$ będziemy oznaczać potęgę $e^{x}$.

Definicja 2.24.

Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej $x$ nazywamy liczbę $\ln x=\log _{e}x$.

Uwaga 2.25.

a) Jeśli $a>0,\ a\neq 1$, funkcja logarytmiczna $x\mapsto \log _{a}x$ jest bijekcją przedziału $(0,\infty )$ na zbiór $\mathbb {R}$.

Rysunek am1w02.0110

Rysunek am1w02.0120

b) Jeśli $a>1$, funkcja $x\mapsto \log _{a}x$ jest ściśle rosnąca, jeśli zaś $0<a<1$, jest ściśle malejąca.

c) Jedynym miejscem zerowym funkcji logarytmicznej $x\mapsto \log _{a}x$ jest punkt $x=1$.

d) Jeśli $a>1$, to logarytm $\log _{a}x$ jest dodatni w przedziale $(1,\infty )$ i jest ujemny w przedziale $(0,1)$. Jeśli zaś $0<a<1$, to logarytm $\log _{a}x$ jest ujemny w przedziale $(1,\infty )$ i jest dodatni w przedziale $(0,1)$.

Przypomnijmy jeszcze parę tożsamości, z których często będziemy korzystać.

Uwaga 2.26.

a) Dla $a>0$, $x,y\in \mathbb {R}$ zachodzą równości

$(a^{x})^{y}=a^{xy}{\text{ oraz }}a^{x}a^{y}=a^{x+y}.$

b) Dla dodatnich liczb $a,b,c$, $a\neq 1$, $c\neq 1$ prawdziwy jest wzór na zmianę podstawy logarytmu

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}},$

w szczególności, gdy $c=e$, mamy równość

$\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}.$

c) Dla dowolnej liczby $b\in \mathbb {R}$ i dodatnich $a>0$, $c>0$ zachodzi równość

$a^{b}=c^{b\log _{c}a},$

która w szczególnym przypadku, gdy $c=e$, ma postać

$a^{b}=\exp(b\ln a).$

2.4 Funkcje trygonometryczne i funkcje cyklometryczne

Przypomnijmy kilka własności funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens. Żadna z nich nie jest różnowartościowa w swojej dziedzinie.

Rysunek am1w02.0140

Uwaga 2.27.

a) Funkcja $f(x)=\sin x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle {\bigg [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Rysunek am1w02.0150
b) Funkcja $f(x)=\cos x$ zacieśniona do przedziału $[0,\pi ]$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.
Rysunek am1w02.0160
c) Funkcja $f(x)=\mathrm {tg} \,x$ zacieśniona do przedziału $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$ jest różnowartościowa, ściśle rosnąca.
Rysunek am1w02.0170
d) Funkcja $f(x)=\mathrm {ctg} \,x$ zacieśniona do przedziału $(0,\pi )$ jest różnowartościowa, ściśle malejąca.

Pamiętamy również, że zachodzi

Twierdzenie 2.28.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ suma kwadratów cosinusa i sinusa jest równa jedności, tzn. $\forall x\in \mathbb {R} :\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$.

Tożsamość tę nazywamy jedynką trygonometryczną.
Rysunek am1w02.0180

Definicja 2.29.

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $\displaystyle {\bigg [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$, odwrotną do zacieśnienia funkcji sinus do przedziału $\displaystyle {\bigg [}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$,nazywamyarcusem sinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arcsin x$.
Rysunek am1w02.0190

Definicja 2.30

Funkcję określoną na przedziale $[-1,1]$ o wartościach w przedziale $[0,\pi ]$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus do przedziału $[0,\pi ]$, nazywamy arcusem cosinusem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \arccos x$.
Rysunek am1w02.0200

Definicja 2.31.

Funkcję określoną na przedziale $(-\infty ,\infty )$ o wartościach w przedziale $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$, odwrotną do zacieśnienia funkcji tangens do przedziału $\displaystyle {\bigg (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\bigg )}$, nazywamy arcusem tangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm {arctg} \,x$.
Rysunek am1w02.0200

Definicja 2.32.

Funkcję określoną na przedziale $(-\infty ,\infty )$ o wartościach w przedziale $(0,\pi )$, odwrotną do zacieśnienia funkcji cotangens do przedziału $(0,\pi )$, nazywamy arcusem cotangensem i oznaczamy symbolem $x\mapsto \mathrm {arc\,ctg} \,x$.

Funkcje: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens nazywamy funkcjami cyklometrycznymi.

Uwaga 2.33.

Funkcje arcus sinus i arcus tangens są ściśle rosnące. Funkcje arcus cosinus i arcus cotangens -- ściśle malejące.

Ze wzorów redukcyjnych: $\displaystyle \sin {\bigg (}{\frac {\pi }{2}}-x{\bigg )}=\cos x$ oraz $\displaystyle \mathrm {tg} \,{\bigg (}{\frac {\pi }{2}}-x{\bigg )}=\mathrm {ctg} \,x$ wynika, że

Uwaga 2.34.

a) Dla dowolnej liczby $-1\leq x\leq 1$ zachodzi równość $\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}+\arcsin(-x).$
b) Dla dowolnej liczby $-\infty <x<\infty$ zachodzi równość $\displaystyle \mathrm {arc\,ctg} \,x={\frac {\pi }{2}}+\mathrm {arctg} \,(-x).$

2.5 Funkcje hiperboliczne i funkcje area

Określimy teraz cztery funkcje, których nazwy są nieprzypadkowo zbieżne z nazwami funkcji trygonometrycznych.

Definicja 2.35.

Niech $x\in (-\infty ,+\infty )$.
Rysunek am1w02.0210
a) Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \sinh :x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}-e^{-x})$.
Rysunek am1w02.0220
b) Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję $\displaystyle \cosh :x\mapsto {\frac {1}{2}}(e^{x}+e^{-x})$.
Rysunek am1w02.0230
c) Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\tgh”): {\displaystyle \displaystyle\tgh :x\mapsto\frac{\sinh x}{\cosh x}} .
Rysunek am1w02.0240
d) Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ctgh”): {\displaystyle \displaystyle\ctgh :x\mapsto\frac{1}{\tgh x}} .

Wykażmy wpierw tożsamość, którą przez analogię do znanej tożsamości trygonometrycznej, wiążącej wartości funkcji sinus i cosinus, nazwiemy jedynką hiperboliczną.

Twierdzenie 2.36.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej różnica kwadratów funkcji hiperbolicznych cosinus i sinus jest równa jedności, tzn. zachodzi równość

$\forall x\in \mathbb {R} :\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1.$

Dowód twierdzenia 2.36.

Z definicji funkcji $\sinh$ i $\cosh$ mamy:

Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\begin{align}”): {\displaystyle \begin{align} 4(\cosh^2 x-\sinh^2 x) \ &=\ (e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2 \ \\ &=\ (e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x}) = 4, \end{align}}

stąd

$\forall x:\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1.$

W podobny sposób - wprost z definicji - można wykazać, że zachodzą następujące tożsamości analogiczne do znanych tożsamości trygonometrycznych:

$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\qquad \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$

Twierdzenie 2.37.

Niech $x,y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wówczas:
a) $\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$
b) $\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y.$

Tożsamości te wykażemy w ramach ćwiczeń do tego modułu.

Uwaga 2.38.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej mamy:

${\begin{aligned}\cosh 2x&=&\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=1+2\sinh ^{2}x,\\\sinh 2x&=&2\sinh x\cosh x.\end{aligned}}$

Warto porównać otrzymane wzory z poznanymi w szkole analogicznymi wzorami dla funkcji trygonometrycznych:

${\begin{aligned}\cos 2x&=&\cosh ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x,\\\sin 2x&=&2\sin x\cos x.\end{aligned}}$

Podkreślmy kilka własności funkcji hiperbolicznych.

Uwaga 2.39

a) Funkcja sinus hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb {R}$ na $\mathbb {R}$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
b) Funkcja cosinus hiperboliczny jest określona na $\mathbb {R}$ i przyjmuje wartości w przedziale $[1,\infty )$. Jest funkcją parzystą. Nie jest różnowartościowa. Jej zacieśnienie do przedziału $[0,\infty )$ jest funkcją ściśle rosnącą.
c) Funkcja tangens hiperboliczny jest bijekcją $\mathbb {R}$ na przedział $(-1,1)$. Jest nieparzysta, ściśle rosnąca.
d) Funkcja cotangens hiperboliczny jest bijekcją zbioru $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ na zbiór $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$. Jest nieparzysta, ściśle malejąca w przedziale $(-\infty ,0)$ i w przedziale $(0,\infty )$ .

Określmy funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Nazywamy je funkcjami area.
Rysunek am1w02.0280

Definicja 2.40.

a) Funkcję odwrotną do funkcji sinus hiperboliczny nazywamy area sinusem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto {\rm {arsinh\,}}x$.
Rysunek am1w02.0290
b) Funkcję odwrotną do zacieśnienia funkcji cosinus hiperboliczny do przedziału $[0,\infty )$ nazywamy area cosinusem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto {\rm {arcosh\,}}x$.
Rysunek am1w02.0300
c) Funkcję odwrotną do funkcji tangens hiperboliczny nazywamy area tangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto {\rm {artgh\,}}x$.
Rysunek am1w02.0310
d) Funkcję odwrotną do funkcji cotangens hiperboliczny nazywamy area cotangensem hiperbolicznym i oznaczamy $x\mapsto {\rm {arctgh\,}}x$.

Zwróćmy uwagę na tożsamości (kilka podobnych wykażemy w ramach ćwiczeń):

Uwaga 2.41.

Prawdziwe są następujące równości:
a) $\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ dla $|x|\leq 1,$
b) $\cosh({\rm {arsinh\,}}x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ dla $-\infty <x<\infty .$

Dowód

a) Niech $y=\arcsin x$. Wówczas dla $-1\leq x\leq 1$ mamy $\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$, czyli $0\leq \cos y\leq 1$. Z jedynki trygonometrycznej wynika,że

$\cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}={\sqrt {1-x^{2}}}.$

b) Należy powtórzyć powyższe rozumowanie stosując jedynkę hiperboliczną zamiast jedynki trygonometrycznej.

Funkcje area można wyrazić także za pomocą logarytmu naturalnego.

Twierdzenie 2.42

Zachodzą następujące tożsamości:
a) $\displaystyle {\rm {arsinh\,}}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$ dla $-\infty <x<\infty ,$
b) $\displaystyle {\rm {arcosh\,}}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$ dla $1\leq x<\infty ,$
c) $\displaystyle {\rm {artgh\,}}x=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$ dla $-1<x<1,$
d) $\displaystyle {\rm {arctgh\,}}x=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$ dla $|x|>1.$

Dowód twierdzenia 2.42.

a) Wyznaczamy zmienną $y$ z równania: $x=\sinh y$.Mamy

$x={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}={\frac {e^{2y}-1}{e^{y}}}.$

Stąd $e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}+1}}$, czyli ${\rm {arsinh\,}}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$ dla wszystkich $-\infty <x<\infty .$

b) Podobnie jak w punkcie a) wyznaczamy zmienną $y$ z równania $x=\cosh y$ i otrzymujemy $e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}-1}}$, czyli ${\rm {arcosh\,}}x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})$, dla $x\geq 1$.

c) Z równania $x={\rm {artgh\,}}x$ dostajemy $\displaystyle e^{2y}={\frac {1+x}{1-x}}$, czyli

${\rm {artgh\,}}x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}=\ln {\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}$

dla $|x|<1$.

d) Pamiętając, że Parser nie mógł rozpoznać (nieznana funkcja „\ctgh”): {\displaystyle \displaystyle\ctgh x=\frac{1}{\tgh x}} , podstawiamy w poprzedniej tożsamości $\displaystyle {\frac {1}{x}}$ w miejsce zmiennej $x$ i otrzymujemy:

${\rm {arctgh\,}}x=\ln {\sqrt {\frac {1+{\frac {1}{x}}}{1-{\frac {1}{x}}}}}=\ln {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$

dla $|x|>1.$

W ramach ćwiczeń wykażemy zaskakującą - na pierwszy rzut oka - uwagę.

Uwaga 2.43.

a) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x),\ \ -1\leq x\leq 1,$

jest wielomianem zmiennej $x$.
b) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcja

$U_{n}(x)=\cosh(n{\rm {arcosh\,}}x),\quad x\geq 1,$

jest wielomianem zmiennej $x$.
c) Dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ funkcje $T_{n}$ oraz $U_{n}$ są zacieśnieniami -- odpowiednio do przedziałów $[-1,1]$ oraz $[1,+\infty )$ tego samego wielomianu $W_{n}$ zmiennej $x$, to znaczy dla dowolnej liczby $n=0,1,2,...$ istnieje funkcja wielomianowa $W_{n}:x\mapsto W_{n}(x)$ taka, że zachodzą równości

${\begin{aligned}W_{n}(x)&=T_{n}(x)&&{\text{ dla }}-1\leq x\leq 1\\W_{n}(x)&=U_{n}(x)&&{\text{ dla }}+1\leq x\leq \infty \end{aligned}}$

animacja am1w02.0320

Definicja 2.44.

Wielomian $W_{n}$, o którym mowa w powyższej uwadze, którego zacieśnieniem do przedziału $[-1,1]$ jest funkcja $T_{n}:x\mapsto \cos(n\arccos x)$, nazywamy wielomianem Czebyszewa stopnia $n$, $n=0,1,2,...$.